常用的离散分布

1、2.3 2.3 常用的离散型分布常用的离散型分布一一、退化分布退化分布如果随机变量如果随机变量X X则称随机变量则称随机变量X X服从服从 处的退化分布处的退化分布.*a即即此时此时0DX aEXP Xa1Xa 1二、两点分布二、两点分布如果随机变量如果随机变量X X 只取两个值只取两个值其中其中此时此时当当时，时，即为即为0 01 1分布分布. .也称也称X X是参数为是参数为p p的的此时此时 p则称则称X X服从参数为服从参数为p p的的两点分布两点分布. .伯努利随机变量伯努利随机变量. .01p1px2()1xp11,x 20 x 12,xx12xxX1ppEX10X1ppEXDX)

2、1(pp三三、离散均匀分布离散均匀分布X12.nxxx111.nnn如掷一颗骰子如掷一颗骰子出现的点数出现的点数X具有离散均匀分布具有离散均匀分布. .612345X111111666666EX11xn21xn1.nxn1n12.nxxxxDXE2XEX2E Xx21()1xnx22()1xnx2.(1. .)nxxn四、二项分布四、二项分布每一次试验每一次试验, ,设在一次试验中设在一次试验中, ,只有两个对立的结果只有两个对立的结果: :A或或A重复重复进行进行 次次独立独立试验试验, ,n(“(“重复重复”指指 相同相同, , “ “独立独立”指各次试验的结指各次试验的结果果互不影响互不

3、影响) ) 各次各次试验的条件试验的条件A A发生的概率都是发生的概率都是A A不发生的不发生的这样的这样的 次独立重复试验次独立重复试验 n称作称作 重贝努里重贝努里试验试验, n简称简称贝努里试验贝努里试验 或贝努里或贝努里 用用 表示表示Xn n重贝努里试验中重贝努里试验中事件事件A(A(成功成功) )出现的出现的可能取值可能取值: :X次数次数, ,0,1,2,3,.,n, pq 1p概率都是概率都是概型概型. . PnkX.210设设 表示表示 iA 第第 次次发生事件发生事件A A iiP A()0P X12.()nAP AA12() (). ()nPPPAAA()iP Ap1p

4、qnq1P X231.(.nAAPAA 213.nAAAA 11.)nnAAA231.().nA APAA132.()nP A A AA11.).(nnAAPAp1nq1nCnq111nnpCq12() (). ()nPPPAAA12() (). ()nPPAAP A .11(). () ()nnP APPAAP Xk11.(. .nkkAAPAA11.).nn kknAAAA .P Xn12.()nAP AA12() (). ()nPPPAAAnpknCkpn kq2p2P X312.(.nPAAAA .121.)nnnAAAA2nC2nq132() () (). ()nPPP APAAA.

5、121() (). () ()nnAAAPPP APPnkX.210设设 表示表示 iA 第第 次次发生事件发生事件A A iiP A().()iP Ap1p qnq111nnpCq222nnpCqkknn kpCqnp312.(.)nAPAAA .121(.)nnnPAAAA11.()nkkAAPAA.11.).(.n knn kAAAP A PnkX.210.称随机变量称随机变量X服从参数为服从参数为,n p的二项分布的二项分布, ,记为记为p1nqkpn kq当当n=1n=1时时, , 二项分布二项分布1即即qp即是参数为即是参数为p p的的0 01 1分布分布. .EXpnDXqn p

6、可以证明，可以证明， 二项分布的数学期望和方差二项分布的数学期望和方差分别为分别为 ( , )Xb n pP Xkn kqknC0,1,2,.,knnq 111nnqC p222nnqC p.kknn kpCq.np()nqp1(, )bp01Xnq1nC2nC2p2nqknCnpkp20例例 已知随机变量已知随机变量求求5P X 解解4.26q 4.20.31P X2P X3P X4P X10i 40P XEXpnDXqn p可以证明，可以证明， 二项分布的数学期望和方差二项分布的数学期望和方差分别为分别为EXpn6DXqn p1pq 0.7q 6np6EX 4.2DX ( , )Xb n

