概率统计基础知识

1、2022-3-251第一部分第一部分 概率统计基础知识概率统计基础知识 随机事件及其概率随机变量及其分布随机变量的数字特征数理统计的基本概念参数估计假设检验方差分析2022-3-2521.1 随机事件及其概率随机事件及其概率随机事件及其运算概率的定义及其运算条件概率全概率公式与贝叶斯公式事件的独立性2022-3-2531.1.1 随机事件随机事件及其运算及其运算随机试验随机试验(简称简称“试验试验”)随机试验的特点 1.可在相同条件下重复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。随机试验可表为E 2022-3-254例例1.1.1随

2、机试验例：随机试验例：E1: 抛一枚硬币，分别用抛一枚硬币，分别用“H” 和和“T” 表示出正面和反表示出正面和反面面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E3:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E4: 记录某网站一分钟内受到的点击次数；记录某网站一分钟内受到的点击次数；E5:在一批灯泡中任取一只，测其寿命。在一批灯泡中任取一只，测其寿命。2022-3-2551.1.1 随机事件随机事件及其运算及其运算样本空间样本空间实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为样本点 试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本

3、点,记为 基本事件由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集2022-3-2561.1.1 随机事件随机事件及其运算及其运算随机事件随机事件试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空间的某个子集任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件称事件A发生当且仅当试验的结果是发生当且仅当试验的结果是A中的元素中的元素两个特殊事件两个特殊事件: 必然事件必然事件 、不可能事件、不可能事件.2022-3-257例例1.1.2 对于试验对于试验E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正面将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数出现的次数 ，以下随机事

4、件，以下随机事件: 1=0，1，2，3 -必然事件必然事件 A“至少出一个正面至少出一个正面” 1，2，3；而对试验而对试验E5：在一批灯泡中任取一只，测其寿命。：在一批灯泡中任取一只，测其寿命。 2=x:0 x (小时）小时）。 B“灯泡寿命超过灯泡寿命超过1000小时小时” x:1000 x0,则则: P(AB)P(A)P(B|A) 称为事件称为事件A、B的概率乘法公式的概率乘法公式推广推广到三个事件的情形：到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：一般地，有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An-1).20

5、22-3-2531n例例1.1.10 1.1.10 有有1 1张电影票需要给张电影票需要给3 3个人分，每个人都想个人分，每个人都想要，决定用抓阄的方式解决，问抓阄的先后对此方要，决定用抓阄的方式解决，问抓阄的先后对此方法的公平性是否有影响。法的公平性是否有影响。解：设解：设A Ai i为第为第i i次抓阄时取到电影票，次抓阄时取到电影票，i=1,2,3i=1,2,3。则。则31)(1AP)(3121*32)|()()()(12121212AAAAPAPAAPAP)(3111*21*32)|()|()()()(2132131213213AAAAAAPAAPAPAAAPAP由此可见，由此可见，抓

6、阄的方式是公平的！可推广到抓阄的方式是公平的！可推广到n n中抓中抓m m的情况。的情况。P=m/nP=m/n2022-3-25321.1.4 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式n完备事件组事件组事件组A1，A2，An (n可为可为)，称为样本空间，称为样本空间的一个完备事件组，若满足：的一个完备事件组，若满足：.,.,2 , 1,),(,)2(;)1 (1njijiAAAjiniiAnA2A1-B-2022-3-25331.1.4 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式n全概率公式事件组事件组A1，A2，An 为样本空间为样本空间的一个完备事的一个完备事件组，且件组，且P(A

7、i)0，(i1，n)，则对任何事件，则对任何事件B有：有：AnA2A1-B-niiiniiABPAPBAPBPBP11)|()()()()(2022-3-2534n例例1.1.111.1.11市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/41/4、1/41/4、1/21/2，且三家工厂的次品率分别为，且三家工厂的次品率分别为 2 2、1 1、3 3，试求市场上该品牌产品的次品率。，试求市场上该品牌产品的次品率。B买到一件丙厂的产品买到一件乙厂的产品买到一件甲厂的产品：买到一件次品设：:

8、321AAAB)()()()(321BAPBAPBAPBP)()|()()|()()|(332211APABPAPABPAPABP0225. 02103. 04101. 04102. 02022-3-2535解：设A1从甲袋放入乙袋的是白球； A2从甲袋放入乙袋的是红球； B从乙袋中任取一球是红球；12731433221)()|()()|()(2211APABPAPABPBP甲乙n例例1.1.12 1.1.12 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1 1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中

9、任取一球放入乙袋，搅匀感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？2022-3-25361.1.4 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式n贝叶斯公式 上例中，若已知取到一个红球，则从甲上例中，若已知取到一个红球，则从甲 袋放入乙袋的是白球的概率是多少？袋放入乙袋的是白球的概率是多少？74127)|()()()()|(1111ABPAPBPBAPBAP事件组事件组A1，A2，An 为样本空间为样本空间的一个完备事的一个完备事件组，且件组，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件，则对任何事件B有：有：2

