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文档简介
1、四川省木里县中学高三数学总复习 数列经典例题精析 新人教A版类型一:叠加法求数列的通项公式1.求分别满足下列条件的数列的通项公式.(1),; (2),.思路点拨: 分析(1)题的结构,可以判断数列是等差数列,因此可以利用通项公式求解,(2)题的结构与(1)题相似,虽然不是等差数列,但可以利用等差数列的通项公式的推导过程中的方法(叠加法)求解.解析:(1),数列是等差数列,且首项为,公差为 .(2), 当时, , , , 将上面个式子相加得到: (), 当时,符合上式 故.总结升华:1. 在数列中,若为常数,则数列是等差数列;若不是一个常数,而是 关于的式子,则数列不是等差数列.2. 当数列的递
2、推公式是,可以利用叠加的方法求数列的通项公式.举一反三:【变式1】数列中,求通项公式.【答案】当时, ,将上面个式子相加得到:(),当时,符合上式故.【变式2】数列中,求通项公式.【答案】当时, ,将上面个式子相加得到:(),当时,符合上式故.类型二:叠乘法求数列的通项公式2.求分别满足下列条件的数列的通项公式.(1),; (2),.思路点拨: 分析(1)题的结构,可以判断数列是等比数列,因此可以利用通项公式求解,(2)题的结构与(1)题相似,虽然不是等比数列,但可以利用等比数列的通项公式的推导过程中的方法(叠乘法)求解.解析:(1),数列是等比数列,且首项为,公比为 .(2), 当时, ,
3、将上面个式子相乘得到: , (), 当时,符合上式 故.举一反三:【变式1】数列中,求通项公式.【答案】时,当时,符合上式【变式2】已知数列中,(nN+),求通项公式.【答案】由得, ,当时, 当时,符合上式类型三:变形为新的等差、等比数列求通项公式3.已知数列中, (),求的通项公式.解析:方法一:(), , , 令,则, 是首项为且公比为的等比数列, , 方法二: , -得: 成等比数列且公比为,首项, , 当时 . 当时,符合上式 总结升华:第一种解法通过两边同加一个数成为一个新的数列,这个新数列成等比数列.一般地,对已知数列的项满足,(为常数,),则可设得,利用已知得即,从而将数列转化
4、为求等比数列的通项,第二种方法利用了递推关系式的累差法.这两种方法均是常用的方法.举一反三:【变式1】已知数列中,求【答案】, ,令,则是首项为公比为的等比数列,【变式2】已知数列中,求【答案】令,则,即,为等比数列,且首项为,公比,故4数列中,,,求.思路点拨:对两边同除以得即可.解析:,两边同除以得, 成等差数列,公差为,首项, ,.总结升华:两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差,右边为一常数,这样把数列的每一项都取倒数,这又构成一个新的数列,而恰是等差数列.其通项易求,先求的通项,再求的通项.举一反三:【变式1】数列中,,,求.【答案】, ,成等差数列,公差为,首项, ,.
5、【变式2】已知数列满足,而且,求这个数列的通项公式.【答案】,设,则,即,数列是以为首项,3为公比的等比数列,.。类型四:与的关系式的综合运用5.数列满足,(1)用表示 ;(2)证明:数列是等比数列;(3)求和的表达式.思路点拨: 由推出和,要证明是等比数列,只需利用定义证明是常数,这需要探求与的关系,再由等比数列的前n项和反过来求或直接利用关系式求.解析:(1), 当时,即 当时 , , 所以.(2)证明:,,显然, (常数), 所以数列是等比数列,首项为,公比.(3)由(2)知:是以2为公比的等比数列,首项为, ,即, , 方法一: 方法二:数列的前n项和: , 即, . 方法三:, .总
6、结升华: 1. 把数列的递推公式进行适当的变形,使之出现熟悉的等差数列或者是等比数列,从而利用已知的通 项公式求出递推数列的通项公式.2. 正确掌握和理解和之间的关系是解这类题目的关键.举一反三:【变式1】已知数列,(1)设,证明是等比数列并求;(2)设,证明是等差数列并求.(3)求数列的通项公式.【答案】(1) ,当时,当时,即(),数列是等比数列,首项为,公比为.(2) 由(1)知: ,.,即,即,数列为首项,公差为的等差数列.(3) 由(2)知:,所以【变式2】在数列中,若存在常数,使得对任意的正整数,均有成立.(1)求的值;(2)求证是等差数列.【答案】(1)由已知得, 又,得或. 若
