叶片的强度与振动

1、叶片的强度与振动第一节 轴流式压缩机叶片强度计算轴流式压缩机叶片分为动叶与静叶两种。动叶为工作叶片，静叶为导向叶片。动叶工作时作用于其上的力主要有两种：1.叶片自身质量离心力；2.气流对叶片的作用力。叶片沿叶高为偏扭的情况下，叶片离心力还能引起弯曲应力和扭转应力。气流作用力主要产生弯曲应力。作用在叶片上的气流力是随时间变化的。它可以看做是不随时间变化的平均值分量和随时间变化的分量所组成。前者在叶片中产生静弯曲应力，后者则使叶片产生振动。叶片结构一、叶身叶身截面为翼形，截面的主要参数为1. 弦长b2. 最大厚度3. 相对厚度4. 中线最大弯度f5. 最大弯度距前缘的距离6. 前缘半径，后缘半径图

2、3-1翼形叶片截面参数maxCmax/CCbfx12,r r对于 的级（Dm是级的平均直径，l是叶片高度）采用等截面叶片。见图3-2a。等截面叶片的优点是加工简单，但强度较差。/10mDl 对于 的级（Dm是级的平均直径，l是叶片高度）采用变截面叶片。见图3-2b。变截面叶片可改善流动及减小离心拉应力，但制造相应困难。/10mDl 二、叶根叶根是将叶片固定在叶轮或转股上的联结部分。叶根的结构型式取决于强度，制造和安装工艺条件以及转子的型式。常见的叶根结构形式有燕尾型、T型和枞树型。如图3-3所示轴流式压缩机上叶根多为燕尾型和倒T型。枞树型多用在蒸汽轮机末级叶片上。燕尾型和倒T型叶根承载能力较小

3、，在离心力较小的窄短叶片上采用，加工方便，工作可靠。枞树型叶根工作可靠，承载能力大，装配方便，但加工困难。图3-2 等截面和变截面叶片图3-3 常用叶根型式三、叶顶部分围带、拉金多用在汽轮机叶片上，轴流式压缩机叶片一般不用。叶片用围带、拉金联在一起后称为叶片组，见图3-5，3-6.无围带、拉金的叶片则称为单个叶片或自由叶片。围带通常为3-5mm厚的扁平金属带，用铆接的方法固定在叶片顶部。拉金一般是6-12mm的金属带或金属管，穿过叶片中间的拉金孔。与叶片焊牢的称为焊接拉金；不焊者称为松装拉金。松装拉金可以造成附加阻尼以减小振动应力。围带和焊接拉金都能减小叶片中气流弯曲应力和提高叶片的抗振性，因

4、为叶片用围带或拉金联结后，救灾叶片顶部后中间增加了一个约束，增强了叶片的抗弯刚性，一方面减小叶片的气流弯应力，另一方面也可调整叶片的固有频率以避开共振。图3-4 装围带的叶片组图3-5 装拉金的叶片组二、叶片离心拉应力的计算1等截面叶片等截面叶片沿叶高各截面所受的离心拉应力并不相同，而是有叶顶向底部逐渐增大。底部截面承受了整个型线部分的离心力。所以该截面离心拉应力最大，为危险截面。整个叶身的质量离心力为2mFAlR等截面叶片根部截面的拉应力是2mFlRA 由该式可以看出，叶片离心拉应力与转子转速的平方、叶片高度和平均半径成正比，而与叶片横截面积A无关。对等截面叶片而言，增大叶片的横截面积并不能

5、使离心拉应力降低。图3-6(3-1)(3-2)2变截面叶片/10mDl 对于 的级，由于叶片较长，叶顶和底部圆周速度相差较大，从气动效率和强度方面考虑都需采用变截面叶片。见图3-8，在距叶片底部截面距离为z处取一微段dz，其截面积为A(z),此微段的离心力为20ddFA zzz式中z为型线部分底部截面半径，则叶片底部截面上离心力为 200dlFA zzzz相应离心拉应力为 2000dlA zzzzA图3-7(3-3)由上式知，离心拉应力与叶片材料密度，转速及截面沿叶高的变化规律A(z)有关。采用密度较小的材料也可以降低离心拉应力。叶片型线部分沿叶高的变化规律A=f(z)是已知的，但往往难于用解

