中考数学专题21几何三大变换问题之平移问题(含解析)

1、1专题21几何三大变换问题之平移问题轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。平移变换是指在同一平面内，将一个图形(含点、线、面)整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。平移由两大要束构成：平移的方向，平移的距离。平移有如下性质：1、经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变，即平移前后的图形全等；2、平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等；3、平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。中考压轴题中平移问题，包括直线(线段)的平移问题；曲线的平移问题；三角形的平移问题；四边形的平移问题；其它曲面的平移问题。直线(线段)的平移问题1.定义

2、：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离已知0(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角系中四点.(1)根据上述定义，当m=2n=2时，如图1,线段BC与线段0A的距离是,当m=5,n=2时，如图2,线段BC与线段0A的距离(即线段AB的长)为yBCyBCf1厂1BCA、一9AK0A*oAJ*(2)如图3,若点B落在圆心为A半径为2的圆上，线段BC与线段0A的距离记为d,求d关于m的函数解析式.(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2,线段BC的中点为M.求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；点D的坐标为(

3、0,2),伦0,n0,作MMx轴，垂足为H,是否存在m的值，使以A、MH为顶点的三角形与AODffi似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由2【解析】解：(1)2;扼。(2)点B落在圆心为A,半径为2的圆上，.2V诈6。当4E6时，根据定义，d=AB=2。当2VRK4时，如图，过点B作BOA于点E,则根据定义，d=EB。A.(4r0)FB(m;n)rAB=2；,ITIQ.dEBJAB、-EA/=出-(4-mi、,-Jtn24-Sm.-1212m4|.do2O)QW1 图，由(2)知.当点 B 在 8 的左半圆时妙此咯点 M 是&邓 0 卜 2 兀 J当点 R 从民到品时.此时,点(是凝岫长

4、为同理，当点日在白。的左半圆 B 寸，圆弧处耻长 2JU；点,B 从艮到良时.我段点 M 随线段明运动所围成的冥闭图形的周长为拍+4 兀【答案】(1)c/c、Jm28m122m4 小、小6 寸心2;抑(2)d(3)16+4兀存在,24m6c14m=1,m=3,m=3V3存在。如图，OD21由A(4,0),D(0,2),得一-oOA42(1)丁低闩二低氏吨二只要曲阻二 L 就有和MHSZsJBiJL,此时 0 孔=品 OH：=lo:点虹为线段 BC 的中点，BC=4,二OHL=5时,JF3j0Hj=8 时iiFlo(id)显然，当点皿与点重合时硕 sA 期 s 晚此时 m 二一幻与题设血海不符。

5、(in)当点乩右恻圆氟上时连接皿苴中点 F 是圆弧的圆心，坐标为(S 设阻圣则阻二工一也又FM4=2,.M4H4JFM42_FH2&_x62=Jx2+12x32。AH4x42 日日2M4H4/x2+12x321，3 乂若AOIAAH2M,则32x+80=04若AOIAMH2A,则AH4l4=-，即 5x244x+96=0M4H4Vx2+12x322解得20 x1=,x23=4(不合题意，舍去)。此时m当。3解得XI=24,x25=4(不合题意，舍去)。5246此时 6=7 一点此在日弧的另一半上，不合建意，舍去。IT_J综上所述使以 4M为顼点的三甬形与加相似的队的值为：护 L 蚌土护?根据定

6、义；当 W 时，纬段 BC 破段 0A 的距离是点人到 BC 的距离2,当日K 时.钱段DC 与老环殳 0A 的距离（即线段他的长）可由勾股定理求出=顼.5-4）：+2。=很.（2）分 2 芒皿1B.m5C.5m1D.5m1【答案】C。【考点】一次函数图象与平移变换，平面直角坐标系中各象限点的特征，解一元一次不等式组。【分析】直线 y=-*3 沿 y 丰昉向平移 m 个单位后可得；y=-E-3-求出直携 y=f-3+m 与直绣FPK 4的交点，再由此点在篥二象限列不等式组可得出 m 的取值范围！直线=-丈-习可上平移 m 个单位后可|：y=-x-3-m,s=拿一1联立两直线解析式得;MF,解得

