清华大学测试与检测技术基础_王伯雄_第4章测试系统特性分析

1、一、概述二、测量误差三、测试系统的静态特性 四、测试系统的动态特性 五、测试系统实现精确测量的条件 六、测试系统的负载效应 l信号与系统紧密相关。l被测的物理量亦即信号作用于一个测试系统，而该系统在输入信号亦即激励的驱动下对它进行“加工”，并将经“加工”后的信号进行输出。l输出信号的质量必定差于输入信号的质量。受测试系统的特性影响；受信号传输过程中干扰的影响。 l一个测试系统与其输入、输出之间的关系 ：若已知输入量和系统的传递特性，则可求出系统的输出量。已知系统的输入和输出量，求系统的传递特性。 已知系统的传递特性和输出量，来推知系统的输入量。 l希望输入与输出之间是一种一一对应的确定关系，因

2、此要求系统的传递特性是线性的。对于静态测量，系统的线性特性要求并非是必须的，采取曲线校正和补偿技术来作非线性校正较为容易。1.对于动态测量 ，对测试装置或系统的线性特性关系的要求便是必须的。在动态测量的条件下，非线性的校正和处理难于实现且十分昂贵。 图2.52 测试系统框图 l定义：误差E是指示值与真值或准确值的差： E=xm-x(2.142)xm指示值；x真值或准确值。 校正值或修正值B是与误差E的数值相等但符号相反的值 ：B=x-xm(2.143)l分类一（根据误差的性质）：系统误差：l定义：每次测量同一量时，呈现出相同的或确定性方式的那些测量误差。l产生原因：由标定误差、持久发生的人为误

3、差、不良仪器造成的误差、负载产生的误差、系统分辨率局限产生的误差等因素所产生。 随机误差：l定义：每次测量同一量时，其数值均不一致、但却具有零均值的那些测量误差。 l产生的原因有：测量人员的随机因素、设备受干扰、实验条件的波动、测量仪器灵敏度不够等。 过失误差或非法误差：l意想不到而存在的误差。l如实验中因过失或错误引起的误差，实验之后的计算误差等。 l随机误差具有明显的统计分布特性。常常采用统计分析来估计该误差的或然率大小。 l系统误差则不可以用统计方法来处理，因为系统误差是一个固定的值，它并不呈现一种分布的特征。 l系统误差和随机误差常常同时发生。 图2.53 系统误差与随机误差 (a)系

4、统误差大于随机误差 (b)随机误差大于系统误差 l分类二（根据测量的类型 ）：静态误差：l定义：用来确定时不变测量值的线性测量仪器，其传递特性为一常数。而相应的非线性测量仪器的输入输出关系是用代数方程或超越方程来描述的。因而所产生的误差一般仅取决于测量值大小而其本身不是时间的函数。这种误差称静态误差。 动态误差：l定义：在测量时变物理量时，要用微分方程来描述输入输出关系。此时产生的误差不仅取决于测量值的大小，而且还取决于测量值的时间过程。将这种误差称动态误差。 l当被测量是恒定的、或是慢变的物理量时 ，涉及到系统的静态特性。 l静态特性包括：重复性；漂移；误差；精确度；分辨率；线性度；1.非线

5、性。 重复性（亦称精度）：表示由同一观察者采用相同的测量条件、方法及仪器对同一被测量所做的一组测量之间的接近程度。表征测量仪器随机误差接近于零的程度。 漂移：仪器的输入未产生变化时其输出所发生的变化。由仪器的内部温度变化和元件的不稳定性引起。误差：仪器的误差有两种表达方式：绝对误差：用专门的测量单位来表示；相对误差：表达为被测量的一个百分比值，或表达为某个专门值比如满量程指示值的一个百分比。 精确度：测量仪器的指示值和被测量真值的符合程度，通过所宣称的概率界限将仪器输出与被测量的真值关联起来。精确度是由诸如非线性、迟滞、温度变化、漂移等一系列因素所导致的不确定度之和。灵敏度：单位被测量引起的仪

6、器输出值的变化。灵敏度有时亦称增益或标度因子。 分辨率： 当一个被测量从一个相对于零值的任意值开始连续增加时，使指示值产生一定变化量所需的输入量的变化量 。如果指示值不是连续的，将指示的不连续步距值称作分辨率 。l数显式仪器的分辨率是指显示值最后一位数的数距。 图2.54 分辨率概念不同意义的例子 线性度 第一种定义：用理论刻度的端点值来确定参考直线。一个无抑零范围的测量仪器的这条直线规定为穿过零点和最大值的终点。线性度按误差限的概念定义为最大的偏离量并以示值范围的百分比给出 。第二种定义：用定标测量点来描述参考直线。采用线性回归技术来求出该直线，使得测量值偏离该直线的误差平方之和为最小值。而

