大学物理第八章静电场

1、(C)2q20S2(D)2qs20*第八章静电场8.1真空中有两个点电荷M、N,相互间作用力为F，当另一点电荷Q移近这两个点电荷时，M、N两点电荷之间的作用力(A) 大小不变，方向改变.(B)大小改变，方向不变.(C)大小和方向都不变.(D)大小和方向都改.C:8.2关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：(A) 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷.(B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零.(C) 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷.(D) 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电通量必不为零.D:8.3有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心0点a/2处，有

2、一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为(A) 乞.(B)3040(C)则两极板间则两极板间8.4面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量土q,若不考虑边缘效应，的相互作用力为2(A)(A)°s(B) 丄2°S8.5一个带正电荷的质点，在电场力作用下从A点经C点运动到B点，其运动轨迹如图所示.已知质点运动的速率是递增的，下面关于C点场强方向的四个图示中正确的是：D:8.6如图所示，直线MN长为2l，弧OCD是以N点为中心，I为半径的半圆弧，N点有正电荷+q,M点有负电荷-q.今将一试验电荷+q°从O点出发沿路径OCDP移到无穷远处，设无穷远

3、处电势为零，则电场力作功(A) Av0,且为有限常量.(B)A>0,且为有限常量.(C)A=s.(D)A=0.8.7静电场中某点电势的数值等于(A) 试验电荷q0置于该点时具有的电势能.(B) 单位试验电荷置于该点时具有的电势能.(C) 单位正电荷置于该点时具有的电势能.(D) 把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功.M点移到N点.有人根据8.8已知某电场的电场线分布情况如图所示.现观察到一负电荷从这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？(A)电场强度EmvEn.(B)电势UmvUn.(C) 电势能WmVWn.(D)电场力的功A>0.8.9电荷为+q和一2q的两个点电荷分别置

4、于x=1m和x=1m处.一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？解：设试验电荷置于x处所受合力为零，即该点场强为零.2qx26x+1=0,x32、2m因x32点处于q、2q两点电荷之间，该处场强不可能为零故舍去得x32、2m3分8.10如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电荷为q,试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度.爲(L+d-X)pdE*.解：设杆的左端为坐标原点向.带电直杆的电荷线密度为强：O,x轴沿直杆方=q/L,在x处取一电荷元dq=dx=qdx/L,它在P点的场dqdx2dE40LLE亠24°L°(Ldx)2方向沿x轴，即杆的延长线

5、方向.8.11一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，半部分均匀分布有电荷-Q,如图所示.试求圆心解：把所有电荷都当作正电荷处理.在处取微小电荷强按角变化，将dE分解成二个分量：对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷/2sin0总场强为dxqdx0LLdx2q40dLd沿其上半部分均匀分布有电荷O处的电场强度.dl=2Qd/。它在O处产生场+Q,沿其下dq=ExQ20R2sin/2Ey2Q20R2/2cosd0cosd/2Q0R2所以：EExiEyjQ20R2R的半圆形，电荷线密度为=0sinO处的电场强度.8.12带电细线弯成半径为R与x轴所成的夹角，如图所示.试求环心解：把所有电荷都当作正

6、电荷处理强，式中0为一常数，为半径.在处取微小电荷dq=dl=2Qd/,它在O处产生场dq4n0R2按角变化，将dE分解成二个分量：dEdEydEcos对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷所以ExEy12/2sindsin/20R2coscos/220R2ExiEyj8.13真空中两条平行的“无限长”均匀带电直线相距为a，其电荷线密度分别为一求：2分2分1分和+.试(1) 在两直线构成的平面上，两线间任一点的电场强度(选Ox轴如图所示，两线的中点为原点).(2) 两带电直线上单位长度之间的相互吸引力.解：(1)一根无限长均匀带电直线在线外离直线距离r处的场强为：E=/(2or)2分根据上

7、式及场强叠加原理得两直线间的场强为2a2，0a4x2a2，0a4x方向沿x轴的负方向(2)两直线间单位长度的相互吸引力F=E=2/(20a)2分8.14如图所示，一电荷面密度为的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的.试求该圆半径的大小.解：电荷面密度为的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为E=/(20)2分以图中O点为圆心，取半径为rtr+dr的环形面积，其电量为dq=2rdr它在距离平面为a的一点处产生的场强则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为aRrdr2；0a2r23/2由题意,令E=/(40)，得到r=,3a8.1

