第三节 第二类曲线积分

1、oxyABL第三节第三节 第二类曲线积分第二类曲线积分一、问题的提出一、问题的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功),(),(),(yxQyxPyxF 常力沿直线常力沿直线所作的功所作的功分割分割.,110BMMMMAnn ).,(1iiiiyxMM .ABFW 设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用在在 xoy 平面内从点平面内从点 A 沿光滑曲线弧沿光滑曲线弧 L 移动到点移动到点 B, 求移动过程中变力所作的功求移动过程中变力所作的功W.),(yxF求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取极限取极限. ),

2、(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精确值精确值),),(, ),(),(iiiiiiQPF 取取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 二、第二类曲线积分的概念二、第二类曲线积分的概念1.定义定义: 设设 L 为为xoy 平面内从平面内从 A 到到B 的一条的一条有向光滑弧有向光滑弧,若对若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在都存在,在有向曲线弧在有向曲线弧 L 上上对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分,LyyxQ

3、xyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数则称此极限为函数或或第二类曲线积分第二类曲线积分.其中其中, ),(yxPL 称为称为积分弧段积分弧段 或或 积分曲线积分曲线 .称为称为被积函数被积函数 , 向量值函数向量值函数极限极限),(, ),(),(yxQyxPyxF记作记作),(yxF),(yxQ在在L 上有界上有界,LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若若 为空间曲线弧为空间曲线弧 , 记记称为称为对对 x 的曲线积分的曲线积分;称为称为对对 y 的曲线积分的曲线积分.若记若记,

4、 对坐标的曲线积分也可写作对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 类似地类似地, 3.3.性质性质.,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则则和和分分成成如如果果把把则则有有向向曲曲线线弧弧方方向向相相反反的的是是与与是是有有向向曲曲线线弧弧设设,)2(1LLL 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. LLdyyxQdxyxPdyyxQdxy

5、xP),(),(),(),(1.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当LyxQyxP2.存在条件：存在条件：三、第二类曲线积分的计算法三、第二类曲线积分的计算法dttytytxQtxtytxPdyyxQdxyxPBLALyxttyytxxLLyxQyxPL)()(),()()(),(),(),(,),(,),(),(,),(),( 则则运运动动到到终终点点沿沿的的起起点点从从点点时时到到变变单单调调地地由由当当参参数数的的参参数数方方程程为为上上连连续续在在曲曲线线弧弧设设定理定理特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终终点点为为

6、起起点点为为 .)()(,)(,),(),(dxxyxyxQxyxPdyyxQdxyxPbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终终点点为为起起点点为为 .),()(),(),(),(dyyyxQyxyyxPdyyxQdxyxPdcL 则则.,)()()(:)3( 终终点点起起点点推推广广ttzztyytxx dzzyxRdyzyxQdxzyxP),(),(),( )()(),(),(txtztytxP)()(),(),(tytztytxQ dttztztytxR)()(),(),( (4) 两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：,)()( tyytxxL：设设有有向向平平面面曲曲

7、线线弧弧为为,),( 为为处处的的切切线线向向量量的的方方向向角角上上点点yxL LLdsQPQdyPdx)coscos(则则其中其中,)()()(cos22tytxtx ,)()()(cos22tytxty dttytxtytxtxdttxdx)()()()()()(2222 ds cos 提示提示:,),( 为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点zyx dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(则则 dstA dsA, dsAt可用向量表示可用向量表示，其其中中,RQPA ,cos,cos,cos tdsdzdydxdsdst ),()cos,cos,(cos 有向曲

8、线元；有向曲线元；.上上的的投投影影在在向向量量为为向向量量tAAt处处的的单单位位切切向向量量上上点点),(zyx 可以推广到空间曲线可以推广到空间曲线 上上 ,dLxyx其中其中L 为沿抛物线为沿抛物线xy 2解法解法1 取取 x 为参数为参数, 则则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取取 y 为参数为参数, 则则11:,:2yyxL54d2114yy从点从点xxxd10的一段的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1(

9、Aoyx例例1. 计算计算其中其中 L 为为,:, 0aaxyyBAoaax(1) 半径为半径为 a 圆心在原点的圆心在原点的 上半圆周上半圆周, 方向为逆时针方向方向为逆时针方向;(2) 从点从点 A ( a , 0 )沿沿 x 轴到点轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取取L的参数方程为的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取取 L 的方程为的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00则则则则例例2. 计算计算问题问题:被积函数相同被积函数相同,起点和终点相同起点和终点相同,