10、022-3-2537),.,1( ,)|()()|()()()()|(1njABPAPABPAPBPBAPBAPniiijjjj称为贝叶斯公式贝叶斯公式。n例例1.1.131.1.13用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，试验反应有阴用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，试验反应有阴性和阳性两种结果。当被诊断者患肝癌时，其反应性和阳性两种结果。当被诊断者患肝癌时，其反应为阳性的概率为为阳性的概率为0.950.95；当被诊断者未患肝癌时，其反；当被诊断者未患肝癌时，其反应为阴性的概率为应为阴性的概率为0.90.9。根据记录，某地人群中肝癌。根据记录，某地人群中肝癌的患病率为的患病率为0.00040.0004，现有一人的

11、试验反应为阳性，问，现有一人的试验反应为阳性，问此人确实患肝癌的概率此人确实患肝癌的概率? ?2022-3-2538解：设A1患肝癌； A2未患肝癌； B反应为阳性；则：0038. 01 . 0*9996. 095. 0*0004. 095. 0*0004. 0)|()()|()()|()()()()|(22111111ABPAPABPAPABPAPBPBAPBAP9996. 00004. 01)(,0004. 0)(, 1 . 09 . 01)|(,95. 0)|(2121APAPABPABP根据贝叶斯公式，有所求概率为：表明还需要通过综合考虑其他方面才能确诊！2022-3-25391.1.

12、5 事件的独立性事件的独立性n两个事件独立的定义设设A、B是两事件，是两事件，P(A) 0,若若 P(B)P(B|A) P(AB)P(A)P(B) 则称事件则称事件A与与B相互独立相互独立（即（即A的发生与否对的发生与否对B毫无影响）。毫无影响）。定理定理 以下四件事等价：以下四件事等价：(1)事件事件A、B相互独立；相互独立；(2)事件事件A、B相互独立；相互独立；(3)事件事件A、B相互独立；相互独立；(4)事件事件A、B相互独立。相互独立。 2022-3-25401.1.5 事件的独立性事件的独立性n多个事件独立的定义若三个事件若三个事件A、B、C满足：满足：(1) P(AB)=P(A)

13、P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),则称事件则称事件A、B、C两两相互独立两两相互独立(2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件则称事件A、B、C相互独立。相互独立。2022-3-25411.1.5 事件的独立性事件的独立性推广：推广：一般地，设一般地，设A1，A2，An是是n个事件，如果对个事件，如果对任意任意k (1kn), 任意的任意的1i1i2 ikn，具有等，具有等式：式： P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) 则称则称n个事件个事件A1，A2，An相互独立。相互独立。2022-3-25421

14、.1.5 事件的独立性事件的独立性n事件独立性的应用1、加法公式的简化：若事件、加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互相互独立独立, 则：则：2、在可靠性理论上的应用、在可靠性理论上的应用)(*.*).(1).121nnAPAPAAAP2022-3-25431.2 1.2 随机变量随机变量随机变量的概念离散型随机变量连续型随机变量正态分布2022-3-25441.2.11.2.1随机变量的概念随机变量的概念随机变量随机变量 设设=是试验的样本空间，如果量是试验的样本空间，如果量X是定义在是定义在上的一个单值实值函数即对于每一个上的一个单值实值函数即对于每一个 ，有一实，有一实数数X=X()

15、与之对应，则称与之对应，则称X为随机变量。为随机变量。随机变量随机变量常用常用X、Y、Z 或或 、 等表示。等表示。通俗地说，每一个样本点可以数量化，每次试验的通俗地说，每一个样本点可以数量化，每次试验的结果在未结束前是个未知变量，而且取值具有随机性。结果在未结束前是个未知变量，而且取值具有随机性。随机变量的特点随机变量的特点: (1) X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的(2) X的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件2022-3-2545n例例1.2.11.2.1引入适当的随机变量描述下列事件：引入适当的随机变量描述下列事件：(1)(1)将将3 3个球随

16、机放入三个格子中，记空格子数为个球随机放入三个格子中，记空格子数为X X：事件事件A=A=有有1 1个空格个空格=X=1=X=1，B=B=全有球全有球=X=0 =X=0 。(2)(2)进行进行5 5次试验，记试验成功次数为次试验，记试验成功次数为Y Y：事件事件C=C=试验成功一次试验成功一次=Y=1=Y=1，D=D=试验至少成功一次试验至少成功一次=Y1=Y1(3)(3)掷掷1 1次硬币，观察正反面。记正面为次硬币，观察正反面。记正面为1 1，反面为，反面为0 02022-3-25461.2.11.2.1随机变量的概念随机变量的概念随机变量的分类随机变量的分类 连续型随机变量离散型随机变量常

