第4章正弦稳态电路分析

1、第4章正弦稳态电路分析1 1第第4 4章正弦稳态电路分析章正弦稳态电路分析4.1正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念4.2正弦交流电的相量表示法正弦交流电的相量表示法4.3基本元件基本元件VCR的相量形式和的相量形式和KCL、 KVL的相量形式的相量形式4.4阻抗与导纳阻抗与导纳4.5正弦稳态电路相量法分析正弦稳态电路相量法分析4.6正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率4.7正弦稳态电路中的功率传输正弦稳态电路中的功率传输*4.8三相交流电路概述三相交流电路概述第4章正弦稳态电路分析2 24.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念4.1.1 4.1.1 正弦交流电的三要素正弦交流电的

2、三要素 在电子技术、通信工程中经常用到周期信号在电子技术、通信工程中经常用到周期信号( (函数函数) )，信号，信号常以电压或电流的形式出现。常以电压或电流的形式出现。所谓周期信号，就是每隔一定的所谓周期信号，就是每隔一定的时间时间T T，信号的波形重复出现；，信号的波形重复出现；或者说，每隔一定的时间或者说，每隔一定的时间T T，信，信号完成一个循环的变化。号完成一个循环的变化。周期信号的数学函数式表示为周期信号的数学函数式表示为 )()(kTtftf式中，式中，k为任意整实数；为任意整实数；T为正实常数。周期信号完成一个循为正实常数。周期信号完成一个循环所需要的时间环所需要的时间T称为周期

3、，单位为秒称为周期，单位为秒(s)。第4章正弦稳态电路分析3 33若电路中的电荷沿着一个不变的方向流动，这就是若电路中的电荷沿着一个不变的方向流动，这就是“直流电直流电”。例如由。例如由“电池电池”提供的电流，就是直流电。提供的电流，就是直流电。当电路中的电流随着方向和强度的变化作周期性变当电路中的电流随着方向和强度的变化作周期性变化时，称其为化时，称其为“交流电交流电”。交流电在一个周期上的函数。交流电在一个周期上的函数平均值为零。例如现代发电厂生产的电能都是交流电，平均值为零。例如现代发电厂生产的电能都是交流电，家庭用电都是交流电。家庭用电都是交流电。 直流电直流电交流电交流电第4章正弦稳

4、态电路分析4 44按正弦规律变化的交流电称之为按正弦规律变化的交流电称之为正弦交流正弦交流电电， 其电流、电源电动势、端电压均随时间按其电流、电源电动势、端电压均随时间按正弦或余弦规律变化，用函数图象表示是正弦正弦或余弦规律变化，用函数图象表示是正弦（或余弦）曲线。（或余弦）曲线。表现在发电和配电方面。表现在发电和配电方面。t 第4章正弦稳态电路分析5 55 I Im m 2 Tit O4.1.1正弦交流电的三要素)cos()(imtIti第4章正弦稳态电路分析6 66周期周期 T：变化一周所需要的时间变化一周所需要的时间（s）0it频率频率 f ：1s内变化的周数内变化的周数（Hz） T2角

5、频率角频率： 正弦量正弦量1s内变化的弧度数。内变化的弧度数。(rad/s)T1f = 2f =2(rad/s)T1. 正弦交流电的周期、频率、角频率正弦交流电的周期、频率、角频率上一页上一页下一页下一页返回返回下一节下一节第4章正弦稳态电路分析7 77美国美国 、日本、日本 60 Hz60 Hz常见的频率值常见的频率值300 - 5000 Hz300 - 5000 Hz 30 kHz - 330 kHz - 310104 4 MHz MHz中国和欧洲国家中国和欧洲国家50 Hz50 Hz各国工业标准频率各国工业标准频率（简称工频）：（简称工频）： 有线通讯频率：有线通讯频率：无线通讯频率：无

6、线通讯频率： 高频加热设备频率：高频加热设备频率： 200kHz - 300 kHz 200kHz - 300 kHz上一页上一页下一页下一页返回返回下一节下一节第4章正弦稳态电路分析8 88e、i、uEm、Im、UmE、I、U瞬时值瞬时值最大值最大值有效值有效值2.正弦正弦交流电的瞬时值、最大值、有效值交流电的瞬时值、最大值、有效值上一页上一页下一页下一页返回返回下一节下一节正弦交流电的有效值：正弦交流电的有效值：2mII2mUU 2mEE 第4章正弦稳态电路分析9 9正弦电流波形与参考方向正弦电流波形与参考方向周期电流、电压是时间的函数，周期电流、电压是时间的函数， 如电流和电压的表达式为

