人教A版必修2数学课时跟踪检测(十四)直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质

1、课时跟踪检测（十四） 直线与平面垂直的性质、 平面与平面垂直的性质层级一学业水平达标1.设 I 是直线，a， B是两个不同的平面（）A .若 I/ a,I/ 3,贝Uall3B.若I/a,I 丄3,贝Ua丄3C .若a丄3,I 丄a,贝VI 丄3D .若a丄3,Ila,贝VI 丄3解析：选 B 对于选项 A,两平面可能平行也可能相交；对于选项C ,直线 I 可能在3内也可能平行于3;对于选项 D,直线 I 可能在3内或平行于3或与3相交.2.已知平面a,3和直线 m , I ,则下列命题中正确的是（）A .若a丄3 aA 3=m , I 丄 m,则 I 丄3B.若aA 3=m,I?a,I 丄

2、m,贝yI 丄3C .若a丄3,I?a,贝VI 丄3D .若a丄3, aA 3=m , I?a, I 丄 m,贝VI 丄3解析：选 D 选项 A 缺少了条件：I?a；选项 B 缺少了条件：a丄3；选项 C 缺少了条件：aA 3=m , I 丄 m；选项 D 具备了面面垂直的性质定理的全条件.=CD,贝 U BD 与 CCi()A .平行?平面3,得 EF 丄 PQ.又 EG 与 EF 为相交直线,所以 PQ 丄平面 EFHG ,所以 PQ 丄 GH ,3.在四棱柱 ABCD-AiBiCiDi中，已知平面 AAiCiC 丄平面ABCD,且AB= BC , ADB.共面C.垂直D .不垂直解析：选

3、 C 如图所示,在四边形 ABCD 中，/ AB = BC ,CD.ABD 丄 AC.v平面 AAiCiC 丄平面 ABCD ,平面 AAiCiCA平面=AC , BD?平面 ABCD,ABD 丄平面 AAiCiC.又 CCi?平面 AAiCiC ,ABD丄 CCi,故选 C.4.如图，设平面aA平面3=PQ , EG 丄平面a,FH 丄平面分别为 G , H.为使PQ 丄 GH,则需增加的一个条件是A. EF 丄平面aB. EF 丄平面3C. PQ 丄 GED. PQ 丄 FH解析：选 B因为a, PQ?平面a,所以 EG 丄 PQ.若 EF 丄平面3,则由 PQABCDAD =故选 B.5

4、.设 m , n 是两条不同的直线,a,3丫是二个不同的平面，给出如下命题:若a丄B, aA 3=m, n?a,n 丄 m，贝Un 丄3；若a丄Y3-L Y贝U a/ 3；若a丄3,m 丄3m?a ,贝Um/ a；若a丄3m/ a,贝Um 3其中正确命题的个数为（）A. 1B.2C. 3D.4解析：选 B 根据平面与平面垂直的性质知正确；中，a, 3可能平行，也可能相交，不正确；中，a丄3,m 丄3,m?%时，只可能有 m /a,正确；中， m 与3的位置关系可能是 m /3或 m?3或 m 与3相交，不正确.综上，可知正确命题的个数为B.6.如图，平面 ABC 丄平面 ABD，/ ACB =

5、 90, CA = CB,AABD 是A正三角形，0 为 AB 中点，则图中直角三角形的个数为 _ .D解析：/ CA= CB, 0 为 AB 的中点， CO 丄 AB.又平面 ABC 丄平面 ABD，交线为 AB, CO 丄平面 ABD./ OD?平面 ABD , CO 丄 OD , COD 为直角三角形.所以图中的直角三角形有 AOC , COB, ABC , AOD , BOD , COD 共 6 个.答案：6解析：如图，连接 BC,又 BC ?3, AC 丄 BC , BC2= AB2- AC2= 3,又 BD 丄 CD , CD = BC2- BD2= 2答案：2l-3,点 Aa,A

6、C 丄 l , C 为垂足,B3,BD 丄 l , 为垂足，若 AB = 2 , AC= BD = 1 ,7.如图，直二面角(X则 CD 的长为二角面 a-l-3为直二面角,AC?a,且 AC 丄 l,. AC 丄38.已知 m,n 是直线,丫是平面，给出下列说法DaA 3=m,若 m 不垂直于a,则 m 不可能垂直于a内的无数条直线;若a/3aA =m,3AY=n,贝Um/n；若aA 3=m, n/ m 且 n ?a,n?3,贝Un/a且 n/3其中正确的说法序号是 _ (注：把你认为正确的说法的序号都填上) ).解析：错，垂直于交线，不一定垂直平面；对；错，凡是平面内垂直于m 的射影的直线

7、，m 都与它们垂直；对.答案：9.如图：三棱锥 P-ABC 中，已知 ABC 是等腰直角三角形，/ ABC = 90， PAC 是直角三角形，/ PAC= 90，/ ACP= 30，平面 PAC 丄平面 ABC. 求证：平面 PAB 丄平面 PBC.证明：平面 PAC 丄平面 ABC，平面 PACA平面 ABC = AC，PA 丄 AC，ABC.又 BC ?平面 ABC，： PA 丄 BC.又 AB 丄 BC，ABAPA= A，AB?平面 PAB，PA?平面 PAB， BC 丄平面 PAB.又 BC?平面 PBC，平面 PAB 丄平面 PBC.10.如图，边长为 2 的正方形 ACDE 所在的