8、5真空中一立方体形的高斯面，边长a=0.1m,位于图中所示位置.已知空间的场强分布为：Ex=bx,Ey=0,Ez=0.常量b=1000N/(Cm).试求通过该高斯面的电通量.解：通过x=a处平面1的电场强度通量：1=-E1S1=-ba3通过x=2a处平面2的电场强度通量：2=E2S2=2ba31+2=2b其它平面的电场强度通量都为零.因而通过该高斯面的总电场强度通量为a3-ba3=ba3=1Nm2/CEx=bx,Ey=0,Ez=0.8.16图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为:高斯面边长a=0.1m，常量b=1000N/(Cm).试求该闭合面中包含的净电荷.(真空介电常数0=8

9、.85x10-12C2N-1m-2)解：设闭合面内包含净电荷为Q.因场强只有x分量不为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不为零.由高斯定理得：-E1S什E2S2=Q/0(S1=S2=S)则Q=0S(E2-E1)=0Sb(x2-X1)23-12=oba2（2aa）=oba3=8.85x1012C8.17实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E垂直于地面向下，大小约为100N/C;在离地面1.5km高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为25N/C.（1）假设地面上各处E都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；（2）假设地表面内电场强度为零，且地球表面处

10、的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度.（已知：真空介电常量0=8.85X10-12C2N-1m-2）解：（1）设电荷的平均体密度为，取圆柱形高斯面如图（1）（侧面垂直底面，底面S平行地面）上下底面处的场强分别为E1和E2，则通过高斯面的电场强度通量为："EdS=E2S-E1S=(E2-E1)S2分高斯面S包围的电荷刀qi=hS1分由高斯定理(E2E1)S=hS/01分10E2E1=4.43x1013C/m32分h（2）设地面面电荷密度为由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，取高1斯面如图（2）。由咼斯定理一edS=qi01-ESS0=0E=8.9

11、X10-10C/m38.18图示一厚度为d的"无限大”均匀带电平板，电荷体密度为.试求板内外的场强分布，并画出场强随坐标x变化的图线，即Ex图线（设原点在带电平板的中央平面上，Ox轴垂直于平板）.xE2E1E1S22x心平面两侧离中心平解：由电荷分布的对称性可知在中面相同距离处场强均沿x轴，大小相等而方向相反.在板内作底面为S的高斯柱面S1（右图中厚度放大了）两底面距离中心平面均为x则得E1x/0即E1x/0丄dx-d4分22在板外作底面为S的咼斯柱面S2两底面距中心平面均为x,由咼斯定理得E22SSd/0则得E2d/20xd2由咼斯定理得11即E2d/20xd,E2d/20xd22

12、Ex图线如图所示.2分8.19如图所示，一厚为b的"无限大”带电平板，其电荷体密度分布为=kx(Owxwb),式中k为一正的常量.求：(1) 平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小；(2) 平板内任一点P处的电场强度；(3) 场强为零的点在何处？解：(1)由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面.设场强大小为E.作一柱形高斯面垂直于平面.其底面大小为S,如图所示.按高斯定理EdSq/0，即S得到E=kb2/(40)(板外两侧(2)过P点垂直平板作一柱形高斯面，底面为得到E=kb2/(40)(板外两侧(2)过P点垂直平板作一柱形高斯面，底面为)，如图所示.

13、按高斯定理有得到kSxkSbEESxdx0020k2b2Ex(0wxwb)202S.设该处场强为20,E=0，必须是x8.20一球体内均匀分布着电荷体密度为可得xb/i2的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体挖去半径以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场E1,的同样大小的球体，求出电场E2，并令任意点的场强为在图中，以0点为球心,小.SE1dSE14d2E10=E1P=E1d30为r的一个小球体，球心为0，两球心间距离00d,如图所示.求:(1)在球形空腔内，球心O处的电场强度E。.(2)在球体内P点处的电场强度E.设0、0、P三点在同一直径上，且OPd.解：挖去电荷体密度为的小球，而另