7、如电流和电压的表达式为 )cos()(imtIti)cos()(mutUtu它们分别称为正弦电流和正弦电压。它们分别称为正弦电流和正弦电压。第4章正弦稳态电路分析10 10例如，例如，t1时刻的电流值就是将时刻的电流值就是将t=t1代入电流表达式求得的函数值代入电流表达式求得的函数值 )cos()(1m1itItiIm称为电流称为电流i的振幅或最大值，它表示正弦电流的振幅或最大值，它表示正弦电流i在整个变化过在整个变化过程中能达到的最大值。程中能达到的最大值。(t+i)称为正弦电流称为正弦电流i的瞬时相位角，的瞬时相位角， 单位可用弧度单位可用弧度(rad)或度或度()来表示。来表示。 fT2

8、2 表示了单位时间正弦信号变化的弧度数，称为角频率，其单表示了单位时间正弦信号变化的弧度数，称为角频率，其单位是弧度位是弧度/秒秒(rad/s)。第4章正弦稳态电路分析11 11 例例 4.1-1图图 (a)为正弦稳态二端电路，电流为正弦稳态二端电路，电流i(t)的参考方的参考方向如图中所标。已知向如图中所标。已知，试绘出，试绘出i(t)的的波形，求出波形，求出t=0.5s,1.25s时电流的瞬时值，并说明上述时刻电时电流的瞬时值，并说明上述时刻电流的实际方向。流的实际方向。 mA42cos100)(tti例4.1-1用图 第4章正弦稳态电路分析12 12解解 由已知的由已知的i(t)表达式求

9、得：表达式求得：Im=100mA，=2rad/s, i=-/4。画。画i(t)波形时，纵坐标是波形时，纵坐标是i，横坐标可以是，横坐标可以是t， 也可以也可以是是t(单位为弧度单位为弧度)。i(t)波形如图波形如图 (b)所示。所示。将将t=0.5 s, 1.25 s分别代入分别代入i(t)表达式中，表达式中， 求得求得 mA7 .70425. 12cos10025. 1mA7 .7045 . 02cos1005 . 0）（）（ii因因t=0.5s时求得的电流值为负值，故该时刻电流的实际方向与图时求得的电流值为负值，故该时刻电流的实际方向与图中所标中所标i(t)的参考方向相反；在的参考方向相反

10、；在t=1.25s时求得的电流值为正值，时求得的电流值为正值，显然该时刻电流的实际方向与参考方向相同。显然该时刻电流的实际方向与参考方向相同。 第4章正弦稳态电路分析13 13例例 4.1-2 已知正弦电压的波形如图4.1-3所示，试写出u(t)的函数表达式。例4.1-2用图第4章正弦稳态电路分析14 14例例 4.1-2 已知正弦电压的波形如图4.1-3所示，试写出u(t)的函数表达式。解解 由已知的u(t)波形图求得三要素。振幅为 Um=100V (波形峰值) 周期为 ms20)5 . 2(5 .17T (两峰值之间的时间间隔) 由式(4.1-5)求得角频率为 rad/s100102022

11、3-T第4章正弦稳态电路分析15 15 初相初相的绝对值为的绝对值为 rad4102.5100|31t(t1为距纵轴最近的最大值对应的时间) 考虑波形距纵轴最近的最大值在坐标原点的左边，所以初相角考虑波形距纵轴最近的最大值在坐标原点的左边，所以初相角为正，即为正，即=/4 rad。将求得的振幅、角频率、初相代入式。将求得的振幅、角频率、初相代入式(5.1-4)得得 V4100cos100)(ttu第4章正弦稳态电路分析16 1616 i = 10cos（1000 t +30O）A u = 311cos（314 t60O）V相位相位: t +初相位初相位: i = 30O , u = 60O相位

12、差相位差: 同频率的正弦电量的初相位之差。同频率的正弦电量的初相位之差。 i = 100 cos（314 t +30O）A u = 311cos（314 t60O）V =u i = 60O 30O = 90O相位相位初相位初相位上一页上一页下一页下一页返回返回下一节下一节4.1.2 相位差相位差 第4章正弦稳态电路分析17 1717如：如：12若若021 uiu i tO则：则：12cos()cos()mmuUtiIt第4章正弦稳态电路分析18 1818电流超前电压电流超前电压90iu900iu 0iu 电压与电流反相电压与电流反相180iu90uituiOuituiOtuiuiOuitui

