第七章、立体表面的交线

1、 7.1 7.1 截交线截交线结束放映结束放映1.平面与立体相交平面与立体相交-截交线截交线CSABPMKN截平面截平面截交线截交线立体表面的截交线的特性立体表面的截交线的特性封闭性共有性 用平面与立体相交，截去立体的一部分用平面与立体相交，截去立体的一部分 截切截切。 截平面与立体表面的交线截平面与立体表面的交线截交线截交线。 用以截切立体的平面用以截切立体的平面截平面截平面。7.1 7.1 立体表面的截交线立体表面的截交线截交线的性质：截交线的性质： 是一封闭的平面多边形。是一封闭的平面多边形。 截交线的形状取决于被截立截交线的形状取决于被截立 体的形状及截平面与立体的体的形状及截平面与立

2、体的 相对位置。相对位置。 截交线的投影的形状取决于截交线的投影的形状取决于 截平面与投影面的相对位置。截平面与投影面的相对位置。 截交线是截平面与立体表面截交线是截平面与立体表面 的共有线。的共有线。 求截交线的两种方法：求截交线的两种方法： 求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点棱线法棱线法。 求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线棱面法棱面法。 求截交线的步骤：求截交线的步骤： 截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性确定截交确定截交线的形状线的形状 空间及投影分析空间及投影分析 画出截

3、交线的投影画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的交线，分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。并连接成多边形。一、平面体表面的截交线一、平面体表面的截交线 截交线的每条边是截交线的每条边是截平面与棱面的交线截平面与棱面的交线。 截交线是一个由直线组成的截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形封闭的平面多边形。7.1.1 平面立体的截交线平面立体的截交线例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。作图步骤：作图步骤：1.利用投影积聚性求截交线的正利用投影积聚性求截交线的正面投影；面投影；2. 求各顶点的水平和侧面投影；求各顶点的水平和侧面投影；此截交线各顶点

4、是截平面与立体棱线的交点。此截交线各顶点是截平面与立体棱线的交点。4.整理图形。整理图形。3.依次连接各点同面投影，即依次连接各点同面投影，即为截交线的投影；为截交线的投影；题题3 切口切口六棱柱的投影六棱柱的投影先画先画H H面投影面投影（积聚特征）（积聚特征）3 3（2 2）1 12 21 13 31 12 23 3对称切口对称切口题题4 五棱柱截切后的投影五棱柱截切后的投影A,B,CA,B,C在棱线上在棱线上P Pq qqqPPa ae ec cb bd db be e(d d)f f(g g)a a(c c)PPqqg g aabbc c d d eef f 注意：注意： 要逐个截平面

5、分析和要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交为整体被截切，求出截交线后再取局部。线后再取局部。例例6 6 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。1 12 21 1 (2(2 ) )2 2 1 1 三面共点：三面共点： 、两点分两点分别同时位于三个面别同时位于三个面上。上。 例例77求求P、Q 两平面与三棱锥截交线的投影两平面与三棱锥截交线的投影 。1解题步骤解题步骤1)1)分析分析: : 截平截平面为正垂面和面为正垂面和水平面，正面水平面，正面投影积聚；投影积聚；2)2)求出

6、点求出点1、2、3、4；Ssa aab (c )bbccPvQv3)3)顺次地连接顺次地连接各点，作出截各点，作出截交线，并且判交线，并且判别可见性；别可见性；S (3 )2 2314324)4)补全轮廓线。补全轮廓线。 4 1 4 截交线是截平面与回转体表面的截交线是截平面与回转体表面的共有线共有线。截交线的形状取决于回转体表面的形状及截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴截平面与回转体轴 线的相对位置线的相对位置。 求截交线的方法：求截交线的方法：求截平面与回转体表面的共有求截平面与回转体表面的共有 点并依次连接。方法有：素线法、纬圆法和辅助面点并依次连接。方法有：素线法、纬

7、圆法和辅助面 法；先求特殊位置的点，有必要再求一般位置的点。法；先求特殊位置的点，有必要再求一般位置的点。 求截交线的步骤：求截交线的步骤： 空间及投影分析空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的 相对位置，以相对位置，以确定截交线的形状确定截交线的形状。二、回转体的截交线二、回转体的截交线 画出截交线的投影画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。见性。 先找特殊点，再补充中间点先找特殊点，再补