17、用分为：随机变量随机变量的分布函数随机变量的分布函数设设X是随机变量，对任意实数是随机变量，对任意实数x，事件，事件Xx的概率的概率PXx称称为随机变量为随机变量X的分布函数。的分布函数。记为记为F(x)，即，即 F(x)P Xx. 易知，对任意实数易知，对任意实数a, b (ab), P aXbPXbPXa F(b)F(a). 2022-3-25471.2.11.2.1随机变量的概念随机变量的概念分布函数的性质分布函数的性质(1) 单调不减性：若单调不减性：若x1x2, 则则F(x1)F(x2);(2) 归一归一 性：对任意实数性：对任意实数x，0F(x) 1，且，且;1)x(Flim)(F

18、,0)x(Flim)(Fxx (4)对任意实数对任意实数a, b (ab), P aXbPXbPXa F(b)F(a). 具有具有(13)性质的实函数，必是某个随机变量的分布函性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。(3) 右连续性：对任意实数右连续性：对任意实数x，).x(F)x(Flim) 0 x(F0 xx00 2022-3-25481, 110,0, 0)()(xxxxxXPxF)(xFx101当x1时,F(x)=1当0 x1时,kxxXPxF0)(特别,F(1)=P0 x1=k=1n例例1.2.21.2

19、.2向向0,10,1区间随机抛一质点，以区间随机抛一质点，以X X表示质点坐标表示质点坐标. .假定质点落在假定质点落在0,10,1区间内任一子区间内的概率与区间区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求长成正比，求X X的分布函数的分布函数解：解： F(x)=PXxF(x)=PXx 1.2.11.2.1随机变量的概念随机变量的概念2022-3-25491.2.2 1.2.2 离散型随机变量离散型随机变量定义定义 若随机变量若随机变量X取值取值x1, x2, , xn, 而且取这些值而且取这些值的概率依次为的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称则称X为离散型随机为离散型随机变量，而称

20、变量，而称 PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为为X的分布律的分布律(列列)或概率分布。或概率分布。 也可表为也可表为:X Xx x1 1 x x2 2x xK KP Pp1p2pk2022-3-25501.2.2 1.2.2 离散型随机变量离散型随机变量分布律的性质分布律的性质(1) pk 0, k1, 2, ;(2) 1.1kkp n例例1.2.3 1.2.3 设袋中有设袋中有5 5只球，其中有只球，其中有2 2只白只白3 3只黑。现从只黑。现从中任取中任取3 3只球只球( (不放回不放回) )，求抽得的白球数，求抽得的白球数X X为为k k的概率的概率。解解 k k可取值可取值0

21、 0，1 1，2 2.35332CCCkXPkk2022-3-25511.2.2 1.2.2 离散型随机变量离散型随机变量分布函数分布函数 一般地，对离散型随机变量一般地，对离散型随机变量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函数为其分布函数为 xxkkkpxXPxF:)(用分布函数描述随机变量不如分布律直观用分布函数描述随机变量不如分布律直观!2022-3-2552解解 )(xFx0112)(xXPxFX012P0.10.60.321217 .0101 .000 xxxxn例例1.2.4 1.2.4 设随机变量设随机变量X具分布律如右表具分布律如右表: :试求出试求出X X的分布函数。

22、的分布函数。1.2.2 1.2.2 离散型随机变量离散型随机变量2022-3-2553两点两点(0-1)分布分布 若随机变量若随机变量X的取值为的取值为0,1两个值，分布律为：两个值，分布律为： PX0 =q=1-p,PX1=p则称则称X服从服从(01)分布分布(两点分布两点分布) XP10pp11.2.2 1.2.2 离散型随机变量离散型随机变量几个常用的离散型分布几个常用的离散型分布2022-3-25542.贝努里贝努里(Bernoulli)概型与二项分布概型与二项分布 设将试验独立重复进行设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件次，每次试验中，事件A发生的概率均为发生的概率均为p，则称

23、这，则称这n次试验为次试验为n重贝努里试验重贝努里试验. 若以若以X表示表示n重贝努里试验事件重贝努里试验事件A发生的次数，则发生的次数，则称称X服从参数为服从参数为n,p的的二项分布二项分布。记作。记作XB（n,p)其分布律为：其分布律为：1.2.2 1.2.2 离散型随机变量离散型随机变量),.,1 , 0( ,)1 (nkppkXPknkknC2022-3-2555解解: :(1)(1)由题意由题意,XB(6,1/3),XB(6,1/3),于是于是,X,X的分布律为的分布律为: :6,.,1 , 0323166kCkXPkkk655)2(XPXPXP729133132316556 Cn例

