数据包络分析(北大)

1、北京大学经管学院 数据包络分析是线性规划模型的应用之一，常被用来衡量数据包络分析是线性规划模型的应用之一，常被用来衡量拥有相同目标的运营单位的相对效率。拥有相同目标的运营单位的相对效率。 数据包络分析是一种基于线性规划的用于评价同类型组织数据包络分析是一种基于线性规划的用于评价同类型组织（或项目）工作绩效（或项目）工作绩效相对有效性相对有效性的特殊工具手段。这类组织的特殊工具手段。这类组织例如学校、医院、银行的分支机构、超市的各个营业部等，例如学校、医院、银行的分支机构、超市的各个营业部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的产出。衡量这类组各自具有相同（或相近）的投入和相同的产出。衡量这类组

2、织之间的绩效高低，通常采用投入产出比这个指标，当各自织之间的绩效高低，通常采用投入产出比这个指标，当各自的投入产出均可折算成同一单位计量时，容易计算出各自的的投入产出均可折算成同一单位计量时，容易计算出各自的投入产出比并按其大小进行绩效排序。投入产出比并按其大小进行绩效排序。2022-3-253l但当被衡量的同类型组织有但当被衡量的同类型组织有多项投入和多项产出多项投入和多项产出，且不能，且不能折算成统一单位时，就无法算出投入产出比的数值。例如折算成统一单位时，就无法算出投入产出比的数值。例如，大部分机构的运营单位有多种投入要素，如员工规模、，大部分机构的运营单位有多种投入要素，如员工规模、工

3、资数目、运作时间和广告投入，同时也有多种产出要素工资数目、运作时间和广告投入，同时也有多种产出要素，如利润、市场份额和成长率。在这些情况下，很难让经，如利润、市场份额和成长率。在这些情况下，很难让经理或董事会知道，当输入量转换为输出量时，哪个运营单理或董事会知道，当输入量转换为输出量时，哪个运营单位效率高，哪个单位效率低。位效率高，哪个单位效率低。l因而，需采用一种全新的方法进行绩效比较。这种方法就因而，需采用一种全新的方法进行绩效比较。这种方法就是二十世纪七十年代末产生的数据包络分析（是二十世纪七十年代末产生的数据包络分析（DEA）。）。DEA方法处理多输入，特别是多输出的问题的能力是具有方

4、法处理多输入，特别是多输出的问题的能力是具有绝对优势的。绝对优势的。 1978年，著名运筹学家、美国德克萨斯大学教授年，著名运筹学家、美国德克萨斯大学教授A.Charnes及及W.W.Cooper和和E.Rhodes发表了一篇重要论发表了一篇重要论文：文：“Measuring the efficiency of decision making units”（决策单元的有效性度量），刊登在权威的（决策单元的有效性度量），刊登在权威的“欧洲运欧洲运筹学杂志筹学杂志”上。正式提出了运筹学的一个新领域：数据包络上。正式提出了运筹学的一个新领域：数据包络分析，其模型简称分析，其模型简称 C2R 模型。该

5、模型用以评价部门间的相模型。该模型用以评价部门间的相对有效性（因此被称为对有效性（因此被称为DEA有效）。有效）。DEA模型是直接使用输入、输出数据建立非参数的经济数学模型。2022-3-255lDEA的优点吸引了众多的应用者，应用范围已扩展到美国军用飞机的飞行、基地维修与保养，以及陆军征兵、城市、银行等方面目前，这一方法应用的领域正在不断地扩大。它也可以用来研究多种方案之间的相对有效性（例如投资项目评价）；研究在做决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何（例如建立新厂后，新厂相对于已有的一些工厂是否为有效)。DEA模型甚至可以用来进行政策评价。2022-3-256l最引人注目的研究是把D

6、EA与其它评价方法进行比较。例如将DEA应用于北卡罗来纳州各医院的有效性评价。已有的按计量经济学方式给出的回归生产函数认为，此例中不存在规模收益。DEA的研究发现，尽管使用同样的数据，回归生产函数不能象DEA那样正确测定规模收益其关键在于：lDEA和回归方法虽然都使用给定的同样数据，但使用方式不一样；lDEA致力于每个单个医院的优化，而不是对整个集合的统计回归优化。l在其它的研究中，例如在评价医院经营有效性时，将DEA与马萨诸塞州有效性评定委员会使用的比例方法进行了比较，当使用模拟方法对DEA进行检验后认为，尽管由回归函数产生的数据有利于回归方法的使用，但是DEA方法显得更有效 2022-3-

7、257lDEA是使用数学规划（包括线性规划、多目标规划、具有锥形结构的广义最优化、半无限规划、随机规划等）模型，评价具有多个输入、特别是多个输出的“部门”或“单位”（称为“决策单元”，简记DMU）间的相对有效性（称为DEA有效）。l实际上“效率”或“相对有效性”的概念也是指产出与投入之比，不过是加权意义之下的产出投入比。l根据对各DMU观察的数据判断DMU是否为DEA有效，本质上是判断DMU是否位于可能集的“生产前沿面”上。在在DEA中一般称被衡量绩效的组织为决策单元（中一般称被衡量绩效的组织为决策单元（decision making unitDMU）。）。设：设：n 个决策单元（个决策单元（

