河北省专接本数学-----考点知识大全-.

1、1/59河北省专接本数学考点知识大全第一部分一、初等代数1.一元二次方程ax2bxc0(a0),根的判别式b24ac当0时，方程有两个相异实根；当0时，方程有两个相等实根；当0时， 方程有共轴复根。求根公式为*2bb24ac2abc2/59韦达定理x1x23/592,对数运算性质(a0,a1)若ayx,则ylogax；loga(xy)logaxlogay;loga-logaxlogay5)logaxbblogax;y(clogaxlnxax,exlogax3.指数运算性质mamanamn,琴amn(an)manma4.常用不等式及其运算性质若ab,贝U1acbc,c(ab)nbnma，a01;

2、logaa1,loga10,Ine1,ln10;logbxlogbaacb；acbc(c0);4/592acbc(c0),5/596ab(c0),ab0);D-i-(cccccannb(n0,ab0),_nnab(n0,ab0);VaVb（n为正整数，ab0）绝对值不等式设a,b为任意实数，贝U|aI|b|ab|a|b|;|a|b(b0)等价于bab,特别|a| a|a|a|b(b0)等价于ab或ab;某些重要不等式1设a,b为任意实数，则22_ab2ab；2设ai,a2,，an均为正数，n为正整数，则%a2Lann.aar.n5.常用二项式展开及因式分解公式,222aba2abb；2ccab

3、a2abb；6/59ab3a33a2b3ab2b3；33一2一23aba33a2b3ab2b3；a2b2abab；a3b3ab(a2abb2)；a3b3ab(a2abb2)；anbnab(an1an2ban3b2Labn2bn1)；5.牛顿二项式展开公式(n为正整数)n八0nRn12n22knkkn1n1dn、(ab)CnaCnabCnaDLCnabLGabCnb).其中组合系数C：n(n1)(n2)L(nk1),C01,C：1.k!6.常用数列公式等差数列：a1,a1d,a12d,，a(n1)d.首项为a，第n项为ana(n1)d，公差为d,前n项的和为7/59sna1(a1d)(a12d)

4、La1(n1)d8/5922等比数列:ai,aq,a1q2，,a1qn1首项为ai，公比为q，前n项的和为2|niai(1qn)sna1a1qa1qLa1qiq7.一些常见数列的前n项和n(n1)123Ln2135L(2n1)n2；i22232Ln2n(n1)(2n1)；22132333Ln3虹卫；21nan(n1)(司an)n9/59n(n1)n18.阶乘n!n(n1)(n2)L21.二、平面三角1.基本关系222_?sinxcosx1；1tanxsecx；221cotxcscx;/、sinxcosx11tanx；cotx；secx；cscx-2.倍角公式(i)sin2x2sinxcosx；

5、cos2x2_2cosxsinx12sin22x2cosx1；2tanxtan2x2.1tanx3.半角公式1cosxsin-22/c2x1cosxcos2210/59,x1cosxtan-.2sinx4.和角公式sin(xy)sinxcosycosxsiny；sin(xy)sinxcosycosxsiny；11/59cos(xy)cosxcosysinxsiny;cos(xy)cosxcosysinxsiny；tan(xy)tanxtany1tanxtany5.和差化积公式sinxsinsinxsincosxcosycosxcosyxyxy2sin一cos一-；22xy.xy2cossin2

6、2xyxy2coscos222sinJsinJ6.积化和差公式sinxcosycosxsinycosxcosysinxsinysin(x21,sin(x21-cos(x21,-cos(x2y)y)y)7.特殊三角函数值sin(xsin(xcos(xy)；y)；y)；y)cos(xy).12/5913/59函卜0432322sin0-2巫221010cos1匝2巨2120101tan0匝3100cot1300三、初等几何下面初等几何公式中，字母r表示圆半径，h表示高，l表示斜高,表示角度。1.三角形面积-bh（b为底边长）21.bhsin214/592.梯形面积-（ab）h（a,b为梯形两底边长

7、）215/593.圆周长2r;圆面积r24.圆扇形周长r；圆扇形面积r225.正圆柱体体积r2h；正圆柱体侧面积26.正圆锥体体积1r2h;正圆锥体侧面积37.球体体积r3；球体表面积4r23四、平面解析几何1.基本公式给定点Mi(xi,yi),M2(x2,y2)，则Md，,(X2X1)2yi)2设有两直线，其斜率分别为k1,k2,则两直线平行的充要条件为ki=k2两直线垂直的充要条件为kik2=i16/592.平面直线的各种方程点斜式：直线过点(xo,yo)，其斜率为k,rhrlM2间的距离则直线方程为i0/59yy0k（xX0）斜截式：直线斜率为k,在y轴上截距为b,则直线方程为ykxb两