7、pXb0.320,5P X 15P X 1 4P X 1 20iC0.3i200.7i401i P Xi0.5, 0.5 XU0.30.3 在四舍五入时在四舍五入时, ,今有今有n n个加数个加数, ,每个加数的取整每个加数的取整误差误差服从服从 0.5, 0.5上的均匀分布上的均匀分布, ,计算它们中计算它们中绝对误差小于绝对误差小于 的概率的概率. .0.3例例 设设 表示一个加数的取整误差表示一个加数的取整误差X解解P10.50.5)(xfy 的概率为的概率为: :每个加数的绝对误差小于每个加数的绝对误差小于0.3 0.3X P 0.30.3X( )Xfx dx0.30.31dx 0.6

8、设设 为为n n个加数中个加数中Y绝对误差小于绝对误差小于0.30.3的个数的个数. .Y的可能取值为的可能取值为0,1,2,.,n至少有至少有3 3个个的的1)n1)n个加数个加数至少有至少有3 3个加数的个加数的10.50.5)(xfy ()Yb,n0.6绝对误差绝对误差小于小于 的概率为的概率为: :0.3P 3Y 0P Y设设 为为n n个加数中个加数中Y绝对误差小于绝对误差小于0.30.3的个数的个数. . 1P 3Y 11P Y 2P Y 10.4n10.61nC10.4n20.62nC20.4n0.5, 0.5 XU设设 表示一个加数的取整误差表示一个加数的取整误差XP 0.3X

9、0.30.3( )Xfx dx0.30.31dx 0.6例例 射击的次数射击的次数. .XP1P X p21()P A A 12() ()A P AP qp pq2pq123()A A AP 123() () ()AAPP AP pqq ()iP Aq 令令121.()nnA AAPA 121() (). ()nnAAAAPPPP （ ）1npq 1npq .直到击中为止直到击中为止, ,设每次击中的设每次击中的p概率概率都是都是且各次射击的结果是独立的且各次射击的结果是独立的. .(01)p 令令 表示表示X求求 的概率分布的概率分布. .X解解 设设 表示表示iA“第第 次击中次击中” ”

10、 ip ()iP A1p1()P A p 2P X 3P X 2pq P Xn 称称 服从服从X参数为参数为 的几何分布的几何分布. .p其中其中qp1五五、几何分布几何分布对某一目标射击对某一目标射击, ,.123nin1,2,.,一般地一般地, ,假定一个试验假定一个试验直到首次成功为止直到首次成功为止, ,成功的概率是成功的概率是pp( 01)不断地重复试验不断地重复试验, ,且各次试验的且各次试验的结果结果是独立的是独立的. .令令 表示表示X试验的次数试验的次数. .X可能取的值是可能取的值是: :n1,2,3,., ,.123.XnPppq2pq1npq .其中其中qp1设设 表示

11、表示iA“第第 次成功次成功” ” iiP A()q 令令p iP A()p1P X 1APA 21()APPA 21() ()qp A A AP 312()AAPPP A 123() () ()AP 1()p P X 2P X 3pqq nnA AAAP 121.()nnPPAAAAPP 121() (). () （ ）npq 1qp 2P Xn 服从服从X参数为参数为 的几何分布的几何分布. .p123.XnPppq2pq1npq .其中其中qp1几何分布：几何分布：p01,p pq pq 2npq 1. q1p1n111nnxn2)1(1x x 1时，q21(1)nxxxx23(.)p2

12、1p1nnpq1np1nnq1p1n()nxnnx1x1xpEXp1EX p qp 2qp 23npqn 1. .123.XnPppq2pq1npq .其中其中1qp01,p1EXp1n2n1npq2EX p 22 pq 223 pq 21.npqn . 1np2n1nq121nnxn时，时，1 x1n()nnx1nnnxx11nnxnx2(1)x31(1)xxp3(1)q 1q p3p1q 2p 1q DX 2EX 2()EX21pq 21ppq 2几何分布几何分布有性质：有性质：123.XnPppq2pq1npq .XmXnmPnP X对任意自然数对任意自然数m m，n n，有有证证XmX

13、nmPP XmnPXm XmmP XP XnmP XmmP X1P Xm2P Xmk. mpq mpq 1m kqp 1.q1mpqmq mqnmq nq nP X称为无记忆称为无记忆性，性， 是几何分布是几何分布的特征性质的特征性质. .六、超几何分布六、超几何分布EX NnN1可以证明可以证明, ,定义定义 对给定的自然数对给定的自然数n NN12,以及以及NNN12共共 12NNN个个个个k1N2N个个n kn个个如果如果P XknNCkNC1nNkC2kn 0,1,2,.,则称则称 服从服从 X超几何分布超几何分布.超几何分布超几何分布的数学期望和方差分别为的数学期望和方差分别为NnN

