工科数学分析第十章课件

1、一阶微分方程求解§10.3§3.1可分离变量的微分方程g( y)dy =f ( x)dx(1)可分离变量的微分方程- 44= 2 x2 y 5dyÞ y 5dy = 2 x 2dx.例如dxy = j( x) 是分析:设函数 f ( x )和g( y )是连续的,方程(1)的解,则g(j(=f ( x)dx两端ò= òg(j(f ( x)dx利用 y = j( x)作代换,引入变量y, 则ò g( y)dy = ò f ( x)dxG( y) = F ( x) + C方程(1)的解满足关系式 (2).(2)于是说明:反之:如

2、果 y = j( x) 是由关系式(2)确定的隐函数,由隐函数求导法可知,当g( y) ¹ 0时,j'( x) = F '( x) =f ( x)G'( y)g( y)所以 y = j( x)表明 y = j( x) 满足方程(1),是方程(1)的解.f ( x ), g( y )连续, g( y ) ¹ 0.解法在上面的假设条件下,通过两端ò g( y)dy = ò f ( x)dx得到的关系式G( y) = F ( x) + C隐式通解就是方程(1)的隐式解.dy = 2xy 的通解.例1求解微分方程dxdy = 2 xdx,

3、解分离变量yò dy = ò 2 xdx,两端yln | y |= x 2 + C12 y = Ce x 为所求通解.衰变速度 dM ,解dM由题设条件dtdM= -ldt= -lM(l > 0衰变系数)Mdtò dM = ò - ldt,ln M = -lt + ln C ,即M = Ce -lt ,M= Ce 0 = C ,= M0得 M代入Mt =00e -lt M = M衰变规律0某车间体积为12000立方米, 开始时空气中例3含有0.1%的CO2 , 为了降低车间内空气中CO2 的含量, 用一台风量为每分2000立方米的鼓风机通入含0.0

4、3%的CO2的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内CO2的百分比降低到多少?设鼓风机开动后 t 时刻 CO2的含量为x(t )%在t , t + dt 内,CO2的通入量 = 2000 × dt × 0.03, CO2的排出量 = 2000 × dt × x(t ),解CO2的改变量CO2的排出量CO2的通入量12000dx = 2000 × dt × 0.03- 2000 × dt × x(t ),-1tdx1= -( x - 0.03),Þ x = 0.0

5、3 + Ce,6dt6-1tÞ x = 0.03 + 0.07e C = 0.07,= 0.1,6Q x |t =0-1x |t =6 = 0.03 + 0.07e» 0.056,6分钟后, 车间内CO2的百分比降低到0.056%.思考题求解微分方程 dy + cos x - y = cos x + y .dx22思考题解答dy + cos x - y - cos x + y = 0,dx22dy= - sin x dx,dy +xyòy2sinò2sinsin= 0, 222dx2= 2cos x + C ,lncsc y - cot y为所求解.22

6、2齐次方程§3.2形如 dy =y的微分方程称为齐次方程.1.定义f ()dxxy ,2. 解法作变量代换 u =即 y = xu,xdy = u + x du ,dy = udx + xdu,dxdxu + x du = f (u),代入原式dxdu = f (u) - u .可分离变量的方程即dxxdu分离变量,f (u) - udu（j(u) = ò）x = Cej(u) ,即f (u) - uyyj()将 u =代入,x得通解 x = Ce.x例1求解微分方程yy( x - y cos)dx + x cosdy = 0.xyx解令u =则dy = xdu + udx

7、x( x - ux cos u)dx + x cos u(udx + xdu) = 0,cos udu = - dx ,sin u = - ln | x | +C ,x微分方程的解为sin y = - ln | x | +C .x§3.3可化为齐次的方程ax + by + c形如 dy =1.定义f ()的微分方程a1 x + b1 y + c1dx当c = c12.解法= 0时, 为齐次方程. 否则为非齐次方程.令x = X + h,（其中h和k是待定的常数）y = Y + kdx = dX ,dy = dYaX + bY + ah + bk + ca1 X + b1Y + a1h

8、 + b1k + c1dY=f ()dXìah + bk + c = 0,ía h + b k + c = 0,î11a a11bb1D =¹ 0,有唯一一组解.(1)ì X = x - h,f ( aX + bYdY=)得通解代回ía X + b YdXîY = y - k，11D = 0,= 0时,未必有解, 上述方法不能用.(2)a1与b中必至少有一个为零.当b1若 b = 0,可分离变量的微分方程.dy = 1 ( dz - a),令 z = ax + by,若 b ¹ 0,a = 0,1dxb dxf (

9、 z + c )1 ( dz - a) =可分离变量的微分方程.b dxc1令a1 = b1= l,当b ¹ 0时,1abax + by + c方程可化为 dy = f (令 z = ax + by,),l(ax + by) + c1dxz + clz + c1则 dz = a + b dy1 ( dz - a) =). 可分离变量.f (dxdxb dx求 dy = x - y +1 的通解.例2x + y - 3dxQ D = 1 - 1 = 2 ¹ 0,解11方程组ìh - k + 1 = 0Þ h = 1, k = 2,íh + k -