8、点式：直线过点Mi（xi,yi）与M2（X2,y2）,则直线方程为yyixXiy2yiX2xi截距式：设直线在x轴与y轴上的截距分别为a,b,则直线方程为XYiab3.曲线方程圆周方程：圆心在点（x,yo）,半径为r的圆周方程为222（xx。）（yy）r抛物线方程：顶点在圆点，焦点在（卫,0）的方程为y22px2顶点在圆点，焦点在（0,卫）的方程为x22py2顶点在（a,b），对称轴为yb的方程为（yb）22p（xa）218/59顶点在（a,b），对称轴为xa的万程为（xa）2p（yb）椭圆方程：中心在原点，a为长半轴，b为短半轴，焦点在x轴上的椭圆方程为双曲线方程：中心在原点，a为实半轴，b

9、为虚半轴，焦点在x轴上的双曲线方程为等边双曲线方程：中心在原点，以坐标轴为渐近线的双曲线方程为xya（a为常数）6、反三角函数19/59第二部分专接本数学知识考点大全一、基本初等函数1、常函数yc（c为常数），其定义域（-,）2、藉函数yx（为常数），性质随改变，x在（0,）总有定义且0时，函数在定义域内单调增加；当0时，yx在（0,）单调减少。图像必过点（1,1）,20/593、 指数函数yax(a0,a1),定义域(-,),值域(0,当a1时， 单调增加， 当0a1时，单调减少,常用函数yex4、对数函数ylogax(a0,a1),是指数函数的反函数,定义域(0,)，值域(-,)，当a1时

10、，单调增加,当0a1时，单调减少5、三角函数有六个:ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx,ycscx举例如图16、反三角函数21/59有四个：yarcsinx,yarccosx,yarctanx,yarccotx二、函数极限1、极限收敛及其性质：limanA或anA(n)性质有：唯一性、有界性、奇偶子列均收敛、保序性2、数列四则运算法则：limanA,limbnB,则xx(1)lim(anbn)limanlimbnABxxxim(anbn)limanpmbnAB(2)当bn0及B0时，数列色的极限也存在,bnaliman且有lim工-xbnlimbnx(1)f(x)g(x

11、)h(x)(在x0的某空心邻域内成立即可)(2)limf(x)limh(x)A,则limg(x)AXx0Xx0Xx0sinx.4、重要极限(1)lim1x0 x(2)lim(11)xexx5、无穷大(小)量3、函数极限两边夹定理：如果函数f(x),g(x),h(x)满足:22/59当xx时，f(x)与g(x)都是无穷小量，且f(x)0。则：(1)lim(-)0时，称lim里少c0 xxof(x)xx0f(x)或f(x)是g(x)的低阶无穷小。记g(x)=o(f(x)(xx0)(2)lim虫分c0时，称f(x)与g(x)是等价无穷小量，xx0f(x)当c=1时，称两者为等价无穷小。记：g(x)f

12、(x)(x6、连续：limf(x)=f(),连续必须左右极限均存在，xx冷为一个间断点间断点的分类：第一类：左右极限均存在，又分为：(1)可去间断点：limf(x)=limg(x),即limf(x)存在,xx+0 xx-0 xx但limf(x)=f(x0)或f(x0)没意义；xx(2)跳跃间断点limf(x)limg(x)xXoxx-0第二类间断点：不属于第一类间断点的都是第二类。limf(x)或limf(x)称为无穷型间断点。xxoxx7、零点定理：若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，则至少存在一点(a,b)，使得f()0三、导数1、定义;f(xo)limf(xoh

13、)Sh0hcsc2x(xk,kz),16/59f(xo)存在几个求导公式：(xu)uxu1,cosxxxx(a)alna,(e)yyof(xo)(xxo)一.、一f(x0),f(x0)都存在且相等sinx,xe(yof(xo)yyo1,、(xxo)f(xo)(f(xo)0)(tanx)sec2x(x(2k1侦,k叽(cotx)24/59(secx)secx.tanx(x(2k1),kz)2(cscx)cscx.cotx(xk,kz)2、中值定理、罗尔定理：若函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)f(b),则至少存在一点(a,b)，使f()