13、O电压与电流的超前滞后关系第4章正弦稳态电路分析19 19例例 4.1-3 同频率的两个正弦电压分别为同频率的两个正弦电压分别为 V)30cos(8)(V)75cos(10)(21ttuttu试求它们的相位差试求它们的相位差，并说明两电压超前、滞后的情况。，并说明两电压超前、滞后的情况。解解 由由u1(t)、u2(t)的函数表达式可知：的函数表达式可知： 1=75, 2=-30 所以相位差所以相位差 =1-2=75-(-30)=105 电压电压u1(t)超前电压超前电压u2(t) 105, 或说或说u2(t)滞后滞后u1(t)的角度为的角度为105。 第4章正弦稳态电路分析2020例例 4.1

14、-4 同频率正弦电压、电流分别为同频率正弦电压、电流分别为 mV40sin5)(V3cos20)(ttittu试求相位差试求相位差，并说明两正弦量相位超前、滞后情况。，并说明两正弦量相位超前、滞后情况。 第4章正弦稳态电路分析21 21解解 此例欲说明：两正弦量的相位比较时，不仅两电压之此例欲说明：两正弦量的相位比较时，不仅两电压之间或两电流之间可以进行相位比较，正弦电压与电流之间亦可间或两电流之间可以进行相位比较，正弦电压与电流之间亦可进行相位比较。对于求相位差，要求两正弦量的函数形式应化进行相位比较。对于求相位差，要求两正弦量的函数形式应化为一致为一致(例如统一化为本书选用的余弦函数表示形

15、式例如统一化为本书选用的余弦函数表示形式)，各正弦，各正弦量的初相角要用统一的单位。这样，本例中电流量的初相角要用统一的单位。这样，本例中电流i(t)应改写为应改写为 i(t)=5cos(t+40-90) mA=5 cos(t-50) mA 电压电压u(t)改写为改写为 u(t)=20 cos(t+60) V 显然显然 u=60, i=-50 第4章正弦稳态电路分析2222所以相位差所以相位差 =u-i=60-(-50)=110由计算得到的由计算得到的值可以判定：电压值可以判定：电压u(t)超前电流超前电流i(t)的角度为的角度为110，或说电流，或说电流i(t)滞后电压滞后电压u(t)的角度

16、为的角度为110。 第4章正弦稳态电路分析23234.1.3 有效值有效值在电路分析中，人们不仅需要了解正弦信号各瞬时的数值，在电路分析中，人们不仅需要了解正弦信号各瞬时的数值， 而且更关注它们的平均效果。可以用一个称做有效值的物理量而且更关注它们的平均效果。可以用一个称做有效值的物理量来表征这种效果。来表征这种效果。 正弦信号的有效值是从能量等效的角度定义的正弦信号的有效值是从能量等效的角度定义的。如图。如图 (a)、(b)所示，令正弦电流所示，令正弦电流i和直流电流和直流电流I分别通过两个阻值相等的电分别通过两个阻值相等的电阻阻R，如果在相同的时间，如果在相同的时间T(T为正弦信号的周期为

17、正弦信号的周期)内，两个电阻内，两个电阻消耗的能量相等，那么定义该直流电流的值为正弦电流消耗的能量相等，那么定义该直流电流的值为正弦电流i的有的有效值，记为效值，记为I。 第4章正弦稳态电路分析2424第4章正弦稳态电路分析2525第4章正弦稳态电路分析2626)cos(2)cos()()cos(2)cos()(mmuuiitUtUtutItIti引入有效值以后，正弦电流和电压的表达式也可写为引入有效值以后，正弦电流和电压的表达式也可写为 第4章正弦稳态电路分析2727例例 4.1-5 写出下列正弦量的有效值：写出下列正弦量的有效值： mV45cos7 .70)()2(V3cos100)()

18、1 (ttittu解解 mV05mA7 .7021) 1 (70.7VV10021) 1 (IU第4章正弦稳态电路分析2828VVUUm31122022【解解】由题可知，该电器所加正弦交流电源参数为：由题可知，该电器所加正弦交流电源参数为：有效值有效值 28【例例】若购得一台耐压为若购得一台耐压为300V 的电器，是否可用于的电器，是否可用于220V的线路上的线路上? ?VU220 最大值最大值 该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。第4章正弦稳态电路分析292929例：例：现需选择一个电容器接在有效值为现需选择一个电容器接在有效值

