第二章控制系统的数学模型

1、方块图的简化等效变换信号流图及Masons Gain Formula程向红12015-10-10方块图和信号流图第二章系统的数学模型n 2.1 引言n 2.2 时域数学模型n 2.3 频域数学模型n 2.4 信号流图与梅逊公式PP P22015-10-10方块图和信号流图方块图的等效变换原则，变换前后各变量之间的传递函数保持不变。串联并联三种基本形式反馈三种基本形式的等效法则一定要掌握。（1）串联连接R(s)U1 (s)U2 (s)C(s)C(s)R(s)FG (s)G (s)G (s)123环节的串联连接32015-10-10方块图和信号流图2.4.4 方块图的简化等效变换G(s)特点：前一

2、环节的输出量就是后一环节的输入量。U1(s) = G1(s) R(s)U2(s) = G2(s) U1(s)= G2(s) G1(s) R(s)C(s)R(s)C(s)= G3(s) U2(s)= G3(s) G2(s) G1(s) R(s)C(s) = G (s)G (s)GC(s)(s) = G(s)123R(s)nG(s) = ÕGi (s)i=1n为相串联的环节数结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。42015-10-10方块图和信号流图G(s)R(s)U1 (s)U2 (s)C(s)G1 (s)G3 (s)G2 (s)（1）串联连接C (s)C(s)1R(s)

3、FR(s)C (s)2C(s)C3 (s)环节的并联连接特点：各环节的输入信号是相同的，均为R(s)， 输出C(s)为各环节的输出之和。52015-10-10方块图和信号流图（2）并联连接G3 (s)G2 (s)G(s)G1 (s)C (s)1C(s)= C1(s)+ C2(s)+ C3(s)R(s)C2 (s)C(s)= G1(s) R(s)+ G2(s)R(s)+ G3(s)R(s)= G1(s) + G2(s)+ G3(s)R(s)C (s)3C(s) = G (s) + GF(s) + G (s) = G(s)123R(s)nG(s) = åi =1n为相并联的环节数，当然还

4、有“-”的情况。G (s)i62015-10-10方块图和信号流图结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。并联连接G3 (s)G2 (s)G1 (s)R(s)E(s)R(s)C(s)FG(s)±环节的反馈连接72015-10-10方块图和信号流图B(s)H(s)G(s)1 m G(s)H (s)C(s)（3）反馈连接（4）比较点和分支点（引出点）的移动在移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。比较点移动示意图 C(s)=R(s)G(s)±Q(s) C(s)= R(s)± Q(s)G(s

5、) C(s)= R(s)G(s)± Q(s)G(s) H缩小à放大2015-10-10 H放大à缩小8方块图和信号流图C(s) = R(s) ± Q(s) G(s)G(s)R(s)C(s)G(s)±Q(s)G(s)R(s)C(s)±Q(s) 1G(s)GG(ss)比较点前移比较点后移R(s)C(s)±比较点后移Q(s)HG(s)R(s)C(s)±比较点前移HQ(s)G(s)HH R(s) C(s)=R(s)G(s) 右左 C(s)=R(s)G(s) 缩小à放大放大à缩小92015-10-10方块

6、图和信号流图R(s) = R(s)G(s)1= R(s)G(s)R(s)C(s)R(s) 1G(s)G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)G(s)分支点后移分支点前移R(s)C(s)C(s)分支点（引出点）前移G(s)R(s)C(s)R(s)分支点（引出点）后移G(s)分支点移动示意图用方块图的等效法则，求系统的传递函数C(s)/R(s)。 例2-10 解：求解思路是把图中的点A先前移至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下。= G2 G3+ G4G5串联和并联G5G4BR(s)AC(s)CG3G2-1G2G5102015-10-10方块图和信号流图H1H2G1

7、G7G5 = G2 G3+ G4串联和并联G6R(s)C(s)-G5C(s) = G(s) =G7G=反馈公式G G61 + G H1 + GR(s)527+ G HG GG GG=1G H G+ G5 H 2 + G1 H1G21 + G G H G+ G HG5112015-10-10方块图和信号流图-1G5H1G2H2G5G1例2-10续G7G6R(s)C(s)-C(s) = G(s) =G71 + G7R(s)+ G )G GG (G G=1 + G H+ G H G+ G1G51 + (G2G3 + G4 )(G1+ H2 ) + G1H1G2122015-10-10方块图和信号流图