14、0、拉格朗日中值定理：若函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)可导，则至少存在一点(a,b),使f(b)f(a)f()(ba)(该式又称拉格朗日中值公式)，一，一一，0T3、洛必达法则对于未7E型函数极值-或一，0limM=lim尝AX冷F(x)x冷F(x)4、函数极值问题、费马定理：设函数f(x)在点x0处可导，且在x0处取得极值则f(x)0，导数值为0点即驻点。(注可导函数极值点必是驻点，反之不一定成立)、两个充分条件；第一条件：Xo两端导数异号，左增右减为25/59极大值点，反之，极小值点；第二条件：函数在Xo处二阶可导，且f(x)0,f(x)0,则当f”(x)0时，f(x

15、)在Xo处取得极小值；当f(x)。时，f(x)在x0处取得极大值。(f(xo)0时条件失效)(3)应用题中极值题解题步骤：设变量函数表达式化简值域开区间求导找驻点求最值5、函数凹凸性及拐点(1)、凹凸性判定：a,b内f”(x)0,函数图形凹；反之 v0为凸函数。(2)、拐点判定：求f(x)；f(x)0，求根即f(x)不存在的点；f(x)0f(x)在0两侧临近异号时，点f(x)是函数拐点；同号时不是。(3)、渐近线若!imfA,则直线yA是曲线yf(x)的水平渐近线；226/59limf(x)xa，则直线Xa是yf(x)的一条垂直渐近线。数掌握(4)应用公式：总成本：C(Q)；边际成本C(Q)；

16、总收益：R(Q)Q.P(Q)；边际收益：R(Q)P(Q)Q.P(Q)；总利润：L(Q)R(Q)C(Q)；边际利润L(Q)R(Q)C(Q)四、积分1、不定积分f(x)dxF(x)x 1c(Uxxaxdxxainac;sinxdxcosxc；2dx2.secxdx、常用公式i1)exdxtanxc;cosxcosxdxsinxc；27/59122cscxdxcotxc;sinxsecxtanxdxsecxccscxcotxdxcscxarcsinxc1x2arccosx(12)、11?1dx22ax(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)28/59dx212d

17、xaxLrctanxa(13)dxarctanxc-rvdxarccosxcsinhxdxcoshxca2x229/59.dxlnx4xac/22(21)，xatanxdxIncosxc(22);secdxInsecxtanxc(25)、换元方法连续导数，且(t),(19).xdxarcsinca122dXxa(20)-lln2a则有换元公式f(x)dxf(x)(t)dtt”cotdxInsinxc；(24)cscdxIncscxcotx(1)凑微分f(x)(x)dxf(u)dUu(x)F(x)c换元法：f(x)在I上连续，x(t)x(x)在I对应的k内有30/591其中t(t)是x(t)的反

18、函数。uvdxuvuvdxudv二、分部积分法：或定积分中值定理:,、性质：线性、可加性、f(x)dx|f(x)dx2、a定积分f(x)dx注意：仅与被积函数法则和积分区间有关;baf(x)dxa；bf(x)dxf()(ab)中值定理:f(x)dxf()(ab)(ab)二、原函数存在定理:dx(x)门顷f(x)(axb)注意：(1)换元与分部积分同定积分；a(2)f(x)a,a偶函数则af(x)dxaaf(x)dx0;为奇函数则ablimf(x)dx3、广义积分baf(x)dx0)(ba)uvvdu保号性、保序性、31/5932/59f(x)dxf(x)dxf(x)dx1rdxp讨论广义积分x

19、的敛散性（p0）p1时收敛）b2Vf(x)24、旋转体积：a（数一）四、向量（既有大小又有方向）1、线性运算1.1加法：交换律、结合律；乘法：结合律、分配律0数乘aaa,则单位向量1.2空间向量,、2,、2,、2两点间距离公式dSx1)(y2y1)(Z2Z1)（分2种情况讨论P=1和p1,结论:p1时积分发散;33/591.3向量积内积aba.b.cos满足交换律、结合律、分配律34/59aba.b0axbxaybyazbz0矢量积(外积)：令cab,贝Ucaba|bsin(ab)；c与a,b都垂直；a,b,c符合右手定则5、平面方程(1)法向量是垂直于平面的非零向量n(A,B,C)截距式方程