19、为380V380V电源上，电源上，耐压值分别有耐压值分别有400V400V，500V500V，600V600V的三个电容器的三个电容器（电容量相同），应该选哪个？（电容量相同），应该选哪个？VUUm4 .53723802有效值为有效值为380V380V的正弦电压，其最大值为：的正弦电压，其最大值为：解：解：所以应选用耐压值为所以应选用耐压值为600V600V的电容器。的电容器。第4章正弦稳态电路分析303030 前面讲了正弦量的两种表示方法，一种是瞬时表示，前面讲了正弦量的两种表示方法，一种是瞬时表示，一种是用波形表示，如下所示。一种是用波形表示，如下所示。瞬时值表达式瞬时值表达式波形图表示波

20、形图表示ut O 用波形图或瞬时值表示可直观地描述出正弦电用波形图或瞬时值表示可直观地描述出正弦电压或电流随时间变化的进程，但不便于运算。压或电流随时间变化的进程，但不便于运算。为了为了简化同频率正弦量的运算，引入相量表示法，简化同频率正弦量的运算，引入相量表示法，即用即用一个复数表示一个正弦电压或电流一个复数表示一个正弦电压或电流.4.2 正弦交流电的相量表示法正弦交流电的相量表示法1cos()muUt第4章正弦稳态电路分析31 31第4章正弦稳态电路分析3232第4章正弦稳态电路分析3333第4章正弦稳态电路分析343434+j+1Abar 0设设A为复数为复数:A =a + jbabar

21、ctan22bar复数的模复数的模复数的辐角复数的辐角式中式中:racosrbsin4.2.1复数复数的的表示方法表示方法及运算及运算 复数的表示方法复数的表示方法)sinj(cossinjcosrr rA为了区别电流参数，用为了区别电流参数，用j j取代数学中的虚数单位取代数学中的虚数单位i i第4章正弦稳态电路分析353535 rAje rrr jrbaAjsincosjerA 由欧拉公式由欧拉公式:2jsinjjee,ee2cosjjsinjcosej 可得可得: )sinj(cossinjcosrr rA第4章正弦稳态电路分析3636复数的运算复数的运算第4章正弦稳态电路分析3737第

22、4章正弦稳态电路分析3838旋转因子旋转因子第4章正弦稳态电路分析3939若把复数若把复数A表示在复平面上，如图所示。由图可知表示在复平面上，如图所示。由图可知 221221Aaaaarctga12cossinaAaA实部实部a1和虚部和虚部a2也可表示为也可表示为 Im,Re21AaAa式中，式中，Re表示取复数的实部；表示取复数的实部；Im表示取复数的虚部。表示取复数的虚部。第4章正弦稳态电路分析404040?2510475【例】 计算)226. 4063. 9()657. 341. 3(2510475jj61. 248.12569. 047.12j【解】第4章正弦稳态电路分析41 41=

23、t+i 其中其中,t是实时间变量是实时间变量; 、i是实常数，是实常数，则复值函数则复值函数亦可应用欧拉公式展开，即亦可应用欧拉公式展开，即 )j(eitmI)sin(j)cos(emm)j(miittItIIi4.2.2 相量代表正弦交流电相量代表正弦交流电若若根据欧拉公式根据欧拉公式 ej=cos+jsin 可知可知 eRecosj式中式中是实数。它可以是常数，也可以是变数。是实数。它可以是常数，也可以是变数。 第4章正弦稳态电路分析4242一个复数可几何表示为复平面上的一个静矢量一个复数可几何表示为复平面上的一个静矢量(不随时不随时间动间动)， 如图（如图（a）中的复数）中的复数A。 一

24、个复值函数一个复值函数Imej(t+i)在复在复平面上可以用一个旋转矢量表示平面上可以用一个旋转矢量表示， 如图如图( b)所示。所示。(a)复数（静矢量）复数（静矢量）(b)复值函数（旋转矢量）复值函数（旋转矢量）第4章正弦稳态电路分析4343假设某正弦电流为假设某正弦电流为 )cos()(mitIti显然它是显然它是的实部，的实部，于是电流于是电流i(t)又可写为又可写为 )cos(eRe)(m)( jmittIItii将上式进一步改写为将上式进一步改写为 )eRe(eeReeRe)(jmjjm)(mtttjIIItiii)sin(j)cos(emm)j(miittItIIiiIIIimj

