《概率论与数理统计》第六章 样本及抽样分析

1、第六章第六章 样本及抽样分析样本及抽样分析总体与样本总体与样本 在实际问题中，往往并不知道是什么样分在实际问题中，往往并不知道是什么样分布，或者分布中的参数值是什么，这需要用数布，或者分布中的参数值是什么，这需要用数理统计的办法来解决。从全体研究对象中抽取理统计的办法来解决。从全体研究对象中抽取部分个体（有限）进行试验，尽可能从中获取部分个体（有限）进行试验，尽可能从中获取对研究对象统计规律对研究对象统计规律作出精确可靠的推测作出精确可靠的推测- -统计推断。统计推断。统计学最关心的是：统计学最关心的是：如何抽取数据如何抽取数据如何从数据中提取信息如何从数据中提取信息 所得结论的可靠性所得结论

2、的可靠性-抽样问题抽样问题-参数估计问题参数估计问题-假设检验问题假设检验问题统计学的研究对象统计学的研究对象:客观事物客观事物总体总体的的数量特征数量特征和和数量关系数量关系等。等。统计推断问题 学生身高的变化学生身高的变化 中国的经济发展使得人民生活得到了很大的提高，孩子中国的经济发展使得人民生活得到了很大的提高，孩子这一代的身高比上一代有了很大的变化，下面是在一个这一代的身高比上一代有了很大的变化，下面是在一个城市中学和一个农村中学收集到的城市中学和一个农村中学收集到的1717岁学生身高数据。岁学生身高数据。 （1 1）试对目前）试对目前17岁城市男生的平均身高做出估计？岁城市男生的平均

3、身高做出估计？ （2 2）查到）查到20年前该校同龄男生平均身高为年前该校同龄男生平均身高为168cm，20年来城市男生的身高是否发生了变化？年来城市男生的身高是否发生了变化？ （3 3）收集到）收集到100名农村男生的平均身高和标准差分别为名农村男生的平均身高和标准差分别为168.9cm和和5.4cm，问与城市同龄男生的身高有否差距？，问与城市同龄男生的身高有否差距？50名名17岁城市男生身高（单位：岁城市男生身高（单位：cm）163.3 179.0 176.5 178.4 165.1 179.4 176.3 179.0 173.9 173.7173.2 172.3 169.3 172.8

4、176.4 163.7 177.0 165.6 167.4 166.6174.0 174.3 184.5 171.9 181.4 164.6 176.4 172.4 180.3 160.5166.2 173.5 171.7 167.9 168.7 175.6 179.6 171.6 168.1 172.2179.0 171.5 173.1 174.1 177.2 170.3 176.2 163.7 175.4 170.147名名17岁农村男生身高（单位：岁农村男生身高（单位：cm）171.2 163.7 173.1 171.9 164.4 167.4 162.4 157.0 174.2 166

5、.0170.6 170.1 169.0 163.4 163.7 166.8 162.4 163.1 176.8 169.2162.3 168.6 162.8 161.6 167.4 174.0 169.5 172.4 162.5 166.4167.4 162.3 161.7 173.9 168.9 165.4 173.2 170.1 163.5 176.1170.4 176.8 175.0 165.2 161.9 168.5 167.1第六章第六章 样本及抽样分析样本及抽样分析总体与样本总体与样本 总体，母体总体，母体( (研究对象研究对象) )个体（组成总体的元素）个体（组成总体的元素）随机

6、变量随机变量 X 可能取值的全体可能取值的全体对总体对总体 X 的一次观测的一次观测表现为：某个指标表现为：某个指标表现为：一次观测值表现为：一次观测值抽样 总体中抽取一部分个体的过程；样本 抽样得到 X 的一组数据；样本容量（大小） 样本中的个体数量第六章第六章 样本及抽样分析样本及抽样分析总体与样本总体与样本 从总体抽取容量为从总体抽取容量为 n 的样本，即对随机变量的样本，即对随机变量 X 随随机地机地、独立地独立地进行进行 n 次观测，每个结果也看成一个次观测，每个结果也看成一个随机变量：随机变量：它们互相独立，且与总体它们互相独立，且与总体 X 服从相同的分布。服从相同的分布。一次观