6、析式表达。一般采取数值积分近似算出各截面的拉伸应力。如图3-8，将叶片分为n段，从上之下截面为0，1，2n第i段的平均面积，平均半径，高度分别以 记之，则i截面上的离心拉应力为,mimiiAZZ21imimiiiiA ZZA(3-4)图3-8(3-4)三、气流弯曲应力的计算气体力弯矩是由气流作用于叶片而产生的。对于短叶片 气流参数沿叶高的变化不大，计算可按叶片平均半径处气流参数进行。气体流经叶栅前后速度三角形如图3-10所示。/10mDl 作用在叶片上的气体力可分解为切向力Fu和轴向力Fa。切向力可有动量方程或级的轮周功率来确定。按动量定理，气流的动量在某一时间间隔内的改变，等于作用在气流上的

7、力在同一时间间隔的冲量。于是便可得到叶片所受切向气流力为21uuuaGFccz式中通过叶栅的气体质量流量（Kg/s）切向气流力（N）uFGaz1uc2uc动叶片数静叶出口气流切向速度（m/s）动叶出口气流切向速度（m/s）平均半径处圆周速度（m/s）uy图3-9(3-5)由级的轮周功率确定切向力Fu的公式为1000uuaNFuzuN级的轮周功率（KW）按气流轴向动量的改变及动叶前后的压差，可计算出每个动叶所受的轴向力 2121aaaaGFccpp tlz动叶出口气流轴向速度（m/s）静叶出口气流轴向速度（m/s）1ac2ac12,p ptl动叶前后气体压力（Pa）动叶平均半径处的节距（m）动叶

8、高度（m）式中作用在叶片上的气流力F是切向和轴向气流力的合力22uaFFF(3-6)(3-7)对于 的短叶片，可将其作为受均布载荷q，一墙固定，一端自由的悬臂梁来研究/10mDl /qF l所以距叶底截面为z处的截面上 22qM zlz在z=0即叶底截面上，弯矩最大为2max22qlFlM为了求出底部截面的最大弯曲应力，必须先确定形心主惯性轴。叶片翼型部分截面的形心主惯性轴可以通过计算得出，也可用相当精确的近似方法直接得出。连接叶片的前缘和后缘点，便得出最小主惯性轴的方向。通过形心做该线的平行线，便得到最小主惯性轴- 。它的误差一般小于3。过形心作- 轴的垂线，便可得最大主惯性轴-。见图3-1

9、0图3-10 叶片承受的气流力(3-8)(3-9)对于气流弯曲应力而言，叶片底部截面危险点为1，2，3点。据材料力学公式有现将力F向-和 - 轴投影：12cossinFFFF式中arctanauFF为叶片安装角， 为F与-轴之间的夹角在底部截面，两个主惯性轴方向的弯矩为1122cos22sin22FlFlMF lFlM1 12 212112M eM eMMIIWW-1 12 412214M eM eMMIIWW-(3-10)式中1 3133M eMIW -11IWe-为截面抗弯模量，余同。通常后缘点的弯曲应力 （拉应力）比前缘点的弯曲应力 和背弧的应力 都要大。可见对气流弯曲应力而言，危险点为