25、mme式中式中 旋转因子第4章正弦稳态电路分析4444Im是复数，它的模正好是正弦电流的振幅，辐角是正弦电流的是复数，它的模正好是正弦电流的振幅，辐角是正弦电流的初相位。这正是我们感兴趣的正弦信号的两个要素。为了把这初相位。这正是我们感兴趣的正弦信号的两个要素。为了把这样一个代表正弦量的复数与一般的复数相区别，将它称作相量样一个代表正弦量的复数与一般的复数相区别，将它称作相量， 并在符号上方加一点以示区别。并在符号上方加一点以示区别。Im称为电流相量，把它几何表称为电流相量，把它几何表示在复平面上，示在复平面上， 称为相量图，称为相量图， 如下图所示。如下图所示。 .第4章正弦稳态电路分析45

26、45对于任意时刻对于任意时刻t，旋转相，旋转相量与实轴的夹角为量与实轴的夹角为(t+i)，它在实轴上的投影正好是正弦它在实轴上的投影正好是正弦电流电流i(t)=Imcos (t+i)在这一在这一瞬间的值。如果把这个旋转相瞬间的值。如果把这个旋转相量在实轴上的投影按照时间逐量在实轴上的投影按照时间逐点描绘出来，就得到一条余弦点描绘出来，就得到一条余弦曲线，如图所示。曲线，如图所示。第4章正弦稳态电路分析4646eRe)(jmtIti当旋转相量旋转一周时，余弦曲线正好变化一周。也当旋转相量旋转一周时，余弦曲线正好变化一周。也就是说，就是说， 旋转相量逆时针旋转的角速度旋转相量逆时针旋转的角速度就是

27、正弦就是正弦信号的角频率。用类似方法可以说明旋转相量在虚轴信号的角频率。用类似方法可以说明旋转相量在虚轴上的投影为正弦曲线。上的投影为正弦曲线。上述几何意义用公式表示，上述几何意义用公式表示， 就是取旋转相量的就是取旋转相量的实部得到正弦电流，实部得到正弦电流， 即即第4章正弦稳态电路分析4747()jjjcos()ReeReeeReeuutmumj ttmmuUtUUUeujmmmuUUU式中式中 称为称为电压相量。电压相量。 同样地，同样地， 正弦电压可表示为正弦电压可表示为 第4章正弦稳态电路分析4848必须强调指出：相量与正弦信号之间只能说是存在对应关必须强调指出：相量与正弦信号之间只

28、能说是存在对应关系，或变换关系，不能说相量等于正弦量。系，或变换关系，不能说相量等于正弦量。相量必须乘以旋转相量必须乘以旋转因子因子ejt并取实部后才等于所对应的正弦信号。正弦函数及其并取实部后才等于所对应的正弦信号。正弦函数及其相量之间的关系常用如下双向箭头表示：相量之间的关系常用如下双向箭头表示： )cos()(mutUtuuUUmm相量与物理学中的向量相量与物理学中的向量( (矢量矢量) )是两个不同的概念。是两个不同的概念。相量是用相量是用来代表时间域中的正弦量，而向量是表示空间内具有大小和来代表时间域中的正弦量，而向量是表示空间内具有大小和方向的物理量方向的物理量(如力、如力、 电场

29、强度等电场强度等)。 第4章正弦稳态电路分析4949相量也可用正弦量有效值与初相构成的复数来表示，相量也可用正弦量有效值与初相构成的复数来表示， 即即 jmmjmm11e2211e22iuiiuuIIIIIUUUUU 第4章正弦稳态电路分析505050)(sinmtIi？=非正弦量不能表示。非正弦量不能表示。只有只有同频率同频率的正弦量才能画在同一相量图上。的正弦量才能画在同一相量图上。 IeImjm 最大值表示：最大值表示：mmI U、 实际应用中，多采用有效值表示：实际应用中，多采用有效值表示：I U、第4章正弦稳态电路分析51 5151V452220U正误判断正误判断)V45(sin22