7、；zv2x-4 赤十 1 仆jf_,（mT2m+10:.交点坐 1；?；|令11kJ-判断其所在象限， 四个象限的符号特征分别是： 第一象限 （+,+） ;第象限（_,+） ;第二象限（_,）;第四象限（+,）m15m5故选Co根据平面直角坐标系中各象限点的特征,.交点在第二象限,2m106曲线的平移问题73.定义：如果一个y与x的函-数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x11的“反比例平移函数”.例如：y1 的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到 y 土的1图象，贝 Uy1 是y与x的“反比例平移函数”.x2(1)若矩形的两边分别是2cm3cm,当这两边分

8、别增加x(cm)、y(cg后， 得到的新矩形的面积为8cmf,求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”.(2)如图，在平面直角坐标系中，点。为原点，矩形OAB0勺顶点A、C的坐标分别为(9,0)、(0,3).点D是OA的中点，连接OBCD交于点E,“反比例平移函数”y 竺上的图象经过B、E两点.则这个“反 x6比例平移函数”的表达式为;这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式.(3)在(2)的条件下，已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点(P16,请求出点P的坐标.【解析】试题分析；

9、 (1)根据新矩形的面积为血心则长乘以宽等于面积即可得到 T 关于苏广的方程！即可变形成函教的形式，进行为断.把日和D的坐标代入 y=即可列方程求得膈 k 的值，则函数解析式 Ml 诃求解.x 一 6(3)由反比例曾教的中心对称性 J 四边形 PEQE 为平行四边形，设 RS 根据次的书SiZ?L2-SAce.即可歹厉程求解-试题解析；(1)(x+2)(y+3=*Ay=-3 向右平移 2 个单位,再向上平稼 3 个单位得到 y=-.x.+2x.=二-3 是*反比例平移函酎 r-x+2【答案】(1)yy2x93./Q/7/dC7y;(3)(7,5)取(15,x6x3在Q的右侧)，若B、E、P、Q

10、为顶点组成的四边形面积为89ak故变换后的反比例函数表达式为（9）如图 J 当点 P 在点侧时设段 BE 的中点为F,由反比例函数中心对称性，四边形理既为平行四边形四边形 FE 如的面积为站七-93土（s,3）,F.y=-是 y=的口反比例平移函数,X-0K.,，5=3 罚皿点 E 的坐标是：3,1）.过 E 作K轴的垂线与耽、芫轴分另位于 ITN 点.福七薄KIK：:SIFL厂$菖匚昭*设 Pi3,ya,即.（1：二点 P 的坐标为（7.5）.当点P在点B右侧时，同理可得点P的坐标为（15,-）.3综上所述，点P的坐标为（乙5）或（15,-）.3（2）把B和D的坐标代入axyxk,一得:69

11、a296则“反比例平移函数”的表达式为2x9x69考点：1.反比例函数综合题；2.新定义；3.平移的性质；4.转换思想和分类思想的应用.2r-10bxc 关于直线 x1 对称，与坐标轴交于A、B、C三点，且AB=4,点D2,3(1)求抛物线的解析式；(2)把抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线与直线 l 交于MN两点，问在y轴负半轴上是否存在一定点P,使得不论k取何值，直线PMPN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标;若不存在，请说明理由.可设抛物线的解析式为 yax1x3*4.如图，抛物线 yax2在抛物线上，直线 l 是一次函数 ykx2k0 的图象，点O是坐标原点。【

12、答案】(1)抛物线 yax2bxc 关于直线.点D2,3 在抛物线上,3a2123,解得 a1。x1x3,即 yx22x3。x=1对称，AB=4,.A(1,0),B(3,0)抛物线的解析式为 y11把抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式为 yx2。假设在y轴上存在一点P(0,t),tv0,使直线P心PN关于y轴对称，过点MN分别向y轴作垂线MMNN,垂足分别为M、Ni,.ZMPO=NPQ.RtMPRtNPN。不妨设M(XM,yM)在点N(XN,yN)的左侧,kXM2,yNkXN2,.在y轴负半轴上存在一点P(0,2),使直线PM与PN总是关于y轴对称。【考点】二次函数