7、测的结果：一次观测的结果：nXXX,21nnxXxXxX= = = =,2211样本可看成样本可看成 n 维随机变量（维随机变量（），），则有则有nXXX,21)()()(),(nnxPxPxPxxxP2121= =)()()(),(nnxfxfxfxxxf2121= =或或独立同分布独立同分布例例1 1 某电话交换台一小时内呼入次数某电话交换台一小时内呼入次数 X P(), , 0。求来自这一总体。求来自这一总体 的简单随机样本的简单随机样本的样本分布律。的样本分布律。解：解：第六章第六章 样本及抽样分析样本及抽样分析总体与样本总体与样本 nXXX,21)()(),(1111nnnnxXPx

8、XPxXxXP !21)(21nxxxnxxxen !2121nxxxxexexen 第六章 样本及抽样分析总体与样本总体与样本 例例2 2 某批灯泡寿命某批灯泡寿命 X E()，求样本，求样本 的联合概率密度。的联合概率密度。解：解：nXXX,21)()()(),(2121nnxfxfxfxxxf 例例3 3 样本样本来自均匀分布来自均匀分布U(0,1)U(0,1)，求，求联合概率密度。联合概率密度。nXXX,21)(21nxxxne nxxxeee 21 178.4 161.5 174.9 182.7 171.0 165.3 172.8 182.1 180.2 176.8 181.7 17

9、5.7 177.3 180.0 179.4 177.0 181.3 176.5 176.0 175.7 168.1 184.6 169.1 177.8 175.1 161.8 174.3 176.0 163.7 176.8 177.3 175.3 180.2 176.8 181.9 178.4 181.5 177.6 179.9 178.2 174.7 176.0 175.7 180.3 166.2 177.2 171.9 182.9 176.8 179.5 167.0 174.8 182.7 174.9 178.1 179.9 175.4 184.4 175.1 179.4 173.2 17

10、6.1 177.6 180.5 164.3 170.5 177.5 168.3 173.0 176.8 173.9 180.7 166.5 180.0 165.6 179.4 182.2 176.3 177.4 183.4 167.9 176.1 177.4 183.4 176.9 168.0 179.0 178.8 173.1 173.2 162.2 179.9 178.2 183.0 174.0 180.8 173.1 173.2 176.8 171.1 169.0 178.3 171.6 181.2 167.6 161.1 166.0 190.2 180.3 166.2 174.9 17

11、5.8 176.5 164.2 173.0 176.8 170.5 180.5 177.3 175.3 163.7 176.8 171.1 168.5 171.2 170.2 177.1 169.4 175.7 177.3 183.2 168.6 175.1 179.4 169.1 169.9 168.5 180.2 174.9 171.0 171.0 168.8 177.7 168.6 176.6 175.9 176.8 179.5 174.3 176.0 身高总体身高总体第六章第六章 样本及抽样分析样本及抽样分析统计量统计量 - - 是样本的函数，用来对总体的未知参是样本的函数，用来对总体

12、的未知参数进行推断，故其中不含有未知的总体参数。数进行推断，故其中不含有未知的总体参数。常用的统计量常用的统计量2SS 其观测值用小写表示。其观测值用小写表示。2211SnnBXA 统计量也是统计量也是随机变量随机变量样本均值样本均值样本方差样本方差k 阶原点矩阶原点矩k 阶中心矩阶中心矩标准差标准差nikikXXnB1)(1 nikikXnA11 niiXXnS122)(11 nXXXXn)(21 第六章第六章 样本及抽样分析样本及抽样分析例例有一组样本观测值为有一组样本观测值为 (5,4,6,5),(5,4,6,5),计算其样本均值、计算其样本均值、样本方差、样本方差、2 2 阶原点矩和阶