14、在挖去处放上电荷体密度为-此二者的叠加，即可得E。E1E22分d为半径作球面为高斯面S,则可求出0与P处场强的大P点场强E2P(1)求0点的场强求P点的场强3r120d2E。.由图(a)、(b)可得dE0=E10=30Ep.由图(a)、(b)可得E2P方向如图(c)所示.EPE1PE2P303r2方向如(d)图所示.4d方向分别如图所示.在图(b)中，以0点为小球体的球心，可知在0点E2=0.又以0为心，2d为半径作球面为高斯面S可求得8.21如图所示，两个点3q,相距为d.试求:(1) 在它们的连线E0的点与电荷为+多远？(2) 若选无穷远处电荷之间电势U=0的的点电荷相距多远？解：设点电荷

15、q所在处x轴沿两点电荷的连(1)设E0的点则图电荷+q和一上电场强度q的点电荷相距电势为零，两点点与电荷为+q为坐标原点O,线.的坐标为x,图(c)图(d)q:3qi04°x2I40xd2可得2x22dxd20解出x112.3d另有解x21-.31d不符合题意,2舍去.设坐标x处U=0，则得d-4x=0,x=d/48.22图中所示为一沿x轴放置的长度为I的不均匀带电细棒，其电荷线密度为=0(x-a),0为一常量.取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势.解：在任意位置x处取长度元dx,其上带有电荷dq=0(x-a)dxO点总电势它在O点产生的电势dUaQa8.23电荷q均匀分布在长

16、为2l的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电势(设无穷远处为电势零点).解：设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示.细杆的电荷线密度=q/(2l),在x处取电荷元dq=dx=qdx/(2l)，它在P点产生的电势为dUpdq40laxqdx80llax整个杆上电荷在P点产生的电势Upqldx80lllaxq80lln2la8.24电荷q均匀分布在长为2l的细杆上，求杆的中垂线上与杆中心距离为a的P点的电势(设无穷远处为电势零点).解：设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所示.杆的电荷线密度=q/(2l).在x处取电荷元dq.dq=ldx=qdx/(2l)它在P点

17、产生的电势dUPdUPdqqdx/228°lax整个杆上电荷产生的电势22.2q.IIn-aI80la22.2q.IIn-aI80la亠in1124ola8.18两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为8.18两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为Ri=0.03m和R2=0.10m.已知两者的电势差为450V，求内球面上所带的电荷.解：设内球上所带电荷为知两者的电势差为450V，求内球面上所带的电荷.解：设内球上所带电荷为Q,则两球间的电场强度的大小为Q20r(RivrvR2)两球的电势差U12R2EdrRiR2drR1r2_Q1140R1R20R1R2U12R2R

18、1=2.14X10-9c8.25电荷以相同的面密度限远处电势为零，球心处的电势为(1)(2)解:(1)分布在半径为Uo=300V.r1=10cm和r2=20cm的两个同心球面上.求电荷面密度.若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？0=8.85X10-12C2/(Nm2)球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即r1r20U00-92=8.85X109C/m2r1r2设外球面上放电后电荷面密度为U0丄0，则应有1设无外球面上应变成带负电，共应放掉电荷4r2r1r20U0r2=6.67X10-9C8.26一空气平板电容器，极板A、B的面积都是S,极板间距离为d.接上

19、电源后，A板电势Ua=V,B板电势Ub=0.现将一带有电荷q、面积也是S而厚度可忽略的导体片C平行插在两极板的中间位置，如图所示,试求导体片C的电势.解：未插导体片时，极板A、B间场强为：E1=V/d插入带电荷q的导体片后，电荷q在C、B间产生的场强为:E2=q/(20S)2分则C、B间合场强为：E=E1+E2=(V/d)+q/(20S)2分因而C板电势为：U=Ed/2=V+qd/(2oS)/22分8.27如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q.沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为I，细线左端离球心距离为设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力

20、和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零).Fqr01dx40r0x2qI40心r°I方向沿x正方向.电荷元在球面电荷电场中具有电势能:整个线电荷在电场中具有电势能：dW=(qdx)/(40x)解：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在元在带电球面的电场中所受电场力为：整个细线所受电场力为：x处取线元dx,其上电荷为dqdx，该线dF=qdx/(4ox2)3分ro1dxr°x-In08.28一真空二极管，其主要构件是一个半径Ri=5X10-4m的圆柱形阴极A和一个套在阴极外的半径R2=4.5X10-3m的同轴圆筒形阳极B,如图所示阳极电势比阴极高300V，忽略边缘效应.求