20、abc(2)平面关系：相交、平行、重合平面1A1xByC1zD1=0n1(A1,B1,C1)平面2点法式方程A(xxo)ByyoCzzo0内极坐标式3(ax,ay,az),bbx，by,b；则abaxbxaybyazbz35/59A?xB?yC?zD2=0f(ABzC?)36/59n1.n2n1.n2cosJA2IB22C22JA22B22C2212，即=21/2,即nn21与之重合，冬=B1=CA2B2C2d|Ax0By0CZ0I点p0（x0,y0，z0）到平面距离JA2B2C26、空间直线方程（点财方，方向向量s（m，n，p）直线标准式（对称式、点向式）xX0yyzzmnp（m0则直线垂直

21、于x轴）参数方程AlA2B1B2C1C2cosxxyy037/59xx0mtyy。mttR则zZomt线面夹角L与它在平面上投影直线间的夹角为L与法向量间夹角,s.n|mAnBpCsnVA2_B2_C2y/mn2p2mnpLABCLmAnBpC07、曲面方程直线一般（交面式）方程右手定则应用AxBiyC1zD10A2xB2yC2ZD20n3,则叫n2n3sinsin2cos38/59222今七弓1(a,b,c0)椭球面：abc(a=b时旋转椭球面)39/5922m 七z(p,q同号)抛物面2p2q,用z4(z10)截得截痕为双曲抛物面或马鞍面2222锥面方程：xykz五、多元微分即为在该点处对

22、x的偏导数。混合偏导定理：连续函数2、全微分dzA(x，y)xB(x,y)y(即线性主部)可微充分条件：在点(x,y。)处可微；必要条件：可微在该点偏导存在，A(x,y),MB(x,y)且xy,dzxy从而zf(x,y)在该点全微分xylim1、偏导：在某一点处极限值xf(x。x,y。)f(x,y)40/59充要：zf（x,y）的偏导fx（x,y）,fy（x,y）在在该点连续。、复合求导：链式法则：复合函数zf（u,v）,u（x，y）,v（x，y）,v偏导存在，f在点（u,v）可微，则zf（x，y），v（x，y）在该店偏导数存在，zfufvzfufv，且xuxvxyuyvy4、隐函数求导：zF

23、xzFy一n，=xFzyFz.(条件F(x，y，z)具有连续偏导，F(Mo)O，Fz(Mo)5、多元极值：1、存在的必要条件：zf（x，y）偏导存在，且在（/，仍处有极值,fx(xo,yo)0,fy(xo，yo)0极值存在充分条件：zf（x,y）二阶偏导连续，一阶导为零,则该点偏导必为零即41/59令Afxx(xo,yo),Bfxy(xo,yo),Cfyy(x。，y。)，（1）AC-B0,是极值点，A0是极大值点，A0是极小值点；42/59（2）AC-B0，不是极值点；（3）AC-B2=0时不能判断。2、条件极值:拉格朗日乘数法（自变量间存在约束关系时）求zf（x，y）在条件构造L函数：L（x

24、，y）f（x，y）日常数）Lx（x,y）fx（x,y）一一Ly（x,y）fy（x,y）写方程组：（x,y）0解得驻点（x0,yo）六、二重积分（体积）1、性质：线性、积分区域可加性、保号性、保序性、f(x,y)df(x,y)dmSDf(x,y)dMSDDDD2、x型区域上二重积分“先y后x”的二次积分bY2(X)bY2(X)（x，y）下极值步骤:(x,y)(为参数，称拉格朗x(x,y)0一_-y(x,y)043/59f(x,y)dxdyf(x,y)dydxdxf(x,y)dyay1(X)ay1(X)DY型“先x后y”44/59x2(y)dX2(y)f(x,y)dxdydyf(x,y)dxx1(

25、y)cx1(y)Vf(x,y)dxdyf(rcos,rcos)rdrd3、极坐标计算DDri()f(x,y)dxdydf(rcos,rsin)rdr先r后：D2()4曲线积分计算公式:LP(x,y)dxQ(x,y)dy5、格林公式：闭区域由光滑或分段光滑的简单闭曲线L(正向)围成，P(x,y),Q(x,y)在D上一阶偏导则：QP、，?PdxQdy()dxdy,LDxyf(x,y)dxdyDdcf(x,y)dxdy先后：D2(r)d(r)f(rcos,rsin)rdP(x(t),y(t)x(t)Q(x(t),y(t)y(t)dt45/59PdxQdyPdxQdy6、积分曲线与路径无关：L1L2等