13、原点矩和 3 3 阶中心矩。阶中心矩。4/102)5645(4122222 a3/2)01)1(0(3122222 s0)01)1(0(4133333 b54)5645( x第六章第六章 样本及抽样分析样本及抽样分析统计量统计量直方图直方图100次刀具故障记录次刀具故障记录(完成的零件数完成的零件数) 4593626245425095844337488155056124524349826407425657065936809266531644877346084281153593844527552513781474388824538862659775859755649697515628954771

14、6094029608856102928374736773586386996345555708441660610624841204476545643392802466875397905816217245315125774964684995446457645583787656667632177153108511 2 4 6 15 22 22 14 8 4 2100100个数分类放在等间隔的小格中个数分类放在等间隔的小格中统计落在小格中的频数：统计落在小格中的频数：画出频率图：画出频率图：第六章第六章 样本及抽样分析样本及抽样分析 2/ )32/2/2/32123222123222121212121

15、),(xxxxxxeeeexxxf ( - 1.1.设设 X1, X2, X3 是总体是总体 X 的一个样本，那么当的一个样本，那么当N(0,1) 时，时，样本的联合密度函数样本的联合密度函数 f(x1, x2, x3) = ；当；当(1, p)时，时，样本的联合分布律样本的联合分布律 PX1 = k1, X2 = k2, X3 = k3 =。)()()()()()()(),(321321332211(31113322113322111111kkkkkkkkkkkkppppppppkXPkXPkXPkXkXkXP 练习练习第六章第六章 样本及抽样分析样本及抽样分析2.2.设总体设总体N(a,

16、b)，其中，其中 a 已知，已知，b 未知。再设未知。再设X1, X2, X3 是取自总体是取自总体 X 的一个样本。那么，函数的一个样本。那么，函数（1）X1 + X2 + X3；（；（2）X2 + 2a；（；（3）X1；（4）maxX1, X2, X3；（；（5）Xi2 / b中哪些是统计量？中哪些是统计量？练习练习第六章第六章 样本及抽样分析样本及抽样分析nananXDnXnDXDananXEnXnEXEniiniiniinii 212111111111)()(3.3.设总体设总体 P(a) )，X1, X2, Xn 取自总体取自总体 X 的样本，的样本，那么，那么，E( ) = , D

17、( ) = , E( ) = 。X2S niniininiiniiniiiniiXEEXnXXXEEXnXXXXEnXXnESE1212121121221221121121111)()()()(练习练习X第六章第六章 样本及抽样分析样本及抽样分析 niniininiiniiXEEXnXXXEEXn12121211211)(211aannnnanaaanni 111)()(11122练习练习211)()(XnXnXXXXXniinii niiiXEXDEXDXn122)()(11 niiiniiXXXXEnXXnESE122122)2(11)(11)(第六章第六章 样本及抽样分析样本及抽样分析4

18、.4.设设(1, p)，X 的一组观察值为的一组观察值为 0,1,0,1,1，那么那么样本均值的观察值样本均值的观察值= = ，样本方差的观测值，样本方差的观测值= = 。6 . 0)11010(515151 iixx练习练习48 . 1)11010(416 . 045415122 iix 51225122)6 . 0(41)6 . 0(41iiiixxs3 . 0 第六章第六章 样本及抽样分析样本及抽样分析抽样分布抽样分布 统计量是不含未知量的样本函数，也是随机变量。统计量是不含未知量的样本函数，也是随机变量。统计量的分布称抽样分布。统计量的分布称抽样分布。当总体分布已知时，抽样分布也确定了

19、，但这些分布当总体分布已知时，抽样分布也确定了，但这些分布很难求出。很难求出。总体总体样本样本统计量统计量概率概率抽样分布抽样分布估计估计/推断推断抽样抽样性质：性质：可加性：可加性：期望与方差：期望与方差：E(Y) = n, D(Y) = 2n第六章第六章 样本及抽样分析样本及抽样分析几种常用的统计量分布几种常用的统计量分布（一）（一） 分布分布设设 来自总体来自总体 XN(0,1) 的样本，则称统计量的样本，则称统计量 为服从自由度为服从自由度 n 的的 分布。分布。（自由度乃独立的随机变量的个数）即（自由度乃独立的随机变量的个数）即2 nXXX,2122221nXXXY )()(),(2

