2022年专题29相似与位似-2年中考1年模拟备战年中考数学精品系列(原卷版)

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -备战 2021 中考系列：数学2 年中考 1 年模拟第五篇图形的变化.解读考点知识点名师点晴1比例知道什么是比例式、第四比例项、比例中项比和比例2黄金分割知道黄金分割的意义和生活中的应用3比例的基本性质及定理能娴熟运用比例的基本性质进行相关的运算4平行线分线段成比例定理会直接运用定理进行运算和证明5相像三角形知道什么是相像三角形6相像三角形的判定和性质能运用相像三角形的性质和判定方法证明简洁问题相像形7相像多边形的性质明白相像多边形的性质8位似图形知道位似是相像的特别情形能利用位似放大和缩小一个图形.考点归纳归纳1： 比

2、例的基本性质、黄金分割基础学问归纳： 1 黄金分割：把一条线段（AB）分割成两条线段，使其中较长线段（AC）是原线段AB与较短线段 （ BC）的比例线段， 就叫作把这条线段黄金分割即 AC·AC=AB·BC，AC=51 AB20.618AB ；一条线段的黄金分割点有两个2比例的基本性质及定理精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -（ 1） acadbc bd（ 2） acabcd bdbda cmacma（ 3）bdn0

3、b dnbdnb基本方法归纳： 利用比例的基本性质变形是关键留意问题归纳： 比例式与乘积式转化时要弄清内外项【例 1】如 4y-3x=0，就 xyy归纳2：三角形相像的性质及判定基础学问归纳： 1相像三角形的判定（ 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相像；（ 2）两角对应相等，两三角形相像；（ 3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像；（ 4）三边对应成比例，两三角形相像；（ 5）两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相像；（ 6）直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相像 2相像三角形性质相像三角形的对应角相

4、等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相像比，周长比等于相像比，面积比等于相像比的平方基本方法归纳： 关键是娴熟把握相像三角形的判定留意问题归纳： 相像条件的查找【例 2】（2021 安徽）如图，ABC 中， AD 是中线， BC=8， B= DAC ，就线段 AC 的长为（）A 4B 42C6D 43归纳3：相像三角形综合问题基础学问归纳： 相像三角形与几何图形的综合精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -基本方法归纳

5、： 理清题意，合理推断，精确运算是关键留意问题归纳： 审题不清、条件利用不全是常见错误【例 3】（ 2021 四川省眉山市） 如图， ABC 和 BEC 均为等腰直角三角形， 且 ACB= BEC=90°，AC=42 ，点 P 为线段 BE 延长线上一点， 连接 CP 以 CP 为直角边向下作等腰直角CPD ，线段 BE 与 CD 相交于点F（ 1）求证：PCCE ；CDCB（ 2）连接 BD，请你判定AC 与 BD 有什么位置关系？并说明理由；（ 3）设 PE=x， PBD 的面积为S，求 S 与 x 之间的函数关系式归纳4：相像多边形与位似图形基础学问归纳：1相像多边形的性质（

6、1）相像多边形对应角相等，对应边成比例（ 2）相像多边形周长之比等于相像比，面积之比等于相像比的平方 2位似图形（ 1）概念：假如两个多边形不仅相像，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形这个点叫做位似中心（ 2）性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比基本方法归纳： 把握作图留意问题归纳： 精确找出对应点的位置【例 4】（ 2021 四川省眉山市）已知：如图ABC 三个顶点的坐标分别为A（ 0， 3）、B（ 3， 2）、C（ 2， 4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1 个单位长度（ 1）画出 ABC 向上平移6 个单位得到的A1B1C1；（ 2）以点C

7、 为位似中心，在网格中画出A2B2C2，使 A2B2C2 与 ABC 位似，且 A2B2C2 与 ABC 的位精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -似比为 2：1，并直接写出点A2 的坐标.2 年中考【2021 年题组】一、挑选题511（ 2021 山西省）宽与长的比是（约 0. 618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形隐藏着丰富的美学价2值，给我们以和谐和均匀的美感我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形 ABCD ，分别取 AD、BC