8、充中间点。 分析截平面及回转体与投影面的相对位置，分析截平面及回转体与投影面的相对位置，明明 确确截交线的投影特性截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。，如积聚性、类似性等。 找出找出截交线的截交线的已知已知投影，投影，予见未知予见未知投影。投影。设立投影辅助面平行于截平面求断面实形。设立投影辅助面平行于截平面求断面实形。 圆柱体表面的截交线圆柱体表面的截交线 截平面与圆柱面的交线的形状取决于截截平面与圆柱面的交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。平面与圆柱轴线的相对位置。垂直垂直圆圆椭圆椭圆平行平行两平行直线两平行直线倾斜倾斜截交线的已知投影？截交线的已知投影？例例1 1：求左视图：求

9、左视图找特殊点找特殊点补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影截交线的侧面投截交线的侧面投影是什么形状？影是什么形状？例例1 1：求左视图：求左视图找特殊点找特殊点找中间点找中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影 椭圆的长、椭圆的长、短轴随截平面与短轴随截平面与圆柱轴线夹角的圆柱轴线夹角的变化而改变。变化而改变。什么情况下什么情况下投影为圆呢？投影为圆呢？截平面与圆柱截平面与圆柱轴线成轴线成4545时。时。4545例例5 5：求左视图：求左视图例例2 2：求左视图：求左视图例例3.圆柱体的截交线圆柱体的截交线（2 2）1 11

10、1221122例例5 5：求左视图：求左视图空间及投影分析空间及投影分析求截交线求截交线分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影截交线的形状截交线的形状截交线的投影特性截交线的投影特性解题步骤：解题步骤： 同一立体被多同一立体被多个平面截切，要逐个平面截切，要逐个截平面进行截交个截平面进行截交线的分析和作图。线的分析和作图。例例5 5：求左视图：求左视图空间及投影分析空间及投影分析求截交线求截交线分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影截交线的形状截交线的形状截交线的投影特性截交线的投影特性解题步骤：解题步骤：分析、比较分析、比较 =90=90 90900 0 圆锥体表面的截交

11、线圆锥体表面的截交线过锥顶过锥顶两相交直线两相交直线圆圆椭圆椭圆抛物线抛物线双曲线双曲线 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平面与圆锥面的交线有五种形状。面与圆锥面的交线有五种形状。2 . 圆锥体的截交线圆锥体的截交线圆圆椭椭 圆圆抛物线抛物线双曲线双曲线三角形三角形形式形式轴轴 测测 图图投投 影影 图图PVPVPVPVPVdcecadb例例1:1:圆锥被正平面截切，补全主视图。圆锥被正平面截切，补全主视图。EDCABba截交线截交线的空间的空间形状？形状？截交线截交线的投影的投影特性？特性？e例例2:2:圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求

12、截交线，并完成三视图。截交线，并完成三视图。截交线截交线的空间的空间形状？形状？截交线截交线的投影的投影特性？特性？找特殊点找特殊点如何找椭圆另如何找椭圆另一根轴的端点？一根轴的端点？补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓线的分析轮廓线的 投影投影例例2:2:圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。截交线，并完成三视图。找特殊点找特殊点补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓线的分析轮廓线的 投影投影椭圆的长轴、椭圆的长轴、短轴端点等短轴端点等特殊位置的特殊位置的点点画出斜截面的实形画出斜截面的实形（三）（三）. 圆球的截交线圆球的截交线(1)

13、求特殊点及截交线与圆的切点求特殊点及截交线与圆的切点中点中点切点切点DACB(2)(2)求一般点求一般点DACB(3)(3)由点连线并整理加深图形由点连线并整理加深图形DACB 圆球表面的截交线圆球表面的截交线 平面与圆球相交，平面与圆球相交，截交线的形状都是圆截交线的形状都是圆，但，但根据截平面与投影面的相对位置不同，根据截平面与投影面的相对位置不同，其其截交线截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。 水平面与圆球面的水平面与圆球面的交线的投影，在俯视图交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。图上积聚为直线。 两个侧

14、平面与圆球面两个侧平面与圆球面的交线的投影，在侧视上的交线的投影，在侧视上为部分圆弧，在俯视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。积聚为直线。例：求半球体截切后的俯视图和左视图。例：求半球体截切后的俯视图和左视图。 圆球表面的截交线圆球表面的截交线 平面与圆球相交，平面与圆球相交，截交线的形状都是圆截交线的形状都是圆，但根据截，但根据截平面与投影面的相对位置不同，平面与投影面的相对位置不同，其其截交线的投影可能为圆、截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线椭圆或积聚成一条直线。水平面与圆球面的交线水平面与圆球面的交线的投影，在俯视图上为的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上部分圆弧，在侧视