30、0 tu)A60(sin10tiV100 U 2.已知：已知：A6010IV15100U)45sin(25455tI第4章正弦稳态电路分析5252例例 4.2-1 试写出下列各电流的相量，并画出相量图：(1)i1(t)=5cos(100t+60) A(2)i2(t)=10sin(100t+30) A(3) i3(t)=-4cos(100t+45) A 解解 (1) A6025 . 26025A6051m1II第4章正弦稳态电路分析5353(2) 由于本书规定由于本书规定1010代表代表cos(cos(tt) )作参考相量，所以决作参考相量，所以决定初相角时应先把正弦函数定初相角时应先把正弦函数

31、(sin)变为余弦函数变为余弦函数(cos)后再确定。后再确定。 故故本例本例i2(t)应改写为应改写为 i2(t)=10cos(100t+30-90)=10cos(100t-60) A 故 A6025601021A60102m2II第4章正弦稳态电路分析5454(3) 先把先把i3(t)改写为改写为 i3(t)=4cos(100t+45-180)=4cos(100t-135) A 故故 13543m3II第4章正弦稳态电路分析5555例4.2-1的相量图 相量在复平面上的图示称相量在复平面上的图示称为相量图。为相量图。画相量图首先应该画相量图首先应该画出参考坐标系。

32、这个坐标系画出参考坐标系。这个坐标系可以用相互垂直的实轴和虚轴可以用相互垂直的实轴和虚轴来表示，来表示， 也可以只画出原点也可以只画出原点和一个表示参考相量的射线。和一个表示参考相量的射线。前者实轴的方向即为参考相量前者实轴的方向即为参考相量的方向。本例中三个电流的代的方向。本例中三个电流的代表相量的相量图如图所示。表相量的相量图如图所示。 第4章正弦稳态电路分析5656例例 4.2-2 求下列各电压相量代表的电压瞬时值表达式求下列各电压相量代表的电压瞬时值表达式(已知已知=10 rad/s)：V120100)2(V3050) 1 (2m1UU解解(1) (1) 因因U U1m1m是振幅相量，

33、故是振幅相量，故 .U1m=50 V， u1=-30 因此 u1(t)=50 cos(10t-30) V 第4章正弦稳态电路分析5757(2) 因因U2是有效值相量，故是有效值相量，故 .120V,2100222muUU因此 V)12010cos(2100)(2ttu第4章正弦稳态电路分析585858例例: 已知已知12.7 (cos30jsin30 )A 11(cos60jsin 60 )A本题中，电流本题中，电流i的最大值不等于的最大值不等于i和和i的最大值之和。的最大值之和。电流电流i的有效值不等于的有效值不等于i和和i的有效值之和。的有效值之和。)A 30 (314sin2.7 12

34、1ti )A 60 (314sin211 2ti。 iii21A) 10.9 314(sin216.8 ti求：求：A3012.7 1IA60112IAA60113012.721IIIA10.916.8j3.18)A-16.5 ( 第4章正弦稳态电路分析595959U 特点：特点： 1 1）频率相同）频率相同, ,相位相同相位相同(1)(1)电压、电流的关系为关联参考方向电压、电流的关系为关联参考方向2 2）大小关系：）大小关系：U = R I（有效值）（有效值）如如U =U 0则则I = I 0I上一页上一页下一页下一页返回返回下一节下一节上一节上一节3 3）相量关系）相量关系：U = R

35、IiRu tIRtU2Ruisinsin2Riu+_设：设：tUusin24.3 基本元件基本元件VCR的相量形式和的相量形式和KCL、KVL的相量形式的相量形式4.3.1 R、 L、 C元件元件VAR的相量形式的相量形式 1. 1. 电阻元件电阻元件第4章正弦稳态电路分析606060iup瞬时电压与瞬时电流的乘积瞬时电压与瞬时电流的乘积tIU2mmsin)2cos(121mmtIU结论结论: （耗能元件）（耗能元件）, ,且随时间变化。且随时间变化。0ptUutIisin2sin2pituOtpOiu） 瞬时功率瞬时功率: : (2)(2)功率关系功率关系第4章正弦稳态电路分析61 6161

36、TtpTP0d1UIttUITT0)dcos2(11ttIUTTd)2cos(12110mmIUP 单位单位:瓦（瓦（W） 2RI P RU2Riu+_pptO） 平均功率平均功率( (有功功率有功功率):):第4章正弦稳态电路分析626262【例例】一个一个220V、1000W的电炉接在电源电压的电炉接在电源电压Vtu)6314sin(311的电路中，求：的电路中，求：（1）电炉的电阻是多少？）电炉的电阻是多少？（2）通过电炉的电流是多少？写出瞬时表达式。）通过电炉的电流是多少？写出瞬时表达式。（3）设此电炉每天使用）设此电炉每天使用2小时，问每月（按小时，问每月（按30天计算）消耗电能天计

