第5章典型机械系统建模

1、控制相关专业研究生选修课程系统建模方法马宏军东北大学 信息学院 控制理论与导航技术研究所2013年3月逸夫楼203第第5 5章章 典型机械系统的建模典型机械系统的建模 机械系统遍及工程技术和社会各个领域，除机械设备机械系统遍及工程技术和社会各个领域，除机械设备与装置外，还是构成其他复杂系统的基础和基本环节，如与装置外，还是构成其他复杂系统的基础和基本环节，如控制系统地执行机构、飞机舵面传动装置、导弹发射架、控制系统地执行机构、飞机舵面传动装置、导弹发射架、飞行模拟器的运动平台等。飞行模拟器的运动平台等。 这些系统建模目标多是建立这些系统建模目标多是建立选定参考坐标系下的系统运动方程和动力学方程

2、，属于选定参考坐标系下的系统运动方程和动力学方程，属于“白箱白箱”问题。因此，采用的建模方法不外乎是机理分析问题。因此，采用的建模方法不外乎是机理分析法或图解法，对复杂的机械系统还可能应用辨识方法。法或图解法，对复杂的机械系统还可能应用辨识方法。 在建模中，主要将利用牛顿力学定律、拉格朗日函数，在建模中，主要将利用牛顿力学定律、拉格朗日函数，并结合能量守恒原理及有关近似理论等。并结合能量守恒原理及有关近似理论等。 针对特殊的机械系统针对特殊的机械系统 机器人，其运动学及动力学机器人，其运动学及动力学分析的数学建模和仿真与传统的机械动态特性研究因其多分析的数学建模和仿真与传统的机械动态特性研究因

3、其多运动自由度特点，多体动力学理论基础在机器人运动动力运动自由度特点，多体动力学理论基础在机器人运动动力学分析中特别适用。学分析中特别适用。5.1 5.1 基于力学理论的机械系统建模基于力学理论的机械系统建模一、空间任意力系的平衡方程一、空间任意力系的平衡方程 由理论力学可知，空间任意力系平衡的必要和充分条由理论力学可知，空间任意力系平衡的必要和充分条件是：力系中所有各力在三坐标轴中每一轴上的投影和分件是：力系中所有各力在三坐标轴中每一轴上的投影和分别等于零，又这些力对于这些轴的力矩的代数和也分别等别等于零，又这些力对于这些轴的力矩的代数和也分别等于零。其数学表达式为：于零。其数学表达式为：

4、0)( , 0)( , 0)(0 , 0 , 0FmFmFmFFFozoyoxzyx二、牛顿第二定律数学表达式二、牛顿第二定律数学表达式 牛顿第二定律告诉我们，物体受外力作用时，所获得的加速度牛顿第二定律告诉我们，物体受外力作用时，所获得的加速度大小与合力大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合大小与合力大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。外力的方向相同。其数学表达式为：其数学表达式为： )2()( .2.2.2222 rrmFrrmFdtzdmFdtydmFdtxdmFdtdvmdtsdmmaFrzyx在极坐标系中有在极坐标系中有在直角坐标系下有在直角坐标

5、系下有h2mgF 2mg mg 2mg2mgF a2 例例 5.1 测量转动惯量实验装置测量转动惯量实验装置 如右图一个转动物体，它的质量如右图一个转动物体，它的质量为为m ,由两根垂直的绳索（无弹性）挂起，每根绳索的长度为由两根垂直的绳索（无弹性）挂起，每根绳索的长度为h，绳，绳索相距为索相距为2a。重心位于通过连接绳索两点的中点的垂线上，假设物。重心位于通过连接绳索两点的中点的垂线上，假设物体绕通过重心的垂直轴转一个小的角度，然后释放。求摆动周期体绕通过重心的垂直轴转一个小的角度，然后释放。求摆动周期T，物体通过重心的垂直轴转的转动惯量物体通过重心的垂直轴转的转动惯量J。 假设物体绕通过重