10、叶底截面后缘点。当应力超过许用值时，可增加叶片的宽度，使叶片的截面抗弯模量相应增大。从而使弯曲应力下降。由此可见等截面叶片的截面形状和大小，与弯曲应力有关而与拉伸应力无关。123对于 的长叶片，必须考虑气流力季度q沿叶高的变化，如图3-11所示。/10mDl 在这种情况下，距叶片底部截面处截面上气体力弯矩按下式计算 111dlzM zq zzzz如气体力集度沿叶高的变化规律无法用解析式表达时，则q(z)和M(z)可以用数值积分来确定。对于长叶片气流弯曲应力最大值可能不出现在底部截面上。图3-11 气流力集度沿叶高的变化(3-11)1WI四、离心力引起的弯曲应力叶片离心力在某一截面上产生附加弯曲

11、应力，是由于该截面以上叶片部分的重心和旋转中心的连线（即离心力辐射线）不通过该截面的形心，形成偏心拉伸所致。在图3-12中以底部截面的形心与旋转中心O的连线（径向线）为z轴。主轴轴线为x轴，y轴相应决定。如人为的使叶片沿切向反旋转方向倾斜（对汽轮机叶片则是顺旋转方向倾斜）。或使叶片顺旋转方向平移一段距离（对汽轮机则是反旋转方向），都可以使离心力引起的附加弯矩与气体力弯矩方向相反，从而抵消部分气体力弯矩。对于等截面叶片，由于各截面形心的连线是一条直线，如果使这条形心连线与离心力辐射线重合，则离心力引起的附加弯曲应力为零。图3-12 离心力引起的叶片弯曲应力WI式中 为j段叶片的体积， 为重心半径

12、在变截面叶片中叶片截面积沿叶高逐渐减小。而且叶片型线部分的安装角也是变化的。通常各截面的形心连线为一条空间曲线。因此离心力必然在某些截面中产生偏心拉伸，出现离心弯曲应力，在较长的叶片中，这个应力会达到很可观的数值。一般也用近似积分法来计算离心力弯矩。设叶片分为n段，第i段叶片离心力为2jjmjFV RjVmjR22coszjjmjjmjFV RV z22sinyjjmjjmjFV RV y通常认为 在yoz平面中，即把叶片各截面形心连线看成位于yoz平面内的平面曲线，故0 xjF jF式中为第j段叶片形心坐标。,mjmjyzWI可近似认为：1112jjjjjVAAzz112mjjjyyy112

13、mjjjzzz第i截面上的离心力弯矩是i截面以上各段离心力分量对该截面x轴弯矩之和11iixizjmjiyjmjijjMFyyFzz 0yiM因为 位于yoz平面中，所以 必为零。上式中弯矩以逆时针为正。jFyiM如前所述，对于弯曲应力，叶片根部截面危险点为1，2，3点为了计算出i截面最大离心弯曲应力，需将向该截面主惯性轴转换。当坐标旋转时，力和位移有相同的变换关系，为cossinsincosxiyiMMMM对于图3-13，-坐标系相对于x-y坐标系顺时针旋转，故角应以负值代入。12112MMWW 12214MMWW 133MW iW意思同前。见（3-10）式。图3-133-12w五、总压力与

14、安全系数叶片截面上总的静压力为离心拉应力 与弯曲应力 之和，不包括振动应力，即llw总w应为气流弯曲应力与离心弯曲应力之和。叶片许用拉伸应力 nss 为材料的屈服极限，n为安全系数，一般取n=1.72，安全系数n的大小取决于计算的准确度，载荷性质，加工精度及该零件的重要性等。六、叶根强度计算在简略的计算中，通常不计叶根所受到的弯矩，只考虑叶片及叶根质量离心力所引起的应力。在轴流式压缩机中通常采用燕尾形叶根，如图3-14所示。设Pb为叶片及叶根的离心力，则作用在叶轮燕尾槽接触面上的正压力为2sin2bPN 图3-14式中为相邻两叶片径向夹角。以上所得到的是平均拉应力。实际上BD截面的拉应力是不均

