大学物理第9章电磁感应

1、电动势+外电路：正电荷在静电场力的作用下从高电势向低电势运动。+A+BVA > VB内电路：正电荷在非静电力的作用下从低电势向高电势运动。-+r-+Fk-r= q rFkEk为非静电场的场强非静电力rEk电源的电动势在电源内将正电荷从负极移动到正极的过程中非静电力所作的功× drr+òe回路中的电动势=Ekl_rEk × dre = òlL9.1法拉第电磁感应定律S1、电磁感应现象实验一N当磁铁或拔出线圈回路时，线圈回路中会产生电流，而当磁铁与线圈相对静止时，回路中无电生。实验二以通电线圈代替条形磁铁当载流线圈B 相对线圈A 运动时，线圈A 回路内

2、会产生电流。RB当载流线圈B 相对线圈A 静止时，若改变线圈B 中的电流，线圈 A 回路中也会产生电流。A实验三将闭合回路置于稳恒磁场 B 中，当导体棒在导体轨道上滑行时，回路内产生电流。当穿过闭合回路的磁通量发生变化时，不管这种变化是由什么原结论：因导致的，回路中有电生。电磁感应现象中产生的电Bbc流称为感应电流，相应的电动势称为感应电动势。vad2、法拉第电磁感应定律当穿过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势的大小与穿过回路的磁通量对时间的变化率成正比。式中的负号反映了感应电动势的方向。e = - ddt通过 N 匝线圈的全磁通 = N Be = - d = - N d

3、dtdtN 匝相同的线圈组成回路e1di = -回路中的感应电流RRdtdQ = idtdt时间内通过导线截面的电量t1t2时间内通过导线截面的电量NRFtòòQ =i d t = -dF22F1t1Q = N (F - F )R12关于表达式中的“负号”（1） 先选定回路正方向nr（2）由此确定回路所包围面积的线方向（3）若感应电动势方向沿回e > 0路正方向，则rrrB 的方向与 n 的方向一致 > 0e < 0d > 0 d t当 N 极移近线圈时：感应电动势的方向与绕行方向相反。感应电生的磁场阻碍磁铁的运动，反抗原磁通量的变化。BSnr ei

4、eiNN NS Se = - ddte = - drr > 0B 的方向与 n 的方向一致dte > 0d < 0 d t当 N 极远离线圈时：感应电动势的方向与绕行方向一致。感应电生的磁场阻碍磁铁的运动，反抗原磁通量的变化。rBN nreiSNNSS感应电流所激发的磁场总是抵抗或补偿回路中磁通量的变化。楞次定律：感应电流的效果总是反抗引起感应电流的。Bbc楞次定律的本质是能量守恒定律vfiad负号”是楞次定律的数学表示例1、导线 a b 弯成如图形状，半径 r = 0.10 m ，B = 0.50 T ,转速 n = 3600 转/分。电路总电阻为1000W 。求：感应电动

5、势和感应电流以及最大感应电动势和最大感应电流。´´´´´´´´´´´´´´´´´´解w =2p n= 120p-1s´´´´v 60vabr = B × S = BS co s q´p r 2´´´´´´´´´´´´´´

6、´´´´cos w t= B2´e = - d = Bp r 2wsin w tdt2e = - d = Bp r 2wsin w tdt2= 1 Bp r 2w = 2.96 Vem2eBp r 2wsin w ti =R2RBp r 2wim= 2.96 mA2Rsin w t ，旁边i = I 0例2、一长直导线通以电流有一个共面的矩形线圈 a b c d 。求：线圈中的感应电动势。rrm0ir + lòò =B × dS =1解：l dxl12p x2Srbc= m0 I 0l2r + l1sin w t

7、ln2pdrl2ie = -xradtd= - m 0 I 0r + l1l w cos w t lnox2p2rdxrrò =B × dSS= òSB cosq dS根据磁通量变化的不同，把感应电动势分为两种情况加以讨论。动生电动势感应电动势感生电动势¬ vsNNs3. 动生电动势磁场中的导线运动、形状变化而产生的电动势。re( rr)rd Sdd F= B ×=B × S= -d td t´´´´´d tb´´´´´´&#