21、电子刚从阴极射出时所受的电场力.(基本电荷e=1.6X10-19C)解：与阴极同轴作半径为r(RkrvR2)的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为.按高斯定理有2rE=/0得到E=/(20r)(R1VrvR2)2分方向沿半径指向轴线.两极之间电势差=4.37X10-14N2分BUaUbaEdrR2dr,R2In0R12分20R1r2得到UbUa所以EUbUa12分20InR2/InR2/R1r在阴极表面处电子受电场力的大小为UbUa1FeER1e2分cR2/R1R1方向沿半径指向阳极.5.29在强度的大小为E,方向竖直向上的匀强电场中，有一半径为R的半球形光滑绝缘槽放在光滑水平面上(如

22、图所示).槽的质量为M，质量为m带有电荷+q的小球从槽的顶点A处由静止释放.如果忽略空气阻力且质点受到的重力大于其所受电场力，求：(1) 小球由顶点A滑至半球最低点E时相对地面的速度；(2) 小球通过B点时，槽相对地面的速度；(3)小球通过B点后，能不能再上升到右端最高点C?解：设小球滑到B点时相对地的速度为v，槽相对地的速度为V.小球从AtB过程中球、槽组成的系统水平方向动量守恒，mv+MV=02分对该系统，由动能定理11mgREqR=mv2+MV2223分、两式联立解出vY'2MRmgqE2分mMm方向水平向右.V:'2mRmgqE1分MMm方向水平向左.1分小球通过B点后

23、，可以到达C点.1分8.30如图所示，在电矩为p的电偶极子的电场中，将一电荷为q的点电荷从A点沿半径为R的圆弧(圆心与电偶极子中心重合，R>>电偶极子正负电荷之间距离)移到B点，求此过程中电场力所作的功.解：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势3Upr/4or式中r为从电偶极子中心到场点的矢径.于是知A、B两点电势分别为q从A移到B电场力作功(与路径无关)为AqUaUbqp/2°R2.x2y2Inx(SI).求点(4,3,0)处的电场强度各8.31已知某静电场的电势函数U分量值.解：由场强与电势梯度的关系式得ExU=-1000V/m3分xEyU01分yEzU01

24、分z8.32如图所示，一半径为R的圆环，其上无规则地分布着电荷，已知总电荷为q试求圆环轴线上距离圆心0为x的P点处的电场强度的x分量.解：在圆环上的电荷不论如何分布，所有电荷与P点距离均相同，故P点电势q40R2则P点的场强的x分量为则P点的场强的x分量为ExdUdxqx40R223/2x8.33“无限长”均匀带电的半圆柱面,为，试求轴线上一点的电场强度.8.33“无限长”均匀带电的半圆柱面,为，试求轴线上一点的电场强度.半径为R,设半圆柱面沿轴线OO'单位长度上的电荷解:设坐标系如图所示将半圆柱面划分成许多窄条.解:设坐标系如图所示将半圆柱面划分成许多窄条.dl宽的窄条的电荷线密度为

25、取位置处的一条，它在轴线上一点产生的场强为如图所示.它在x、y轴上的二个分量为：dEx=dEsin,dEy=dEcos对各分量分别积分Ex0R0sin0R场强Ey220R0cosEExiEyj0R8.34一“无限长”圆柱面，其电荷面密度为：=0cos，式中为半径R与x轴所夹的角，试求圆柱轴线上一点的场强.解：将柱面分成许多与轴线平行的细长条，每条可视为“无限长”均匀带电直线，其电荷线密度为=ocosRd,它在O点产生的场强为：dE20R0cos0它沿x、y轴上的二个分量为:它沿x、y轴上的二个分量为:dEx=dEcos02cos00sincosd202cos2d00202020sind(sin

26、)0020Exi0i20dEy=dEsin=积分：ExEyE8.35一半径为R的带电球体,其电荷体密度分布为1分1分2分2分1分-qr4(rwR)(q为一正的常量)nR4=0(r>R)试求：(1)带电球体的总电荷；(2)球内、外各点的电场强度；(3)球内、外各点的电势.解：(1)在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的电荷为dq=dV=qr4r2dr/(R4)=4qr3dr/R4r则球体所带的总电荷为QdV4q/R4r3drq3分V0(2)在球内作一半径为r1的高斯球面，按高斯定理有2得E1qr14(rKR),E1方向沿半径向外.2分40R2在球体外作半径为r2的高斯球面，按高

