专题--数列求和的基本方法和技巧

1、数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定 的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法1、等差数列求和公式：Sn=na二na1 n（nd）d2、na1等比数列求和公式：Sn = a1 (1 - qn) _ a -anq1 -q 1-q(q =1)(q = 1)3、n 1Sn = " k n(n 1)25、例1已知

2、log3 x4、Sn一 21_=" k = -n(n 1)(2n 1) 6-123n,求 x+x +x + ' + xlog 2 3的前n项和.解：由log3 x由等比数列求和公式得Sn = x x2（利用常用公式）n 一 (1 一x(1 -x ) _ 21-2)1=1 一 2nS例 2设 Sn= 1+2+3+ - +n , nC N，求 f (n) =n(n 32)Sni的最大值.解：由等差数列求和公式得一 1一 1 ,Sn = - n(n +1), Sn = (n +1)(n + 2)22（利用常用公式）f(n) =Sn(n 32)512n2 34n 64164n 34

3、n1« -8-)2 +5050.n81.当"即n=8时fm,'=50、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an - bn的前项和，其中 an、 bn分别是等差数列和等比数列.例3求和:Sn =1+3x+5x2 +7x3+十（2n1）xn解：由题可知，（2n - 1）xn的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列xn的通项之积（设制错位）设 xSn =1x +3x2 +5x3 +7x4 + + (2n -1)xn一得 (1 -x)Sn =1 +2x + 2x2 +2x3 +2x4 + + 2xn-(2n-1)xn(错位

4、相减)1 - xn再利用等比数列的求和公式得：（1 -x）Sn =1 2x-（2n -1）xn1 -xSn(2n -1)xn 1 - (2n 1)xn (1 x)(1 -x)2小 246例4求数列, ,2 2 2解：由题可知,设Sn二2222n2n41的通项是等差数列2n的通项与等比数列丁的通项之积 2n.旦.空2n2223-得(1)&22 42n 122222= 十 + 十 十 一，十一2 八3 八42 222-12n=2 - ni ' -nr222n2n2n，1（设制错位）（错位相减）Sn =4 一2n 4、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一

5、个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n个（a1 +an）.例 5求证：C0 +3C： +5C2 + （2n +1）C： =（n+1）2n证明：设 Sn =C0 +3C： +5c2 +，,十(2n 十 1)cn .把式右边倒转过来得Sn =(2n +1)C：十(2n 1)C：十，-3Cn +C0(反序)又由CnCq可得Sn =(2n+1)C0+(2n1)Cn + +3C；+Cn.+得2Sn =(2n+2)(C0 +Cn + . + Cn1J+Cnn) = 2(n+1) .2n(反序相加)Sn =(n 1) 2n2 ”一22 "一.2"一2 仁例 6求si

6、n 1 +sin 2 +sin 3 + +sin 88 +sin 89 的值222，22_斛：设 S =sin 1 +sin 2 +sin 3 + +sin 88 +sin 89 将式右边反序得_2,2'2-2 一.2-/1»、S =sin 89 +sin 88 + + sin3 +s i n 2 +sin1 .(反序)22又因为 sinx=cos(90 - x), sin x cos x=1+得(反序相加)_9 O .90.9 _,9 _ O_ . _9 _ _ <5 _9 _ _ Q2s =(sin 1 +cos1)+(sin 2 +cos 2 ) + '&

7、#39; +(sin 89 +cos 89)=89S= 44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或 常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可111._例7求数列的刖n项和：1+1,一十4,二十7，；一nTj+3n 2 , a aa111解：设 Sn = (1 1) (4) ( 2 7) 士 -L (-n7 3n -2)a aa将其每一项拆开再重新组合得(分组)(分组求和)-111Sn = (12=)(1 4 7 3n -2)a a a(3n -1)n(3n 1)n当 a= 1 时，Sn = n + =221-na - a (3

8、n -1)na -121-4 g .当 a#1 时，Sn =a- + (3n 1)n12a例8求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设 ak = k(k 1)(2k 1) = 2k3 3k r 11一 n(n 1) (n 1)(n 2) knn.32Sn =£ k(k+1)(2k+1) = £ (2k +3k 十k)k 1k 1将其每一项拆开再重新组合得nnn（分组）（分组求和）Sn=2£ k3 +3Z k2 +Z kk 1k 1k 4= 2(13：23，n3)：: 3(1222n2)(1 2，n)22_n (n 1) n(n 1)(2n 1) n(n 1