10、但路径不同但路径不同,积分结果不同积分结果不同.例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依依次次是是点点，这这里里有有向向折折线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物物线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物物线线为为其其中中计计算算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 解解.)1(的的积积分分化化为为对对 x, 10,:2变变到到从从xxyL 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx. 1 yxo2xy )0 , 1(A)1 , 1(B.)2(的积分的积分化为对化为对 y,

11、10,:2变到变到从从yyxL 1042)22(dyyyyy原原式式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式 102)002(dxxx 10)102(dyy. 1 问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同.yxo2yx yxo)0 , 1(A)1 , 1(B例例4. 设在力场设在力场作用下作用下, 质点由质点由沿沿 移动到移动到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB解解: (1)zzyxxydddttkR2022d)(2) 的

12、参数方程为的参数方程为kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20d试求力场对质点所作的功试求力场对质点所作的功.;,sin,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk 222k其中其中 为为),(zxyFsFWdsFWdozyx例例5. 求求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中其中,2122zyxyx从从 z 轴正向看为顺时针方向轴正向看为顺时针方向.解解: 取取 的参数方程的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(c

13、os2(tt 2二者夹角为二者夹角为 例例6. 设设,max22QPM曲线段曲线段 L 的长度为的长度为 s, 证明证明),(, ),(yxQyxP续续,sMyQxPLdd证证:LyQxPddsQPLdcoscos设设sMdsML 1sQPLdcoscos在在L上连上连 )cos,(cos, ),(tQPAstALdsALdcos例例7. . 将积分将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分化为对弧长的积分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到从解：解：oyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1y

14、yxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx)1(x其中其中L 沿上半圆周沿上半圆周四、小结四、小结1对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的概念2对坐标曲线积分的计算对坐标曲线积分的计算3两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!思考题思考题思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.例例如如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中当当t从从 0 变变到到 2时时，L取取逆逆时时针针方方向向;反反之之当当t从从 2变变到到 0时时，L取取顺顺时

15、时针针方方向向.一、一、 填空题填空题: :1 1、 对对_的曲线积分与曲线的方向有关；的曲线积分与曲线的方向有关；2 2、 设设0),(),( dyyxQdxyxPL, ,则则 LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(_；3 3、 在公式在公式 dyyxQdxyxPL),(),( dttttQtttP)()(,)()()(,)(中中, ,下下 限限对应于对应于L的的_点点, ,上限上限 对应于对应于L的的_点；点；4 4、两类曲线积分的联系是、两类曲线积分的联系是_ _. .练练 习习 题题二、二、 计算下列对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分: : 1 1、

16、 Lxydx, ,L其中其中为圆周为圆周)0()(222 aayax及及 x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界( (按按 逆时针方向绕行逆时针方向绕行) )； 2 2、 Lyxdyyxdxyx22)()(, ,L其中其中为圆周为圆周 222ayx ( (按逆时针方向饶行按逆时针方向饶行) )； 3 3、 ydzdydx, ,其其中中为为有有向向闭闭折折线线ABCD, ,这这里里 的的CBA,依依次次为为点点( (1 1, ,0 0, ,0 0) ), ,( (0 0, ,1 1, ,0 0) ), ,( (0 0, ,0 0, ,1 1) )； 4 4

17、、 ABCDAyxdydx, ,其其中中ABCDA是是以以)0 , 1(A，)1 , 0(B, , )0 , 1( C, ,)1, 0( D为为顶顶点点的的正正方方形形正正向向边边界界线线 . .三、三、 设设z轴与重力的方向一致轴与重力的方向一致, ,求质量为求质量为m的质点从位的质点从位置置),(111zyx沿直线移到沿直线移到),(222zyx时重力所作时重力所作的功的功. .四、四、 把对坐标的曲线积分把对坐标的曲线积分 LdyyxQdxyxP),(),(化成化成对弧长的积分对弧长的积分, , L其其中中为为: :1 1、 在在xoy面内沿直线从点面内沿直线从点(0,0)(0,0)到点到点(1,1)(1,1)；2 2、 沿抛物线沿抛物线2xy 从点从点(0,0)(0,0)到点到点(1,1)(1,1)；3 3、 沿上半圆周沿上半圆周xyx222 从点从点(0,0)(0,0)到点到点(1,1).(1,1).练习题答案练习题答案一一、