数学归纳法证题中归纳假设的使用方法技巧

1、. 衿肃膂莃羁袆蒁莂蚁肁莇莁螃袄芃蒀袅聿腿葿薅袂肅蒈蚇肈蒃蒈袀羁荿蒇羂膆芅蒆蚂罿膁蒅螄膄肇蒄袆羇莆薃薆膃节薂蚈羅膈薂袀膁膄薁羃肄蒂薀蚂袆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆蚆虿袃莅蚆螁聿芁蚅羄袁芇蚄蚃膇膃蚃螆羀蒁蚂袈膅莇蚁羀羈芃螀蚀膃腿莇螂羆肅莆袄膂莄莅薄羅莀莄螆芀芆莄衿肃膂莃羁袆蒁莂蚁肁莇莁螃袄芃蒀袅聿腿葿薅袂肅蒈蚇肈蒃蒈袀羁荿蒇羂膆芅蒆蚂罿膁蒅螄膄肇蒄袆羇莆薃薆膃节薂蚈羅膈薂袀膁膄薁羃肄蒂薀蚂袆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆蚆虿袃莅蚆螁聿芁蚅羄袁芇蚄蚃膇膃蚃螆羀蒁蚂袈膅莇蚁羀羈芃螀蚀膃腿莇螂羆肅莆袄膂莄莅薄羅莀莄螆芀芆莄衿肃膂莃羁袆蒁莂蚁肁莇莁螃袄芃蒀袅聿腿葿薅袂肅蒈蚇肈蒃蒈袀羁荿蒇羂膆芅蒆蚂罿膁蒅螄膄

2、肇蒄袆羇莆薃薆膃节薂蚈羅膈薂袀膁膄薁羃肄蒂薀蚂袆莈蕿螅肂芄薈袇袅膀薇薇肀肆蚆虿袃莅蚆螁聿芁蚅羄袁芇蚄蚃膇膃蚃螆羀蒁蚂袈膅莇蚁羀羈芃螀蚀膃腿莇螂羆肅莆袄膂莄莅薄羅莀莄螆芀芆莄衿肃膂莃羁袆蒁莂蚁肁莇莁螃袄芃 数学归纳法证题中“归纳假设”的使用方法技巧陕西洋县中学（723300） 刘大鸣 : 为证明与自然数有关的某些数学命题，引入数学归纳法.数学归纳法是先验证递推基础，再证明递推依据的方法，其中归纳假设起着“已知条件”的作用，在“k+1”步中一定要用它，否则就不是数学归纳法.证明第二步的关键是“认清命题的结构特征，由目标意识，一凑假设，二凑结论,”.本文就数学归纳法证明递推依据中“归纳假设”使用的方

3、法和技巧探究之1 证明数列问题关键是“从数列本身的特征（递推关系，项与和关系ak+1=Sk+1-Sk）入手凑用假设”。例1已知数列an的项满足a1=b,且an+1=can+d，其中c.证明这个数列的通项公式是简析：从已知的线性递推关系入手凑用归纳假设. n=1时，通项公式显然成立； 假设当 n=k时，通项公式成立.即由题设有且ak+1=cak+d,用归纳假设，则ak+1=cak+d=.这就是说，当n=k+1时通项公式也成立.由此，所求数列的通项公式是2 证明等式问题（数列和）关键是“数清项数，认识等式的结构特征，从一端入手代入使用归纳假设”例2（89高考）是否存在数列，使对于任意的自然数，等式

4、恒成立？若存在，求出，并加以证明；若不存在，说明理由.简析：特殊赋值猜通项,数学归纳法证明解决.易求,a1=3,a2=5,a3=7,猜an=2n+1.当n=1时, a1=3易证;假设n=k时成立,即成立.则当n=k+1时, .由归纳假设得，由此解得， ak+1=(k+1)3(k+3)-k(k+2)3=2(k+1)+1,即等式也成立.故存在数列且an=2n+1,使等式成立.3 证明整除问题关键是“认识命题的结构特征，增添项凑用归纳假设”(例题见教材例习题略) 4 证明几何问题关键是“挖掘题设和几何本身所隐含的递推关系，使用归纳假设完成递推依据的证明”（见教材略）5证明不等式问题关键是“从一端入手

5、用假设，对照另一端，用不等式证明方法完成递推依据的证明”例3 （98高考）已知是等差数列， 求数列的通项公式； 设数列的通项，记是数列的前项和，试比较和的大小.简析：单调性转化为数学归纳法证明不等式.由等差数列求和易知，；=，只需比较和的大小.，猜测.用数学归纳法证明.时已证假设时猜测成立,即有，当，不等式左端=，右端=，用分析法证明时猜测成立.要使时猜测成立显然成立.故猜测成立.于是，；6 数列探索与创新问题的求解往往是“观察 归纳 猜想 数学归纳纳法证明”例4 （02高考）数列满足 . 当时， 求数列的通项公式； 当时，证明对所有的ann+2.简析：本题以数列为载体，与不等式证明相综合，在