15、匀的，存在较严重的应力集中。此外还要校核轮缘两个燕尾槽间危险截面BD的拉应力l由图3-14所示2coswlNPA式中A为危险截面BD之面积，又222故有APNwl22sin2该面上的挤压应力为2sin2ldPANb式中为燕尾槽两侧面的夹角，l,d为接触面的长度与宽度。第二节 叶片振动叶片在工作时，不断收到脉动气流力的作用，使叶片产生振动。如果激振力的频率接近叶片固有频率而发生共振，将可能导致叶片的疲劳断裂。叶片共振疲劳引起的事故，无论在国内还是国外，都是屡见不鲜的。研究叶片的振动，找出减小叶片振动的有效途径，是十分重要的。一、叶片振动型式叶片可看成是弹性悬臂梁，其振动的基本形式可分为弯曲振动与

16、扭转振动。弯曲振动又可分为切向振动与轴向振动，它们分别指沿最大主惯性轴 与沿最小主惯性轴 的弯曲振动，如图3-15（a）（b）所示。而扭转振动则与围绕叶片截面形心轴的振动。如图3-15（c）所示。图3-15 叶片振动的形式1、弯曲振动对切向弯曲振动，通常将叶项自由的叶片振动称为A型振动。叶片弯曲振动的振型可通过实验观察，现在叶片上撒少许细沙，然后加以正弦激振力Fsint(由激振器产生)，连续改变激振频率，当激振力频率与叶片第一阶固有频率 相等时，叶片产生共振，叶片作第一阶主振动，叶片的振型便是第一阶振型。据节点原理，第一阶主振型应无节点（节线），而实验正好说明这一点，此时沙粒仅在叶片根部留下少

17、许，其余都振掉了。当叶片产生第二阶共振时，所测得的第二阶振型上便有一条节线。一般将A型一阶振动称为 型振动，依次为10A012,AAA 它们分别相应于1，2，3阶主振动。其振型如图3-16当叶片顶部铰支，可产生B型振型如图3-17图3-16 A型振动图3-17 B型振动2、扭转振动图3-18为等直叶片作第1、2阶扭转振动时的振型图，即角振幅沿叶高的变化曲线。相应的沙振图形如右，在等直叶片作第一阶扭转振动时，轴线处的振幅为零，因而沿轴线留下一些沙子。3、复合振动对于变截面扭转叶片还会产生弯曲、扭转复合振动。图3-19（a）（b）即分别为二阶弯曲一阶扭转振动和二阶弯曲二阶扭转振动的沙振图形。图3-

18、18 扭转振动图3-19 复合振型二、等截面叶片固有频率的计算叶片弯曲振动固有频率有静频、动频之分。动频是计及叶片旋转离心惯性力影响的固有频率。由于离心力的作用相当于增加了叶片的弯曲刚性，故叶片动频高于相应的静频。1、等截面叶片静频计算叶片的力学模型为弹性悬臂梁，设叶片作某阶主振动，即设叶片的特解为 ,sin()y x tY xtY（x）为叶片的振型函数，由于在此把叶片作为连续体来对待，故其振型不再为一组离散值，而成为坐标x的连续函数。振型函数与时间无关。在叶片自由振动中，惯性力是作用在叶片上的唯一载荷，其集度为 22tyAxq式中A为叶片横截面积。(3-13)(3-14)在梁上取一微段dx，

19、其受力如图3-21所示，由微段的平衡可得0y0dd22xxQQxtyAQ(a)对微段右截面形心C取矩，0cM0dd2dd22xxMMxQxxtyAM（b）由（a）式可得022tyAxQ（c）图3-20 故有MQx略去高阶微量，由（b）式可得上两式即弯矩、弯力、分布载荷之间的微分关系 22ddddM xQ xq xxx式中22220MyAxt材料力学中梁的挠曲线近似微分方程为 22ddyMq xxEJ（d）（e）（f）式中EJ为梁的刚度，将f式代入e式，得2222220yyEJAxxt对于等截面叶片有24240yyAEJtx或242240yyatx(g)式中2EJaA此即等截面叶片自由振动偏微分