15、图上积聚为直线。积聚为直线。 两个侧平面与圆球两个侧平面与圆球面的交线的投影，在侧面的交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。俯视图上积聚为直线。例：求半球体截切后的俯视图和左视图。例：求半球体截切后的俯视图和左视图。7.1 7.1 回顾：回顾：一、截交线的相关名词：一、截交线的相关名词： 1、假想用来截割形体的平面称截平面； 2、截平面与形体表面的交线称为截交线。 3、截交线围成的平面图形称为断面。二、截交线的特点与作法：二、截交线的特点与作法：平面体截交线曲面体截交线特点特点：平面体截交线是封闭的平面或空间折线方法方法：求侧棱、底边与截面的交点，依次连

16、接；或各侧面、底面与截平面的交线围成特点特点：是封闭平面或空间曲线、折线方法方法：素线法、围圆法、辅助投影面法求特殊位置的点，然后一般位置，依次连接立体表面立体表面的截交线的截交线 两相交形体两相交形体相贯相贯。 两相贯形体的表面交线称为两相贯形体的表面交线称为相贯线相贯线。7.2 7.2 立体表面的相贯线立体表面的相贯线相贯线的主要性质：相贯线的主要性质： 求相贯线的作图实质是找出相贯的两立体表面的若求相贯线的作图实质是找出相贯的两立体表面的若干干共有点共有点的投影。的投影。 共有性共有性 表面性表面性相贯线位于两立体的表面上。相贯线位于两立体的表面上。相贯线是相贯线是两立体表面的共有线两立

17、体表面的共有线。相贯线上的点即为两形体表面的公共点。相贯线上的点即为两形体表面的公共点。 封闭性封闭性 相贯线一般是相贯线一般是封闭的空间折封闭的空间折线线（通常由直线和曲线组成）（通常由直线和曲线组成）或或空间曲线空间曲线。 两平面立体相交，相贯线是闭合的空两平面立体相交，相贯线是闭合的空间折线（有时也是平面多边形）。间折线（有时也是平面多边形）。 折线的每一段都是甲形体的一个侧面折线的每一段都是甲形体的一个侧面与乙形体的一个侧面的交线，折线转折点与乙形体的一个侧面的交线，折线转折点则是一个形体的侧棱与另一个形体侧面的则是一个形体的侧棱与另一个形体侧面的交点。交点。 求两平面立体相贯线，实质

18、就是求两求两平面立体相贯线，实质就是求两个侧面的交线或求直线与平面的交点。个侧面的交线或求直线与平面的交点。两两个三棱个三棱柱相贯柱相贯，补全，补全其正面其正面投影。投影。V V 1 1、补绘组合、补绘组合体体V V投影；投影；2 2、求相贯线、求相贯线转折点（直转折点（直线与平面的线与平面的交点）并依交点）并依次连接成封次连接成封闭的折线；闭的折线；3 3、判断可见、判断可见性。性。同时位于两同时位于两个可见侧面个可见侧面上的交线才上的交线才是可见的是可见的 相贯线相贯线由若干段平面曲线或平面曲线和由若干段平面曲线或平面曲线和直线组成的空间曲折线；直线组成的空间曲折线； 各段平面曲线或直线就

19、是平面体上各侧各段平面曲线或直线就是平面体上各侧面截割曲面体所形成的截交线面截割曲面体所形成的截交线。每一段平面。每一段平面曲线或直线的转折点，就是平面上各侧棱与曲线或直线的转折点，就是平面上各侧棱与曲面体表面的相贯点。曲面体表面的相贯点。二、平面体与曲面体相贯二、平面体与曲面体相贯 求相贯线的方法：求相贯线的方法： 求两立体体表面一系列转折点，再根据求两立体体表面一系列转折点，再根据求曲面体截交线的方法，求出每一段曲线求曲面体截交线的方法，求出每一段曲线或直线。然后依次光滑地连接即为相贯线。或直线。然后依次光滑地连接即为相贯线。方法：利用积聚性，用素线法、围圆法、方法：利用积聚性，用素线法、

20、围圆法、 辅助平面法求特殊点、一般点，依辅助平面法求特殊点、一般点，依 次连接。判断可见性。次连接。判断可见性。.求特殊点：求特殊点：最高、最低点最高、最低点V VW W.求一般点：求一般点：.联接相贯线联接相贯线.连接可见连接可见轮廓线轮廓线.求特殊点：求特殊点：.求一般点：求一般点：.联接相贯线联接相贯线.连接轮廓线连接轮廓线V VW W.求特殊点：求特殊点：.求一般点：求一般点：.联接相贯线联接相贯线.连接轮廓线连接轮廓线 相贯线一般为光滑封闭的空相贯线一般为光滑封闭的空 间曲线间曲线，它是两回转体表面它是两回转体表面 的共有线的共有线。三、回转体与回转体相贯三、回转体与回转体相贯 作图