24、例1.2.51.2.5从某大学到火车站途中有从某大学到火车站途中有6 6个交通岗个交通岗, ,假设在假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立各个交通岗是否遇到红灯相互独立, ,并且遇到红灯的并且遇到红灯的概率都是概率都是1/3.1/3.(1)(1)设设X X为汽车行驶途中遇到的红灯数为汽车行驶途中遇到的红灯数, ,求求X X的分布律的分布律. .(2)(2)求汽车行驶途中至少遇到求汽车行驶途中至少遇到5 5次红灯的概率次红灯的概率. .2022-3-25563.泊松泊松(Poisson)分布分布P() 若随机变量若随机变量X的分布律为：的分布律为：1.2.2 1.2.2 离散型随机变量离散型随机变

25、量PXk , k0, 1, 2, (0)则称则称X X服从参数为服从参数为的的泊松分布泊松分布。记作。记作X XP P（) e!kk泊松泊松定理定理 设随机变量设随机变量XB(n, p), (n0, 1, 2,), 且且n很大，很大，p很小，记很小，记 =np，则，则 ,.2 , 1 , 0,!kekkXPk即可认为即可认为XP（)2022-3-2557泊松泊松定理表明：定理表明：泊松分布是二项分布的极限分布，泊松分布是二项分布的极限分布，当当n很大，很大，p很小时，二项分布就可近似地很小时，二项分布就可近似地看成是参数看成是参数 =np的的泊松分布泊松分布1.2.2 1.2.2 离散型随机变

26、量离散型随机变量2022-3-2558解解 设设X X表示表示400400次独立射击中命中的次数，次独立射击中命中的次数，则则X XB(400, 0.02)B(400, 0.02)，故，故PXPX 221 1 PXPX00P XP X111 10.980.98400400(400)(0.02)(0.98(400)(0.02)(0.98399399)=)=取取=np=np(400)(0.02)(400)(0.02)8, 8, 故故近似地有近似地有 ：n例例1.2.61.2.6某人射击的命中率为某人射击的命中率为0.020.02，他独立射击，他独立射击400400次次，试求其命中次数不少于，试求其

27、命中次数不少于2 2的概率。的概率。PX21 PX0P X11(18)e80.996981.2022-3-255923 101),(eXPXPXPpX且21013XPXPXPXP323. 051! 22! 121222212eeee解解:由题意由题意,232eeen例例1.2.71.2.7设某国每对夫妇的子女数设某国每对夫妇的子女数X X服从参数为服从参数为的的泊松分布泊松分布, ,且知一对夫妇有不超过且知一对夫妇有不超过1 1个孩子的概率为个孩子的概率为3e3e- -2 2. .求任选一对夫妇求任选一对夫妇, ,至少有至少有3 3个孩子的概率。个孩子的概率。2022-3-25601.2.31

28、.2.3连续型随机变量连续型随机变量 对于随机变量对于随机变量X X，若存在，若存在(-(-，+)+)上的非负函数上的非负函数f(x)f(x)，使对任意实数使对任意实数x x，都有：，都有：概率密度概率密度xduufxXPxF)()()(则称则称X X为连续型随机变量，为连续型随机变量， f(x) f(x)为为X X的的概率密度概率密度函数函数，简称概率密度或密度函数简称概率密度或密度函数. . 2022-3-2561密度函数的密度函数的几何意义几何意义为为 badu)u(f)bXa(P2022-3-2562 (1) 非负性非负性 f(x) 0，(- x )； (2)归一性归一性.1)(dxx

29、f性质性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；是密度函数的充要性质； 1.2.31.2.3连续型随机变量连续型随机变量密度函数的性质密度函数的性质 (3) 若若x是是f(x)的连续点，则的连续点，则)()(xfdxxdF2022-3-25631.2.31.2.3连续型随机变量连续型随机变量(4) (4) 对任意实数对任意实数b b，若，若X X f(x) f(x)， (- (- xx ) )，则，则: : PX= PX=b b 0 0。(5)(5)badxxfbXaPbXaPbXaP)(2022-3-25641.2.31.2.3连续型随机变量连续型随机变量几个常用的连续型分布几个常用的连续型分

30、布1. 均匀分布均匀分布，其它0,1)(bxaabxf若若X的分布密度为：的分布密度为：则称则称X在在(a, b)内服从均匀分布。记作内服从均匀分布。记作 XU(a, b) 对任意实数对任意实数c, d (acd0的指数分布，记为：的指数分布，记为：Xexp()。其分布函数为其分布函数为)x(fx00, 00,1)(xxexFx1.2.31.2.3连续型随机变量连续型随机变量2022-3-2567解解, 000)(3xxexfx,.32) 1 (623edxeXpx65 . 135 . 33335 . 15 . 1, 5 . 35 . 1|5 . 3)2(edxedxeXPXXpXXpxxn例