6、心的垂直轴假设物体绕通过重心的垂直轴转一个小的角度转一个小的角度 时，夹角时，夹角 和夹角和夹角 间存在下列关系间存在下列关系 ha 因此因此ha 注意，每根绳索的受力注意，每根绳索的受力F 的垂直的垂直分量等于分量等于mg/2。F 的水平分量为的水平分量为 mg /2。两根绳索的两根绳索的F 的水平分的水平分量产生扭矩量产生扭矩mg a 使物体转动。使物体转动。因此，摆动的运动方程为：因此，摆动的运动方程为： hamgamgJ 2. 或写成或写成02. JhmgaJ由此求得摆动周期为由此求得摆动周期为JhmgaT22 得到转动惯量得到转动惯量JhmgaTJ22 1. 隐含的假定隐含的假定2.

7、 系统的阶次？系统的阶次？3. 模型是否合理？模型是否合理？利用常识判断利用常识判断 4. 非线性的情况？非线性的情况？利用计算机辅助判断利用计算机辅助判断 5. 系统参数的获取系统参数的获取 例例5.25.2 单摆系统单摆系统 下图所示的单摆系统下图所示的单摆系统 为输入力矩、为输入力矩、 为输出摆角、为输出摆角、m为小球质量、为小球质量、L为摆长。为摆长。 根据力系平衡建立系统方程：根据力系平衡建立系统方程：)(tTi)(0t (t)mLL(t)mgSin (t)Ti020 这是一个非线性方程，根据这是一个非线性方程，根据Taylor级级数展开得：数展开得： !5!3503000Sin 当

8、当 很小时，高阶小数可以忽略，很小时，高阶小数可以忽略，则：则：00Sin 0 非线性系统方程可简化成线性系统方程非线性系统方程可简化成线性系统方程(t)T(t)mgL (t)mLi 00.20 mmgiT第一次作业！第一次作业！例例5.3 设一个弹簧、质量、阻尼系统设一个弹簧、质量、阻尼系统安装在一个不计质量的小车上，如下安装在一个不计质量的小车上，如下图所示。推导系统数学模型。图所示。推导系统数学模型。 假设假设t m , ,旋转角旋转角足够小，于是可以对运动方程做足够小，于是可以对运动方程做线性近似处理。这样，系统水平方向受力之和将为：线性近似处理。这样，系统水平方向受力之和将为：0 )

9、t (umlyM. 其中，其中，u( t )等于施加在小车上的外力，等于施加在小车上的外力，l 是质量到铰是质量到铰接点的距离。铰接点处的转矩之和为：接点的距离。铰接点处的转矩之和为：02 lgmmlyml. 选定两个选定两个2 阶系统的状态变量为：阶系统的状态变量为：), y, y()x,x,x,x(. 4321 将将a、b两式写成状态变量的形式，可得：两式写成状态变量的形式，可得：042 )t (uxmlxM.0342 gxxlx.(a)(b)(c)(d) 为得到为得到1阶微分方程组，解出式阶微分方程组，解出式（d）中的中的 , ,代入代入式（式（c c），并注意到），并注意到M m，则有

10、：，则有：.xl4)t (umgxxM. 32(e) 再解出式（再解出式（c）中的）中的 ，并代入式（，并代入式（d），可得：），可得：2.x034 )t (uMgxxMl. 于是，于是，4 4个个1 1阶微分方程为：阶微分方程为：)t (uMlxlgx,xx)t (uMxMmgx,xx.1 1 34.4332.21 系统状态方程则为：系统状态方程则为：uBAXX00010000000010l /gM/mgAMl/M/1010B4321xxxxX4321xxxxX1.验证（阶次、稳定性等）验证（阶次、稳定性等）2.拓展（非线性、忽略因素）拓展（非线性、忽略因素）3.参数确定（白箱实验）参数确定

11、（白箱实验）时域时域 频域指标反解频域指标反解5.2 能量法推导运动方程能量法推导运动方程一、功、能、功率一、功、能、功率 如果力被认为是努力的度量，那么功就是成就的度量，而能量如果力被认为是努力的度量，那么功就是成就的度量，而能量就是做功的能力。功的概念没有考虑时间的因素，就要引入功率的就是做功的能力。功的概念没有考虑时间的因素，就要引入功率的概念。概念。 功功 机械系统中的功等于力与力作用的距离的乘积（或力矩机械系统中的功等于力与力作用的距离的乘积（或力矩与角位移的乘积），力与距离要在同一方向上度量。与角位移的乘积），力与距离要在同一方向上度量。 设力设力 F 作用于作用于 a 至至 b

