曲面及其方程

1、一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面7. 5 曲面及其方程四、二次曲面一、曲面方程的概念 在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹.那么, 方程F(x, y, z)0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)0的图形. (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x, y, z)0; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x, y, z)0,v曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程 F(x, y, z)0有下述关系: 例1 建立球心在点M0(x0, y0, z0)、半径为R的球面的方程. 解 设M(x, y, z)是球面上的任一点, 那么 |M0M|R, 或 (x

2、x0)2(yy0)2(zz0)2R2. 因为球面上的点的坐标一定满足上述方程, 而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程, 所以上述方程就是所求的球面的方程.即 Rzzyyxx202020)()()(, 例2 设有点A(1, 2, 3)和B(2, 1, 4), 求线段AB的垂直平分面的方程. 由题意知道, 所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹. 设M(x, y, z)为所求平面上的任一点, 则有 |AM|BM|, 等式两边平方, 然后化简得 2x6y2z70. 这就是所求的平面的方程. 解 即 222222) 4() 1() 2() 3() 2() 1(zyxzyx. (1)已知一曲面作为

3、点的几何轨迹时, 建立这曲面的方程; (2)已知坐标x、y和z间的一个方程时, 研究这方程所表示的曲面的形状. v研究曲面的两个基本问题 通过配方, 原方程可以改写成 (x1)2(y2)2z25. 一般地, 三元二次方程 Ax2Ay2Az2DxEyFzG0的图形就是一个球面. 例3 方程x2y2z22x4y0表示怎样的曲面？ 解 这是一个球面方程, 球心在点)0 , 2 , 1 (0M、半径为5R. 二、旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫做旋转曲面的轴. 设yOz平面上有一曲线C, 它的方程为f(y, z)0. 曲线C绕z 轴旋转一周得到

4、一个旋转曲面. 这就是所求旋转曲面的方程. 设M(x, y, z)为曲面上任一点, 它是曲线C上点M1(0, y1, z1)绕 z 轴旋转而得到的. 因此有如下关系等式 0) ,(11zyf, 0) ,(11zyf 1zz, 221|yxy1zz, 221|yxy, 从而得 0) ,(22zyxf, 旋转曲面的方程为 二、旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫做旋转曲面的轴. 设yOz平面上有一曲线C, 它的方程为f(y, z)0. 曲线C绕z 轴旋转一周得到一个旋转曲面. 提问: 曲线f(y, z)0绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程是什么？0

5、) ,(22zyxf. 将方程 zycot中的 y 改成22yx , 得 例4 试建立顶点在坐标原点O, 旋转轴为z轴, 半顶角为的圆锥面的方程. 解 在坐标面yOz内, 与z轴夹角为的直线的方程为zycot, 或 z2a2(x2y2), 这就是所求的圆锥面的方程, 其中acot . 曲线f(y, z)0绕 z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程为 0) ,(22zyxf. cot22yxz, 绕 x 轴和 z 轴旋转所在的旋转曲面的方程分别为 解 双叶旋转双曲面单叶旋转双曲面例 5 将 zOx 坐标面上的双曲线12222czax分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 例5

6、122222czyax, 122222czyax 122222czayx. 三、柱面 在空间直角坐标系中, 过xOy面上的圆x2y2R2作平行于z轴的直线l, 则直线l上的点都满足方程x2y2R2, 这说明直线l 一定在x2y2R2表示的曲面上. 例6 方程x2y2R2表示怎样的曲面？ 因此这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l沿xOy面上的圆x2y2R2移动而形成的. 这曲面叫做圆柱面, xOy面上的圆x2y2R2叫做它的准线, 这平行于z轴的直线l叫做它的母线. 解 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面, 定曲线C叫做柱面的准线, 动直线L叫做柱面的母线. v柱面 上面我

7、们看到, 不含z的方程x2y2R2在空间直角坐标系中表示圆柱面, 它的母线平行于z轴, 它的准线是xOy面上的圆x2y2R2. 一般地, 只含x、y而缺z的方程F(x, y)0, 在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面, 其准线是xOy面上的曲线C: F(x, y)0. 方程y22x表示母线平行于z轴的柱面, 它的准线是xOy面上的抛物线y22x, 该柱面叫做抛物柱面. 方程xy0表示母线平行于z轴的柱面, 其准线是xOy面的直线xy0, 所以它是过z轴的平面. v柱面举例 在空间直角坐标系中, 方程G(x, z)0和方程H(y, z)0分别表示什么柱面？ 方程 xz0表示什么柱面？ 讨论

8、 方程G(x, z)0表示母线平行于y轴的柱面. 方程H(y, z)0表示母线平行于x轴的柱面. 方程xz0表示母线平行于y轴的柱面, 其准线是zOx面上的直线xz0. 所以它是过y轴的平面. 提示 四、二次曲面1.椭圆锥面 由方程22222zbyax所表示的曲面称为椭圆锥面. 截痕 1)()(2222btyatx. 倍即得椭圆锥面轴方向伸缩沿把圆锥面abyzayx 2222. 当t0时, 截痕为平面zt上的椭圆 当t0时, 截痕为一点(0, 0, 0); 椭圆锥面与平面zt的截痕: 椭圆锥面的形成 研究曲面的截痕法 研究曲面的伸缩变形法 倍轴方向伸缩再把旋转椭球面沿aby , 2.椭球面 由

9、方程1222222czbyax所表示的曲面称为椭球面. 倍轴方向伸缩沿把球面aczazyx 2222, 得旋转椭球面 122222czayx, 得椭球面 1222222czbyax. 椭球面的形成 3.单叶双曲面 由方程1222222czbyax所表示的曲面称为单叶双曲面. 把 zOx 面上的双曲线12222czax绕 z 轴旋转, 单叶双曲面的形成 得旋转单叶双曲面 122222czayx, 倍轴方向伸缩再把旋转单叶双曲面沿aby , 得单叶双曲面 1222222czbyax. 由方程1222222czbyax所表示的曲面称为双叶双曲面. 4.双叶双曲面 双叶双曲面的形成 把 zOx 面上的双曲线12222czax绕 x 轴旋转, 122222cyzax, 倍轴方向伸缩再把旋转双叶双曲面沿cby , 得双叶双曲面 1222222czbyax. 得旋转双叶双曲面 由方程zbyax2222所表示的曲面称为椭圆抛物面. 5.椭圆抛物面 椭圆抛物面的形成 把 zOx 面上的抛物线zax22绕 z 轴旋转, 得旋转抛物面zayx222, 倍轴方向伸缩再把旋转抛物面沿ab