31、例1.2.91.2.9电子元件的寿命电子元件的寿命X(X(年）服从参数为年）服从参数为3 3的指数分的指数分布布(1)(1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2 2年的概率。年的概率。(2)(2)已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1.51.5年，求它还能使用两年，求它还能使用两年的概率为多少？年的概率为多少？2022-3-2568正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。要的地位。3. 正态分布正态分布-高斯高斯(Gauss)分布分布1.2.3

32、1.2.3连续型随机变量连续型随机变量若随机变量随机变量X的分布密度为：的分布密度为：xexfx,21)(222)(其中其中 为实数，为实数， 0 ，则称，则称X服从参数为服从参数为 , 2的的正态正态分布分布,记为：记为：XN( , 2).2022-3-25691.2.41.2.4正态分布正态分布正态分布的特性正态分布的特性 (1) 单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x= 对称对称； f()maxf(x) .21(2) 的大小直接影响概率分布的大小直接影响概率分布 越大，曲线越平坦越大，曲线越平坦； 越小，曲线越陡峭越小，曲线越陡峭。2022-3-2570 参数参数 0， 2

33、1的正态分布称为的正态分布称为标准正态分标准正态分布，记作：布，记作：XN(0, 1)。1.2.41.2.4正态分布正态分布标准正态分布标准正态分布2022-3-25711.2.41.2.4正态分布正态分布性质性质(1)密度函数密度函数.,21)(22xexx(2)分布函数分布函数xdtexXPxxt,)(2212(3) (x)1 (x)；(4) 若若XN( , 2)，则，则).()(xxXPxF一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅 (x)的值。的值。2022-3-25721.2.41.2.4正态分布正态分布性质性质(1)密度函数

34、密度函数.,21)(22xexx(2)分布函数分布函数xdtexXPxxt,)(2212(3) (x)1 (x)；(4) 若若XN( , 2)，则，则).()(xxXPxF2022-3-2573n例例1.2.101.2.10 (1) Z(1) ZN(0N(0，1):1):(0.5)=0.6915,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32)0.5)=0.6915,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32) =0.9925-0.9066 =0.9925-0.9066(2) X(2) XN(N(,2 2): ):P-3P-3X-X- 3P|X|3的值的值. .如在质量控制中，常用标准指标

35、值如在质量控制中，常用标准指标值3 3 作两作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报. .表明表明生产出现异常生产出现异常. .2022-3-2574解:设设Y为为使用的最初使用的最初9090小时内损坏的元件数小时内损坏的元件数, ,2514. 0)67. 0()1510090(90XPp故4195. 0)1 (03pYP则YB(3,p)其中n例例1.2.111.2.11一种电子元件的使用寿命（小时）服从正一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布态分布(100, 225),(100, 225),某仪器上装有某仪器上装有3 3个这

36、种元件，三个个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的元件损坏与否是相互独立的. .求：使用的最初求：使用的最初9090小时小时内无一元件损坏的概率内无一元件损坏的概率. . 1.2.41.2.4正态分布正态分布2022-3-2575随机变量的数学期望与方差几个常见分布的期望与方差随机变量的协方差和相关系数大数定律中心极限定理1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2022-3-2576引例引例 ： 设某班设某班40名学生的概率统计成绩及得分人名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：数如下表所示： 分数分数 40 60 70 80 90 100 总人数总人数 人数人数 1 6 9 15 7

37、 2 40则学生的平均成绩是总分则学生的平均成绩是总分总人数。即总人数。即)(5 .7640210040790401580409704066040140271596110029078015709606401分1.3.1 随机变量的期望与方差随机变量的期望与方差n数学期望的定义数学期望的定义2022-3-25771.3.1 随机变量的期望与方差随机变量的期望与方差n数学期望的定义数学期望的定义若XPX=xk=pk, k=1,2,n, .则称1)(kkkpxXE为随机变量X的数学期望，简称期望或均值。函数函数Y=g(X)的期望的期望E(g(X)为为.)()()(1kkkpxgXgEYE2022-3

38、-25781.3.1 随机变量的期望与方差随机变量的期望与方差n数学期望的定义数学期望的定义为随机变量X的数学期望若若Xf(x), - x ,则称则称 .dx)x(xf)X(E若Xf(x), -x0)bbeadxebdxexadxebaxYExxxx2222222222212121)()(2022-3-2580解解:设乘客于某时设乘客于某时X分到达车站分到达车站,候车时间为候车时间为Y,则则60557055305530103010010)(XXXXXXXXXgY其他0600601)(xxfX600)(601)(dxxgYE=10分分25秒秒n例例1.3.3长途汽车起点站于每时的长途汽车起点站于