12、连接路径中运动的质点连接路径中运动的质点 m 上，那么上，那么 F 所所作的功可一般描述为作的功可一般描述为)(dzFdyFdxFFdsWzybaxba 能量能量 一般情况下，能量可以定义为做功的能力。机械系统一般情况下，能量可以定义为做功的能力。机械系统中能有中能有势能势能和和动能动能两种形式。两种形式。 功率功率是做功的速率，即：是做功的速率，即： dW 表示在表示在dt 时间间隔内所作的功。时间间隔内所作的功。tWPdd 功率功率二、二、 能量法推导运动方程能量法推导运动方程 能量法推导运动方程的根本就是能量法推导运动方程的根本就是能量守恒定律能量守恒定律。如果系统没。如果系统没有能量输

13、入和输出，我们从系统总能量保持相等这一事实出发来有能量输入和输出，我们从系统总能量保持相等这一事实出发来推导运动方程。推导运动方程。 例例5.7 如右图表示一个半径为如右图表示一个半径为R、质量为、质量为m的均质圆柱体，的均质圆柱体，它可以绕其转轴自由转动并通过一个弹簧与墙壁连接。假设圆柱它可以绕其转轴自由转动并通过一个弹簧与墙壁连接。假设圆柱体纯滚动而无滑动，求系统的动能和势能并导出系统运动方程。体纯滚动而无滑动，求系统的动能和势能并导出系统运动方程。 圆柱体的动能等于质心移动动能和绕质心转动的动能之和。圆柱体的动能等于质心移动动能和绕质心转动的动能之和。 .2 .22121 JxmT 动动

14、能能 系统由于弹簧变形所产生的势能为系统由于弹簧变形所产生的势能为221kxU 势能势能 系统总能量为系统总能量为2 .2 .2212121kxJxmUT kRx 考虑到圆柱体做无滑动的滚动，因此，考虑到圆柱体做无滑动的滚动，因此， 。并且注意到。并且注意到转动惯量转动惯量 J 等于等于 ，我们得到，我们得到 Rx 221mR2 .22143kxxmUT 考虑到考虑到能量守恒定律能量守恒定律，总能量为常数，即总能量导数为零，总能量为常数，即总能量导数为零，得到得到 0 23 23dd. xkxxmxkxxxmtUT 注意到，注意到， 并不总为并不总为0，因此，因此 必须恒等于必须恒等于0，即，

15、即 .xkxxm . 23032 0 23. xmkxkxxm或或 如果将以上方程转为转动运动，只要把如果将以上方程转为转动运动，只要把 代入得到代入得到 Rx 032 . mk能量不守恒怎么办！能量不守恒怎么办！R0(1,2,)iiiimiNFFa(1,2,)iiNrR() 0(1,2,)iiiiiimiNFFarR0(1,2,)iiiiNFr()0(1,2,)iiiiimiNFarR() 0(1,2,)iiiiiimiNFFar() () () 01,2,ixiiiiyiiiiziiiiFm xxFm yyFm zziN()0(1,2,)iiiiimiNFar12,NF FF12,Nrrr

16、12,nq qq12( , )iinq qq trr110NNiiiiiiimFrar11NniijjijQqFrjQ1niijjjqqrr1Niiiimar1111()0NNnNiiiiiiji ijiijijmQmqqrFrarr10(1,2, )Niji iijQmjnqrr1111()NnnNiii iji ijijjijjrrmqmqqq rr111()()Nii iijNNiiiii iiijjmqddmmdtqdtqrrrrrriijjqqrr函数，函数，仅为时间和广义坐标的仅为时间和广义坐标的和和jiiqtrr无无关关与与广广义义速速度度jq 1ddnjiiijjjjqqqtq