20、方程式。将3-13式代入g式可得4242d0dYYxa2242AkaEJ 令，于是便得到了叶片振型函数的常微分方程式444d0dYk Yx(h)该四阶常微分方程的解可取为 sxY xe代入h式可得特征方程：440sk它的四个根为1,23,4,sk sik (i)故h式的解为故h式的解为 kxkxikxikxY xA eB eC eD e(j)又chsh,cossinkxikxekxkx ekxikx代入j式可得解的通常形式 sincosshchY xAkxBkxCkxDkx(k)k式即为等截面叶片自由振动的振型函数，将其代入3-16式便可得到偏微分方程g的通解为,sincosshchsiny

21、x tAkxBkxCkxDkxt(l)上式有A、B、C、D四个积分常数和 两个待定系数，但悬臂梁有四个端点条件，再加上两个振动初始条件，恰好可决定这六个常数。、求等截面叶片A型振动的固有频率，悬臂梁的四个边界条件为22331)0,02)0,003),004),00 xYdYxdxd YxlMdxd YxlQdx由1）可得0BD由2）可得0AC由3）、 4）可得sincosshch0AklBklCklDklcossinchsh0AklBklCklDkl将,AC BD 代入上两式，得C sinshcos+ch0klklDklklcos+chsinsh0CklklDklkl上式为对于C和D的齐次方程

22、组，有非零解的条件为sinshcosch0coschsinshklklklklklklklkl此即叶片自由振动的频率方程，或展开为1 cos ch0klkl(m)(n)上方程有无限多个根，也可由作图法求出。将上式改写为1coschklkl 以kl（无因次量）为横坐标，作出coskl和-1/chkl曲线，两曲线各交点的横坐标就是频率方程的根，见图3-21123451.8754.6957.8551099614.137k lk lk lk lk l当n4时，可有212nnk l由242nnka可得(3-15)2221,2,3nnnk lEJaknlA图3-21将,AC BD 代入k式，得主振型函数

23、chcosshsinCY xDkxkxkxkxD式中比值C/D可由m式中任选一个求出，如取第二式shsinch +cosCklklDklkl 代入上式得 shsinchcosshsinch +cosklklY xDkxkxkxkxklkl(3-16)将各阶主振动的 值代入（3-16）式，便可得到相应的主振型。等截面叶片头三阶主振型图示如右nk l图3-22 等截面叶片1，2，3阶主振型2.主振型的正交性叶片的不同阶的振型之间也存在着正交性，在这里我们把叶片作为连续弹性体，故将表现为积分形式。设分别为对应于 的主振型函数，据上节讨论必有 ,ijY x Yx,ij 22222ddddiiiYEJA

24、Yxx 22222ddddjjjYEJAYxx (a)(b)用Yj乘a式并在全梁分部积分，可得222222002222002222222200020dddddddddddddddddddddddddddddddddlliijjlljiijllljjiiijliijYYYEJxYEJxxxxYYYYEJEJxxxxYYYYYYEJEJEJxxxxxxxAYYx(c)同理，用Yi乘b式并在全梁进行分部积分，得222202222222200020dddddddddddddddddddljillljjjiiiljijYYEJxxxYYYYYYEJEJEJxxxxxxxAYY x(d)将上两式相减得22

25、02222222200dddddddddddddddddlijijlljjjiiijiAYY xYYYYYYYEJYEJEJEJxxxxxxxx上式右边实际上是x=0和x=l时叶片的端点条件，应等于零。因此，只要,ijij，便有0d0lijAYY xij该式即为叶片的主振型对于质量的正交性表达式。(3-17)将上式代回c式可得22220ddd0ddljiYYEJxijxx(3-18)该式为叶片的主振型对刚度的正交性表达式。对等截面叶片主振型的正交性表达式简化为0d0lijYY xij22220ddd0ddljiYYxijxx(3-19)(3-20)三、变截面叶片固有频率的计算对于一般系统，由于

