双线性变换法

1、数字信号处理数字信号处理 信号与系统系列课程组信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地国家电工电子教学基地如何将模拟滤波器转变为数字滤波器如何将模拟滤波器转变为数字滤波器?W Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H(z)频率频率变换变换设计模拟设计模拟滤波器滤波器AF到到DF的转换的转换利用利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一及脉冲响应不变法设计一DF，满足，满足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB 。01-18-16-14-12-10-8-6-4-20Normalized

2、 frequencyGain,dBAs = 14.2dB )(sH) (sH)(zHwwW/,/TT)2arctan(2TTwwT wW,)2tan(2WwT模拟频率与数字频率的关系为 )2tan(2WwT)2cos()2sin(2j)2tan(2jjWWWwTTwjsWjez11112zzTssTsTz/2/22j2j2j2jeeee2WWWWTWWjje1e12TWWwjje1e12jT双线性变换双线性变换 11112zzTssTsTz222222)/2()/2(wwTTz令令s= +jw w，则有，则有1) 1) 0,0,|z| 0,0,|z|1S域虚轴映射到域虚轴映射到z域单位圆上域单

3、位圆上S域右半平面映射到域右半平面映射到z域单位圆外域单位圆外) 2/tan(2WTwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww)2(tan2Tw幅度响应不是常数时会产生幅度失真幅度响应不是常数时会产生幅度失真无混叠无混叠1. 1. 将数字滤波器的频率指标将数字滤波器的频率指标 W Wk 转换为转换为 模拟滤波器的频率指标模拟滤波器的频率指标 w wk 2. . 由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。3. 利用双线性变换法，将利用双线性变换法，将H(s)转换转换H(z)。)2tan(2kkTWw11112)()(zzTssHzHW Wp,W Wsw

4、wp,w wsH(s)H(z)设计模拟设计模拟滤波器滤波器双线性变换双线性变换：AF分子、分母多项式的系数向量分子、分母多项式的系数向量Fs：抽样频率：抽样频率：DF分子、分母多项式的系数向量分子、分母多项式的系数向量利用利用MATLAB)2tan(2WwT11112)()(zzTssHzH 利用利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标标W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的脉冲响应不变法设计的DF比较。比较。设双线性变换中的参数为设双线性变换中的参数为T(1) 将将DF的频率

5、指标转换为的频率指标转换为AF的频率指标的频率指标)2tan(2ppWwT(2) 设计设计3dB截频为截频为w wp的一阶的一阶BW型模拟低通滤波器，即型模拟低通滤波器，即N=1, w wc = w wp1/1)(cwssH1/1pws故故1)2/tan(21pWsT 利用利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标标W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的脉冲响应不变法设计的DF比较。比较。设双线性变换中的参数为设双线性变换中的参数为T(3) 用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤

6、波器用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器参数参数T的取值和最终的设计结果无关。的取值和最终的设计结果无关。 为简单起见，一般取为简单起见，一般取T=2 1)2/tan(21)(pWsTsH1pp1p) 1)2(tan()2tan(1)1)(2tan()(z/z/zHWWW11112zzTs112697. 01366. 0366. 0zz 利用利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标标W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的脉冲响应不变法设计的DF比较。比较。双线性变换法设计

7、的双线性变换法设计的DF的系统函数为的系统函数为112697. 01)366. 0366. 0)(zzzH双脉冲响应不变法设计的脉冲响应不变法设计的DF的系统函数为的系统函数为1ppe1e1)(zzHWW脉令令z=ejW W ，可分别获得两者的幅度响应。，可分别获得两者的幅度响应。1/3e1/3z 利用利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标指标W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的并与脉冲响应不变法设计的DF比较。比较。脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法 脉冲响应

8、不变法存在频脉冲响应不变法存在频谱混叠，所设计的谱混叠，所设计的DF不满不满足给定指标。而双线性变足给定指标。而双线性变换法不存在频谱混叠，所换法不存在频谱混叠，所设计的设计的DF满足给定指标。满足给定指标。 利用利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标标W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的脉冲响应不变法设计的DF比较。比较。H双双(z)和和H脉脉(z)幅度响应比较的幅度响应比较的MATLAB实现实现Wp=pi/3;b=1-exp(-Wp);b1=tan(Wp/2)*1 1;

9、a=1 -exp(-Wp);a1=1+tan(Wp/2) tan(Wp/2)-1;w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);plot(w/pi,(abs(h),w/pi,(abs(h1) );xlabel(Normalized frequency);ylabel(Amplitude);set(gca,ytick,0 0.7 1);set(gca,xtick,0 Wp/pi 1);grid;利用利用AF-BW filter及及双线性变换法双线性变换法设计一设计一DF，满足，满足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p,