7、最大的偏离量则按照测量的不确定度的定义给出。测量不确定度规定为在某个概率之下不被超过的误差值。 v第一种定义主要用于描述以系统误差为主的测量仪器或系统；v第二种定义用于以随机误差为主的测量系统。 图2.55 线性度的两种意义 8. 迟滞、回差和弹性后效 零点稳定性在被测量回到零值且其它变化因素（如温度、压力、湿度、振动等）被排除之后，仪器回到零指示值的能力。 （一）线性系统的数学描述；（二）用传递函数或频率响应函数描述系统的传递特性 ；（三）测试系统对典型激励的响应函数 ；（四）测试系统对任意输入的响应 ；（五）测试系统特性参数的实验测定 ；动态测量中，测试装置或系统本身应该是一个线性的系统

8、：我们仅能对线性系统作比较完善的数学处理 ；在动态测试中作非线性校正还比较困难 。线性系统的输入输出之间的关系 ：x(t)为系统输入；y(t)为系统输出；An, a0,bm, b0为系统的系统的物理参数，若均为常数，方程便是常系数微分方程，所描述的系统便是线性定常系统或线性时不变系统。 txbdttdxbdttxdbdttxdbtyadttdyadttydadttydammmmmmnnnnnn0111101111(2.144)l叠加性如有x1(t) y1(t), x2(t) y2(t);则有x1(t)+ x2(t) y1(t)+ y2(t)。(2.145)l比例性 如有x(t) y(t),则对

9、任意常数a，均有 ax(t) ay(t)(2.146)l微分特性 如有x(t) y(t),则有l积分特性 如有x(t) y(t),则当系统初始状态为零时，有 dttdydttdx(2.147) ttdttydttx00(2.148)l频率保持性 如有x(t) y(t)，若x(t)=x0ejt,则y(t)=y0ej(t+)。证明：按比例性有其中，为某一已知频率。根据微分特性有 两式相加有 tytx22(2.149) 2222dttdydttxd(2.150) 222222dttdytydttxdtx(2.151)由于x(t)=x0ejt,则因此式（2.151）左边为零， 亦即由此式（2.151）

10、右边亦应为零，即 解此方程可得唯一的解为 其中为初相角。 txexexjdttxdtjtj2020222 0222dttxdtx 0222dttydty tjeyty0传递函数 若y(t)为时间变量t的函数，且当t0时，有y(t)=0，则y(t)的拉普拉斯变换Y(s)定义为 式中s为复变量， s=a+jb,a0。若系统的初始条件为零，对式（2.144）作拉氏变换得 0dtetysYst(2.152) 01110111bsbsbsbsXasasasasYmmmmnnnn将输入和输出两者的拉普拉斯变换之比定义为传递函数H(s)，即 传递函数特性：传递函数H(s)不因输入x(t)的改变而改变，它仅表

11、达系统的特性 ； 由传递函数H(s)所描述的一个系统对于任一具体的输入x(t)都明确地给出了相应的输出 y(t)；等式中的各系数an，an-1，a1，a0和bm，bm-1，b1，b0是一些由测试系统本身结构特性所唯一确定了的常数。 01110111asasasabsbsbsbsXsYsHnnnnmmmm(2.153)频率响应函数 对于稳定的线性定常系统，可设s=j，亦即原s=a+jb中的a=0，b= ，此时式（2.152）变为上式即为信号章节中叙述过的单边傅立叶变换公式。我们有 H(j)称测试系统的频率响应函数。v频率响应函数是传递函数的特例。频率响应函数也可对式（2.144）作傅立叶变换来推

12、导得到，请自行推导。 0)()(dtetyjYtj(2.157)()()(01110111jXjYajajajabjbjbjbjHnnnnmmmm(2.158)l传递函数和频率响应函数 的区别在推导传递函数时，系统的初始条件设为零。而对于一个从t=0开始所施加的简谐信号激励来说，采用拉普拉斯变换解得的系统输出将由两部分组成：由激励所引起的、反映系统固有特性的瞬态输出以及该激励所对应的系统的稳态输出。对频率响应函数H(j)，当输入为简谐信号时，在观察的时刻，系统的瞬态响应已趋近于零，频率响应函数表达的仅仅是系统对简谐输入信号的稳态输出。 v用频率响应函数不能反映过渡过程，必须用传递函数才能反映全