27、斯定理有4r2E2q/o得E2(3)球内电势q30R球外电势RU2E2drr2得E2(3)球内电势q30R球外电势RU2E2drr24022qr；120R4qr240r2(r2>R),E2方向沿半径向外.3q4丄120RR3r1Rq40r2r2R8.36图示一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条件下,内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小.4abCba当内外导体间电势差为U时，电容器内外球壳上带电荷qa2解：球形电容器的电容电容器内球表面处场强大小为欲求内球表面的最小场强，令dE/da=0,则得到b*七a并有d2Eda2b/

28、2bUaba0可知这时有最小电场强度EminbUaba4UT8.37求：半径为R的“无限长”圆柱形带电体，其电荷体密度为=Ar(rwR),式中A为常量.试(1) 圆柱体内、外各点场强大小分布；选与圆柱轴线的距离为1(1>R)处为电势零点，计算圆柱体内、外各点的电势分布.解：(1)取半径为r、高为h的高斯圆柱面(如图所示).面上各点场强大小为E并垂直于柱面则穿过该柱面的电场强度通量为：为求高斯面内的电荷，rvR时，取一半径为r，厚dr、高h的圆筒，其电荷为dV2Ahr2dr则包围在高斯面内的总电荷为由高斯定理得2rhE2Ahr3/30(2)计算电势分布解出2EAr/30(rwR)5分r&g

29、t;R时，包围在咼斯面内总电何为：由咼斯定理2rhE2AhR3/30解出EAR3/30r(r>R)2分lRA21lAR3drrwR时UEdrrdrrr30R30rA33AR3,lR3r'ln3分9030RllAR3drAR3,lr>R时UEdrln2分rr30r30r8.38一电偶极子由电荷q=1.0X10-6C的两个异号点电荷组成，两电荷相距1=2.0cm把这电偶极子放在场强大小为E=1.0X105N/C的均匀电场中.试求：(1) 电场作用于电偶极子的最大力矩.(2) 电偶极子从受最大力矩的位置转到平衡位置过程中，电场力作的功.解：(1)电偶极子在均匀电场中所受力矩为Mp

30、E其大小M=pEsin=qlEsin当=/2时，所受力矩最大，4分(=0)过程中，电场力所Mmax=qlE=2X103Nm(2)电偶极子在力矩作用下，从受最大力矩的位置转到平衡位置作的功为00A/2MdqlE凱dqlE=2X10-3Nm4分第九章静电场中的导体9.1选无穷远处为电势零点，半径为R的导体球带电后，其电势为U0,则球外离球心距离为r处的电场强度的大小为r2u。心、u。(A)3.(B)0.rRRU0心U0(C)2.C:rr板面距离均为h的两点a、b之间的电势差为:(B) 2；(D)(D)h(C)o9.3 一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R.在腔内离球心的距离为d处(d<R),

31、固定(B)(B)q4od一点电荷+q,如图所示.用导线把球壳接地后，再把地线撤去选无穷远处为电势零点，则球心0处的电势为(A) 0.(C)q4oR9.4在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳内外的场强分布.如果将此点电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球壳内外的场强分布，则将发现：(A) 球壳内、外场强分布均无变化.(B) 球壳内场强分布改变，球壳外不变.(C) 球壳外场强分布改变，球壳内不变.(D) 球壳内、外场强分布均改变.B:9.5在一个孤立的导体球壳内，若在偏离球中心处放一个点电荷，则在球壳内、外表面上将出现感应电荷，其分布将是：(A) 内表面均匀，外表面也均匀.(B)

32、 内表面不均匀，外表面均匀.(C) 内表面均匀，外表面不均匀.(D) 内表面不均匀，外表面也不均匀.9.6当一个带电导体达到静电平衡时：(A) 表面上电荷密度较大处电势较高.(B) 表面曲率较大处电势较高.(C) 导体内部的电势比导体表面的电势高.(D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零.9.7如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷Q,在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q.设无限远处为电势零点，试求：(1) 球壳内外表面上的电荷.(2) 球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势.(3) 球心O点处的总电势.解：(1)由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q，外表面