37、算）消耗电能多少多少kWh（度）？（度）？第4章正弦稳态电路分析636363VUUm220231124 .48100022022PURARUI655. 44 .486220Ati)6314sin(255. 4hkWPtW603021000【解解】（1）则电炉的电阻则电炉的电阻 （2）则通过电炉的电流为则通过电炉的电流为 （3）第4章正弦稳态电路分析646464)90(sin2tLI U =I L 90iu相位差相位差tiLudd设：设：tIisin2iu+-LttILud)sin2d()90(sin2tUu90tiO(1)(1)电压、电流的关系电压、电流的关系2. 2. 电感元件电感元件第4章

38、正弦稳态电路分析656565)90(sin2tLIutIisin2LXIU 则则: : 电感电感L具有通直阻交的作用具有通直阻交的作用直流：直流：f = 0, XL =0，电感电感L视为短路视为短路LfLXL2 fLXL2 L IU交流：交流：fXLX XL L是频率的函数是频率的函数LXLXfO第4章正弦稳态电路分析666666)(jjLXILIUUI相量图相量图90IU超前超前)90(sin2tLIutIisin2根据：根据： 0II 9090LIUULIUIU j90 则：则：第4章正弦稳态电路分析676767(2)(2)功率关系功率关系） 瞬时功率瞬时功率: : p = u i = U

39、mcost Im sint = U I sin2t 上一页上一页下一页下一页返回返回下一节下一节上一节上一节p 0ui+-ui+-ui+-ui+-+p 0p 0p 0p 0, i0, 故故p0，电容供出功率。在此期间，电容电压由最大值逐渐减少到零，电容供出功率。在此期间，电容电压由最大值逐渐减少到零，电容把储存的电能供给外电路或电源。电容把储存的电能供给外电路或电源。 当当t=T/4时，时， 电容的储电容的储能能wC=0。 在在(T/4T/2)期间：期间：u0,i0，电容吸收功率。，电容吸收功率。 这这时，电容被反向充电，电容电压由零逐渐达到负的最大值，时，电容被反向充电，电容电压由零逐渐达到

40、负的最大值， 电容从外电路或电源获得能量并储存在电场中。当电容从外电路或电源获得能量并储存在电场中。当t=T/2时，时， 电容存储的能量达到最大值，即电容存储的能量达到最大值，即 22mmax21CUCUwC在在(T/23T/4)期间，期间， 电容处于放电状态，电容处于放电状态， 释放能量。释放能量。 第4章正弦稳态电路分析136136由上述讨论可知：电容元件也不消耗能量，只是与外电路由上述讨论可知：电容元件也不消耗能量，只是与外电路或电源进行能量交换，故平均功率也等于零。或电源进行能量交换，故平均功率也等于零。0d)(10TttpTP通常所说电容不消耗功率也是指它吸收的平均功率为零。通常所说

41、电容不消耗功率也是指它吸收的平均功率为零。 第4章正弦稳态电路分析137137例例 4.6-1 4.6-1 如图如图 (a) (a)所示正弦稳态电路，已知所示正弦稳态电路，已知，求电阻，求电阻R R1 1、R R2 2消耗的平均功率和电消耗的平均功率和电感感L、电容、电容C的平均储能。的平均储能。 V)5cos(210)(sttu例例 4.6-1 用图用图 第4章正弦稳态电路分析138138解解 首先求出首先求出XL和和XC: 405. 0511515CXLXCL画出电路的相量模型，如图画出电路的相量模型，如图 (b)所示。所示。 图中：图中： V010sU由图可知：由图可知： V9 .368

42、1 .5324 j)4 j(A1 .5321 .535010)5 j5(4541. 14507. 7010)5 j5(2s2s1IUUIUIC第4章正弦稳态电路分析139139所以电阻所以电阻R1、R2消耗的功率分别为消耗的功率分别为 W1232W10541. 12222221211RIPRIP电感的平均储能为电感的平均储能为 J141. 112121221avLIWL电容的平均储能为电容的平均储能为 J6 . 1805. 0212122avCCCUW第4章正弦稳态电路分析1401404.6.2 一端口网络的功率一端口网络的功率图所示为正弦稳态线性一端口网络图所示为正弦稳态线性一端口网络N，设