8、的中点 E、F ，连接 EF ：以点 F 为圆心，以 FD 为半径画弧，交 BC 的延长线于点 G；作 GH AD，交 AD 的延长线于点 H，就图中以下矩形是黄金矩形的是（ ）A 矩形 ABFEB矩形 EFCDC矩形 EFGHD矩形 DCGH 2（ 2021 浙江省杭州市）如图，已知直线 a b c，直线 m 交直线 a， b， c 于点 A， B，C，直线 n 交直线ABa， b， c 于点 D， E， F，如BC1 DE，就2 EF=（）精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 -

9、 - - - - - - - - - - -A 1B 132C 23D 1AD3 （2021 甘肃省兰州市）如图 ， 在 ABC中 ， DE BC ， 如2AE， 就=（）DB3EC1223A B CD35354（ 2021 山东省东营市）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（ 3，6）， B（ 9， 3），以原点O 为位似中心，相像比为1 ，把 ABO 缩小，就点A 的对应点A的坐标是（）3A （ 1， 2）B （ 9， 18）C（ 9， 18）或（ 9， 18）D（ 1， 2）或（ 1， 2）5（ 2021 山东省德州市） 对于平面图形上的任意两点P，Q，假如经过某种变换得到新图形上的对应点

10、P， Q，保持PQ=P Q，我们把这种变换称为“等距变换”，以下变换中不肯定是等距变换的是（） A 平移B旋转C轴对称D位似6（ 2021 山东省烟台市）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心1的位似图形，且相像比为，点 A， B， E 在 x 轴上，如正方形BEFG 的边长为6，就 C 点坐标为（）3A （3， 2）B （3， 1）C（2， 2）D（ 4， 2）7（ 2021 湖北省十堰市） 如图， 以点 O 为位似中心， 将 ABC 缩小后得到A B C，已知 OB=3OB，就 AB C与 ABC 的面积比为（）精选名师 优秀名师 - - - -

11、- - - - - -第 5 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -A 1： 3B 1： 4C 1： 5D 1： 98（ 2021 云南省）如图，D 是 ABC 的边 BC 上一点， AB=4， AD =2， DAC= B假如 ABD 的面积为15，那么 ACD 的面积为（）15A 15B 10C2D 59（ 2021 内蒙古巴彦淖尔市）如图，E 为.ABCD 的边 AB 延长线上的一点，且BE： A B=2： 3， BEF 的面积为 4，就 .ABCD 的面积为（）A 30B 27C 14D 3210

12、（ 2021 四川省巴中市）如图，点D、E 分别为 ABC 的边 AB、AC 上的中点，就ADE 的面积与四边形BCED 的面积的比为（）A 1： 2B 1： 3C 1： 4D 1： 111 （ 2021 四川省泸州市）如图 ，矩 形 ABCD的 边 长 AD = 3， AB =2， E 为 AB 的 中 点 ， F 在 边 BC上 ， 且 BF =2 FC ， AF 分 别 与 DE 、 DB相 交 于 点 M ， N ， 就 MN 的 长 为 （）精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳

13、总结 - - - - - - - - - - - -A 22B 92520C 324D 42512（ 2021 四川省达州市）如图，在ABC 中， BF 平分 ABC， AF BF 于点 F ， D 为 AB 的中点，连接DF 延长交 AC 于点 E如 AB=10， BC=16，就线段 EF 的长为（）A 2B 3C 4D 513（ 2021 山东省日照市）如图，P 为平行四边形ABCD 边 AD 上一点， E、F 分别是 PB、PC（靠近点P）的三等分点， PEF 、 PDC 、 PAB 的面积分别为S1、S2、S3，如 AD =2，AB= 23 ， A=60°，就 S1+S2+S

14、3的值为（）A 10B 932C 133D 414（ 2021 山东省淄博市）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB， PQ 相交于点M ，就图中 QMB 的正切值是（）A 1B1C3D 22精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 7 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -15（ 2021 江苏省盐城市）如图，点F 在平行四边形ABCD 的边 AB 上，射线 CF 交 DA 的延长线于点E，在不添加帮助线的情形下，与AEF 相像的

15、三角形有（）A 0 个B 1 个C2 个D 3 个 16（2021 河北省）如图，ABC 中， A=78°， AB=4，AC =6将 ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相像的是（）A B CD 17（2021 浙江省湖州市）如图 1，在等腰三角形 ABC 中， AB=AC=4， BC=7如图 2，在底边 BC 上取一点 D ，连结 AD，使得 DAC= ACD如图 3，将 ACD 沿着 AD 所在直线折叠，使得点 C 落在点 E 处，连结BE ，得到四边形 ABED 就 BE 的长是（ ）17A 4B4C 32D 2518（ 2021 浙江省金华市）在四边形AB

