概率论与数理统计习题

1、.一、 填空题 1设离散型随机变量的分布律为，则_, _. 解： 2设，若，则_. 解： .3设，且，则_，_. 解： 4设连续型随机变量的分布函数为 则_，_. 解：为连续函数， . .5设随机变量的概率密度为 则_，的分布函数_. 解： . 6设随机变量的概率密度为现对进行三次独立重复观察，用表示事件出现的次数，则_. 解：，其中 7设随机变量服从上均匀分布，其中. （1）若，则_； （2）若，则_； （3）若，则_. 解： （1） （2） （3） 8设，且关于的方程有实根的概率为，则_. 解：有实根 .9已知某种电子元件的寿命（以小时计）服从参数为的指数分布. 某台电子仪器内装有5只这种

2、元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为_. 解：仪器正常工作时间，则 10设随机变量服从上均匀分布，则随机变量在内的密度函数为_. 解： 当 在（0，4）内时.11设二维随机变量在由和所形成的区域上服从均匀分布，则关于的边缘密度在处的值为_.Dxyoe21 解： 所以或 12设随机变量相互独立且都服从区间上的均匀分布，则_. 解： 1xy01 13设随机变量相互独立，且，则_. 解： 14设随机变量相互独立，且有相同的概率分布，记 则的概率分布为_. 解： 15设服从泊松分布. （1）若，则_；（2）若，则_. 解： （1） （2） 16设，且，

3、则_. 解： 17设，且，则_；_. 解： 18设随机变量的概率密度为，则_，_，_. 解： ，.19设表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则的数学期望_. 解： 20设一次试验成功的概率为，现进行100次独立重复试验，当_时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为_. 解： ，有最大值为5.21设服从参数为的指数分布，且，则_. 解： . ， 22设随机变量的概率密度为 且，则_，_. 解： 解（1）（2）联立方程有：.23设随机变量同分布，其概率密度为 若，则_. 解： 24一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为_，均方差

4、为_. 解：设表示所取产品的次品数，则. ，25某盒中有2个白球和3个黑球，10个人依次摸球，每人摸出2个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则10个人总共摸到白球数的数学期望为_. 解：设表示第个人模到白球的个数，表示10个人总共摸到白球数，则 26有3个箱子，第个箱子中有个白球，个黑球.今从每个箱子中都任取一球，以表示取出的3个球中白球个数，则_，_. 解： .27设二维离散型随机变量的分布列为 若，_，_. 解： 28设独立，且均服从，若，则_，_. 解：. ，. 令 . 29设随机变量服从参数为的泊松分布，且已知，则_. 解： . 30设随机变量，记 则_. 解： .Y1Y2 31设是两个

5、随机变量，且，则_. 解： .32设，则_. 解：， ，常数 .二、 选择题1设随机变量的概率分布为，则（ ）. （A）为任意正实数； （B）； （C）； （D）. 解： 选.2设连续型随机变量的概率密度和分布函数分别为和，则下列各式正确的是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）.解： 选D.3下列函数可作为概率密度的是（ ）. （A）； （B）； （C） （D） 解：A： 错. B： 且 选B.4下列函数中，可作为某个随机变量的分布函数的是（ ）. （A）； （B）； （C） （D），其中 解：对A：，但不具有单调非减性且 A不是. 对B： . 由是单调非减的 是单调非减的. . 具

6、有右连续性. 选B.5设是随机变量，其分布函数分别为，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解：，只有A满足 选A6设随机变量的概率密度为，且是的分布函数，则对任意实数有（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解： 由 选B.7设随机变量，其分布函数和概率密度分别为和，则对任意实数，下列结论中成立的是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解：以为对称轴对称. 即 选C.8设，设，则（ ）. （A）对任意实数有； （B）； （C）； （D）只对的个别值才有 解： 选A （or利用对称性）9设，则随着的增大，