13、综合题，平移和轴对称问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系。【分析】(1)由已味出点加 B 的坐标，谖出交点式将点 D 的坐标代.、说阿求徂捕物线的解析式”(2求出平移后的抛物线解析式 y=xS 假设在,y 轴上存在一点必 6 使直线 PM 与PN 关于 y 轴对凯过点此 N 分别向 y 曲 E 垂线 MM1、NN.垂是分别为壮、V；砌设皿叫院在点司的左恻，由得=四_I,艮12-1一 3.-=-2k*把财 yx-tX 女-2 代入 y=广中，整理得监-2=0根据一元二次方程根与系数的关系得%【一女=虹地与代入(2-1)(曲一%)=2k%K

14、y即可求得 t=-2#.MMiPMiNN1PN1。因为P点在y轴负半轴上，则式变为xMXNyMtyNtkxXMXN2kXMXN。2 代入 yx2中，整理得 x2kx20。XNk,xMXN2,代入得 r2tk2k2,解得 t2,符合条件。12三.三角形的平移问题5.如图，将菱形ABCD替对角线AC剪开，再把ACD沿CA方向平移得到AiGD,连结AD、BG.若ZACB=30,AB=2,CC=x,ACDAAGD重叠部分的面积为s,则下列结论：132-当四边形ABCD是矩形时，x=ZJ3；3【答案】。【考点】平移的性质，菱形的性质，全等三角形的判定，矩形的的判定，等腰直角三角形的判定，含30度直角三角

15、形的性质。【分析】.四边形ABC以菱形，.BC=ADZACB=ZDAC.ZDACACB.把AC酬CA方向平移得到AiCiD,ZAi=ZDACAD=ADAA=CC。仁AiADCCB中，.AA=CC,ZA=ZACBAD=CB.AiADACCB（SA0。故正确。如图i,过点B作BFUAC于点H,.四边形ABGD是矩形，/ACD=ZACDACB=30,ZACB=60。.ZGBC=ZCiCB=30。z.BC=CCi=x。.AB=BC=2-BH=i,HC=3当x=2时,BDD为等腰直角三角形;x12其中正确的是_22（0vxv2焰）。（填序号）。DiD肆14.1-HC=xo2HCwHGCCi,xx 七 3

16、,解得 xZ3。2315根据菱形的性质和ZACB=30，可得DB=AB=2DD=DB=2。BDD为等腰直角三角“形。故正确。0 如囹 h 过点 B 作 BH_kAC 于点-CCi=x.J-ACi52X.o设*与 AD 相交于点 E,过点 E 作于点 F,则 AF-易点-K,.NEAF-W%.垣七鸟 2 很6二 s=!-|.27_却（2 崩-瓦）=*故（正确分综上可得正确的是(3X，6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,0),点B(0,4),点E(0,1),如图，将AEO沿x轴向左平移得到AEO,连接AB、BE。(1)设AA=m(m0),试用含m的式子表示 AB2BE2，并求出使 AB2B

17、E2取得最小值时点E的坐标；故正确。如图2,根据平移的性质，DD=CC=2,ZBDD=90,%2 麟卜 2Ji）4k16（2）当AB+BE取得最小值时，求点E的坐标。点A(2,0),.A0=2-rn在RtABO中，由 AB2AO2BO2,“得一_2_222.一AB2m4m4m20。AEO是AEO沿x轴向左平移得到的,EE/AA,且EE=AA。ZBEE=90,EE=m又.点B(0,4),点E(0,1),.BE=O小OE=3.在RtBEE 中，BE2EE2BE2B2BE22m24m29。22_2AB2BE22m24m292.当m=1时，AB2BE2取得最小值，最小值为27,此时，点E的坐标是（1,

18、1）。【答案】（1）17BOA70用,AAF0-m-2ft在 RtABO 中,由_VB：=AfO:-3O;,得A/B：=jm-2f-4*=m十 m-20oAEO 是AAEO沿 X 轴向左平您得到的，.LEEMAA、目 IE=AAQ-ZBEE70LEE又.点B(0,4),点E(0,1),BE=OOE=3.在RtABEE中，BE2EE2BE2m29。.-AB2BE22m24m29。2222又.AB2BE22m24m292m127,当伦2时，AB2BE2随m的增大而增大，在m=2时，最小值为29,小于27。综上所述，AB2BE22m24m29,AB2BE2取得最小值时点 E的坐标为18如圈过点 A