26、其复杂性，只能求其近似的数值解。近似求解变截面叶片的固有频率，可用振型迭代法。该法的主要特点是先假设一个系统的主振型，经过逐次迭代，使它收敛到该阶主振型（以前后两次计算值相近为准），从而得到系统的固有频率。振型迭代法又可分为雷利法和矩阵迭代法。1.雷利法变截面叶片可视为悬臂梁，将其离散为如图3-24所示。12,m m 为集中质量，12,Y Y 为相应集中质量作用截面的静挠度。如忽略阻尼，变截面叶片自由振动可看成是保守系统。在保守系统中机械能量守恒的。叶片在振动的每一瞬间，其能量有两种形式，为势能U和动能T，而U+T=const，在振动到最大振幅时，系统动能为零，具有最大势能Umax，当振动到平

27、衡位置时，系统势能为零，具有最大动能Tmax，据能量守恒，有maxmaxTU(a)图3-24计算最大势能和最大动能必须要知道系统的振型曲线Y(x)，但对多自由度系统智能给出近似的振型曲线。雷利提出可用系统的静挠度曲线来近似系统一阶主振型。工程实践证明，这是一个很好的近似。用能量法求多自由度系统固有频率的方法也称之为雷利法(Rayleighs method)。对于2阶以上的振型，我们很难给出与之相近的曲线。所以雷利法一般只用于计算系统的基频。用该法仅计算一次便可得到工程上满意的结果，故无需多次迭代。如计算出各集中质量点处的静挠度为 。设叶片的振动是简谐的，各集中质量的运动可有下式表示12,Y Y

28、 ( , )siniikky x tY xt(b)式中 是叶片横振动的固有频率， 为初相位，各质量点处的速度为kk cosiikkkyY xtt(c)其最大速度为1maxikyYt各质量的最大动能及最大势能为22maxmax1212iiikiiiTmYUm gY1,2,i (d)(e)(f)上两式的区别在于3-28式振型可取相对值，而3-27式中 必须用系统的静挠度值，不能用相对值。令 ，有 ，当Y按一定比例变化时，3-27式中的据能量守恒有221122kiiiimYgmY由此得变截面叶片的固有频率22iikiigmYmY在机械振动理论中，有雷利商式2YEYYMY(3-27)(3-28)iiP

29、m gPYKiiPm g并没有按相同的比例变化，所以该式中 只能取系统静挠度的绝对数值。iYiY现在求变截面叶片固有频率问题便转化为求在集中质量作用下梁的静挠度问题。现用直接积分法来求变截面叶片的静挠度。以上已推出2222ddddYEJqxx(3-29)因变截面叶片的截面变化规律A(x)及主惯性矩变化规律J(x)很难用解析式表达，因此对上式只能进行数值积分。2.振型迭代法22222ddddYEJAYxx 24001kkkkknnkYAYxEJ24,1, ,001kkkki jki j knnkYA YxEJ可以直接假设一个近似的一阶主振型曲线如 2xY xl 1 cos2xY xl等，将其离散

30、为作为振型初始值，所假设的振型曲线必须满足叶片的变形几何边界条件。对叶片自由振动有2qAY 可改写为(3-21)这里Y为叶片某阶主振型，为相应固有频率， 为惯性力集度。出于同样的理由对3-30是也仅能进行数值积分。将叶片分为n段，以根部为0截面，叶顶为n截面，将振型初始值Y(x)及A(x),J(x)的相应离散值代入上式，积分四次，便可以求出一阶振型曲线的第一次近似值。2qAY 式中k为计算截面。如以i表振型阶次，j表迭代次数，上式可重写为对上式进行迭代，如前后两次计算结果 相当接近，则认为已得到满意结果，可停止计算。, i jY,1i jY例题：某压缩机一级动叶片叶高l=17cm，材料为2Cr