16、CD 中， B=90°， AC =4， AB CD ， DH 垂直平分AC，点 H 为垂足设 AB=x， AD=y，就 y 关于 x 的函数关系用图象大致可以表示为（）精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 8 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -A BCD 19（ 2021 湖北省咸宁市）如图，在ABC 中，中线BE， CD 相交于点O，连接 DE，以下结论： DE1SDOE；1ADOE；SODE1BC2SCOB2ABOBSADC3其中正确的个数有（）A 1 个B 2

17、 个C3 个D 4 个20 （ 2021 甘肃省兰州市）已知 ABC DEF ， 如 ABC与 DEF的 相 似 比 为与 DEF对 应 中 线 的 比 为 （）3， 就 ABC4A 3B 4C 94316D 169AD121（ 2021 贵州省贵阳市）如图，在ABC 中， DE BC，AB， BC=12，就 DE 的长是（）3A 3B 4C 5D 6二、填空题22（ 2021 江苏省常州市）在比例尺为1：40000 的地图上，某条道路的长为7cm，就该道路的实际长度是 km精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 9 页，共 34 页 - - - - - - - - -

18、-精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -23（ 2021 山东省威海市） 如图， 直线y1 x21 与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点B，BOC 与 B O C是以点 A 为位似中心的位似图形，且相像比为1： 3，就点 B 的对应点B的坐标为24（ 2021 黑龙江省齐齐哈尔市）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边 OA、OC 分别在 x 轴和 y3轴上，且OA=2， OC =1在其次象限内，将矩形AOCB 以原点 O 为位似中心放大为原先的倍，得到矩形2A1OC 1B1，再将矩形A1OC 1B1 以原点 O 为位似中心放大32倍，得到矩形A2O

19、C 2B2，以此类推，得到的矩形AnOC nBn 的对角线交点的坐标为25（2021 内蒙古呼伦贝尔市）如图，在Rt ABC 中， C=90°， AC=3，BC=4，把 ABC 绕 AB 边上的点D 顺时针旋转90°得到 AB C， AC交 AB 于点 E，如 AD=BE，就 A DE 的面积是26（ 2021 四川省乐山市）如图，在ABC 中， D、E 分别是边AB、AC 上的点，且DE BC，如 ADE与 ABC 的周长之比为2 ： 3， AD=4，就 DB =精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 10 页，共 34 页 - - - - - -

20、- - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -27（ 2021 四川省甘孜州）如图，点P1，P2，P3 ，P4 均在坐标轴上，且P1P2 P2P3，P2P3P3P4，如点 P1，P2 的坐标分别为（0， 1），（ 2，0），就点 P4 的坐标为28（2021 四川省甘孜州）如图，正方形CDEF 的顶点 D，E 在半圆 O 的直径上，顶点C， F 在半圆上，连接 AC， BC，就 BC =AC29（ 2021 四川省自贡市）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上， AB， CD 相交于点P，就 APPB的值 =， t

21、an APD 的值 =30（ 2021 广东省梅州市）如图，在平行四边形ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点， EC 交对角线BD 于点 F ，如 S DEC =3，就 S BCF =31（ 2021 广西桂林市）如图，在RtACB 中， ACB=90°， AC=BC=3， CD=1， CH BD 于 H ，点 O 是AB 中点，连接OH ，就 OH =精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 11 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -32（ 2021 广西贵港市）

22、如图， AB 是半圆 O 的直径， C 是半圆 O 上一点， 弦 AD 平分 BAC ，交 BC 于点 E，如 AB=6， AD =5，就 DE 的长为33（ 2021 广西贺州市）在矩形ABCD 中， B 的角平分线BE 与 AD 交于点 E， BED 的角平分线EF 与DC 交于点 F ，如 AB=9， DF =2FC，就 BC=（结果保留根号）34（ 2021 江苏省镇江市）有一张等腰三角形纸片，AB=AC =5， BC=3，小明将它沿虚线PQ 剪开，得到AQP 和四边形BCPQ 两张纸片（如下列图） ，且满意 BQP= B，就以下五个数据可以作为线段AQ 长的有个15， 3，4165，