43、其端口电流，设其端口电流i(t)和和端口电压端口电压u(t)参考方向关联。这里讨论正弦稳态一端口网络参考方向关联。这里讨论正弦稳态一端口网络N的功率。的功率。设端口电压设端口电压 )cos()(mutUtu端口电流端口电流i是相同频率的正弦量，设是相同频率的正弦量，设 )cos()(mitIti第4章正弦稳态电路分析1411411. N的瞬时功率的瞬时功率 )cos()cos()()()(mmiuttIUtitutp利用三角公式利用三角公式 2)cos()cos(coscosyxyxyx改写改写p(t)的表达式为的表达式为 )2cos()cos()2cos(21)cos(21)(mmmmiui

44、uiuiutUIUItIUIUtp第4章正弦稳态电路分析1421422. N的平均功率的平均功率 ttpTPTd)(10将式代入得 )cos()2cos(21d)2cos(211d)(211mmmm0m0iuiuiuTiumTUIIUttIUTtpIUTP不论不论N内是否含独立源，均可应用上式计算内是否含独立源，均可应用上式计算N的平均功率。的平均功率。 第4章正弦稳态电路分析143143 如果二端电路如果二端电路N N内不含独立电源，则可等效为阻抗内不含独立电源，则可等效为阻抗Z Z，如。，如。电压与电流的相位差等于阻抗角，电压与电流的相位差等于阻抗角， 即即 Z=u-i 故式可以改写为故式

45、可以改写为 ZZUIIUPcoscos21mm上式表明：阻抗的平均功率不仅与电流、电压的振幅上式表明：阻抗的平均功率不仅与电流、电压的振幅( (或有效或有效值值) )大小有关，而且与大小有关，而且与coscosZ Z有关。有关。coscosZ Z称为功率因数，通常称为功率因数，通常用用表示，故阻抗角表示，故阻抗角Z Z也称为功率因数角。也称为功率因数角。 第4章正弦稳态电路分析144144 当无源二端电路的等效阻抗为电阻性时，当无源二端电路的等效阻抗为电阻性时，Z=0, cosZ =1,P=UmIm/2=UI。当等效阻抗为纯电感性或纯电容性。当等效阻抗为纯电感性或纯电容性时，时，Z =90,

46、cosZ=0,P=0。因此，前面讨论的。因此，前面讨论的R、L、C元件的功率可以看成是等效阻抗功率的特殊情况。元件的功率可以看成是等效阻抗功率的特殊情况。 第4章正弦稳态电路分析1451453.N3.N的视在功率的视在功率二端电路二端电路N N端子上电压、电流振幅乘积之半或电压、电流端子上电压、电流振幅乘积之半或电压、电流有效值乘积定义为二端电路有效值乘积定义为二端电路N的视在功率，用符号的视在功率，用符号S表示表示(也可也可用用PS表示表示)， 即即 mm12defSU IUI视在功率的单位为伏安视在功率的单位为伏安(V(VA)A)。任何实际电路设备出厂时，都任何实际电路设备出厂时，都规定了

47、额定电压和额定电流，规定了额定电压和额定电流， 即电器设备正常工作时的电压即电器设备正常工作时的电压和电流，因而所定义的视在功率也是一个额定值。和电流，因而所定义的视在功率也是一个额定值。对于电阻性对于电阻性电器设备，例如灯泡、电烙铁等，功率因数等于电器设备，例如灯泡、电烙铁等，功率因数等于1 1， 视在功率视在功率与平均功率在数值上相等。与平均功率在数值上相等。第4章正弦稳态电路分析1461464.N4.N的无功功率的无功功率二端电路二端电路N的无功功率的无功功率Q(也可用也可用PQ表示表示)定义为定义为 )sin()sin(21defmmiuiuUIIUQ其单位为乏其单位为乏(var)。 设二端电路设二端电路N的端口电压与电流的相量图如图的端口电压与电流的相量图如图4.6-7所示。所示。 电流相量电流相量I分解为两个分量：一个与电压相量分解为两个分量：一个与电压相量U同相的分量同相的分量Ix; 另一个与另一个与U正交的分量正交的分量Iy。它们的值分别为。它们的值分别为 .)sin()cos(iuyiu