31、13，622.187 10/EKg cm337.75 10/kg cm将叶片等分10段，每段集中质量作用在段中，根部截面下标为0，视为固定端，计算模型图示如下各截面面积A，主惯性矩J，长度012345678910Q0M0l/10012345678910A (cm2)6.7176.5626.3436.2566.2086.10855.6655.2125.074.8834.65J (cm4)0.63600.60110.53180.47310.43280.39810.33110.26180.22830.20240.1745x (cm)1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.7问

32、题1：设初始振型为 ，用振型迭代法计算变截面叶片的一阶固有频率。 2xY xl,1,24241616()i jnEEYZxx72223442.187 10102090.3rad/s1.77.75 10123718.26ExZ332.7Hz2f问题2：计算叶片的一阶弯曲振动相对动应力计算见下表，本例只计算背弧顶点B的相对弯曲动应力3.二阶固有频率的计算变截面叶片二阶和二阶以上固有频率计算的困难在于：很难找到相应振型的较准确的近似曲线，一般所取的振型初始值误差较大。以二阶固有频率计算为例，设所去的初始振型曲线为Y(x),则Y(x)可表示为n个主振型的线性组合（如叶片分为n段） 1 122nnY x

33、aY xa Yxa Yx初始振型Y(x)中所包含的高于二阶的振型成分，其值相对于 可略而不计，但Y(x)所包含的一阶主振型成分却不可略去，可近似认为 22a Yx 1 122Y xaYxa Yx可利用主振型的正交性消去初始振型中的一阶成分。具体做法是将3-23式两端同乘以(3-22)(3-23) 1AY x并沿全叶高积分 2111212000dddlllAY x YxxaYxxaAYx Yxx由叶片主振型对质量的正交性有 120d0lAYx Yxx上式可写为 211100ddllAY x YxxaAYxx故可得 101210ddllAY x YxxaAYxx(3-24)将比例常数 代入3-23

34、式得1a 21 121YxY xaY xa由振型的相对值，可取 21 1YxY xaY x(3-25)二阶固有频率的计算需要较多的迭代次数才能得到满意的结果。如需计算二阶以上固有频率，则要多次利用主振型的正交性，来求得各 值，以去除低于该阶的主振型成分，有1a 020ddliiliAY x Y xxaAYxx 11 1iiiYxY xaY xaY x(3-26)(3-27)该法需要较多的迭代次数才能取得较好的结果。一般很少用此法求高于3阶的固有频率。现在较新的求叶片固有频率的方法有传递矩阵法（Prohl法）、有限元法和有限差分法。四、叶片相对弯曲振动应力及动频计算1.叶片相对弯曲振动应力由于主

35、振动的相对性，这里所说的弯曲动应力也是相对值。由3-21式22222ddddYEJAYxx积分两次可得弯矩M的相对值为2d dllxxMAY x x 对上式进行数值积分得22kkknnMAYx(3-28)式中k为计算截面，于是有kMW式中minJWh为叶片截面抗弯模量。如前所述，叶片截面的危险点在后缘点，而前缘点与背弧顶点也是较危险的地方，亦须校核，见图3-23。等截面叶片 型弯曲振动的危险截面为根部截面。对变截面叶片而言，危险截面却不一定在根部，因为还有截面抗弯横量W这个因素。等截面叶片前三阶弯曲振动主振型及相应弯矩如图3-24所示，可见对于二阶弯曲振动，危险截面在0.6l处，对于三阶弯曲振

36、动，危险截面约在0.75l与0.3l处。因此我们可以根据裂缝出现的位置来大致判断出是由于哪一阶弯曲共振疲劳产生的。这就是相对弯曲动应力分布对破坏分析的意义所在。0A图3-23 叶片截面危险点图3-24等截面叶片相对于弯曲动应力2.叶片的动频前已谈及，动叶的动频高于静频。这是因为动叶片工作时，要承受巨大的离心惯性力；由离心力产生的附加弯矩与叶片弹性恢复力共同促使叶片返回平衡位置，这相当于增强了叶片的刚性，因此动叶的动频高于静频。下面用能量法讨论旋转叶片动频的计算。为此先用该法计算叶片的静频。参阅图3-20。设叶片振动运动规律为 ,sincy x tY xt式中 为叶片的静频，即叶片不旋转而自由振