7、概率的值（ ）. （A）单调增大； （B）单调减少； （C）保持不变； （D）增减不定. 解： 不随变 选C.10设随机变量的分布函数为，则的分布函数 为（ ）. （A）； （B）； （C）； （D） 解： 选C.11设的概率密度为，则的概率密度为（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解： 选C.12设随机变量与相互独立，其概率分布分别为 则下列式子正确的是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解：A显然不对. 选C. 13设，且与相互独立，则（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解：且独立 选B. 14设随机变量且满足，则（ ）. （A）0； （B）1/4

8、； （C）1/2； （D）1. 解：X1X2 选A. 15设连续型随机变量的分布函数为则的数学期望为（ ）. （A）2； （B）0； （C）4/3； （D）8/3. 解： 选C. 16已知，则二项分布的参数为（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解： 选B. 17已知离散型随机变量的可能值为，且，则对应于的概率为（ ）. （A）；（B）； （C）；（D）解： 选A. 18设，且独立，记，则_. （A）； （B）； （C）； （D）. 解：且独立 . . 又独立正态变量的线性组合仍为正态变量， 选C. 19设，则之值为（ ）.（A）14； （B）6； （C）12； （D）4. 解：，

9、 . 选B.20设随机变量的方差存在，则（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解： . 选D. 21设相互独立，且均服从参数为的泊松分布，令，则的数学期望为（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解：独立 选C. 22设的方差存在，且，则（ ）. （A）； （B）； （C）与独立； （D）与不独立. 解： 选B. 23若随机变量满足，且，则必有（ ）. （A）独立； （B）不相关； （C）； （D）. 解：不相关. 选B. 24设的方差存在，且不等于0，则是 （ ）. （A）不相关的充分条件，但不是必要条件； （B）独立的必要条件，但不是充分条件； （C）不相关的必要条件

10、，但不是充分条件； （D）独立的充分必要条件. 解：由与不相关 是不相关的充要条件. A、C不对. 由独立，反之不成立 选B.25设的相关系数，则（ ） （A）与相互独立； （B）与必不相关； （C）存在常数使； （D）存在常数使. 解：存在使 选C.26如果存在常数，使，且，那么的相关系数为（ ）. （A）1； （B）1； （C）； （D）. 解： ，以概率1成立. 选C. 27设二维离散型随机变量的分布律为YX 则（ ）. （A）不独立； （B）独立； （C）不相关； （D）独立且相关. 解： 与不独立. 选A.三、 计算题-课后习题5. 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。

11、有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。（2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。（3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。解：（1）X的可能取值为1，2，3，n，P X=n=P 前n1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去 =， n=1，2，（2）Y的可能取值为1，2，3 P Y=1=P 第1次飞了出去= P Y=2=P

12、第1次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去 = P Y=3=P 第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去 = 同上， 故24. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求P（Y1）。解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为因此 25 设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程有实根的概率 K的分布密度为：要方程有根，就是要K满足(4K)24×4× (K+2)0。解不等式，得K2时，方程有实根。28. 由某

13、机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为=10.05，=0.06的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？解：设螺栓长度为XPX不属于(10.050.12, 10.05+0.12) =1P (10.050.12<X<10.05+0.12) =1 =1(2)(2) =10.97720.0228 =0.045629. 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为=160，(未知)的正态分布，若要求P (120X200=0.80，允许最大为多少？解： P (120X200)=又对标准正态分布有(x)=1(x) 上式变为 解出 再查表

14、，得34 设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布（1）求Y=eX的分布密度 X的分布密度为：Y=g (X) =eX是单调增函数又X=h (Y)=lnY，反函数存在且 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1 maxg (0), g (1)=max(1, e)= e Y的分布密度为：（2）求Y=2lnX的概率密度。 Y= g (X)=2lnX是单调减函数又 反函数存在。且 = ming (0), g (1)=min(+, 0 )=0 =maxg (0), g (1)=max(+, 0 )= + Y的分布密度为：37. 设X的概率密度为求Y=sin X的概率密度。FY ( y)=P (Yy) =