8、180;´运动导体内的电子受到洛仑兹力作用i´´´´´´´´´´´´´´´- ´´´rvv= -e(v ´ B)fm´ v ´l´´´´´´非静电场：Ev= vv ´ Bvf ´kae = ò Ev × dv = òb (vv ´ Bv) × dvl

9、lLka例3、一矩形导体线框，宽为 l ，与运动导体棒闭合回路。如果导体棒以速度 v 作匀速直线运动，求回路内的感应电动势。b´´´´´´´´´´´´´´方法一解evvvbò=(v ´× dlB)alò=vBdl0´´´´´a´= v Bl电动势方向 a®b´´´´´´´

10、0;´´li´´´´´´v´´´´方法二be= - dF´´´´´´´´´´´´´´ xdtd rrSd t=B ×d(lx) dt= Bad x= Bld t= Blv´´´´´´´´´´l´´´&

11、#180;´´´ ´v´´´´´´x´´例4、一根长为 L 的铜棒，在均匀磁场 B 中以角速度w 在与磁场方向垂直的平面内作匀速转动。求棒两端之间的感应电动势。方法一´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´´l´w´

12、;´ a´dl´´´´´´解vve = ò (vv ´ B) × dlL´´´´´0= -= -LòvBdlBw ldlo´´´0Lò´´´´´´0= - 1 Bw L22动生电动势方向：a ® o方法二w1L2qS =Lq2S = BSdqe = - dF = - 1 BL2dt2dt= - 1 BL2w2例5、一长

13、直导线中通电流 I = 10 A ，有一长为L = 0.2 m 的金属棒与导线垂直共面。当棒以速度 v = 2 m/s 平行与长直导线匀速运动时，求棒产生的动生电动势。m0 IB =解I2p xvde = (vv ´ Bv ) × d r = - Bv dxABdxlm0 Iv dxa + lòe= -a2pxa= - m0 Iv lna + l> VV2pABal4、感生电动势感生电场导体回路不动，由于磁场变化产生的感应电动势叫感生电动势。vvddt d dtòe = -= -B × dSS产生感生电动势的非静电力，不是静电力，不是洛仑

14、兹力， 只可能是一种电场力。产生这种力的电场是由于磁场的变化引起的，所以叫感生电场。1861年，麦克斯韦提出了感生电场的假设变化的磁场在周围空间要激发电场，称为感生电场。感生电流的产生就是这一电场作用于导体中的自由电荷的结果。B 增加周围空间都有激发电场， 导线圈只起探测器作用。I电场线闭合Eòò rrE × dS = 0svEvòL感生电动势：e=× dl感感感生电场的闭环不等于零，表明感生电场为涡旋场，又称“涡旋电场”。e=v×v = -¶ r ×rEdlB dS感òL感òòS&#

15、182;t感生电场与静电场的区别：（1）静电场由静止电荷产生，而感生电场由变化的磁场激发。(2)静电场是有源的发散场，场线起于正电荷止于负电荷；感生电场是无源的涡旋场，场线是无头的连续闭合曲线。（3）静电场是保守场，闭环为零，可引入电势概念；而感生电场为非保守场，闭环不为零，无电势概念。B 增加IE+例6、均匀磁场分布在半径为 R 的圆柱形空间区域内。已知磁感应强度的变化率为大于零的恒量。问在任意半径 r 处感生电场的大小以及棒AB上的感生电动势。解：对称的磁场è对称的涡旋电场è电场线是一系列同心圆、方向逆时针。´´´´EvEv =

16、BS = Bp r 2r < R 时kk´´e = - d Fò=E× d lk´´´´´d tL- (p r 2 )dB = E× 2p rA´´´´Bkdtv= - 1 r dB´ Ek´Ek2dt = B ×p R 2r > R 时× d vEve = - d = òlB OkdtLÄR- (pR 2 ) d B = E2prrkd tER 2dBEk= - 2rdtorR求解A

