高等数学 第四节函数展开成幂级数 第五节幂级数展开式的应用

1、1第四节第四节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数215P.)(中值定理复习泰勒 Taylor内具有直到的某个开区间在含有如果函数),()(baxxf0)()(,),(,)(01xxxfbaxn可以表示为内时在则当阶的导数:)(之和次多项式与一个余项的一个xRnn 2000002)(!)()()()(xxxfxxxfxfxfnnxxnxf)(!)()(00. )(xRn,)(!)()()(1011nnxxnf 余项.之间与介于0 xxnnnxxnxfxxxfxfxp)(!)()()()()(00000.)(多项式阶的称为Taylornxf)(xRn2内具有任意的某个开区间在含有如果函数),()(

2、baxxf0:)(,),(,级数的可作成内时在则当阶的导数Taylorxfbax.)(!)()()()()(nnxxnxfxxxfxfxf00000:)()(,麦克劳林级数的则作成取Maclaurin00 xfx .!)(!)()()()()( nnxnfxfxffxf020002.)(级数的作出例Maclaurin1xexf,)()(xnexf解10 )()(nf),(3210n.!)(nxxxxexfnx32132.,),(,xe而且收敛于收敛此级数在我们已经知道3.)()(级数的作出设例Maclaurin2xfxf00021xxex),(,)(.)(321000nfn可以算出解.)(20

3、00 xxxf.)(,xf而不是收敛于此级数处处收敛于显然0)(个别点除外,)(:,级数可以形式地写出它的由可见例由例Taylor21xf.)(xf级数不一定收敛于但此 Taylor4内级数在的定理),()()(RxRxxUxf000Taylor:)(的充要条件是收敛于xf01101nnnnnxxnfxR)()!()(lim)(lim)( 余项的极限.)()(级数内能展成在称Taylor0 xUxf000nnnxxnxfxf)(!)()(.)(设证nnnnnxxnxfxs000)(!)()()(此级数的部分和)()(xRxfn)(lim)()(limxRxfxsnnnn公式Taylor.)(l

4、im)()(lim0 xRxfxsnnnn所以#5,)()()(MxfxUn内有在推论0),_(210nM常数.)()(级数内能展开成在则Taylor0 xUxf1011nnnxxnfxR)()!()()()( 证.)!(110nxxMn.)!(即可只需证明0110nxxn,)!(用比值法的收敛性研究级数0101nnnxx10101nxxuunnnnlimlim,)!(收敛所以级数0101nnnxx.! )(成立通项0110nxxn#6.sin)(级数展开成将例Maclaurin3xxf.sin)()(2 nxxfn解),(210n.,)()(1010100nf!)(753753xxxxxf0

5、12121nnnxn)!()(1012221)(limlimnnxuunnnnx.R收敛半径,sin)()(12 nxxfn,),(上在!sin753753xxxxx7:类似地得到,),(上在!cos6421642xxxx.!)()(0221nnnxn!cossin的幂级数与熟记xx:骤如下展开函数为幂级数的步)(),(),(xfxfxf 求1),(),(),(0002xfxfxf 算 200023)(!)()()(xxxfxxxfxf作级数.并求级数的收敛区间. )(,)(xfxRn则级数收敛于若04.结合进行可与48.)()(的幂级数展开成将例xxxf 14)(为任一实常数 ,)(10 f

6、解,)()()()(nnxnxf 111 . )()()()(110nfn ),(321n.!)()()(1111nnxnnxf 1nnnaaRlim幂级数收敛半径nnn 1lim1).,)(2210PxRn可阅读略较困难还要讨论.!)()()(:1111nnxnnxf 最后得到)(n 91111nnxnnxf!)()()( )(11x,次多项式的级数为时取正整数当nxn .式定理就是中学代数中的二项),(!xxxxnxennx3211320!)!()(sin7531212753012xxxxxnxnnn),(x),(x!)!()(cos642121364202xxxxnxnnn要熟记的基本幂

7、级数：要熟记的基本幂级数：)cos)(sin,cos,sin(xxxx偶函数奇函数10432111443201xxxxxnxnnn)()ln(,(11 x7531215753012xxxxxnxnnn)(arctan,11 x111116nnxnnx!)()()( 32321211xxx!)(!)( ),(11 x:特例432111xxxxx1 432111xxxxx),(11 x),(11 x1121 4328642531642314212111xxxxx,11 x21 43286427531642531423121111xxxxx,(11 x.间接方法展开函数为幂级数常用,)()(的幂级数

8、能展开成函数定理0 xxxf.则其展开式是唯一的12:证明,)()(00nnnxxaxf设,)()(00nnnxxbxfRxx0)(.)(1000nnnnxxba则),(,2100nbann只需证明:)(次得式求导对k101110knknnnkkxxknnnbabak)()()()(!.:00kkbaxx得令,3210k#13.)()(的幂级数展开成将例134152xxxxf )(311xxxf解311121xx)(12111xxt112121xtntttt)(32121021nnt)(02121nnx.)()(01121nnnnx121x.21 x即14)(14131xxu114141xun

9、uuu)(2141041nnu)(04141nnx01141nnnnx)()(141x41 x即.)()()(0322121211nnnnnxxf21 x211211101xxxnnnn,)()(,)(311121xxxf15.arcsin)(的幂级数展开成将例xxxf62122111)()(xxxf解.)(!)()(12212311nnnxnn)(12xxdxxx0211arcsin102212531nxnndxxnnx!)(11212222nnnnnxnnnx!) !(! )(.)() !(! )(112221222nnnxnnnx1x.,时也成立当进一步讨论可知1x16:6进一步讨论例.

10、)()(收敛只需证明级数112264212531nnnn012264212531)()(nnnun记222222222212264212531)()()(nnnun则222221221212221232675453231)()()(nnnnnnn21221)(nn,31n.231nun.,收敛所以正项级数收敛级数因为11231nnnunp17.)ln()(的幂级数展开成将例xxxxf117011nnxx解,0nnnxa)(1na11nnnxx)ln(,1nnnxbnbn11x11x10nnnnnnxbxaxf)(1nnnxcnkkknnbac1nkkb1nkn11.)(11211nnxnxf1x18:略讲题)ln(xa 1axa 1ln.lnlnya1.的幂级数将所给函数展开成 xaxxealn2yex23sin221xcosy