19、作轴，并使 ABTE=3,连接 AN,易证占 ABA 丝EBE(SAS二 AE-BE=ABT二当点 B、AB 在同一条直姓上时，AB园 A 墨小，即此时 AB-BE 取得最小值.当点 B、A日在同一条直线上时，易证AABAAOSA,.AA*_AB_3AO-OB-44.EEAA%7.点 E的坐标是(*IL【考点】平移问题，相似三角形的判定和性质，平移的性质，勾股定理，二次函数最值，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短的性质。I 分析】分 0m2 和峪两种情况讨论如图 1,当 0m2 时连接 EEL 在 RUA5D 中，勾股定理得到AfB-=(2-mJ4*=m-4tn*20, 在RlBEt中

20、， 利 用 勾 般 定 理 得 到BEr3=EpE2-kBE2=m:-9， 则ATB2BET3-2ma-ta4-29-2(m-lf+27。所以由二次函数最值的求法知，当 m=l 即点 E，的坐标是(b1)at,A 它-BE忐取得最小值，当也？时，同样可得 Af-4m-25-2(m-1f-27,此时的最小值小于 XmV 时少最小信，从而得出结 I、过点 A 作 ABx 轴，并使 ABBET 连接根掘酉点之间些段最短的质，当点 B、AL9 在同一条直线上时AB-BA最小，即此时 A 字匪取得最小值据此求解即可。19四.四边形的平移问题7.如图，矩形的长和宽分别是4和3,等腰三角形的底和高分别是3和

21、4,如果此三角形的底和矩形的宽重合，并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自左向右匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合。设矩形与等腰三角形重叠部分(阴影部分)的面积为y,等腰三角形，自左向右运动的距离为x,那么y关于x的函数关系式为20【答案】y3x260 x4。8【考点】面动平移问题，由实际问题列函数关系式，相似三角形的判定和性质【分析】如图，连接IE,根据题意，GET,EF=%ElwFI 一习易得，EGHsAECDj.GHIIBnGHx.口 3.=psP=*,.GHxCDEF3441if3/.v=-(GH-CDVFI=-；-xt-3；(4-xl=-x-b5(0 x224JS关于艾的函数关系式为

22、v=-2 狎+5|0JJ8,8.已知，大正方形的边长为4cm，小正方形的边长为2cm，状态如图所示.大正方形固定不动，把小正方形以1cm/s的速度向大正方形的内部沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为Scm2,完成下列问题：(1).用 L 含t的式子表示S,要求画出相应的图形，表明t的范围；(2).当t1.5，求重叠部分的面积S；【答案.(1).如图1,当0t2S2t如图2,当2t，梯形面积公式4S4如图3,当4t6S26t122t(3).当S3.6cm2，求t的值.21图1图2(2).当t1.5时S2t21.53答：重叠部分的面积为3cm2.当S3.6cm22t3.6t1

23、.8122t3.6t4.2答：t 的值为1.8或4.2币析】解；当时.两个正方形的位置如囹】显示.此时更蠢盼为如图阴黑丽眺形则 S=2-f2i当&堂 4 时，小正方形在大正方形内如2B 示*此时重正好旱头正方形则 5=4当4乌3 一 6,此时不符合条件当 OSFw时，S-lt3.6；可得，=1.8；当4r69 寸，S 二”一 2二 3 一 6,可得二 42,综上可得，r=1.8=Sr=4.2答；当 S=3&京时，f=L8/f=4,2五.其它曲面的平移问题9.如图，平面直角坐标系中，O。半径长为1.点P(a,0),OP的半径长为2,把OP向左平移，当P与。相交时，a值的取值范围为。【答案】3a1 或 1a3。【考点】两圆的位置关系，平移的性质，分类思想的应用。【分析】先考虑。P与 OO 相切时的情况：22。O的圆心在原点，.当P与O外切时，圆心距为1+2=3,当P与O内切时，圆心距为21=1。.当P与O第一次外切和内切时，OP圆心在x轴的正半轴上，23.OP(3,0)或(1,0)。a=3或1。当 OP 与 OO 第二次外圳口内切时O?圆 L 在 U 袖的员半档 q.CPUQ）或 0）Q.1-51c.当 OP 与 00 相交时，a 值的职值范围为-3O-1 或心 3o10.如图所示，半径为1的圆和边长为1的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过1分析】由图