7、,则当时,即,得, 这与已知矛盾, 当时,得, ,.(2)由(1)知, , 解得,即. 所以, 即. 又因为(常数), 所以数列成等差数列.类型五:应用题6. 某单位用分期付款的方式购买一套设备,共需1150万元,购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款后的第10个月应该付多少钱?全部贷款付清后,实际花了多少钱?解析:因购设备时已付150万元,则欠款1000万元,依题意分20次付清, 则每次付款的数额顺次构成数列, (万元) (万元) (万元) (万元) (,) 数列是首项为,公差为的等
8、差数列. (万元),(万元) 20次分期付款总和为:(万元),实际共付1105+150=1255(万元) 答:第10个月付55.5万元,实际花1255万元.总结升华:存款、贷款与人民的生活休戚相关,解决此类问题常常转化为数列求解.7. 一工厂为提高产品质量、扩大再生产,需要征地、扩建厂房、购置新机器设备、改造旧设备、培训职工,因而需要大量资金.已知征地、农户拆迁费需40万元,新建厂房需100万元,购置新机器需60万元,旧设备改造及培训职工需15万元,而该厂现有资金125万元,但流动备用资金需40万元,厂内干部30人每人投资4000元,工人180人每人投资1000元(不计利息在每年年底利润中分红
9、),尚缺少的资金准备在今年年底向银行贷款,按照年利率9%的复利计算,若从次年年底开始分5年平均还清贷款及全部利息,那么该厂平均每年需还贷款多少万元(精确到0.1万元).思路点拨:本题涉及资金有以下几个方面:(1)扩大再生产急需资金40+100+60+15+40=255(万元)(2)已筹集资金125+0.4×30+0.1×180=155(万元)(3)需向银行贷款255-155=100(万元)(4)还款情况分析: 向银行贷款100万元从次年年底起5年后若一次还清应为100(1+0.09)5(万元) 根据该厂的实际情况实行分期付款从次年年底算起,连续5年每年向银行还相同的贷款,到
10、第5年底还完.解析:设该厂平均每年需还贷款x万元,则 第1年年底还款x万元到第5年年底应为x·1.094(万元); 第2年年底还款x万元到第5年年底应为x·1.093(万元); 第3年年底还款x万元到第5年年底应为x·1.092(万元) 第4年年底还款x万元到第5年年底应为x·1.09(万元) 第5年年底还款x万元仅本金x(万元) 于是得方程x(1.094+1.093+1.092+1.09+1)=100×1.095 所以 =100×1.095 由计算器可计算得x25.7(万元).总结升华:分期付款问题可视作分期存款,即从次年年底每年存
11、款x万元,按规定的利率,求得n年的本利和,然后向银行一次付清,这样就构成了以x万元为首项,1.09为公比的等比数列求前n项之和,从而列出方程,求出x.举一反三:【变式1】一个家庭为了给孩子将来上大学付学费,从孩子一出生起,每年到银行储蓄一笔钱,假设大学四年学费共需1万元,银行储蓄利率为月息4.725,每年按复利计算,为了使孩子到18岁上大学时本利共有1万元,他们每年要存入多少钱?(精确到1元)【答案】设每年存入a元,n年后本利和为. 从0岁到17岁共往银行存入18笔钱,故本利和为. 所以, 利用计算器,解得. 故每年需存款316元.【变式2】国家计划在西部地区退耕还林6370万亩,2001年底
12、西部已退耕还林的土地面积为515万亩,以后每年退耕还林的面积按12%递增。(1)试问从2001年底,到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划?(1.128=2.476,1.127=2.211)(精确到年)(2)为支持退耕还林工作,国家财政从2002年起补助农民当年退耕地每亩300斤粮食,每斤粮食按0.7元折算,并且补助当年退耕地每亩20元。试问:西部完成退耕还林计划,国家财政共需支付多少亿元?(精确到亿元)【答案】(1)设从2001年底起以后每年的退耕还林的土地依次为a1,a2,a3,an,万亩。 则a1=515(1+12%),a2=515(1+12%)2,an=515(1+12%)n, 515
13、×1.12×(1.12n1)=5855×0.12,即1.12n=2.218。 又nN*,当n=7时,1.127=2.211,此时完不成退耕还林计划, n=8 故到2009年底西部地区才能完成退耕还林计划。(2)设才政补助费为W亿元,则 W=(300×0.7+20)×(6370515)×104=134.7(亿元), 故西部完成退耕还林计划,国家财政共需支付134.7亿元。【变式3】某国产名牌彩电,每月销售量为a台,改进技术的新产品投放市场后预计第一月销售量的增长率为200,以后每月销售量的增长率为前一个月的一半.(1)当新产品投放市场3个月后,预计新产品的月销售量是老产品的多少倍?(2)由于国外企业参与竞争,国产新彩电实际月销售的增长率
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