10、 3 = 0,î令 x = X + 1, y = Y + 2.代入原方程得dY = X - Y ,令u = YX + YdXXdu = 1 - u ,u + X分离变量法得方程变为1 + udXX 2(u2 + 2u - 1) = c,即Y 2 + 2 XY - X 2= C ,将 X = x - 1,Y = y - 2 代回得原方程的通解( y - 2)2 + 2( x - 1)( y - 2) - ( x - 1)2 = C ,或 x2 + 2 xy - y2 + 2 x + 6 y = C .1小结dy =yf ().齐次方程dxx令 u =y .齐次方程的解法x令 x = X

11、 + h, y = Y + k.直接使用变量代换简化计算可化为齐次方程的方程思考题+ y 2 (t )dt = xy( x)xò2 y(t ) +t 2方程0可否化为齐次方程?思考题解答方程两边同时对 x 求导:+ y2 = y + xy¢,2 y +x2æ y ö2yxy¢ =1 + ç+xy¢ =+ y2 + y,x2÷,è x ø原方程是齐次方程.§3.4一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:dy + P( x) y = Q( x)dxdy例如= y + x 2 ,dx =

12、 x sin t + t 2 ,线性的;dxyy¢ - 2 xy = 3,dty¢ - cos y = 1,非线性的.当Q( x) º 0,当Q( x) º 0,上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.一阶线性微分方程的解法dy + P( x) y = 0.1. 线性齐次方程dx(使用分离变量法)dy = - P( x)dx,ò dy = -ò P( x)dx,yyln | y |= -ò P( x)dx + ln C1 ,y = Ce -ò P ( x )dx .齐次方程的通解为dy + P( x) y = Q(

13、x).2. 线性非齐次方程dxQ dy = éQ( x) -ùP( x)úûdx,讨论êëyyln y = ò Q( x)òdx -两边P( x)dx,y设 ò Q(x)dx为u(x),ln y = u( x) - ò P( x)dx,y即 y = eu( x )e-ò P ( x )dx .非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比: C Þ u( x)常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质: 未知函数的变量代换.新未知函数 u( x) Þ 原未知函

14、数y( x),y = u( x)e-ò P ( x )dx作变换y¢ = u¢( x)e -ò P ( x )dx+ u( x)- P( x)e -ò P ( x )dx ,u¢( x)e-ò P ( x )dx将y和y¢代入原方程得= Q( x),u( x) = ò Q( x)eò P ( x )dxdx + C ,得一阶线性非齐次微分方程的通解为:y = ò Q( x)eò P ( x )dxdx + C e-ò P ( x )dx= Ce-ò P (

15、 x )dx + e-ò P ( x )dx× ò Q( x)eò P ( x )dxdx对应齐次方程通解非齐次方程特解求方程 y¢ + 1 y = sin x 的通解.例1xxQ( x) = sin x ,P( x) = 1 ,解xx- ò 1 dx æöò 1 dxsin xç òdx + C ÷y = e× exxç÷xèøæösin x-ln xln x= e×dx + Cç &

16、#242;÷exèø= 1 (ò sin xdx + C )= 1 (- cos x + C ).xx§3.5伯努利方程Jacob Bernoulli（ 1654 1705）许多数学成果与雅各布的名字相。悬链线问题（1690年）， 曲率半径公式（1694年），“伯努利双纽线”（1694年）， “伯努利微分方程”（1695年）， “等周问题”（1700年）等。伯努利(Bernoulli)方程的标准形式dy + P( x) y = Q( x) yl(l¹ 0,1)dx当l= 0,1时当l¹ 0,1时方程为线性微分方程.方程为非线

17、性微分方程.解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.y-l dy + P( x) y1-l = Q( x),两端除以yl，得dx则 dz = (1 - l) y-l dy令z = y1-l,dxdxdz + (1 - l)P( x)z = (1 - l)Q( x),代入上式dx求出通解后，将 z = y1-l 代入即得y1-l = z= e-ò(1-l) P ( x )dx (ò Q( x)(1 - l)eò (1-l) P ( x )dxdx + C ).求方程 dy - 4 y = x2y 的通解.例 1dxx11dy - 4y = x2 ,两端除以y ，得解

18、2y dxx2 dz - 4 z = x 2 ,令 z =y ,dxxö24 æ xæ xö即 y = x+ C ÷ .ç解得 z = x2ç+ C ÷,è 2øè 2ø例21.用适当的变量代换解下列微分方程:2 yy¢ + 2 xy2 = xe-x2 ;则 dz = 2 y dy ,令 z = y2 ,解dxdx dz + 2 xz = xe - x2 ,dxz = e-ò 2dx + C 2( x2y2 = e- x+ C ).所求通解为2dy =1- y ;2.x sin 2 (