第一章极限及连续课题三函数极限的计算

1、第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算【授课时数授课时数】 总时数：6 学时.【学习目标】【学习目标】 1、知道无穷小和无穷大的定义； 2、会用无穷小的性质、极限的四则运算法则、无穷大与无穷小的关系、两个重要极限求函数的极限。【重、难点】【重、难点】 重点：无穷小与无穷大的定义、极限的四则运算法则和两个重要极限，由观察函数的变化趋势引出。 难点：正确求解函数的极限和左右极限，由实例讲解方法。第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算1定义定义

2、极限为零的变量称为无穷小量，简称极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小无穷小.例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时时的的无无穷穷小小是是当当数数列列 nnn第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算而而, 01sinlim2xx.2sin时的无穷小不是当函数xx注意注意（1）无穷小是以极限为零的变量）无穷小是以极限为零的变量,不能与很不能与很（2）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变）说一个函数是无穷小，必须

3、指明自变量的变小的常数混淆小的常数混淆;（3）常数中只有零是无穷小）常数中只有零是无穷小.化趋势；化趋势；第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算2运算性质运算性质定理定理 在自变量同一变化过程中在自变量同一变化过程中,(1) 有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小;(2) 有限个无穷小的乘积仍是无穷小有限个无穷小的乘积仍是无穷小;(3) 无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小.推论推论 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数

4、极限的计算求下列极限 例例11),(lim. 10是常数nNnxnx解解.00lim0是无穷小时当，xxxx. 0lim)2(0nxx知由无穷小的性质第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算求下列极限 例例11),(1lim. 2是常数nNnxnx解解.101lim是无穷小时当x，xxx. 0)1(lim1lim)2(nxnxxx知由无穷小的性质第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算求下列极限 例例11)111lim(. 323xxxx解解.11,123都是无穷小和时xxx，x. 0)111(lim) 1 (23xx

5、xx知由无穷小的性质第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算求下列极限 例例1122sinlim. 4xxx解解不存在虽然xxxx2sinlim,01lim2)2sin(1|2sin|是有界函数即但xx . 0)2sin1(lim2sinlim22xxxxxx第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算思考题思考题5301arctanlimxxx求极限解解,0lim30 xx2|1arctan|5x且. 01arctanlim530 xxx第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算3无穷

6、小与有极限函数的关系无穷小与有极限函数的关系第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算oxyxy1第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算特殊情形：正无穷大特殊情形：正无穷大(或负无穷大或负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;)(lim20认为极限存在）切勿将（xfxx.1,0,是无穷大时当例如xyx.ln0是无穷大时当x，yx必须指明

7、的是）说一个函数是无穷大（，3.自变量的变化趋势第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算22)(1,)0(1)(,xxfxxfx是无穷小时当例如.;亦然反之是无穷大， 意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算求下列极限 例例223lim. 1xx解解01,01lim33xxx且.lim3xx2lim. 2xx解解01,01lim22xxx且.lim2xx第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极

8、限的计算下面我们再来看一个现象下面我们再来看一个现象有观察下表都是无穷小时当,3 ,02xxxx 极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.03lim) 1 (20 xxx;032的速度要快得多趋近于比 xx203lim)2(xxx;032的速度要慢得多趋近于比xx313lim) 3(0 xxx.03的速度快慢相仿趋近于与 xx第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算；记作高阶的无穷小是比，则称若)(,0lim) 1 ()(0oxxx定义定义,)(,0的无穷小或都是设xxx;, 0lim)3()(0是同阶的无穷小与则

9、称若Cxxx., 1记作是等价无穷小与则称若，C ;lim)()(0低阶的无穷小是比，则称若xxx第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算，03lim20 xxx，1) 1(21lim21xxx;302高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比时时，当当xxx 是等价无穷小与时，当) 1(2112xxx由无穷小比较的定义知由无穷小比较的定义知)0()3(2xxox即) 1() 1(212xxx即第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算思考题思考题.1112相比的阶数与判断无穷小时当xx，x解解, 02111lim21xxx,11

10、,12相比是同阶无穷小与时当xxx.但不是等价无穷小第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算. )0lim( ,)(_)(lim. 200 xxxxAxfAxf其中,)(,. 3是无穷大如果在自变量的同一过程中xf练习题练习题._是无穷小则.1coslim. 40 xxx0)(1xf0第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算BAxgxfxgxfxxxxxxxxx)(lim)(lim)()(lim2)()()(000法则BAxgxfxgxfxxxxxxxxx)(lim)(lim)()(lim1)()()(000法则)0(

11、)(lim)(lim)()(lim3)()()(000BBAxgxfxgxfxxxxxxxxx法则法则1和法则2可推广到有限个函数情形.第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim1)()(00 xfcxfcxxxxxx推论)()(lim)(lim2)()(00Znxfxfnxxxnxxx推论第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算1.1.531lim232xxxx解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5liml

12、im3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 求下列极限 例例33第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得2.2.3214lim21xxxx.3214lim21 xxxx第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算解解3.3.