20、1221222121nnYYnYnY 则则，独独立立2 )(2nY 第六章第六章 样本及抽样分析样本及抽样分析niNXXYinii,),(,211012 122 )()()(iiiEXXDXE212312)()()(2/22/4224222 dxexdxexEXXEXDxxiii 抽样分布抽样分布 期望与方差：期望与方差：E(Y) = n, D(Y) = 2n niiniiniiniinXDXDYDnXEXEYE121212122)()()()(X1, X2, Xn 来自标准正态总体来自标准正态总体 X 的样本，那么的样本，那么265243221)()()(XXXXXXY 是否服从卡方分布？若

21、是否服从卡方分布？若 kY 2( n )，求求 k，n第六章第六章 样本及抽样分析样本及抽样分析抽样分布 （二）（二）t- t-分布分布 相互独立，相互独立，则称随机变量则称随机变量服从自由度为服从自由度为 n 的的 t-分布分布 T t(n)。YXnYNX,),(),1 , 0(2 nYXT/ 第六章第六章 样本及抽样分析样本及抽样分析抽样分布抽样分布 性质：性质：对称性对称性: : n ，密度函数趋密度函数趋向标准正态分布；向标准正态分布； )()(ntnt 11-第六章第六章 样本及抽样分析样本及抽样分析抽样分布抽样分布 相互独立，则称随机变量相互独立，则称随机变量 服从自由度为服从自由

22、度为 的的 F 分布。分布。)(),(2212nVnU 21nVnUF/ ),(21nn),(1),(),(1),(211211221nnFnnFnnFFnnFF 则则性质：性质：（三）（三）F - 分布：分布：证明：),(),(),(),(, ),(,),(,),(),(21121121122121212111111111nnFnnFnnFFPnnFFnnFFPnnFFPnnFFPnnFF ),(),(211211nnFnnF 分位点分位点查表查表抽样分布往往由抽样分布往往由制成上分位点表制成上分位点表分位点分位点(0 1. 645 = 0.05，即，即 05. 050/645. 1|168

23、| sHP至少取至少取0119. 250/3786. 5645. 1 k大约平均试验大约平均试验 20 次（每次测次（每次测 50 人）才会发生一次人）才会发生一次现在只试验了一次就有现在只试验了一次就有 |172.7 168 | = 4.7 2.012，所，所以有理由不相信以有理由不相信 原假设是真的，于是拒绝原假设是真的，于是拒绝 这个假设，这个假设，即认为即认为 20 年来学生身高有增高。年来学生身高有增高。由上可知，若原假设是正确的，则事件由上可知，若原假设是正确的，则事件的概率为的概率为 0.95，即，即的概率为的概率为 0.05。 012. 2|168| H 012. 2|168|

24、 H小概率原则小概率原则反证法思想反证法思想一一. u检验检验 已知正态总体的方差，对总体均值作假设检验。已知正态总体的方差，对总体均值作假设检验。设设 来自正态总体来自正态总体 的一个样本，的一个样本， 已知已知现对现对 提出假设提出假设关于正态总体的假设检验关于正态总体的假设检验nXXX,21),(2 N2 0100:,: HH )|(|)1 , 0(/2/0uUPNnXUnuXuU 2/02/| 当当H0为真时，为真时，故故H0 的拒绝域的拒绝域W为为 或或第八章第八章 假设检验假设检验关于正态总体的假设检验关于正态总体的假设检验96. 1183. 0|,96. 1025. 02/ Uuu 故接受故接受 H0 ，即认为铁水的平均含碳量仍为，即认为铁水的平均含碳量仍为 4.55。第八章第八章 假设检验假设检验例例2 已知某铁厂铁水含碳量服从正态分布已知某铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4,55,1.08), ), 现现测测定了