14、1DX n NN12这里约定这里约定,ab当当时时,0abC NN2NnN1(1)(1)无返回无返回(2)(2)有返回有返回kNN1个黑球个黑球, ,N2设袋中有设袋中有 个红球个红球, ,N1从中取从中取n n次次, ,每次取每次取一个球一个球,表示取到的红球个数表示取到的红球个数. .XP Xk12nNNC1kNC2kNnCkn 0,1,2,.,服从超几何分布服从超几何分布. .X服从二项分布服从二项分布. .XP Xkn kNN2knC当当N N很大时很大时, ,无返回无返回 接近于有返回接近于有返回, ,故超几何故超几何分布分布接近于接近于nN1nN2，二项分布二项分布. .kn 0,

15、1,2,.,(1)(1)无返回无返回(2)(2)有返回有返回时时pNN1其中其中P Xk12nNNC1kNC2kNnCkn 0,1,2,.,1kNNP Xk2n kNNknCkn 0,1,2,.,对于固定的对于固定的n,N ,当当P Xk12nNNC1kNC2kNnCkpn kqknCqp 1当当 很大时很大时, ,N无返回接近于有返回无返回接近于有返回, ,故超几何分布故超几何分布接近于二项分布接近于二项分布. .N 1,N 2,且且例例 设设1010粒种子中粒种子中NC1080.9NC10C1010C910一大批种子的发芽率为一大批种子的发芽率为90%从中任取从中任取1010粒粒, ,求播

16、种后求播种后(1)(1)恰有恰有8 8粒发芽的概率粒发芽的概率; ;(2)(2)不少于不少于8 8粒发芽的概率粒发芽的概率. .解解有有 粒种子发芽粒种子发芽. .X(1)8P X NC0.98NC0.1220.1C810(2)8P X 8P X9P X 10P X NC0.12NC0.98NC10NC0.11NC0.99NC10NC0.10NC0.91080.920.1C81090.9 10.1100.9 00.1七、泊松分布七、泊松分布定义定义 且取这些值的概率为且取这些值的概率为其中其中( )XP 为常数为常数, ,则称则称 服从服从X参数为参数为的的记为记为设随机变量设随机变量 可能取

17、的值为可能取的值为X!kek e1!1e .01.2.kXP.!kek .2!2e 0,1,2,., ,.k0,1,2,., ,.kP Xk0, 分布分布, ,泊松泊松( )XP 满足归一性满足归一性. .1由由e1!1e .01.2.kXP.!kek .2!2e xe21.2!nxxxn x 0nP Xne 1!1e 2.2.!e .!nne e 1 1!1 2.2.! .!nn e e 泊松分布泊松分布的数学期望与方差分别为的数学期望与方差分别为 EX DXEX 泊松分布：泊松分布：.1用同样的方法可求得用同样的方法可求得DX2EX 2()EXe 2!2 1.!(.)n1n .e 1!1e

18、 2!22e 3!33e .!nenn e1!1e .2!2e 2EX 222 e .01.2.nXP!nen 例例 书籍中每页的印刷错误书籍中每页的印刷错误服从泊松分布服从泊松分布,个印刷错误的页数个印刷错误的页数与有两个印刷错误的页数与有两个印刷错误的页数求任意检验求任意检验4 4页页, ,每页上每页上都没有都没有印刷错误的概率印刷错误的概率.解解 设任一设任一页上页上X有有 个印刷错误个印刷错误.P Xmmem!m 0,1,2,3,.P X 20P X 任取任取4 4页页, ,设设 表示表示iA有一有一“第第 页上页上i无无印刷错误印刷错误”P A A A A12341234() () () ()P A P A P A P A为一页上为一页上无无印刷错误的概率印刷错误的概率.8e 相同相同,P X 11!1e 22!e 2 2e 00!e ()iP A2e 定理定理2.4 (2.4 (泊松定理泊松定理) ) 在在 重贝努利试验中重贝努利试验中,