17、trrr广广义义速速度度1niiikkkqtqrrr221niiikkjjjkqqqtqqrrrkNkkjijijiqqqtqqt122ddrrrijq rddijtqr111()()NNNiiii iiii iiiijjjddmmmqdtqdtqrrrrrr1111()NNiiiii iiijjNNiiii iiijjdmmdtqqdmmdtqqrrrrrrrr2111111()()22NNNiii iiiiiiijjjjNiiijjTmmmvqqqqTmqq rrr rrr1Nii iijjjdTTmqdtqqrriijjqqrriijjddtqqrr10(1,2, )Niji iijQm

18、jnqrr1Nii iijjjdTTmqdtqqrr(1,2, )jjjdTTQjndtqqjjVQq d()djjjTTVtqqq 12( , )0,(j1,2, )njVVV q qq tnqd()()0djjjjTVTVtqqqqd()0djjLLtqq(1,2, )jn5.3 拉格朗日方程（多自由度系统）拉格朗日方程（多自由度系统） 将将 作为作为n个自由度系统的一套广义坐标，系统的运个自由度系统的一套广义坐标，系统的运动由动由n个微分方程表示，其中广义坐标是因变量，时间为自变量。个微分方程表示，其中广义坐标是因变量，时间为自变量。 令令 作为系统在任意瞬时的势能；作为系统在任意瞬时的

19、势能； 令令 作为系统在同瞬时的动能；作为系统在同瞬时的动能； 拉格朗日函数拉格朗日函数 定义为定义为niQxLxLtiii, 2 , 1 , )(dd . nxxx,21 ),(21nxxxV ),(.2.1.21nnxxxxxxT ),(.2.1.21nnxxxxxxL VTL 设广义坐标是独立的，令设广义坐标是独立的，令 是广义坐标的变分，是广义坐标的变分，非保守力（外力和摩擦力等）非保守力（外力和摩擦力等）在广义坐标上的虚功可以写成在广义坐标上的虚功可以写成nxxx ,21 iniixQW 1拉格朗日方程为拉格朗日方程为例例 5.85.8 系统如图所示，运用拉格朗日方程建立该系统的系统

20、如图所示，运用拉格朗日方程建立该系统的数学模型。数学模型。1c1k1M2c2k2M1y2yf解解: 选择选择y1，y2为广义坐标系，为广义坐标系，其系统动能和势能分别为其系统动能和势能分别为)(dd)(dd)(21212121 )(212121211.2.222.1.2.21.111.212221.222.211212221.222.21111yycfyLyLtyycycyLyLtyykykyMyMVTLyykykVyMyMT ；拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日函数拉格朗日函数 21222212222121.22122.21.2.222221212.21.21.2111.2.2122.2221

21、.2.21.112211.211 0 00 0)()()()()()(yyYfFkkkkkKcccccCMMMFKYYCYMfykykycycyMykykkycyccyMyycfyykyMyycycyykykyM其其中中：矩矩阵阵形形式式：转转换换得得型型直直接接得得到到系系统统的的数数学学模模由由上上述述拉拉格格朗朗日日方方程程可可例例 5.9 某行星滚动机构中有一质量为某行星滚动机构中有一质量为m，半径为，半径为 r 的实心圆柱在的实心圆柱在半径为半径为R，质量为，质量为M的圆筒内无滑动地滚动。已知圆柱和圆筒对轴的圆筒内无滑动地滚动。已知圆柱和圆筒对轴心心O的转动惯量分别为的转动惯量分别为

22、 , 圆柱对轴心圆柱对轴心O的转动惯量的转动惯量为为 ,建立圆筒绕其轴心转动时，该系统运动数学模型。建立圆筒绕其轴心转动时，该系统运动数学模型。 分析：该系统为两自由度系统。取广义坐标分别为圆筒转角分析：该系统为两自由度系统。取广义坐标分别为圆筒转角和圆柱轴心偏离角和圆柱轴心偏离角 。由于圆柱与圆筒间的运动是无滑动纯滚动，由于圆柱与圆筒间的运动是无滑动纯滚动，故在接触点故在接触点A处它们具有相同的线速度：处它们具有相同的线速度： 。 系统动能系统动能T为圆柱滚动和圆筒转动所具有的动能为圆柱滚动和圆筒转动所具有的动能2/2mrrrRRvA )(. 2.22.2222.22.22)(4)(2124