23、 2，中5335（ 2021 湖北省武汉市） 如图， 在四边形ABCD 中， ABC 90°， AB 3，BC 4，CD 10，DA 55 ，就 BD 的长为 36（ 2021 贵州省遵义市）如图，AC BC， AC=BC， D 是 BC 上一点，连接AD ，与 ACB 的平分线交于点 E，连接 BE如 SACE= 6 ， S73BDE =14，就 AC=精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 12 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -37（ 2021 辽宁省沈阳市）如

24、图，在Rt ABC 中， A=90°， AB=AC， BC=20， DE 是 ABC 的中位线，点 M 是边 BC 上一点， BM =3，点 N 是线段 MC 上的一个动点，连接DN ， M E， DN 与 ME 相交于点 O如 OMN 是直角三角形，就DO 的长是38（ 2021 辽宁省葫芦岛市）如图，在AOB 中， AOB=90°，点 A 的坐标为（ 2，1），BO= 25 ，反比例函数 yk的图象经过点B，就 k 的值为x三、解答题39（ 2021 广西玉林市崇左市）如图，在平面直角坐标系网格中，将ABC 进行位似变换得到A1B1C1（ 1） A1B1C1 与 ABC

25、 的位似比是；（ 2）画出 A1B1C1 关于 y 轴对称的 A2B2C2；（ 3）设点P（ a， b）为 ABC 内一点，就依上述两次变换后，点P在 A2B2C2 内的对应点P2 的坐标是精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 13 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -40（ 2021 广西南宁市）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 三个顶点的坐标分别是A（2， 2）， B（ 4， 0）， C（4， 4）（ 1）请画出 ABC 向左平移6 个单位长度后得到的A1B1C1；（

26、2）以点 O 为位似中心，将ABC 缩小为原先的1，得到 A B C，请在 y 轴右侧画出A B C，并求出 A2C2B2 的正弦值222222241（ 2021 江苏省盐城市）假如两个一次函数y=k1x+b1 和 y=k2 x+b2 满意 k1 =k2，b1 b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”如图，已知函数y= 2x+4 的图象与x 轴、 y 轴分别交于A、 B 两点，一次函数y=kx+b 与 y= 2x+4 是“平行一次函数”（ 1）如函数y=kx+b 的图象过点（3， 1），求 b 的值；（ 2）如函数 y=kx+b 的图象与两坐标轴围成的三角形和AOB 构成位似图形， 位似中

27、心为原点， 位似比为 1： 2，求函数y=kx+b 的表达式精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 14 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -42（ 2021 四川省雅安市）已知RtABC 中， B=90°， AC=20， AB=10， P 是边 AC 上一点（不包括端点A、C），过点 P 作 PE BC 于点 E，过点 E 作 EF AC，交 AB 于点 F 设 PC=x，PE =y（ 1）求 y 与 x 的函数关系式；（ 2）是否存在点P 使 PEF 是 Rt？如存

28、在，求此时的x 的值；如不存在，请说明理由43（ 2021 广东省广州市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y= x+3 与 x 轴交于点C，与直线AD 交4于点 A（，35），点 D 的坐标为（ 0， 1）3（ 1）求直线AD 的解析式；（ 2）直线 AD 与 x 轴交于点B，如点 E 是直线 AD 上一动点（不与点B 重合），当 BOD 与 BCE 相像时，求点 E 的坐标44（ 2021 广西梧州市）在矩形ABCD 中， E 为 CD 的中点， H 为 BE 上的一点，交 AB 于点 G，连接 GE 并延长交AD 的延长线于点FEH=3，连接 CH 并延长BH（ 1）求证：ECEH

29、；BGBH精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 15 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -（ 2）如 CGF =90 °，求 ABBC的值45（2021 吉林省长春市） 如图在 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 的延长线上， 且 DF =BEEF与 CD 交于点 G（ 1）求证： BD EF （ 2）如 DGGC2 ， BE=4，求 EC 的长346（ 2021 宁夏）在矩形 ABCD 中， AB=3，AD =4，动点 Q 从点 A 动身，以每