33、上带电荷q+Q.(2)不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O点的距离都是a,所以由这些电荷在O点产生的电势为(3)球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在O点产生的电势的代数和9.8有一"无限大”的接地导体板，在距离板面b处有一电荷为q的点电荷.如图所示，试求:(1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布.(2) 面上感生电荷的总电荷.解：(1)选点电荷所在点到平面的垂足O为原点，取平面上任意点P,P点距离原点为r,设P点的感生电荷面密度为在P点左边邻近处(导体内)场强为零，其法向分量也是零，按场强叠加原理，EpEpqcos4nor2b2223/2

34、qb/2冗r2b21分(2)以O点为圆心，r为半径，dr为宽度取一小圆环面，其上电荷为rdr总电荷为QdSqbo2尹右q2分srb9.9如图所示，中性金属球A，半径为R,它离地球很远在与球心0相距分别为a与b的B、C两点，分别放上电荷为qA和qB的点电荷，达到静电平衡后，问：(1) 金属球A内及其表面有电荷分布吗？(2) 金属球A中的P点处电势为多大？(选无穷远处为电势零点)解：(1)静电平衡后，金属球A内无电荷，其表面有正、负电荷分布，净带电荷为零.(2)金属球为等势体，设金属球表面电荷面密度为dS0SAUpqA/aqB/a/409.10 三个电容器如图联接，其中C1=10X10-6F,C2

35、=5X10-6F,C3=4X10-6F，当A、B间电压U=100V时，试求：(1)(2)A、B之间的电容；当C3被击穿时，在电容C1上的电荷和电压各变为多少？解:(1)(C1C2)C3-6C12-3.16X106FC1C2C3(2)C1上电压升到U=100V，电荷增加到Q1C1U1X103C第十章静电场中的电介质10.1关于D的高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？(A) 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D为零.(B) 高斯面上处处D为零，则面内必不存在自由电荷.(C) 高斯面的D通量仅与面内自由电荷有关.(D) 以上说法都不正确.C:10.2 一导体球外充满相对介电常量为r的均匀电

36、介质，若测得导体表面附近场强为E,则导体球面上的自由电荷面密度为(A) 0E.(B)0rE.(C)rE.(D)(0r-0)E.:B:10.3 一平行板电容器中充满相对介电常量为r的各向同性均匀电介质.已知介质表面极化电荷面密度为土，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为：(A)一.(B).00r(C).(D).A:20r一平行板电容器始终与端电压一定的电源相联.当电容器两极板间为真空时，电场强度为E0,电位移为Do,而当两极板间充满相对介电常量为r的各向同性均匀电介质时，电场强度为E，电位移为D，贝y(A)EEo/r,DD°.(B)EE°,DrDo.(C)EEo/r,D

37、Do/r.(D)EE°,DDo.B10.5如图所示,一球形导体，带有电荷q,置于一任意形状的空腔导体中当用导线将两者连接后，则与未连接前相比系统静电场能量将(A)增大.(C)不变.(B)减小.(D)如何变化无法确定.B:10.6将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，断开电源.再将一块与极板面积相同的各向同性均匀电介质板平行地插入两极板之间，如图所示.则由于介质板的插入及其所放位置的不同，对电容器储能的影响为：(A) 储能减少，但与介质板相对极板的位置无关.(B) 储能减少，且与介质板相对极板的位置有关.(C) 储能增加，但与介质板相对极板的位置无关.(D) 储能增加，且与介

38、质板相对极板的位置有关.1O.7静电场中，关系式DoEP(A) 只适用于各向同性线性电介质.(B) 只适用于均匀电介质.(C) 适用于线性电介质.D:r，电荷体密度分布=k/r。(k为已知(D) 适用于任何电介质.io.8一半径为R的带电介质球体，相对介电常量为常量)，试求球体内、外的电位移和场强分布.解：取半径为rtr+dr的薄壳层，其中包含电荷应用D的高斯定理，取半径为r的球形高斯面.2r2球内：4冗r4冗k°rdr2冗krD1=k/2,D1D1?E1=D1/(0r)=k/(20r),E12R球外：4冗r2D24冗kr20dr2冗kR2D2kR2/2r2,D1=k/2,D1D1?