23、1)(212 RrRmrRmMRmrrRmMRT Mg ROAOr 22)(MRrRm和和 系统的动力为重力，圆筒的势能等于零。系统的动力为重力，圆筒的势能等于零。 则系统的势能为则系统的势能为 cos)(rRmgV 于是有拉格朗日函数于是有拉格朗日函数 cos)()(4)(2122.22.22rRmgRrRmrRmMRVTL 代入拉格朗日方程有代入拉格朗日方程有 0sin2)(30)()2(. gRrRrRmRmM 即为该行星滚动机构的运动数学模型。即为该行星滚动机构的运动数学模型。例例 5.10 用拉格朗日方程建立图示用拉格朗日方程建立图示系统运动的微分方程，用系统运动的微分方程，用1、2

24、和和x作为广义坐标，以矩阵的形式写出作为广义坐标，以矩阵的形式写出微分方程。微分方程。 解：系统在任意时刻的动能为解：系统在任意时刻的动能为2.22.221.1212121xmIIT 系统在同一时刻的势能为系统在同一时刻的势能为mgxrrkrxkV 22121)22(321)(21 拉格朗日函数为拉格朗日函数为VTL mgxkrkrkrkrkrxkxxmIIL 212222212212122.22.221.11266 2121212121 利用拉格朗日方程可得利用拉格朗日方程可得01213 02212.1111. krxkrkrILLdtd 01212 0212.222.2 krkrILLdt

25、d mgFxkkrkrkrkrkrkrxmIImgFkxkrxmFxLxLdtd000012121213000000 212222.2.1211. 以以矩矩阵阵的的形形式式写写出出为为5.4 5.4 机器人静力分析与动力学机器人静力分析与动力学 计算机技术的不断进步和发展使机器人技术的发展计算机技术的不断进步和发展使机器人技术的发展一次次达到一个新水平。上至太空舱、宇宙飞船，下至微一次次达到一个新水平。上至太空舱、宇宙飞船，下至微机器人、深海开发，机器人技术已拓展到全球经济发展的机器人、深海开发，机器人技术已拓展到全球经济发展的诸多领域，成为高科技中极为重要的组成部分。人类文明诸多领域，成为高

26、科技中极为重要的组成部分。人类文明的发展、科技的进步已和机器人的研究、应用产生了密不的发展、科技的进步已和机器人的研究、应用产生了密不可分的关系。人类社会的发展已离不开机器人技术，而机可分的关系。人类社会的发展已离不开机器人技术，而机器人技术的进步又对推动科技发展起着不可替代的作用。器人技术的进步又对推动科技发展起着不可替代的作用。 1818世纪瑞士世纪瑞士的写字偶人的写字偶人哈工大爬壁机器人哈工大爬壁机器人爬缆索机器人爬缆索机器人仿人机器人仿人机器人北航仿生鱼北航仿生鱼管道机器人管道机器人 排雷机器人排雷机器人 “索杰纳索杰纳”火星车火星车 引导机器人引导机器人 工业机器人工业机器人 机器人

27、，特别是其中最有代表性的关节型机器人，机器人，特别是其中最有代表性的关节型机器人，实质上是由一系列关节连接而成的空间连杆开式链机构。实质上是由一系列关节连接而成的空间连杆开式链机构。要研究机器人，就必须对其运动学和动力学有一个基本的要研究机器人，就必须对其运动学和动力学有一个基本的了解。了解。 稳态下研究的机器人运动学分析只限于静态位置问稳态下研究的机器人运动学分析只限于静态位置问题的讨论，未涉及机器人运动的力、速度、加速度等动态题的讨论，未涉及机器人运动的力、速度、加速度等动态过程。实际上，机器人是一个复杂的动力学系统，机器人过程。实际上，机器人是一个复杂的动力学系统，机器人系统在外载荷和关