8、-1G5H1G2H2G5G1例2-10续将例 下图系统方块图简化。R1sC2I2 (s)U(s)U (s)I (s)Ur (s)1C1c1-（c）方块图简化提示： 分支点A后移（放大->缩小） 比较点B前移（放大->缩小） 比较点1和2交换。132015-10-10方块图和信号流图例2-11AUc (s)CR1UC (s)B11sC21R21sC11R1简化提示： 分支点A后移（放大->缩小） 比较点B前移（放大->缩小） 比较点1和2交换。U (s)U (s)-rc 121R C s22-Uc (s)U (s)rU (s)U (s)rc方块图的简化过程2015-10-

9、1014方块图和信号流图Ur (s)-11Uc (s)12RC s-1-2 B AR11R R C C s2 + (RC + R C + RC )s +11212112212 1(R1C1s +1)(R2 C2 s + 1)R1C2s 1R1C1 sR1C2s 1 C1s 1 R2例2-11续C2 s2.4.5 信号流图和梅逊公式（S·J·Mason）方块图是一种很有用的图示法。对于复杂的系统，方块图的简化过程仍较复杂，且易出错。Mason提出的信号流图，既能表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便地写出系统的传递函数。因此，信号流图在广泛地应用。2.4.5.1信号流图

10、中的术语工程中也被a12增益x1x2因x2 = a12 x1果节点输出方向152015-10-10方块图和信号流图Output node(Sink) 输入节点:具有输出支路的节点。图中的x1 。 输出节点（阱，坑）:仅有输入支路的节点。 混合节点:既有输入支路又有输出支路的节点。图中的x2, x3, x4。162015-10-10方块图和信号流图有时信号流图中没有一个节点是仅具有输入支路的。只要定义信号流图中任一变量为输出变量，然后从该节点变量引出一条增益为1的支路，即可形成一输出节点，如图中的x5信号流图中的术语Mixed nodea53a32input nodea43a1(source)a

11、1244235x1xaxax4ax5x61223334445a24a25 前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益 用pk表示。 x1Ò x2Ò x3Ò x4Ò x5 x1Ò x2Ò x4Ò x5 x1Ò x2Ò x5a12 a23 a34 a45= p1a12 a24a12 a25a45 = p2= p3172015-10-10方块图和信号流图Mixed nodea53input nodea32aa4

12、3(source)a441x12235x1 1x2a23x3a344 x4 a45x56a24a25信号流图中的术语a53Mixed node信号流图中的术语aa32·input node (source)1 1· 回路(闭通路):起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。···343a44a451··a5x512·· 2· ···xxa34·x4x36x·a4·22·3·a24a25x2Ò x3

13、Ò x2L1= a23a32L2= a24a43a32L3= a34a43x2Ò x4Ò x3Ò x2 x3Ò x4Ò x3x2Ò x5Ò x3Ò x2回路中所有支路的乘积称为回路增益，用La表示。不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。x2Ò x4 Òx5Ò x3Ò x2x Ò x Òx Ò x3453x4Ò x4182015-10-10方块图和信号流图1）信

14、号流图适用于线性系统。2）支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只 能沿支路上的箭头指向传递。3）在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支路。4）具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有增益的支路把它作为输出节点来处理。5）对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的，由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。192015-10-10方块图和信号流图信号流图的性质 由微分方程绘制Þs方程，这与画方块图差不多。G2由系统方块图绘制。G1G11R3CeeG221G4-HU(s)U (s)R(s)C(s)A2BG1G3BAA21UA (s)GG421

15、HRG3G111e2ee1解： 用小圆圈表示各变量对应的节点。在比较点之后的引出点A1, A2，只需在比较点后设置一个节点便可。也即可以与它前面的比较G4-H在比较点之前的引出点B，需设置两个节点，分别表示引出点和比较点，注意图中的e1, e2。证明20点共用一个节点R。2015-10-10方块图和信号流图例2-12信号流图的绘制书例2-18，见书P55 画出下图所示系统方块图的信号流图。= U(s)G2 (s) + UB (s) ¹ U（BUA (s)s）A21UA (s)2R(s)C(s)BAA2G4212015-10-10方块图和信号流图1UA (s)1HG3G1BG2U (s