39、每时的10分、分、30分、分、55分分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间机地到达车站，求乘客的平均候车时间2022-3-25811.3.1 随机变量的期望与方差随机变量的期望与方差n数学期望的性质数学期望的性质1. E(c)=c,c为常数为常数;2. E(cX)=cE(X), c为常数为常数;4. 若若X与与Y独立，则独立，则E(XY)=E(X)E(Y).3. E(X+Y)=E(X)+E(Y)推广：推广：E(aX+b)=aE(X)+b2022-3-2582n例例1.3.4若若XB(n,p),求求E(X)

40、1.3.1 随机变量的期望与方差随机变量的期望与方差n例例1.3.5设随机变量设随机变量X1 , X2 ,., Xn服从服从N(,2)分布，求分布，求随机变量随机变量: 的数学期望的数学期望则：不发生次试验第发生次试验第解：设,Ai0Ai1iXpXEi)(niiXX1nppXEXEninii11)()(niiXnX11niiXEnXE1)(1)(2022-3-25831.3.1 随机变量的期望与方差随机变量的期望与方差n方差的定义方差的定义 若若E(X),E(X2)存在存在,则称则称EX-E(X)2 = E(X)2 E(X)2 为随机变量为随机变量X的方差，记为的方差，记为D(X)或或Var(

41、X).称称为随机变量为随机变量X X的的标准差标准差)()(XDX n方差的性质方差的性质(1) D(c)=0(2) D(aX)=a2D(X), a为常数；(3)若 X，Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);2022-3-25841.3.1 随机变量的期望与方差随机变量的期望与方差推广：若 X，Y 独立，则 D(X-Y)=D(X)+D(Y) D(aX+bY+c)=a2D(X)+b2D(Y)niniiiiinXDaXaDXX1121)()(,.独立，则若2022-3-2585101011)(xxxxxf求D（X）0)1 ()1 ()(1001dxxxdxxxXE解：61)1 ()1 (

42、)(1020122dxxxdxxxXE61)()()(22XEXEXD1.3.1 随机变量的期望与方差随机变量的期望与方差n例例1.3.6设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为2022-3-25861.3.2几个常见分布的期望与方差几个常见分布的期望与方差n0-1分布分布 ppPX101EX=p,E(X2)=p,DX=pqn二项分布二项分布B(n, p)nkppCkXPknkkn,.1 . 0)1 (nkknkppknknkXE1)1 ()!( !)(knknkppknkn)1()!()!1(!12022-3-25871.3.2几个常见分布的期望与方差几个常见分布的期望与方差n二项分布

43、二项分布B(n, p)1(111)1 ()!()!1()!1()(knknkppknknnpXEnpppCnpkllnlnlln1101)1 (1令npqDXnppnnXE22) 1()(同理：立服从两点分布且相互独ininiiXnpqpqXDXD,)()(112022-3-25881.3.2几个常见分布的期望与方差几个常见分布的期望与方差n泊松分布泊松分布XP()., 2, 1, 0,!kekkXPXk011)!1(!)(kkkkkeekkXE)()(22XDXE2022-3-25891.3.2几个常见分布的期望与方差几个常见分布的期望与方差n均匀分布均匀分布U(a, b), 0,1)(其他

44、bxaabxfXbabadxabxXE;2)(.12)()(2abXD2022-3-25901.3.2几个常见分布的期望与方差几个常见分布的期望与方差n指数分布指数分布Xexp()000)(xxexfx1)(0000dxexexdedxexXExxxx21)(XD2022-3-25911.3.2几个常见分布的期望与方差几个常见分布的期望与方差n正态分布正态分布N(, 2)xexfx,21)(222)(dtetxtdxexXEtx22)(22222)(令.)(2XD2022-3-25921.3.3 协方差和相关系数协方差和相关系数n协方差定义协方差定义 若随机变量若随机变量X和和Y的期望的期望E

45、(X) 、E(Y) 存在存在, 则称：则称： COV(X, Y)=EX E(X)Y E(Y)为为X与与Y的的协方差协方差, 易见：易见： COV(X, Y)=E(XY）-E(X)E(Y)当当COV(X,Y)=0COV(X,Y)=0时，称时，称X X与与Y Y不相关。X X与与Y Y不相关是X X与与Y Y独立独立的的必要条件必要条件。2022-3-25931.3.3 协方差和相关系数协方差和相关系数n协方差性质协方差性质(1) COV(X, Y)=COV(Y, X); (2) COV(X,X)=D(X);COV(X,c)=0 (3) COV(aX, bY)=abCOV(X, Y), 其中a,

46、b为 常数 (4) COV(X+Y，Z)=COV(X, Z)+COV(Y, Z); (5) D(X Y)=D(X)+D(Y) 2COV(X, Y).2022-3-25941.3.3 协方差和相关系数协方差和相关系数n相关系数定义相关系数定义若若X，Y的方差和协方差均存在的方差和协方差均存在, 且且DX0,DY0，则，则DYDX)Y,Xcov(XY 称为X与Y的相关系数相关系数. 注：注：若记若记DX)X(EXX* 称为称为X的的标准化标准化，易知，易知EX*=0，DX*=1.且且).(),cov(*YXEYXXY2022-3-25951.3.3 协方差和相关系数协方差和相关系数n相关系数性质相