17、B两端的电动势解法一：rEk × drBòe =l´´´´EvvAEkk´´- l 2R 24cosq =r´´´´´Rqrq´A´´´LE0Bòecosq dx=dxik´ Ev´k- L2R 24æ L ö212dBLdBL= òrdx=- çR 2÷dtr2è 2 ødt0解法二：电场线与半径处处正交× d vE

18、vòLe=l´´´´感A感rrrrrroBòòò+× d lE × d l +× d lEEk´´kkBoAr× d r + 0= - d Bò= 0 +El´Okd t´´´´AABæ L ö2L = B ×- çR 2÷2è 2 ø´´æ L ö2dLdBe =- çR 2&

19、#247;dt2è 2 ødtRr × drr = 02、求直导线MN两端 e1eeOò=EN-OB´N电场线与半径处处正交= 0RO-MNOe+ e+ e= dFd tN-OO-M1edB= SM3、求弧导线MN两端 e2B ´1dtdBe= S2dte2RNO> e1S > SM（Betatron）【例】电子感应Fe.F.m. B.= - e E Þ 提供切向F度.R.e. .·E.Fm = e v B Þ 提供法向度. . . .涡旋电流当大块导体放在变化的磁场中，或在磁场中运动，在导体

20、内部会产生感应电流，由于这种电流在导体内形成闭合回路，故称为涡电流dBvdtuB导体电磁阻尼电磁阻尼演示三、自感和互感1、自感（1） 自感现象ILtoAÄR, LB ÄReKB（t）Ii自感电流由于回路中电流变化，引起穿过回路包围面积的全磁通变化，从而在回路自身中产生感生电动势的现象叫自感现象。自感电动势 e L（2） 自感系数B µ I由毕-萨定律与叠加原理可知，rròµ I = N = NB × dSmmmsL：亨利 H自感系数自感系数由线圈形状、大小、匝数、周围介质分布等因素决定。如果自感系数为常量，由法拉第电磁感应定律，负号表

21、示自感电动势总是要阻碍线圈回路本身电流的变化。自感系数 描述线圈电磁惯性的大小L越大回路中电流越难改变。e= - L dILdtm= LI例1、长为 l 的螺线管，横断面为 S ，线圈总匝数为 N ，管中磁介质的磁导率为 m ，求自感系数。B = m N I解：lN 2 = NBS = ml线圈体积：ISV = lSn = NlN 2N 2= m= mL =SlSll 2IlL = m n 2VL = m n 2V提高 L 的途径V增大提高nm实用放入值高的介质求 L 的步骤：1、设线圈中通有电流I2、求Bm3、求全磁通L = m / I4、例2、有一电缆，由两个“无限长”的同轴圆桶状导 体组

22、成，其间充满磁导率为 m 的磁介质，电流 I 从内 桶流进，外桶流出。设内、外桶半径分别为 R1 和 R2 ，求长为 l 的一段电缆的自感系数。B = m I 解：2p rd = BdS = Bldr m I ldr = m Il lnR2rRò =22p r2pR1R1L = = m l lnR22pIR1l2、互感（1）互感现象一个载流回路中电流变化，引起邻近另一回路中产生感生电动势的现象 互感现象。互感电动势互感电动势不仅与电流改变的快慢有关，而且也与 两个线圈的结构以及它们之间的相对位置有关。KGR线圈1线圈2B2I1= N 221 = M 21I121= M 21 = MM

23、 12= N112= M 12 I 212M: 互感系数21I1I2122121 = M I112 = M I2互感系数仅与两个线圈形状、大小、匝数、相对位置以及周围的磁介质有关（无铁磁质时为常量）.互感系数反映两互感回路耦合的强弱e= - d12= -M dI 212dtdte= - d21 = -M dI121dtdt 综合考虑：当两个线圈同时分别通电流I1（t）、I2（t），感应电动势 e 1、 e 2 ？每个线圈中都有自感电动势和互感电动势！e= e+ edI1- M dI 2= - L线圈1111 L12dtdt21线圈2e= e+ e22 L21I1I2dI 2dI1= - L-