16、)证明Masons gain formula式中 P: 系统总增益（总传递函数）k: 前向通路数P k:第k条前向通路总增益D: 信号流图特征式，它是信号流图所表示的方程组的系数矩阵的行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是D ，变化的只是其D=1-å L(1)+ å L(2) -å L(3)+¼+(-1)m å L(m)å L(1)所有不同回路增益乘积之和；å L(2)所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；å L(m)所有任意m个不接触回路增益乘积之和。222015-10-10方块图

17、和信号流图P = 1 å P DDkkDk的意义Dk: 为不与第k条前向通路相接触的那一部分信号流图的D值，称为第k条前向通路特征式的余因子。232015-10-10方块图和信号流图X 5 (s)X1 (s)例2-13求下图所示信号流图的总增益a44a42a12a23解：2个前向通路a34x5a45(a)x1x4x2x3a32a35a52D1=1P1= a12 a23 a34a45(b)xxxxx45123x5D2=1- a44P2= a12 a23 a35(c)xxx312242015-10-10方块图和信号流图2个两两互不接触回路12332xx23x24x3D2=1- a44P2

18、= a12 a23 a35x2x5xx34x4x5 L(2)2= a23(1- a44)x3x21a35 a52 a44P= D (P1D1 + P2D2 )aaaaa12 a23 a35+12233445X (s) 5D=1-(L1+ L2+ L3+ L4+ L5)+( L(2)1+ L(2)2)X1 (s)a12 a23a34 a45(1- a44)a12 a23 a35+1-(a23a32+ a23a34 a42+ a44 +a23a34 a45 a 52+ a23 a35 a52方块图和信号流图+(a23a32 a44+ a23a35 a52a44)25例2201-51-130-续10

19、L5= a23 a35 a52L4= a23 a34 a45 a 52L3= a44L(2)1= a23 a32 a44L2= a23 a34 a42L = aa5个回路a42a44a12a23a34a45x5(a) x1xx2ax4323a35P1= a12 a23 a34 a45D1=1a52 x利用Masons gain formula 求所示系统的闭环传递函数。例2-14G7G6G4R(s)G2G5G3G1C(s)612354- H1解：前向通路有3个- H2G5D1=1D2=1D3=1+ G4 H1P1= G1P2= G1 P3= G1G2G6 G2G3G4 G7G4G51Ò

20、;2Ò3Ò4Ò5Ò61Ò2Ò4Ò5Ò61Ò2Ò3Ò6262015-10-10方块图和信号流图4个单独回路4 Ò 5 Ò 4= -G4 H1L12 Ò 3 Ò 6 Ò 2L2 = -G2D1=1P1= G1G2G3G4G52 Ò 4 Ò 5 Ò 6 Ò 2= -G G G HL364522 Ò 3 Ò 4 Ò 5 Ò 6 Ò 2L4 = -G2G3G

21、4G5 H 2P2= G1G6G4G5D2=1= G4 G2G7 H1 H 2L1与L2L12互不接触D = 1 + G4 H1+ G2G7 H 2+ G6G4G5 H 2 + G2G3G4G5 H 2 + G4G5G7 H1H 2C(s) = 1 (PDD =1+ G HP = G G G+ P D+ P D )3127341R(s)D112233G1G2G3G4G5 + G G G G+ G G G (1 + G H )=1 + G H+ G2G7 H2 + G6G4G5 H2 + G2G3G4G5 H2 + G4G2G7 H1H2方块图和信号流图272015-10-10例2-14续G6G

22、7R(s) G1G2G3G4G5C(s) 123456- H1G7 H 2- H2系统的方块图如下所示，试画出信号流图，C(s)例2-15R(s)并用梅逊公式求系统的传递函数。CRG3+- H2x41C(s)1G1G2G3x51R(s)x6x2x3H1-1注意：增益为1支路的运用282015-10-10方块图和信号流图H1G2G1H2只有一个前向通2Ò3Ò4Ò5Ò6D1=1P1= G1 G2 G3有三个回路2Ò3Ò4Ò5Ò6Ò23Ò4Ò5Ò34Ò5Ò6Ò4L1= - G1 G2 G3 L2= G1 G2 H1L3= -G2 G3 H2没有两个及两个以上的互相回路C(s) = P1D1P1D1G1G2G3=D1 - (L1 + L2+ L2 )1 + G1G2G3- G1G2 H1