28、节驱动力矩系统在外载荷和关节驱动力矩( (驱动力驱动力) )的作用下将取得静的作用下将取得静力平衡，在关节驱动力矩力平衡，在关节驱动力矩( (驱动力驱动力) )的作用下将发生运动变的作用下将发生运动变化。机器人的动态性能不仅与运动学因素有关，还与机器化。机器人的动态性能不仅与运动学因素有关，还与机器人的结构形式、质量分布、执行机构的位置、传动装置等人的结构形式、质量分布、执行机构的位置、传动装置等对动力学产生重要影响的因素有关。对动力学产生重要影响的因素有关。 机器人动力学主要研究机器人运动和受力之间的关系，机器人动力学主要研究机器人运动和受力之间的关系，目的是对机器人进行控制、优化设计和仿真

29、。机器人动力目的是对机器人进行控制、优化设计和仿真。机器人动力学主要解决动力学正问题和逆问题两类问题：动力学正问学主要解决动力学正问题和逆问题两类问题：动力学正问题是根据各关节的驱动力题是根据各关节的驱动力( (或力矩或力矩) )，求解机器人的运动，求解机器人的运动( (关节位移、速度和加速度关节位移、速度和加速度) )，主要用于机器人的仿真；动，主要用于机器人的仿真；动力学逆问题是已知机器人关节的位移、速度和加速度，求力学逆问题是已知机器人关节的位移、速度和加速度，求解所需要的关节力解所需要的关节力( (或力矩或力矩) )，是实时控制的需要。，是实时控制的需要。 本节首先通过实例介绍与机器人

30、速度和静力有关的雅本节首先通过实例介绍与机器人速度和静力有关的雅可比矩阵，在机器人雅可比矩阵分析的基础上进行机器人可比矩阵，在机器人雅可比矩阵分析的基础上进行机器人的静力分析，讨论动力学的基本问题，对机器人的动态特的静力分析，讨论动力学的基本问题，对机器人的动态特性作简要论述，以便为机器人编程、控制等打下基础。性作简要论述，以便为机器人编程、控制等打下基础。一、一、 机器人雅可比矩阵机器人雅可比矩阵 机器人雅可比矩阵机器人雅可比矩阵( (简称雅可比简称雅可比) )揭示了操作空间与关揭示了操作空间与关节空间的映射关系。雅可比不仅表示操作空间与关节空间节空间的映射关系。雅可比不仅表示操作空间与关节

31、空间的速度映射关系，也表示二者之间力的传递关系，为确定的速度映射关系，也表示二者之间力的传递关系，为确定机器人的静态关节力矩以及不同坐标系间速度、加速度和机器人的静态关节力矩以及不同坐标系间速度、加速度和静力的变换提供了便捷的方法。静力的变换提供了便捷的方法。 1 1、机器人雅可比的定义、机器人雅可比的定义 在机器人学中，雅可比是一个把关节速度向量在机器人学中，雅可比是一个把关节速度向量 变换变换为手爪相对基坐标的广义速度向量为手爪相对基坐标的广义速度向量v 的变换矩阵。在机器的变换矩阵。在机器人速度分析和静力分析中都将用到雅可比，现通过一个例人速度分析和静力分析中都将用到雅可比，现通过一个例

32、子来说明：子来说明： q 下下图为二自由度平面关节型机器人图为二自由度平面关节型机器人(2R(2R机器人机器人) )，端点，端点位置位置X X、Y Y与关节与关节1 1、2 2的关系为：的关系为：112 12112 12ccssXllYll1212( ,)( ,)XXYY 即图图5.1 二自由度平面关节型机器人简图二自由度平面关节型机器人简图将其微分得22112211dYdYdYdXdXdX即212121ddYYXXdYdX2121YYXXJ令可将上式简写为 JddX 21 d dddYdXdX；式中： J 称为图示2R机器人的速度雅可比，它反映了关节空间微小运动d与手部作业空间微小位移dX