9、)2222_n(n 1) (n 2)2五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1) an - f (n 1) - f(n)(3)an1 _1n(n 1) n(4) an(2n)2(2n -1)(2n 1)11=1 (2 2n -112n 1sin 1, ”<-(2) e：=tan(n+1) -tan ncosn cos(n 1)（5）an1n(n -1)(n 2)(6)_ n 2 n(n 1)12(n 1) -n 1=->2n n(n 1)2n1_1n

10、 2n(n 1)2n，则 Sn =1 1(n 1)2n 111、八一例9 求数列 ,=, ;，的刖n项和.1223. n % n 1（裂项）解：设 an =,= Jn +1 一匹.n % n 1Sn11.21 . 1.2.3. n n 1（裂项求和）=(、.2 - . 1) ( 3 - 2),卜(-.n 1 - , n)例 10在数列an中,an 二n2一，求数列bn的前n项的和.a n 'an 1解:bnn 1 n 111=8()n n 1（裂项）例 11求证:2 2数列b n的前n项和111111Sn=8(1-2)(5-3)(3-/(-1 =8(1一38ncos0 cos1 cos

11、1 cos2)cos12 /cos88 cos89 sin 1（裂项求和）解:sin1cosn cos(n 1)-=tan(n 1) -tan n（裂项）S 二 cos0 cos1 cos1 cos2 cos88 cos89（裂项求和）1一. . _一,一(tan 1 -tan 0 ) (tan 2 - tan1 ) (tan 3 -tan 2 ) tan 89 - tan 88 sin 1sin 11cos1«(tan 89 -tan 0 ) =： cot 1 =2-sin 1sin 1原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数

12、列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cos1° + cos2° + cos3° + cos178° + cos179° 的值.解：设 Sn= cos1 ° + cos2° + cos3° + cos178° + cos179°cosn = -cos(180 -n（找特殊性质项）Sn= (cos1° + cos179° ) + ( cos2° + cos178° ) + (cos3° + cos177° ) +

13、 + (cos89° + cos91° ) + cos90°0（合并求和）例 13数列an： a =1,a2 =3,a3 =2,an+=an+an,求 S2002.+: + + cos0 cos1 cos1 cos2 cos88 cos89解：设 S2002= a1 - a2 -a3 一一 a2002由 a1 =1, a2 = 3, a3 = 2, an妥=an中一 an 可得a4 = -1, a5 = -3, a6 - -2,a7 = 1, a 8 = 3,a§ = 2, aio = -1, a1i 二 一3, a12 二 一2,a6k 1 - 1,a

14、6k2 - 3, a6k 3 = 2,a6k;：；4-1,a6k;：5二-3,a6k 6 = -2,a6k书a6k也'a6k书,a6k44 +a6k书* a6k由=0(找特殊性质项)S2002= a1 +a2 +a3 + + a2002(合并求和)=(a1 a2a3a6 )( a7 a8，a12 ) ' '(a6k 1 , a6k-2 ' ，a6k 6 ) ' (a1993 ' a1994 ' ' ' ' ' a1998 ) ' a1999 ' a2000 ' a2001 '

15、 a2002=a1999 ' a 2000 . a2001 ' a2002=a6k 1 ' a6k 2 ' a6k 3 ' a6k 4=5例14在各项均为正数的等比数列中，若a5a6 =9，求log 3 a1十log 3 a2 +十log 3 a10的值.解：设 Sn =lOg 3 a110g 3 a2 - 10g 3 a10由等比数列的性质m + n = p+q = aman = apaq(找特殊性质项)和对数的运算性质loga M + loga N = loga M . N 得Sn =(log3a1 + log 3 a10 ) + (log 3 a2

16、 + log 3 a9)+,+(log 3 a5 + log 3 a6 )(合并求和)=(log 3a1 a10) (log 3 a2 a9)- Flog 3 a5 a6)=log 39 10g 3 9 - log 3 9=10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前n项和，是一个重要的方法.例 15求 1 +11 +111 +Ut 二1 之和.（找通项及特征）（分组求和）解：由于 1111 =2999 9 = 1(10k -1)一苗一9 一百191 11 111 -7111n个1111 O 1,1(101 -1) -(102 -1) -(103 -1)(10n _1)99991123n 1=(10 1卜 10 1'10 ''' 10 )(1，1 >1 ，1)99一百丁1 10(10n -1) n910 -19=(10n 1 -10-9n)81例16已知数列an： an(n 1)(n 3)00，求£ (n