10、Ap 2dB, As 15dB (1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标将数字低通指标转换成模拟低通指标，取，取T=2 Ap2db, As15db (2) 设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器 （BW型）型）)/lg(2)110110(lgps1 . 01 . 0pswwAAN=2)2/(11 . 0sc) 110(sNAww=0.585 1 12)(1)(c2cLwwsssH9324. 0)2tan(2ppWwT4376. 1)2tan(2ssWwT3342. 05827. 03342. 02ss利用利用AF-BW filter及及双线性变换法双线性变换法设计一设计一DF，满足，满足 W W

11、p=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB (3) 用用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 11112)()(zzTssHzH21213237. 02606. 018157. 05315. 08157. 0zzzz利用利用AF-BW filter及及双线性变换法双线性变换法设计一设计一DF，满足，满足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB %Design DF BW low-pass filter using impulse invariance%DF

12、BW LP specficationWp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15;T=2;Fs=1/T; %Sampling frequency(Hz)%Analog Butterworth specficationwp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determine the order of AF filter and the 3-dB cutoff frequency N,wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s)%determine the AF-BW filternuma,dena=butter(N,wc,s)利用利用A

13、F-BW filter及及双线性变换法双线性变换法设计一设计一DF，满足，满足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB %determine the DF filternumd,dend=bilinear(numa,dena,Fs)%plot the frequency responsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h);axis(0 1 -50 0);grid;xlabel(Normalized frequency);ylabel(Gain,dB)

14、;%computer Ap As of the designed filterw=Wp Ws;h=freqz(numd,dend,w);fprintf(Ap= %.4fn,-20*log10( abs(h(1);fprintf(As= %.4fn,-20*log10( abs(h(2);利用利用AF-BW filter及及双线性变换法双线性变换法设计一设计一DF，满足，满足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB 01-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50Normalized

15、 frequencyGain,dbAp= 0.3945As= 15.0000利用利用AF-BW filter及及双线性变换法双线性变换法设计一设计一DF，满足，满足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB 01-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50Normalized frequencyGain,dB将将双线性变换法与脉冲响应不变法所双线性变换法与脉冲响应不变法所设计设计DF的结果比较。的结果比较。双线性变换双线性变换Ap= 0.3945As= 15.0000脉冲响应不变法脉

16、冲响应不变法双线性变换法双线性变换法脉冲响应不变脉冲响应不变Ap= 1.1187As= 12.3628W Wp,W Wsw wp,w wsH(z)w =W/T脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法H(s)模拟频模拟频率变换率变换设计原型设计原型低通滤波器低通滤波器sp,ww)(LsH复频率变换复频率变换)2tan(2Tw 脉冲响应不脉冲响应不变法不能设计变法不能设计和和数字滤数字滤波器波器1e111zpsTpll11112zzTsW Wp,W WsH(z)w =W/T脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法数字频数字频率变换率变换设计原型设计原型低通滤波器低通滤波器s

17、p,ww)(LsH)2tan(2WwT1e111zpsTpll11112zzTssp,WW)(LzHz域域变换变换试设计满足下列指标的试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器型数字带阻滤波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。 脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，因此采用双线性变换法设计。因此采用双线性变换法设计。 (1) 将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标将数字带阻滤波器指标转换成模拟带

18、阻滤波器指标 )2tan(2WwT取取T=2，利用，利用得模拟带阻指标为得模拟带阻指标为w wp1=6rad, w wp2=13rad, w ws1=9rad, w ws2=1rad1,Ap 1dB, As 10dB 试设计满足下列指标的试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器型数字带阻滤波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。(2) 将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标 21s2swwB9

19、499. 92s1s0www3714. 0,max202p2p2202p1p1pwwwwwwwBBAp 1dB, As 10dB 1sww wp1=6rad, w wp2=13rad, w ws1=9rad, w ws2=1rad1,Ap 1dB, As 10dB 模拟带阻指标模拟带阻指标试设计满足下列指标的试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器型数字带阻滤波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。(3) 设计原型设计原型BW型模拟低通滤波器

20、型模拟低通滤波器 Ap 1dB, As 10dB 1,3714. 0spww原型模拟低通指标原型模拟低通指标2)/(lg2)110110lg(ps1 . 01 . 0pswwAAN5774. 0) 110()2/(11 . 0scsNAww原型模拟低通滤波器的系统函数为原型模拟低通滤波器的系统函数为 12)(1)(c2cLwwsssH3333. 08165. 03333. 02ss试设计满足下列指标的试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器型数字带阻滤波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9603rad/s, As 10dB (4) 由复频率变换将原型模拟低通转换为模拟带阻滤波器由复频率变换将原型模拟低通转换为模拟带阻滤波器 3333. 08165. 03333. 0)(2LsssH202)()(LBSwsBsssHsH9801485210899. 4980119823424ssssss(5) 由双线性变换模拟带阻滤波器转换成数字带阻滤波器由双线性变换模拟带阻滤波器转换成数字带阻滤波器 11112)()(zzTssHzH432143219067. 06412. 35601. 58241. 319522. 07327.