13、321lim221xxxx.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(约去零因子法约去零因子法)第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算4.4.147532lim2323xxxxx解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147

14、532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小分出法无穷小分出法)第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算5.5.3422lim223xxxxx解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x323223342211lim3422limxxxxxxxxxxx(无穷小分出法无穷小分出法)02113420211342lim332332xxxxx，xxxxxx且而3422lim223xxxxx故(无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系)第一章第一章 极限与

15、连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算小结小结: :为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分子分母中自变量的最高次幂除以分子分母中自变量的最高次幂除分子分子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算 例例44)21(lim222nnnnn求解解求不能用法则是无限多个无穷小之和时1,n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)

16、1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算 例例55xxxsinlim求解解,1,为为无无穷穷小小时时当当xx .sin 是有界函数是有界函数而而x. 0sinlim xxx(不能用函数极限的四则运算法则2来求! )第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算 例例66).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx求设解解两两个个单单侧侧极极限限为为是是函函数数的的分分段段点点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1

17、)1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算(1)(1)123131311n解解将下列各式化成分数 例例77123131311n)3131311(lim12nn31311)(1limnn23第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算(2)(2)35.0解解将下列各式化成分数 例例7735 .0003. 0003. 003. 05 .

18、01 . 0103. 05 . 030121158第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算思考题思考题xxxxxxxxsincos2lim223求极限解解xxxxxxxxcos2sinlim232xxxxxxxcos112sin11lim22xxxxxxxxxxcos1lim1lim2sin1lim1lim2200cos112sin1122xxxxxx且xxxxxxxxsincos2lim223第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算._1arctanlim. 420 xxx._33lim. 132xxx._11lim

19、. 231xxx._5) 3)(2)(1(lim. 33nnnnn练习题练习题._12324lim. 5424xxxxxx.)21.41211 (lim. 6nn53510342第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算-10-8-6-4-20246810-0.4-0.200.20.40.60.81有时当的图象作出，xxxxy0,10,10,sinxxysin第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算1)()(sinlim:)2(0 xfxfx扩展)0)(xf2sinlim,0sinlim:)4(2xxxxxx比较1sin

20、lim0 xxx型特征00:)1 (11sinlim:)3(xxx变形第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算1 1xxx3sin4sinlim0解解xxxxx33sin344sin4lim0原式xxxxxx33sinlim44sinlim340034求下列极限 例例 第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算2 2xxxxtancos1lim0解解xxxxxsincos2sin2lim20原式xxxxxxsincos)2(2sinlim21220 xxxxxxxxsinlimcoslim22sinlim21002011

21、121221求下列极限 例例 第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算3 3xxx23coslim23解解xxx23)23sin(lim23原式求下列极限 例例 xxx23)23sin(lim231第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算4 4xxx|sinlim0解解求下列极限 例例 1sinlim)sin(lim|sinlim000 xxxxxxxxx1sinlim|sinlim00 xxxxxx不存在故xxx|sinlim0第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算有且时当,

22、00a，x和等价无穷小的定义知由重要极限1,sinaxax,tanaxax,2)(cos12axax,arcsinaxax.arctanaxax等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理存在若时或当)(00lim,)(xxxxxx.limlim),()()(00 xxxxxx则或第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算 例例99xxxcos12tanlim20求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式8 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个

23、无穷小因子作等价无则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限穷小代换，而不会改变原式的极限第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换. 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换换，对于代数和中各无穷小不能分别代换. .注意注意 例例1010 xxxxarcsinsin) 1(lim0求解解.arcsin,sin,0 xxxxx时时当当xxxx)1(lim0 原原式式1)1(lim0 xx第一章第一章 极限与连续极限与

24、连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算 例例1111xxxx2sinsintanlim30求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当30)2(limxxxx 原原式式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式161错错 第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算.,)11 (时的变化趋势当我们列表观察xxyx第一章第一章 极限与连续极限与连续 课题三课题三 函数极限的计算函数极限的计算exfxfxxx)()()(11 lim:)2(0扩展)(xf),(1)11 (lim:)4(为常数比较nNnxnxexxx)11(lim型特征1:)1 (exxx10)1 (lim:) 3(变形第一章第一章 极