37、动时的固有频率。此时，叶片某截面的转角 ，弯矩 ， 叶片dx微段的势能为cYMEJYdY2dddd222MEJEJUY YxYx于是叶片的最大势能为22max201dd2dlYUEJxx叶片dx微段的动能为21ddd2dyTAxtcosccyYt故maxcyY(3-29)于是叶片的最大动能为据能量法有22max1d2lcoTAYxmaxmaxUT从而得叶片静频的计算式222022ddddlcloYJxxEAYx(3-30)(3-31)叶片以转速旋转时，叶片势能还应包括离心力场作用下的附加势能U故能量守恒式为maxmaxmaxTUU(3-32)是当叶片振动到最大振幅时，离心力所作的功，此时叶片的

38、最大动能maxU22max1d2ldoTAYx(3-33)不计离心力场影响的最大弹性弯曲势能的表达式仍为3-29式。附加势能 的计算U如图3-25所示，当叶片以转速旋转时，作用在微段dx上的离心力为2ddFA Rxx设dx微段位移前重心坐标为OC=S。当弯201dxOCSYx曲叶片轴线变为弧线式中ddYYx 为振型曲线的斜率。则dx微段重心的下降值为201dxeSxYxx因为Y值很小，所以有221112YY 因此201d2xeYx微段dx在离心力场中势能的变化为edF，对整个叶片有22max0001=ddd2llxUe FYx A Rxx (3-34)图3-25叶片动频计算将上面maxmaxm

39、ax,UTU值代入3-32式有222222200011d1dddd22d2lllxdoYAYxEJxYx A Rxxx 故22220002222dddddddddlxldllooYYx A RxxJxxxEAYxAYx 上式右端第一项为叶片静频 ，第二项为由于离心力场的影响旋转叶片固有频率提高的部分，二者之和即为动频 ，可简写为2c2d222dcB或222dcsffn B上式中2sn为转子每秒转速2002dddddlxloYx A RxxxBAYx 称为动频系数(3-35)(3-36)对式3-35进行数值积分，可算出叶片动频22220002222200dddd4nnniiiidsnniiiiY

40、Yx A RxxJxxxEfnAYxAYx (3-37)由于离心力对频率的影响与叶片振型有关，因此不同振型其动频系数也不同，对于型振动动频系数B可用下经验公式计算0A20.690.3sinmDBl(3-38)式中为振动平面和叶轮平面之间的夹角。该式对等截面和变截面叶片及叶片组均适用。但由于动频系数的经验公式是根据一定的叶片结构得到的，推广应用时有较大误差。对于长叶片，由于静频 较低，在3-45式中 相差较大，因此动频与静频相差较大，必须计及。2sn B对于短叶片，中静频 较高，往往 ，以致 项可忽略不计。此时动频和静频相差不大，可以不必进行动频计算。对于高阶次的振动，由于叶片相应振幅小，离心力对动频的影响亦小，因此此时 型和 型振动可以忽略离心力对频率的影响。cfcf22csfBn2sn B0B1A六、叶片的激振力，调频和降低动应力的措施叶片的损坏大多是因为共振而导致的疲劳破坏。除了要计算叶片的固有频率外，还要研究激振力的性质。叶片在工作时所受的激振力很复杂，但大多数是有规律的或是周期性的。可分为机械激振力和气流激振力两大类。1）机械激振一般表现为位移激振的形式。如轮盘或轮鼓的振动，使叶片根部有位移激振，从而使叶片振动，通过轮盘传到叶片上。其激