39、E1=D1/(0r)=k/(20r),E12R球外：4冗r2D24冗kr20dr2冗kR2D2kR2/2r2,E2D2/0kR2/20r2(?为径向单位矢量)E1?D2d2?,E2E2?10.9半径为R的介质球，相对介电常量为r、其体电荷密度=0(1r/R)，式中0为常量,r是球心到球内某点的距离.试求：(1) 介质球内的电位移和场强分布.(2) 在半径r多大处场强最大？解：(1)取半径为rtr+dr的薄壳层，其中包含电荷应用D的高斯定理，取半径为r的球形高斯面.则：rr234RDo,DD?rr2r=2R/3处E最大.0r34RdE01r(2)对E(r)求极值0dr0r32R得r=2R/3且因

40、d2E/dr2<0,r=2R/3处E最大.ED/0r，EE?，?为径向单位矢量10.10 一平行板电容器，极板间距离为10cm,其间有一半充以相对介电常量r=10的各向同性均匀电介质，其余部分为空气，如图所示当两极间电势差为100V时，试分别求空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量.(真空介电常量0=8.85X10-12C2N-1m-2)解：设空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量分别为D1、D2和Ej、E2，则U=E1d=E2d(1)D1=0E1(2)D2=0rE2(3)联立解得E1E2U1000V/md方向均相同，由正极板垂直指向负极板.10.11 一平行板空气电容器充电后，极板

41、上的自由电荷面密度=1.77X106C/m2.将极板与电源断开，并平行于极板插入一块相对介电常量为r=8的各向同性均匀电介质板.计算电介质中的电位移D场强E和电极化强度P的大小.(真空介电常量0=8.85X10-12C2/Nm2)解：由D的高斯定理求得电位移的大小为D=1.77X106C/m2由D=0rE的关系式得到场强E的大小为E=2.5X104V/m0r介质中的电极化强度的大小为P=0eE=0(r1)E=1.55X10-6C/m210.12 一导体球带电荷Q=1.0C,放在相对介电常量为r=5的无限大各向同性均匀电介质中求介质与导体球的分界面上的束缚电荷Q'.解：导体球处于静电平衡

42、时，其电荷均匀分布在球面上在球表面外附近，以球半径R作一同心高斯球面按D的高斯定理有4R2D=Q。E=D/(0r)=Q/(40一同心高斯球面按D的高斯定理有4R2D=Q。E=D/(0r)=Q/(40该处的电场强度大小为电极化强度的大小为P=0(r1)E得到电位移的大小为rR2)r1Q4rR2D=Q/(4R2)极化电荷面密度为=Pcos180°rQrR2分界面上的束缚电荷为Q=4R2LQ=-0.8Cr10.13半径为R,厚度为h(<<R)的薄电介质圆盘被均匀极化，极化强度P与盘面平行，如图所示求极化电荷在盘中心产生的电场强度E.解：建坐标如图.圆盘均匀极化，只有极化面电荷，

43、盘边缘处极化电荷面密度为=Pcosdq=Rdh=RhPcosddE=(dq)/(4oR2)dEx=dEcos(+),dEy=dEsin(+)由极化电荷分布的对称性可知EydEy=0EExdExEExdExdq40R2cosRhP22,hP2cosd40R204oR10.14一各向同性均匀电介质球，半径为R，荷，其体密度为0.求球内的束缚电荷体密度解：介质是球对称的，且o均匀分布，10.14一各向同性均匀电介质球，半径为R，荷，其体密度为0.求球内的束缚电荷体密度解：介质是球对称的，且o均匀分布，其相对介电常量为r,球内均匀分布有自由电和球表面上的束缚电荷面密度'.','也必为球对称分布.因而电场必为球对称分布用D的高斯定理可求得略去dr的高次项，则(与0异号)Pr?Pre0Rr10R,3r3re0rr0r与0同号.10.15如图所示，一平行板电容器，极板面积为S,两极板之间距离为d,中间充满介电常量、x按=0(1+)规律变化的电介质.在忽略边缘效应的情况下，试计算该电容器的电容.d解：设两极板上分别带自由电荷面密度土，则介质中的电场强度分布为Ed1分0d1x两极板