21、方法作图方法 表面取点法（积聚性法：表面取点法（积聚性法：可利可利用相贯线的积聚投影来求解用相贯线的积聚投影来求解） 辅助平面法辅助平面法 先找特殊点。先找特殊点。 作图过程作图过程 补充中间点。补充中间点。确定交线的确定交线的弯曲趋势弯曲趋势确定交线确定交线的范围的范围yyyydedeacbbac解题步骤1 分析 相贯线的水平投影和侧面投影已知，利用积聚利用积聚性，采用表面取点法。性，采用表面取点法。2 求出相贯线上的特殊点A、B、 C；3 求出若干个一般点D、E；(补充）4 光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并且判别可见性；5 整理轮廓线。例例3 3 ：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。：圆柱与

22、圆柱相贯，求其相贯线。a(b”)cd”(e”)(1(1）积聚性法）积聚性法 当参与相交当参与相交的两回转体表面的两回转体表面有积聚性时，可有积聚性时，可利用相贯线的积利用相贯线的积聚投影来求解。聚投影来求解。yyded”(e”)两圆柱的外表面与内表面相交（穿孔）两圆柱的外表面与内表面相交（穿孔）bacyydeacb a（b”）c实质是实体实质是实体与虚体相贯与虚体相贯返回局部放大图例例4：求两轴线交叉圆柱圆锥的相贯线123456891071122346789105345678910返回例例4：求两轴线交叉圆柱圆锥的相贯线例例8：求两轴线交叉圆柱圆锥的相贯线：求两轴线交叉圆柱圆锥的相贯线返回局部

23、放大图两圆柱直径的变化对相贯线的影响两圆柱直径的变化对相贯线的影响交线为两条平面交线为两条平面曲线（椭圆）曲线（椭圆）交线向大圆柱一侧弯交线向大圆柱一侧弯用水平面作为辅助平面用水平面作为辅助平面例例 圆柱与圆锥正交圆柱与圆锥正交(2) (2) 辅助平面法辅助平面法 当参与相交的两回转体表面之一无积聚性当参与相交的两回转体表面之一无积聚性( (或均无积聚性或均无积聚性) )时，可采用辅助平面法求解。时，可采用辅助平面法求解。 所谓辅助平面法，就是在相交两回转体的适当部位作一辅所谓辅助平面法，就是在相交两回转体的适当部位作一辅助平面，先分别求出辅助平面与两回转体的截交线，然后求助平面，先分别求出辅

24、助平面与两回转体的截交线，然后求出两条截交线的交点。出两条截交线的交点。 为了便于作图，常选择特殊位置平面（投影面的平行面或为了便于作图，常选择特殊位置平面（投影面的平行面或垂直面）作为辅助平面，使辅助平面与两回转体表面相交的垂直面）作为辅助平面，使辅助平面与两回转体表面相交的截交线为最简单的作图线截交线为最简单的作图线( (如直线或圆等如直线或圆等) )。截交线为圆和直线截交线为圆和直线截交线截交线的交点的交点 作图步骤：作图步骤： 辅助平面的选择原则：辅助平面的选择原则： 使使辅助平面与两回转体辅助平面与两回转体表面的表面的交线的投影简交线的投影简单易画单易画，例如直线或圆。，例如直线或圆

25、。一般选择一般选择投影面平行面投影面平行面。 作辅助平面与相贯的两立体相交作辅助平面与相贯的两立体相交 分别求出辅助平面与相贯的两立体表面的交线分别求出辅助平面与相贯的两立体表面的交线 求出交线的交点（即相贯线上的点）求出交线的交点（即相贯线上的点）例例5 5：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。 空间及投影分析：空间及投影分析： 相贯线为一相贯线为一光滑的封闭的空间曲线光滑的封闭的空间曲线。它的侧。它的侧面投影有积聚性，正面投影、水平投影没有积聚面投影有积聚性，正面投影、水平投影没有积聚性，应分别求出。性，应分别求出。 解题方法：解题方法：辅助平面法辅助平面法例例5 5： 假想用水平面假想用水平面P P截切立体截切立体,P,P面与圆柱面的交线面与圆柱面的交线为两条直线，与圆锥面的交线为圆，圆与两直线为两条直线，与圆锥面的交线为圆，圆与两直线的交点即为相贯线上的点的交点即为相贯线上的点( (相贯点）。相贯点）。P例例5 5：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。 解题步骤：解题步骤： 求特殊点求特殊点 用辅助平面法求用辅助平面法求 中间点中间点 光滑连接各点光滑连接各点例例5 5：解题步骤：解题步骤： 求特殊点求特殊点 用辅助平面法求用辅助平面法求 中间点中间点 光滑连接各点光滑连接各点例六、求圆柱与圆锥的