13、过程。 将频率响应函数H(j)写成幅值与相角表达的指数函数形式，有： 式中A()为复数H(j)的模 ，称之为系统的幅频特性；()为H(j)的幅角，称之为系统的相频特性。 将H(j)用实部和虚部的组合形式来表达：P()和Q()均为的实函数 ，则)()()()(AeAjHj(2.159) jHXYA)(2.160) xyjH arg(2.161) jQPjH(2.162) 22QPA(2.163)l伯德图将自变量用对数坐标表达，幅值A()用分贝（dB）数来表达，所得的对数幅频曲线与对数相频曲线称为伯德（Bode）图。 图2.59 一阶系统H(j)=1/(1+j)的伯德图 l乃奎斯特图 将系统H(j

14、)的实部P()和虚部Q()分别作为坐标系的横坐标和纵坐标，画出它们随变化的曲线，且在曲线上注明相应频率。 图2.60 一阶系统H(j)=1/(1+j)的乃奎斯特图 一阶、二阶系统的传递特性描述 将式（2.153）中分母分解为s的一次和二次实系数因子式（二次实系数式对应其复数极点），即则 v任何一个系统均可视为是由多个一阶、二阶系统的并联。也可将其转换为若干一阶、二阶系统的串联。 2221101112niniirniirinnnnnsspsaasasasa 212212rnininiiiiriiissspsqsH(2.164)同样，根据式（2.158），一个n阶系统的频率响应函数H(j)仿照式（

15、2.164）也可视为是多个一阶和二阶环节的并联（或串联）： 212212122122rniniiniiiriiirnininiiiiriiijjpjqjjjpjqjH(2.165)l一阶惯性系统 若系统满足则称该系统为一阶测试系统或一阶惯性系统。令 K=b0/a0系统静态灵敏度 ;=a1/a0系统时间常数 。作拉氏变换，有 故系统的传递函数为 txbtyadttdya001(2.166) sKXsYs1(2.168) 1sKsXsYsH(2.169)例：右图示出一液柱式温度计，则输入与输出间有下述关系R传导介质的热阻； C温度计的热容量。两边作拉普拉斯变换，并令RC（为温度计时间常数），则有

16、系统的传递函数 ：系统的频率响应函数 ： dttdTCRtTtToio(2.170) sTsTssTioo 11ssTsTsHio(2.171)11jjH(2.172)图2.61 液柱式温度计 液柱式温度计的传递特性是一个一阶惯性系统特性。系统传递特性的幅频与相频特性分别为 ： 211jHA(2.173) arctanjH(2.174)图2.62 一阶系统的幅频与相频特性图 图2.63示出另外两个一阶系统的例子，由系统的相似性理论可知，它们都具有与图2.61所示液柱式温度计相同的传递特性，请自行加以推导验证。 图2.63 一阶系统（a）忽略质量的单自由度振动系统（b）RC低通滤波电路 l二阶系

17、统 这便是二阶系统的微分方程式。令：系统静态灵敏度； ：系统无阻尼固有频率（rad/s）； ：系统阻尼比。 并对式（2.159）两边作拉普拉斯变换得 txbtyadttdyadttyda001222(2.175)00abK 20aan2012aaa sKXsYssnn1222(2.176)系统的传递函数：系统的频率响应函数则为 ： 1222nnssKsXsYsH(2.177) nnnnjKjjKXYjH2112222(2.178)图2.64示出一个测力弹簧秤，它是一个二阶系统。设系统初始状态为零，亦x0=0，fi=0。由牛顿第二定律得：式中 ，fi施加的力（N）； x0指针移动距离（m）；B系

18、统阻尼常数（N/m/s）；Ks弹簧系数（N/m）。作拉普拉斯变换有 图2.64 测力弹簧秤 sFsXKsBsMs222dtxdMxKdtdxBfoosoi(2.179)(2.180)令式（2.180）变为 于是弹簧秤系统的传递函数 sradMKsn/MKBs2)/(1NmKKs sFsXssnn1222(2.181) 1222nnssKsFsXsH(2.182)系统的幅频特性为：二阶系统的幅频曲线 2222411nnKjHA(2.183)系统的相频特性为： 212arctannn(2.184)二阶系统的相频曲线图2.66 二阶系统的伯德图 图2.67 二阶系统的乃奎斯特图 图2.68示出了其它