47、关系数性质 (1) |XY|1； (2) |XY|=1存在常数a, b 使PY= aX+b=1； (3) X与Y不相关 XY=0;n矩矩1. K阶原点矩阶原点矩 Ak=E(Xk), k=1, 2, 而E(|X|k)称为X的K阶绝对原点矩；2. K阶中心矩阶中心矩 Bk=EX-E(X)k, k=1, 2, 而E|X-E(X)|k称为X的K阶绝对中心矩；2022-3-25961.3.3 协方差和相关系数协方差和相关系数n相关系数性质相关系数性质 (1) |XY|1； (2) |XY|=1存在常数a, b 使PY= aX+b=1； (3) X与Y不相关 XY=0;n矩矩1. K阶原点矩阶原点矩 Ak

48、=E(Xk), k=1, 2, 而E(|X|k)称为X的K阶绝对原点矩；2. K阶中心矩阶中心矩 Bk=EX-E(X)k, k=1, 2, 而E|X-E(X)|k称为X的K阶绝对中心矩；2022-3-2597 设设X1， , Xn为为n个随机变量个随机变量 ,记记cij=cov(Xi, Xj),i, j=1, 2, , n. 则称由则称由cij组成的矩阵为随机变量组成的矩阵为随机变量 X1， , Xn的协方差矩阵的协方差矩阵C。即。即nnnnnnnnijccccccccccC.)(2122221112111.3.3 协方差和相关系数协方差和相关系数n协方差矩阵协方差矩阵2022-3-2598

49、若随机变量若随机变量X的期望和方差存在，则对任意的期望和方差存在，则对任意0，有，有这就是著名的这就是著名的切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)不等式不等式。 它有以下等价的形式：它有以下等价的形式：;)X(D| )X(EX|P2 .)X(D1| )X(EX|P2 n切比雪夫不等式切比雪夫不等式1.3.4 大数定律大数定律2022-3-2599222222)()()()()()()(,)()(XDxPxPdxxfdxxfxdxxfxXDXExfXxx则：，且有密度函数：证明：随机变量1.3.4 大数定律大数定律2022-3-25100解解:由切比由切比雪夫不等式雪夫不等式;01. 0| 1|

50、2aaXP令令1 . 001. 02a1 . 02 a32. 0 a1.3.4 大数定律大数定律n例例1.3.6已知某种股票每股价格已知某种股票每股价格X的平均值为的平均值为1元，标准元，标准差为差为0.1元，求元，求a,使股价超过使股价超过1+a元或低于元或低于1-a元的概率元的概率小于小于10%。2022-3-25101n依概率收敛依概率收敛1.3.4 大数定律大数定律设设Xn为随机变量序列，为随机变量序列，X为随机变量，若任给为随机变量，若任给 0, 使得：使得：1|XX|Plimnn 则称则称Xn依概率收敛于依概率收敛于X. 可记为可记为XXPn2022-3-25102aXPn如如意思

51、是意思是:当当aaanXaXn而而意思是意思是:0, 0n|aXnn时时,Xn落在落在),(aa内的概率越来越大内的概率越来越大.,当当00,nnn0nn 1.3.4 大数定律大数定律2022-3-25103n依概率收敛依概率收敛1.3.4 大数定律大数定律设设Xn为随机变量序列，为随机变量序列，X为随机变量，若任给为随机变量，若任给 0, 使得：使得：1|XX|Plimnn 则称则称Xn依概率收敛于依概率收敛于X. 可记为可记为XXPn2022-3-25104设设Xk,k=1,2,.为独立的随机变量序列，且有相为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望同的数学期望 ，及方差，及方差 20，则，

52、则PnkknXnY11即即若任给若任给 0, 使得使得1|limnnYP1.3.4 大数定律大数定律n切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律2022-3-25105证明证明:由切由切比雪夫不等式比雪夫不等式.)(1| )(|2nnnYDYEYP这里这里nkknXEnYE1)(1)(nXDnYDnkkn212)(1)(.1|22nYPn故故1|limnnYP2022-3-25106设进行设进行n次独立重复试验，每次试验中事件次独立重复试验，每次试验中事件A发生发生的概率为的概率为p，记，记fn为为n次试验中事件次试验中事件A发生的频率，发生的频率，则则npfpn证明证明:设设01iX第第i次试验事件次