8、 j = 1，2，n ） 每个决策单元有相同的每个决策单元有相同的 m 项投入（输入）（项投入（输入）（i = 1，2，m ） 每个决策单元有相同的每个决策单元有相同的 s 项产出（输出）项产出（输出） （r = 1，2，s ） Xij 第第 j 决策单元的第决策单元的第 i 项投入项投入 yrj 第第 j 决策单元的第决策单元的第 r 项产出项产出 衡量第衡量第 j0 决策单元是否决策单元是否DEA有效有效 决策单元决策单元 1 2 n投投入入项项目目12m X11 X12 X1n X21 X22 X2n Xm1 Xm2 Xmn 1 2 n决策单元决策单元 y11 y12 y1n y21 y

9、22 y2n ys1 ys2 ysn12s产产出出项项目目2022-3-2510lInput-DEA 模型：基于投入的技术效率，即在一定产出下，以最小投入与实际投入之比来估计。或者说，决策者追求的倾向是输入的减少，即求的最小。lOutput-DEA 模型：基于产出的技术效率，即在一定的投入组合下，以实际产出与最大产出之比来估计。或者说，决策者追求的倾向是输出的增大，即求z的最大。2022-3-25110, 0, 1, 1.max0000vunjXvYutsXvYuTTTT2022-3-2512njYYXXtsjjnjjjnjj, 1,0,.min01012022-3-2513njzYYXXts

10、zjjnjjjnjj, 1, 0,.max01012022-3-2514njYYXXtsjnjjjnjjjnjj,1,01,.min10101Banker, Charnes and Cooper(1984) 衡量某一决策单元衡量某一决策单元 j0是否是否DEA有效有效是否处于由包是否处于由包络线组成的生产前沿面上，先构造一个由络线组成的生产前沿面上，先构造一个由 n 个决策单元组个决策单元组成成（线性组合成）（线性组合成）的的假想决策单元假想决策单元。如果该假想单元的各。如果该假想单元的各项产出均项产出均不低于不低于 j0 决策单元的各项产出，它的各项投入均决策单元的各项产出，它的各项投入均低

11、于低于 j0 决策单元的各项的各项投入。决策单元的各项的各项投入。即有：即有： j yrj yrj0 （r = 1，2，s） j xij E xij0 （i = 1，2，m，E1） j = 1 ， j 0 （j = 1，2，n）j=1j=1j=1nnn 这说明这说明 j0 决策单元不处于生产前沿面上。决策单元不处于生产前沿面上。 基于上述事实，可以写出如下线性规划的数学模型：基于上述事实，可以写出如下线性规划的数学模型：min E S.t. j yrj yrj0 （r = 1，2，s） j xij E xij0 （i = 1，2，m） j = 1 ， j 0 （j = 1，2，n）j=1j=1

12、j=1nnn结果分析：结果分析：1、当求解结果有、当求解结果有 E 1 时，则时，则 j0 决策单元决策单元非非DEA有效有效；2、否则，则、否则，则 j0 决策单元决策单元DEA有效有效。2022-3-25170, 0, 1, 0,.)(min0101SSnjYSYXSXtsSeSejjnjjjnjjTT2022-3-2518l例1：考虑具有4个决策单元，2个输入和1个输出，相应的输入数据和输出数据由下表给出： 3 3 43 1 3 2 1 2 3 41 1 2 11212022-3-25190,123233433.)(min121, 4321143212432114321121ssssss

13、tssss考察DMU1，取1052022-3-2520l最优解为l所以，DMU1为DEA有效。10)0 , 0 , 0 , 1 (00102010sssT2022-3-2521l对具有非阿基米德无穷小量的C2R对偶输入模型，可以根据以下规则判断DEA有效性：l若1时，合成医院需要的输入量资源大于镇医院的输入量资源；l当E1时，合成医院需要的输入量资源小于镇医院的输入量资源。（模型的目标）2022-3-2539l我们可写出输入量的约束条件：285.20wg+162.30wu+275.70wc+210.40ws275.70E（全职非主治医师）123.80wg+128.70wu+348.50wc+1

14、54.10ws348.50E（提供的经费）106.72wg+64.21wu+104.10wc+104.04ws104.10E（可提供的住院床位数）lDEA模型的逻辑就是寻求一种合成能否在取得相同的或更多的输出量的同时只需更少的输入量。假如这种合成可以得到，那么合成的一部分（如镇医院）将被判定比合成（合成医院）低效。2022-3-2540min Es.t. wgwuwcws1 48.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws36.7 243.10wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws45.98 253wg+148wu+175wc+160ws175 41wg+27wu+23wc+84ws23 285.20wg+162.3