33、的关系。若对式 J 进行运算，则图示2R机器人的雅可比可写为112 122 12112 122 12l sl sl sl cl cl cJ从从J 中元素的组成可见，中元素的组成可见，J 阵的值是关于阵的值是关于1 1及及2 2的函数。的函数。5.25.1Tnq ,q ,q 21qiiq 推而广之，对于n自由度机器人，关节变量可用广义关节变量q表示， ，当关节为转动关节时 ；当关节为移动关节时 ， 反映了关节空间的微小运动。机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿X表示，它是关节变量的函数，X=X(q)，并且是一个6维列矢量。 反映了操作空间的微小运动，它由机器人末端微小线位移和微小角

34、位移(微小转动)组成。因此，式5.1可写为：iidq Tndq,dq,dqd 21qTZYX,dZ,dY,dXdXqqJXd)(d 式中：J(q)是6n维偏导数矩阵，称为n自由度机器人速度雅可比，可表示为：5.3 nZZZnYYYnXXXnnnTq.qqq.qqq.qqqZ.qZqZqY.qYqYqX.qXqX)(212121212121qXqJ5.4 2 2、机器人速度分析、机器人速度分析 利用机器人速度雅可比可对机器人进行速度分析。对利用机器人速度雅可比可对机器人进行速度分析。对式式( (5.35.3) )左、右两边各除以左、右两边各除以dt 得得 dtd)(dtdqqJX.)(qqJXv

35、 或或表表示示为为5.55.6 q q 式中：v为机器人末端在操作空间中的广义速度； 为机器人关节在关节空间中的关节速度；J(q)为确定关节空间速度 与操作空间速度v 之间关系的雅可比矩阵。 式中：右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度；右边第二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度；总的端点速度为这两个速度矢量的合成。因此，机器人速度雅可比的每一列表示其他关节不动而某一关节运动产生的端点速度。 对于图5.1所示2R机器人而言，J(q)是式(5.2)所示的22矩阵。若令J1，J2分别为式(5.2)所示雅可比的第1列矢量和第2列矢量，则式(5.6)可写为：2.1.21JJv1211( )

36、f t22( )ft1qJv式中：J1称为机器人逆速度雅可比。图图5.15.1所示二自由度机器人手部的速度为：所示二自由度机器人手部的速度为： 假如已知的 及 是时间的函数，即 ， ，则可求出该机器人手部在某一时刻的速度v=f (t)，即手部瞬时速度。 反之，假如给定机器人手部速度，可由式(5.6)解出相应的关节速度为：5.721222122111122112211211221221112212211 clclclslslslclclclslslslyX)()(vvv例例 5.115.11 如图5.2所示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0 轴正向以1.0m/s的速度移动，杆长l1=l2=0

37、.5 m。设在某瞬时1=30，2=60，求相应瞬时的关节速度。 图5.2 二自由度机械手手爪沿X0 方向运动示意图112 122 12112 122 12ssscccllllllJ解解 由式由式(5.2)(5.2)知，二自由度机械手速度雅可比为知，二自由度机械手速度雅可比为因此，逆雅可比为因此，逆雅可比为2 122 121112 12112 121 22cs1ccssslllllll lJ1JvT1,0v12 122 12112 12112 121 22210cs1ccssslllllll l 12112c1rad/s2 rad/ss0.5l 11221212cc4 rad/sssll由式由式

38、(5.7)(5.7)可知，可知，且，且，即，即vX=1m/s，vY=0，因此，因此二、机器人动力学方程二、机器人动力学方程 机器人动力学的研究有牛顿机器人动力学的研究有牛顿- -欧拉法、拉格朗日法、高欧拉法、拉格朗日法、高斯法、凯恩法及罗伯逊斯法、凯恩法及罗伯逊- -魏登堡法等。本节介绍动力学研魏登堡法等。本节介绍动力学研究常用的牛顿究常用的牛顿- -欧拉方程和拉格朗日方程。欧拉方程和拉格朗日方程。 1 1、 欧拉方程欧拉方程 欧拉方程又称为牛顿欧拉方程又称为牛顿- -欧拉方程，应用欧拉方程建立机欧拉方程，应用欧拉方程建立机器人机构的动力学方程是指：研究构件质心的运动使用牛器人机构的动力学方程