53、试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则)1 ()(,)(ppXDpXEii由切由切比雪夫大数定理比雪夫大数定理pnXfPniin 11.3.4 大数定律大数定律n伯努里大数定律伯努里大数定律2022-3-25107 若若Xk,k=1.2,.为独立为独立同分布同分布随机变量序列随机变量序列, EXk= , k=1, 2, 则则PnkknXnY11推论推论:若若Xi,i=1.2,.为独立为独立同分布同分布随机变量序列随机变量序列, E(X1k)= , 则则)(111kPnikiXEXn1.3.4 大数定律大数定律n辛钦大数定律辛钦大数定律2022-3-25108 设设Xn为

54、随机变量序列，为随机变量序列，X为随机变量，其为随机变量，其对应的分布函数分别为对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在若在F(x)的的连续点，有连续点，有),x(F)x(Flimnn 则称则称Xn依分布收敛于依分布收敛于X. 可记为可记为.XXwn1.3.5 中心极限定理中心极限定理n依分布收敛依分布收敛2022-3-25109 设设Xn为独立为独立同分布同分布随机变量序列，若随机变量序列，若EXk= ，DXk= 2 0，k=1, 2, , 则则Xn满足：满足：)(1nnxxXpnii1.3.5 中心极限定理中心极限定理n独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理(Levy-Li

55、ndeberg)根据上述定理，当根据上述定理，当n充分大时充分大时)(lim1xxnnXpniin实际上，当实际上，当n充分大时，充分大时，Xi对总和的影响既均匀又微小对总和的影响既均匀又微小01)()(2nnXDnnXDii2022-3-25110解解:设设 Xk为第为第k 次掷出的点数次掷出的点数,k=1,2,100,则则X1,X100独立同分布独立同分布.123544961)(,27)(61211ikXDXE由中心极限定理由中心极限定理1235102710050015001001iiXP0)78. 8(1n例例1.3.7 将一颗骰子连掷将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于次，则点数之

56、和不少于500的概率是多少？的概率是多少？1.3.5 中心极限定理中心极限定理2022-3-25111 设设Xn为独立为独立同分布同分布随机变量序列，若随机变量序列，若EXk= ，DXk= 2 0，k=1, 2, , 则则Xn满足：满足：)(1nnxxXpnii1.3.5 中心极限定理中心极限定理n独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg)根据上述定理，当根据上述定理，当n充分大时充分大时)(lim1xxnnXpniin实际上，当实际上，当n充分大时，充分大时，Xi对总和的影响既均匀又微小对总和的影响既均匀又微小01)()(2nnXDnnXDii2022-3-

57、25112设随机变量设随机变量 n(n=1, 2, .)服从参数为服从参数为n, p(0p1)的二项分布，则的二项分布，则),() 1, 0(npqnpNNnpqnpnwn相当于证明证明:设设01iX第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则niiniiXppXDpXE1),1 ()(,)(由中心极限定理由中心极限定理,结论得证结论得证1.3.5 中心极限定理中心极限定理n德莫佛德莫佛-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理2022-3-251131.3.5 中心极限定理中心极限定理n例例1.3.8 在一家保险公司里有在一家保险公司里有10000个人参加

58、寿命个人参加寿命保险，每人每年付保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死元保险费。在一年内一个人死亡的概率为亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：元，问：(1)保险公司亏本的概率有多大？保险公司亏本的概率有多大？(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于少于60000元，赔偿金至多可设为多少？元，赔偿金至多可设为多少？2022-3-25114解：解： 设设X表示一年内死亡的人数，则表示一年内死亡的人数，则XB(n, p), 其中：其中：n= 10000，p=0.6%，np=60,npq=5

59、9.64设设Y表示保险公司一年的利润，表示保险公司一年的利润， Y=10000*12-1000X于是于是由中心极限定理由中心极限定理 (1)PY0=P10000*12-1000X60000=P10000*12-aX60000=PX 60000/a 0.9;9 . 0)994. 0006. 010000006. 01000060000(a（2）设赔偿金为）设赔偿金为a元，则令元，则令3017 a由中心极限定理由中心极限定理,上式等价于上式等价于1.3.5 中心极限定理中心极限定理2022-3-25116随机样本抽样分布1.4 数理统计的基本概念数理统计的基本概念2022-3-25117 1. 1

60、. 总体总体-研究对象的全体。研究对象的全体。 通常指研究对象的某项数量指标全体。通常指研究对象的某项数量指标全体。 组成总体的元素称为组成总体的元素称为个体个体。 从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。机变量的分布。1.4.1 随机样本随机样本n总体与样本总体与样本2. 样本：来自总体的部分个体样本：来自总体的部分个体X X1 1， ，X Xn n 如果满足：如果满足： (1)同分布性：同分布性： Xi，i=1,n与总体X同分布.2022-3-251181.4.1 随机样本随机样本 (2)独立性：独立性： X1， ，Xn 相互独立； 则