8、平面与平面 ABC 垂直，AD 与 CE 的交点为 M，AC 丄 BC，且 AC= BC.求证：AM 丄平面 EBC;(2)求直线 EC 与平面 ABE 所成角正弦值.解：证明：平面 ACDE 丄平面 ABC，平面 ACDEA平面 ABC =AC，BC 丄 AC， BC 丄平面 ACDE.又 AM?平面 ACDE， BC 丄 AM.四边形 ACDE 是正方形， AM 丄 CE.又 BCACE = C，： AM 丄平面 EBC.取AB 的中点 F，连接 CF，EF./ EA 丄 AC，平面 ACDE 丄平面 ABC，平面 ACDEA平面 ABC = AC， EA 丄平面 ABC，： EA 丄 C

9、F.又 AC = BC，： CF 丄 AB./ EAAAB=A， CF 丄平面 AEB，/ CEF 即为直线 EC 与平面 ABE 所成的角.在 Rt CFE 中，CF =2，FE =6，PA丄平面3层级二 应试能力达标1.在圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上）,过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是A 相交D .相交或平行解析：选 B 圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行.可能相交、平行或异面，故错误；C 项，若 m?a, aA An,m/n,则 m/ B故错误;项，假设 m, n 垂直于同一平面，则必

10、有m/ n,所以原命题正确，故 D 项正确.3.设 m, n 是两条不同的直线，a, B是两个不同的平面.下列命题中正确的是（tan/ CEF =忒忒3.B.平行C 异面2. 已知 m, n 是两条不同直线,a, B是两个不同平面，则下列命题正确的是（a,B垂直于同一平面，则B.a,解析:m,选n 平行于同一平面，则B不平行，则在a内不存在 与B平行的直线 n不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面m 与 n 平行D A 项，a, B可能相交，故错误；B 项，直线 m, n 的位置关系不确定,A .若a丄Bm?a,n ?B,贝U m丄nB.若a / Bm?a,n ?B,贝Um /nC .若

11、 mn,m?a,n?B,则a_L BD .若 m a,m/n,n/B,则a_LB解析：选 DA 中m,n可能为平行、垂直、异面直线;m, n 可能为异面直线;C 中 m 应与B中两条相交直线垂直时结论才成立.4.在三棱锥 P-ABC 中，平面 PAC 丄平面正三角形，PC = 4, M 是 AB 边上的一动点，则ABC,/PCA=90,ABC是B.C. 4 3解析：选 B 连接 CM，则由题意 PC 丄平面 ABC，可得 PC 丄 CM，所以PM = PC2+ CM2,要求 PM 的最小值只需求出 CM 的最小值即可，在中，当 CM 丄 AB 时 CM 有最小值，此时有 CM = 423=2

12、,3 所以 PM的最小值为 27.5.如图，若边长为 4 和 3 与边长为 4 和 2 的两个矩形所在的平面互相垂直,CABC3贝yCOS a:COS3=_，解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2 5，所以 COSa=5=5, COS3*/254 29=2、5，所以 cosa: cos3=5 : 2.29答案：,5 : 26.经过平面a外一点和平面a内一点与平面a垂直的平面有 _ 个.解析：设面外的点为 A,面内的点为 B,过点 A 作面a的垂线 I,若点 B 恰为垂足，则 所有过 AB 的平面均与a垂直，此时有无数个平面与a垂直；若点 B 不是垂足，则 I 与点 B 确定唯一平面3满足

13、a丄3答案：1 或无数7.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的菱形，/ BCD = 120,平面 PCD 丄平面 ABCD , PC = a, PD = 2a, E 为 PA 的中点.求证:EDB 丄平面 ABCD .证明：设 ACABD = O,连接 EO，贝 U EO / PC.TPC=CD=a,PD= . 12a,2 2 2PC2+CD2=PD2, PC 丄 CD.平面 PCD 丄平面 ABCD，平面 PCD 门平面 ABCD = CD , PC 丄平面 ABCD , EO 丄平面 ABCD.又 EO ?平面 EDB ,故有平面 EDB 丄平面 ABCD.8.如图所示，在斜

14、三棱柱 A1B1C1-ABC 中，底面是等腰三角形,AC , D 是 BC 的中点，侧面 BB1C1C 丄底面 ABC.(1)求证：AD 丄 CC1；过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1的平面交侧棱于点 M，若 AM = MA1, 求证：截面 MBC1丄侧面BB1C1C;(3)若截面 MBC1丄平面 BB1C1C，贝 U AM = MA1吗？请叙述你的判断理由.解：( (1)证明：TAB= AC, D 是 BC 的中点， AD 丄 BC.底面 ABC 丄平面 BB1C1C，底面 ABCA平面 BB1C1C= BC ,AB =平面if AD 丄平面 BB1C1C.又 CCi?平面 BBiCiC,. AD 丄 CCi.证明：延长 BiAi与 BM 交于点 N，连接 CiN./ AM = MAi,NAi= A1B1.-AiCi= AiN = A1B1,.CiN 丄 BiCi,.CiN 丄侧面 BBiCiC.截面 MBCi丄侧