19、形式的二阶系统，根据系统相似性原理，它们具有与弹簧秤相同的传递函数和频率响应函数，请自行推导。 图2.68 二阶系统例（a）质量弹簧阻尼系统（b）RLC电路 单位脉冲输入下系统的脉冲响应函数 单位脉冲函数(t)，其傅立叶变换(j)=1。同样，对于(t)的拉氏变换(s)=L(t)。因此，测试装置在激励输入信号为(t)时的输出将是Y(s)=H(s)X(s)=H(s)(s)=H(s) 。对Y(s)作拉普拉斯反变换可得装置输出的时域表达 h(t)为称装置的脉冲响应函数或权函数。 thsYLty1(2.185)对于一阶惯性系统，其传递函数 可求得它们的脉冲响应函数 11ssH teth1(2.186)图

20、2.69 一阶惯性系统的脉冲响应函数 对于一个二阶系统 ，其传递函数为 则可求得其脉冲响应函数 (欠阻尼情况,1) 12122nnsssH tethntnn221sin1 tnnteth2 ttnnneeth112221图2.70 二阶系统的脉冲响应函数 公式中所应用的单位脉冲函数在实际中是不存在的，工程中常采取时间较短的脉冲信号来加以近似。比如给系统以短暂的冲击输入，其冲击持续的时间若小于/10，则可近似认为是一个单位脉冲输入。 图2.72 精确的和近似的脉冲响应 单位阶跃输入下系统的响应函数 阶跃函数和单位脉冲函数间的关系是 亦即因此系统在单位阶跃信号激励下的响应便等于系统对单位脉冲响应的

21、积分。 一阶惯性系统H(s)=1/(s+1)对单位阶跃函数的响应，其响应函数为 相应的拉普拉斯表达式为 dttdt(2.204) tdttt(2.205) tety1(2.206) 11sssY(2.207)当时t=4，y(t)=0.982，此时系统输出值与系统稳定时的响应值之间的差已不足2%，可近似认为系统已到达稳态。v一阶装置的时间常数应越小越好。v阶跃输入方式简单易行，因此也常在工程中采用来测量系统的动态特性。 图2.73 一阶系统对阶跃输入的响应 对于一个二阶系统来说，其传递函数为则它对阶跃输入的响应函数可求得为 式中 12122nnsssH tetyntn221sin11(欠阻尼情况

22、) (2.208) tnnetty11(临界阻尼情况) (2.209) ttnneety122122221211211(过阻尼情况) (2.210)21arctan图2.74 二阶系统对单位阶跃的响应 l小结： 阶跃响应函数方程式中的误差项均包含有因子e-AT项，故当t时，动态误差为零，亦即它们没有稳态误差。但是系统的响应在很大程度上取决于阻尼比和固有频率n， n越高，系统的响应越快，阻尼比直接影响系统超调量和振荡次数。 v当=0时，系统超调量为100%，系统持续振荡 ；v当1时，系统蜕化为两个一阶环节的串联，此时系统虽无超调（无振荡），但仍需较长时间才能达到稳态。v当3时，相频曲线对所有的都

23、接近于 -180，可认为此时的相频特性能满足精确测试的条件。获得无相差的方法：l采取反相器 ；l在数据处理时减去固定的相位差 。存在的问题：幅频特性曲线尽管趋近于一个常值，但该高频幅值量很小，不利于信号的输出与后续处理。 负载效应l定义：在电路系统中后级与前级相连时由于后级阻抗的影响造成系统阻抗发生变化的一种效应。 l戴维南定理 （Thvenins theorem）：若负载Zl与双端网络连接成一个回路（如图2.85（b）所示），则在该回路中将流经有一电流il。该电流il与图（c）中的等效电路中的电流值相同。如果这里的阻抗Zl代表一块电压表的话。则电压表两端测得的电压值Em应等于 lABlllm

24、ZZZEZiE0(2.243)图2.85 戴维南定理 由式（2.243）可见 lEmE0。这是由于测量中接入电压表后产生的影响，主要是由表的负载所引起的。l为能使测量值Em接近于电源电压E0 ，应使ZlZab。l对于一般的包括非电系统在内的所有系统则有式中 ym广义变量的被测值 ；xu广义变量的未受干扰的值 ；Zgi广义输入的阻抗； Zgo广义输出的阻抗。 gigougogigimZZXZZZy11(2.244)l小结：v一个测试系统可以认为是被测对象与测量装置的连接。 v由于传感、显示等中间环节的影响，系统的前后环节之间发生了能量的交换。测试装置的输出z(t)将不再等于被测对象的输出值y(t)。v在两