圆幂定理59435

1、圆幂定理我们把圆的切线上某一点与切点之间我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做的线段的长叫做这点到圆的切线长。这点到圆的切线长。OPAB切线与切线长的区别与联系：切线与切线长的区别与联系：（1 1）切线是一条与圆相切的直线切线是一条与圆相切的直线；（2 2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PB1=2 从圆外一点引圆的两条切线，它从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。条切线的夹角。 切线长定理切线长定理APO

2、。B几何语言几何语言:反思：切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等线段相等、角相等角相等提提 供了新的方法。供了新的方法。12 相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。POCDABPAPB=PCPD 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。PT2= PAPBAOPBT 如图，CD是弦，AB是直径，CDAB，垂足为P。求证：PC2PAPBACDBPO 相交弦定理推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。PC2= PAPB 如图，PAB和PCD是 O的两条割线。求证：PAPBPCPD 切割线定理推

3、论（割线定理）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。PAPBPCPDAOPBCD 如图，在 O中，P是弦AB上一点，OPPC，PC交 O于C。求证：PC2PAPBDCPOAB 如图，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D、E。AB=12，AO=15，AD=8，求两圆的半径。DOACBE 如图，C为AB的中点，BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD为半径的圆与AB及其延长线相交于H、K。求证：AHAK=2AC2。AEDBHKC 如图， O和 O都经过点A、B，PQ切 O于P，交 O 于Q、M，交AB的延长线于N。求证：PN

4、2NMNQBAMOOPQN学会用半径加减或加减半径 如图，已知PAB是 O的割线，PO14cm，PA4cm，AB16cm。求 O的半径。CAOPBCABDPO运动观点看本质 切线长定理 相交弦定理 相交弦定理推论 切割线定理 割线定理本质一样圆幂定理PABCDPABCDPAC 相交弦定理相交弦定理 割线定理割线定理 切割线定理切割线定理 切线长定理切线长定理 PAPB=PCPD PAPB=PCPD PA=PCPD PA=PCPA（B）CD几个定理得统一几个定理得统一统一叙述为：统一叙述为：过一点过一点P（无论点（无论点P在圆内，还是在圆外）在圆内，还是在圆外）的两条直线，与圆相交或相切（把切点

5、看成两个重合的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重合的的“交点交点”）于点）于点A、B、C、D，PAPB=PCPD 。ACOPDB(1)经过经过O内或外一点内或外一点P作两条直线交作两条直线交 O于于A,B,C,D四点四点,得到了如图所示的六种不同情得到了如图所示的六种不同情况况.在六种情况下在六种情况下,PA,PB,PC,PD四条线段在四条线段在数量上满足的关系式可用同一个式子表示数量上满足的关系式可用同一个式子表示.请请先写出这个式子，然后只就图先写出这个式子，然后只就图给予证明；给予证明；POBACD(P)OBACDPOBACDACOPD(B)ACOP(D)(B)POBACD222

6、222 PA PBrOP (P) PA PBOPr (P) PA PBOPr =0(P) 在圆内在圆外在圆上圆幂定理：过一个定点圆幂定理：过一个定点P的任何一条直线的任何一条直线与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两条线段的乘积为定值条线段的乘积为定值 =d （等于点等于点P到圆心的距离与半径的平方差到圆心的距离与半径的平方差的绝对值的绝对值）22O P.r22OPr定值称做点P对圆O的 幂已知：已知：P是是O的直径的直径CB的延长线上的一点，的延长线上的一点，PA和和O相切于相切于A，若，若PA15，PB5。（1）求）求tanABC的值；（的值；（2）弦）弦

7、AD使使BADP，求，求AD的长。的长。BOCPAD3;410圆幂定理求圆幂定理求AEED的值的值即等于即等于r2-OE2E连接CD正相似，可得AE与ED的比如图已知：点如图已知：点C是是 O外一点，过外一点，过C作作 O的的切线切线CB和和CD，切点分别为，切点分别为B、D，连，连BO并延并延长交长交 O于点于点E，交，交CD的延长线于的延长线于A，若，若ADmAE，且，且 ，求，求m的值。的值。312CtanEOBACD3连接OD如图，如图，PA切切O于于A，割线，割线PBC交交O于于B、C两点，两点，D为为PC的中点，且的中点，且AD延长线交延长线交O于于E，又，又求证求证：（：（1）PA=PD；。EADEBE2。）（DEAD2BD 2 2BEDOPCA证明：（1）连结ABPA切 O于A,PABAEBPAPD（2）由切割线定理,由相交弦定理，BDDCADDE BEDOPCA又PAPD，PC2PD已知在已知