30、秒 1 个单位的速度，沿 AB 向点 B 移动； 同时点 P 从点 B 动身， 仍以每秒 1 个单位的速度， 沿 BC 向点 C 移动， 连接 QP，QD ，PD 如两个点同时运动的时间为 x 秒（ 0 x3），解答以下问题：（ 1）设 QPD 的面积为S，用含 x 的函数关系式表示S；当 x 为何值时， S 有最大值？并求出最小值；（ 2）是否存在x 的值，使得QP DP？试说明理由47（ 2021 四川省广安市）在数学活动课上，老师要求同学在5× 5 的正方形ABCD 网格中（小正方形的边长为 1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB 或 AD 都不平行画四种图形

31、，并直接写出其周长（所画图象相像的只算一种）精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 16 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -48（ 2021 江西省）设抛物线的解析式为yax2，过点 B1 （ 1，0 ）作 x 轴的垂线，交抛物线于点A1（ 1，2 ）；过点 B2 （1， 0 ）作 x 轴的垂线，交抛物线于点A2 ，；过点Bn（ 1 n21 ，0 ）（ n 为正整数）作 x 轴的垂线，交抛物线于点An，连接AnBn 1，得直角三角形An Bn Bn 1 （ 1）求 a 的值；（

32、 2）直接写出线段An Bn， BnBn1 的长（用含n 的式子表示） ；（ 3）在系列RtAn Bn Bn 1中，探究以下问题：当 n 为何值时， RtAn Bn Bn1 是等腰直角三角形？设 1 k m n （k， m 均为正整数） ，问是否存在RtAk Bk Bk1 与 RtAm Bm Bm1 相像？如存在，求出其相像比；如不存在，说明理由49 （ 2021 陕西省）某市 为 了 打 造 森 林 城 市 ， 树 立 城 市 新 地 标 ， 实 现 绿 色 、 共 享 发 展 理 念 ， 在 城 南 建 起 了 “ 望 月 阁 ” 及 环 阁 公 园 小 亮 、 小 芳 等 同 学 想 用

33、 一 些 测 量 工 具 和 所 学 的 几 何知 识 测 量 “ 望 月 阁 ” 的 高 度 ，来 检 验 自 己 掌 握 知 识 和 运 用 知 识 的 能 力 他 们 经 过 观 察 发 现 ，观 测 点 与 “ 望 月 阁 ” 底 部 间 的 距 离 不 易 测 得 ， 因 此 经 过 研 究 需 要 两 次 测 量 ， 于 是 他 们 首 先用 平 面 镜 进 行 测 量 方 法 如 下 ： 如 图 ， 小 芳 在 小 亮 和 “ 望 月 阁 ” 之 间 的 直 线 BM 上 平 放 一平 面 镜 ， 在 镜 面 上 做 了 一 个 标 记 ， 这 个 标 记 在 直 线 BM 上

34、的 对 应 位 置 为 点 C ， 镜 子 不 动 ， 小 亮 看 着 镜 面 上 的 标 记 ，他 来 回 走 动 ，走 到 点 D 时 ，看 到 “ 望 月 阁 ” 顶 端 点 A 在 镜 面 中 的精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 17 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -像 与 镜 面 上 的 标 记 重 合 ， 这 时 ， 测 得 小 亮 眼 睛 与 地 面 的 高 度 ED =1 . 5 米 ， CD =2 米 ， 然 后 ， 在 阳 光 下 ， 他 们 用 测

35、 影 长 的 方 法 进 行 了 第 二 次 测 量 ， 方 法 如 下 ： 如 图 ， 小 亮 从 D 点 沿 DM 方 向 走 了 16 米 ，到 达 “ 望 月 阁 ” 影 子 的 末 端 F 点 处 ，此 时 ，测 得 小 亮 身 高 FG 的 影 长 FH =2. 5 米 ， FG =1 . 65 米 如 图 ，已 知 AB BM ， ED BM ， GF BM ，其 中 ，测 量 时 所 使 用 的 平 面 镜 的 厚 度 忽 略 不 计 ， 请 你 根 据 题 中 提 供 的 相 关 信 息 ， 求 出 “ 望 月 阁 ” 的 高 AB 的 长 度 50（ 2021 浙江省宁波市

36、）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，假如分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相像，我们把这条线段叫做这个三角形的完善分割线（ 1）如图 1，在 ABC 中， CD 为角平分线，A=40°， B=60°，求证： CD 为 ABC 的完善分割线（ 2）在 ABC 中， A=48°， CD 是 ABC 的完善分割线，且ACD 为等腰三角形，求ACB 的度数（ 3）如图 2， ABC 中， AC=2， BC=2 ， CD 是 ABC 的完善分割线，且ACD 是以 CD 为底边的等