39、是指：研究构件质心的运动使用牛顿方程，研究相对于构件质心的转动使用欧拉方程。欧拉顿方程，研究相对于构件质心的转动使用欧拉方程。欧拉方程表征了力、力矩、惯性张量和加速度之间的关系。方程表征了力、力矩、惯性张量和加速度之间的关系。 质量为m、质心在C点的刚体，作用在其质心的力F的大小与质心加速度aC 的关系为 cmaF 式中：F、aC为三维矢量。式(2.21)称为牛顿方程。 5.8 欲使刚体得到角速度为、角加速度为的转动，则作用在刚体上力矩M的大小为 (5.95.9) 式中：M、均为三维矢量； 为刚体相对于原点通过质心C并与刚体固结的刚体坐标系的惯性张量。式(5.95.9)即为欧拉方程。 在三维空

40、间运动的任一刚体，其惯性张量 可用质量惯性矩IXX、IYY、IZZ和惯性积IXY、IYZ、IZX为元素的33阶矩阵或44阶齐次坐标矩阵来表示。通常将描述惯性张量的参考坐标系固定在刚体上，以方便刚体运动的分析。这种坐标系称为刚体坐标系(简称体坐标系)。IIMccIcIc 2 2、 拉格朗日方程拉格朗日方程 在机器人的动力学研究中，主要应用拉格朗日方程在机器人的动力学研究中，主要应用拉格朗日方程建立起机器人的动力学方程。这类方程可直接表示为系统建立起机器人的动力学方程。这类方程可直接表示为系统控制输入的函数，若采用齐次坐标，递推的拉格朗日方程控制输入的函数，若采用齐次坐标，递推的拉格朗日方程也可建

41、立比较方便而有效的动力学方程。也可建立比较方便而有效的动力学方程。 对于任何机械系统，拉格朗日函数对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总定义为系统总动能动能Ek与总势能与总势能Ep之差，即之差，即L=Ek Ep (5.10) d()diiiLLtqqF1,2,in 由拉格朗日函数由拉格朗日函数L所描述的系统动力学状态的拉格朗所描述的系统动力学状态的拉格朗日方程为日方程为 (5.11) 式中：式中：n为连杆数目；为连杆数目；qi 为系统选定的广义坐标，为系统选定的广义坐标，Fi为作用在第为作用在第i个坐标上的广义力或力矩个坐标上的广义力或力矩。 3 3、 平面关节机器人动力学分析平面关节机

42、器人动力学分析 机器人是一个非线性的复杂动力学系统。动力学问题机器人是一个非线性的复杂动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，简化的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，简化解的过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的解的过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。机器人动力学问题有两时间是一个受到关注的研究课题。机器人动力学问题有两类：类： (1) (1) 给出已知的轨迹点上的给出已知的轨迹点上的 、 及及 ，即机器人关即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量。这对。

43、这对实现机器人动态控制是相当有用的。实现机器人动态控制是相当有用的。 (2) (2) 已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。也就是说，给出关节力矩向量的运动。也就是说，给出关节力矩向量，求机器人所产，求机器人所产生的运动生的运动 、 及及 ，这对机器人的运动模拟是非常有用这对机器人的运动模拟是非常有用的。的。例例 5.125.12 以图以图5.35.3的的二自由度机器人二自由度机器人为例，推导机器人动为例，推导机器人动力学方程力学方程。图图5.3 5.3 二自由度机器人动力学方程的建立二自由度机器人动力学方程的建立第第1 1步、选定广义关节变量及广义力步、选定广义关节变量及广义力 选取笛卡儿坐标系。连杆选取笛卡儿坐标系。连杆1 1和连杆和连杆2 2的关节变量分别的关节变量分别是转角是转角1 1和和2 2，关节，关节1 1和关节和关节2 2相应的力矩是相应的力矩是1 1和和2 2。连杆。连杆1 1和连杆和连杆2 2的质量分别是的质量分别是m1和和m2，杆长分别为，杆长分别为l 1和和l 2，质心，质心分别在分别在k1和和k2处，离关节中心的距离分别为处，离关节中心的距离分别为p1和和p2。111sXp111cYp 222111 1XYp2112 12ssXlp