24、M2dtdt2122例3、设在一长为 1 m，横断面积 S = 10 cm2，密绕N1= 1000 匝线圈的长直螺线管中部，再绕 N2= 20 匝的线圈。（1）计算互感系数；（2）若回路1中电流的变化率为 10 A/s，求回路2中引起的互感电动势；（3）M 和 L 的关系。解：(1)计算互感系数N1B = mI01lN1 N 2 I1Sl= N BS = m2120l= m0 N1 N 2 S= 21= 2.51´10-5MHI1l(2)计算回路2中引起的互感电动势= -M dI1e21dt= -2.51x10-5 x10= -2.51x10-4 V(3) 求M 和 L 的关系m N

25、 2 I S1 = N11= 011lm N 2Sm N 2SL1 = 1I1 01l同理： L2 2 I 2= 02lm 2 N 2 N 2 S 2ML LL1 L2 = M2 012l 212M = kL1 L2一般情况：k 称为“耦合系数”0 £ k £ 1例4、在磁导率为 m 的均匀无限大的磁介质中，有一无限长直导线，与一边长分别为 b 和 l 的矩形线圈在同一平面内，求它们的互感系数。m0I2p rB =解：Im0 I2p rd = BdS =ldrrm0 Il dr = m0 Il lna + ba +bò =ab2p r2paaM = = m0l l

26、na + b2pIadrl例5、自感分别为 L1 和 L2 ，互感为 M 的两线圈串联。如果两线圈的磁通互相加强，称为顺接（图a），如果两磁通互相削弱， 称为反接（图b）。计算在这两种接法下两线圈的等效总自感。12 （图a）12（图b）解：顺接dI - MdIe= - L线圈1中的电动势：11dtdI - MdtdIe= - L线圈2中的电动势：22dtdt= -(L + L + 2M ) dIe = e+ e总自感电动势1212dtL = L1 + L2 + 2ML = L1 + L2 - 2M总自感系数课后作业反接：当两线圈无漏磁耦合，且 L1 = L2 = L0L = 4L0L = 0顺

27、接：M =L L= L120反接：五、以RL电路为例：磁场的能量= -L dieR自感电动势：LdteLe - L di = Rii回路方程：Kdte idt - Lidi = Ri 2dttItò e idt = ò Lidi + ò Ri 2dt00012ttòòeidt =Ri dt +22LI00tò e idt电源所作的功0tòRi 2dt1 LI 2消耗在电阻上的焦0电源力反抗自感电动势作的功转化为磁场的能量2W= 1 LI 2m2Bm nL = m n 2V长直螺线管为例：I =ö2æ1 B

28、 22 m11Bm n V ç÷Wm =22LIVè m n ø221 B 22 mWwm = m V磁场的能量密度：B = m HQ1 B 2112wm = 2 m = 2 BH = 2 mH例6、一根长直电缆，由半径为 R1 和 R2 的两同轴圆筒组成，稳恒电流 I 经内层流进外层流出。试计算长为 l 的一段电缆内的磁场能量。解：R2R1rm I208p 2r 2m0I2p r2B= 2p rldr=dVB =w2mm0R1< r < R2ImI 2R= òòp lrdr=× 220WwdVmm8p 2r 2

29、VR1= m I l= m I 2l2drRRò2 0 0ln 2 R14p4prR1能量法求自感系数m I 2lm0l2pR2R1L =ln 0ln 2 =LI 2W4pR1mR21H " B " L " Wm解：法2mII(R1 £ r £ R2 )022pprrHB =dS= ldr0（其 他）mrr0 I ldF = B × dS =dr2p rm0 I l dr= m0Il ln R2RòF =2I l2pr2pR1R1L = F = m0 l ln R2m2pIR1mI 2l12RWm=2LI 0ln24pR1求匀速运动点电荷的磁场r ´ rrIdlm IdlrdB =0r电流元的磁场4prr 3mqnSdlvv ´ rrrI = nqv SN=n