6、考查演绎推理的同时，突出考查一般归纳法和数学归纳法. 由所给的递推式，特殊赋值可求前四项，研究前四项的特点并发现规律可归纳其通项公式.这是“一般-特殊-一般”的数学思维过程.a1=2,a2=3,a3=4,a4=5, 猜an=n+1用用数学归纳法证题，即从题设递推关系入手，代入归纳假可得到递推依据的证明，ak+1=（k+1）2-k（k+1）+1=k+2； 实质是数学归纳法证明不等式，利用题设递推关系,通项公式和归纳假设易证，ak+1=ak（ak-k）+1 n（k+1）（k+1-k）+1=k+2;【高考真题演练】1 （03新高考）2（高考题改变）已知x的函数fn(x)(n=1,2,3,).定义如下

7、：f1(x)=2,fn+1(x)=xfn(x)+1,求fn（x）3（89高考）是否存在常数a,b,c使得等式 对一切自然数n都成立？并证明你的结论.4 （94高考）设数列an的前n项和Sn,若对一切正整数n,都有Sn=n（a1+an）/2,证明an为等差数列。. 5（02高考）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，bR，都满足f（ab）=af（b）+bf（a）. 6（02北京高考） 已知点的序列An（xn,0）,nN,其中x1=0,x2=a（a>0）,A3是线段A1A2的中点, A4是线段A2A3的中点, An是线段An-2An-1的中点,若an=xn+1-xn,计算

8、a1,a2,a3,推测an并证明. 7 由下列各式，1>1/2,1+1/2+1/3>1,1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7>3/21+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/15>2,你你能得到什么结论？并证明。答案及提示：1 2注意其递推关系和定义，可找到处理“相邻项满足一阶线性递推关系求通项的影子”.“归纳猜测解析式用数学归纳法证明.易知，f2(x)=xf1(x)+1=2x+1,f3(x)=xf2(x)+1=2x2+x+1,f4(x)=xf3(x)+1=2x3+x2+x+1,推测知fn(x)=2xn-1+xn-2+x2+x+1.用数学归纳

9、法证明. 当n=1时，显然成立； 假设n=k时，命题成立.即，fk(x)= 2xk-1+xk-2+x2+x+1.当n=k+1时,由题fk+1(x)=xfk(x)+1=x(2xk-1+xk-2+x2+x+1)+1=2xk+xk-1+x2+x+1.这就是说，n=k+1时猜测也成立.故推测成立2 特殊赋值，用数学归纳法证明。3 只需证明 an=a1+（n-1）d,用数学归纳法证明。4 5 求f（0），f（1）的值； 判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论； 若f（2）=2，Un=f（2-n）/n（nN），求数列Un的前n项和Sn。令a=b=o，则f(0)=0.f(1)=f(1f(1)+f(1)=2f(

10、1),f(1)=0；f(x)为奇函数；f(1)=f(-1)2=-f(-1)-f(-1)=0,则f(_-1)=0,于是f(-x)=f(-1x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x),即为奇函数； 易猜f(an)=nan-1f(a)，用数学归纳法可证Un=(-1/2)(1/2)n-1,用等比数列求和有Sn=(1/2)n-1.6 an=a（-0.5）n-1, 用数学归纳法证明,注意递推关系ak+1=（xk+1+xk）/2,中点坐标公式和归纳假设的使用。7 数清项数，注意分母的特点有，1+1/2+1/3+1/（2n-1）>n/2;n=k+1,不等式的左端=1+1/2+1/3+1/ （2n-1）+

11、1/2k+1/（2k+1）+1/（2k+1-1）>k/2+1/2k+1/（2k+1）+1/（2k+1-1）>k/2+1/2k+1+1/2k+1+1/2k+1+1/2k+1>k/2+2k×(1/2k+1)=k/2+1/2=（k+1）/2，即递推依据成立。注意从k到k+1增加了2k项，而不等式放缩是由项数和不等式右端的结构的目标意识确定的.7 用数学归纳法证明解几问题已知点满足 （3）求点Pn的极限位置。 简析：理解点集的横、纵坐标构成的数列它们之间的关系，从特殊入手确定L的方程，猜测一般结论，用数学归纳法完成点在直线的证明，为数学归纳法开辟了新的应用天地。 电话 09168215676 QQ 294980047 蚃肈节莂蚂袈肅莈蚁羀莁蚆蚁肃膃薂蚀膅荿蒈虿袅膂莄蚈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿莆蒅螅羁膈蒁螅肃蒄莇螄膆芇蚅螃袅聿薁螂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿袂肆薈衿肄节薄袈膇膄蒀袇袆莀莆袆罿膃蚄袅肁莈薀羄膃膁蒆羃袃莆莂薀羅腿芈蕿膇莅蚇薈袇芈薃薇罿蒃葿薆肂芆莅薆膄聿蚄薅袄芄薀蚄羆肇蒆蚃肈节莂蚂袈肅莈蚁羀莁蚆蚁肃膃薂蚀膅荿蒈虿袅膂莄蚈羇莇芀螇聿膀蕿螆蝿莆蒅螅羁膈蒁螅肃蒄莇螄膆芇蚅螃袅聿薁螂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿袂肆薈衿肄节薄袈膇膄蒀袇袆莀莆袆罿膃蚄袅肁莈薀羄膃膁蒆羃袃莆莂