37、腰三角形，求完善分割线CD 的长51（ 2021 浙江省杭州市）如图，在ABC 中，点 D， E 分别在边 AB ，AC 上， AED =B，射线 AG 分别交线段 DE ，BC 于点 F， G，且 ADDF ACCG（ 1）求证： ADF ACG ；（ 2）如 ADAC= 1 ，求 AF2FG的值精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 18 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -52 （ 2021浙江省湖州市）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形AB

38、CD（ BAD =120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且 60°角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB， AD 于点 E， F（不包括线段的端点） （ 1）初步尝试如图 1，如 AD =AB，求证： BCE ACF ， AE +AF =AC；（ 2）类比发觉如图 2，如 AD =2AB，过点 C 作 CH AD 于点 H，求证： A E=2FH ；（ 3）深化探究如图 3，如 AD =3AB，探究得：AE3 AF AC的值为常数t，就 t=53（ 2021 福建省莆田市）如正方

39、形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，就正方形称为三角形该边上的内接正方形，ABC 中，设BC=a， AC=b， AB=c，各边上的高分别记为ha ， hb ， hc ，各边上的内接正方形的边长分别记为xa ，xb ， xc （ 1）模拟探究：如图，正方形EFGH 为 ABC 的 BC 边上的内接正方形，求证：111 ；ahaxa精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 19 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -（ 2）特别应用：如BAC=90

40、°，x = x =2， 求 11 的值；bcbc（ 3）拓展延长：如ABC 为锐角三角形，b c，请判定xb 与 xc 的大小，并说明理由25（ 2021 贵州省铜仁市）如图，抛物线yax2bx1（ a0）经过 A（ - 1，0），B（ 2，0）两点，与y 轴交于点C（ 1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（ 2）点 P 在抛物线的对称轴上，当ACP 的周长最小时，求出点P 的坐标；（ 3） 点 N 在抛物线上，点M 在抛物线的对称轴上，是否存在以点N 为直角顶点的Rt DNM 与 Rt BOC相像，如存在，恳求出全部符合条件的点N 的坐标；如不存在，请说明理由54（ 2021 贵

41、州省黔东南州）如图，AB 是 O 的直径，点P 在 BA 的延长线上，弦CD AB，垂足为E，且PC2 =PE.PO （ 1）求证： PC 是 O 的切线（ 2）如 OE： EA =1： 2， PA=6，求 O 的半径精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 20 页，共 34 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -55（ 2021 湖南省怀化市）如图，ABC 为锐角三角形，AD 是 BC 边上的高，正方形EFGH 的一边 FG 在BC 上，顶点E、H 分别在 AB、AC 上，已知BC=40cm，

42、AD =30cm（ 1）求证： AEH ABC ；（ 2）求这个正方形的边长与面积56 （ 2021 湖南省邵阳市）尤秀 同 学 遇 到 了 这 样 一 个 问 题 ：如 图 1 所 示 ，已 知 AF ，BE 是 ABC的 中 线 ， 且 AF BE ， 垂 足 为 P ， 设 BC =a ， AC =b ， AB =c 求 证 ：222ab5 c 该 同 学 仔 细 分 析 后 ， 得 到 如 下 解 题 思 路 ：先 连 接 EF ，利 用 EF 为 ABC 的 中 位 线 得 到 EPF BPA ，故EPPFEFBPPABA1，设 PF = m ，2PE =n， 用 m， n 把 PA ， PB 分 别 表 示 出 来 ， 再 在 Rt APE ， Rt BPF中 利 用 勾 股 定 理 计 算 ，消 去 m ， n 即 可 得 证 （ 1） 请 你 根 据 以 上 解 题 思 路 帮 尤 秀 同 学 写 出 证 明 过 程 （ 2） 利 用 题 中 的 结 论 ， 解 答 下 列 问 题 ：在 边 长 为3 的 菱 形 ABCD中 ， O 为 对 角 线 AC ， BD的 交 点 ， E ， F 分 别 为 线 段 AO ， DO的中 点 ，连 接 BE ，CF 并 延 长 交 于 点 M ，B