26、价命题：二元函数在G一阶连续偏导：46/59QPxyOPdxQdy0光滑闭曲线L,?oPdxQdy,曲线积分?Ly与路径无关七、级数UnUiU2LUnL1、通项：n2()SlimSns的部分和数列Sn,S有限，若n,则称式收敛，S为的和，若极限不存在则发散2、等比级数:2lim0(注：nn但该级数发散)47/593、性质:线性、级数加减有限项不改变敛散性、收敛级数加括号仍收敛limun0收敛必要条件：通向极限为零即nnaqn023.aaqaqaqLn-aqL亢当q(xxj2Lan(xx)nLn0n2nI取x。0,则得x的藉级数noanx字LanxL（）（1）阿贝尔定理：对于式（1）当它在点x0

27、（x）0）处，则它在满足x冷的任何点x处都绝对收敛；（2）当它在点、处发散则50/59X0的任何点X处也发散。(2)收敛半径判定:limn设an1an(3)(4)则当0,时,当0时，R时,R=0计算：和函数逐项求导逐项求积分:泰勒展开:0n!s(x)=X0s(x)dx2!n!ln(1x)1)n(anXn)Xn-anX,xR;dx1)n1Xnnnanxan51/59八、微分方程1、通解：若y(x,C1,C2,Cn)为某个n阶常微分方程的解,且含有n个相互独立的任意常数G，C2，LCnn,则称这个解为方程的通解。(注：同解未必是全部解)特解：确定了解中任意常数，或满足一定的条件。隐式解：(X，y，

28、C)0定解问题：微分方程连同初始条件或边界问题共同构成确定微分方程解的问题2、一阶微分方程乎f(X)(y)(1)变量可分离方程：dx-df(x)dx分离变量(y)(2)一阶线性微分方程yP(x)yQ(x)(奇次形式yP(x)y0)P(x)dx齐次通解yCe*(C为任意常数)P(x)dxP(x)dx非齐次通解yeQ(x)edxC(f(x),(y)连续函数)52/59(齐次yP(x)yq(x)y0)齐次两线性无关解的组合是齐次的通解；非齐次的特解与齐次的通解的非齐次的通解：yYy*2对应的特征方程rprq0特征根方程yPyqy0的解r1,2为相异实根yC1er1xC2er2x二重实根y(CIC2)

29、erxri(0)yeX(CIcosxC2sinx)二阶常系数非齐次线性微分方程yPyqyf(x)求解方法：已知齐次相应解，再求一个特解，利用待定系数法,求特解过程如下：方程yPyqyxkQm(x)ex,(3)二阶线性微分方程yP(x)yq(x)yf(x)二阶常系数齐次线性微分方程yPyqy053/590当不是特征根k1当是单特征根2当是二重特征根c/_m_m1iQm(x)axaxL方程yPyqy(acosxbsinx)e九、行歹0式（数表，正负各半）1、概念：1.1主对角线：左上角到右下角的连线；次对角线：右上角到左下角的连线1.2余子式：行列式中划去元素团所在的那一行和列所称的子式，记为M,

30、而称Aj（仆Mj为询的代数余子式2、性质：行列式与其转置相等；互换行列式两行（列），行列式变号行列式两行（列）相的值为0;4用一个数乘以行列式每一行（列）=用该数乘以行列式每一行（列）中所有元素；amiXamk其中0当i不是特征根1当i是特征根54/595行列式两行（列）对应成比例，行列式值为0;55/596行列式某一行（列）中各元素乘以同一数，然后加到令一行（列）对应元素上去，行列式值不变。DiD2|DnX，X2=,L,ADDD。右边常数灯，烷,L,代替后得到的n阶行列式。ailLai,jiaa,jiLainDja21La2,jib2aa,jiLa2nM MMMM即aniLan,jibnaa

31、,jiLann法则含义：D0,非齐次方程有唯一解；齐次只有零解;逆否命题：非齐次有非零解则D=0十、矩阵如ai2Laina21a22La2nMMManian2Lann3、克莱姆法则：若非其次线性方程的系数行列式为系数行列式D0,则方程有唯一解:其中Dj（j1,2，L，n）是把系数行列式D中第j列元素依次用方程D56/591、单位阵:对角矩阵：nn反对称矩阵：主对角线元素两侧对称位置上元素绝对值相等，正负号相反2、运算：加法：两矩阵均为m门阶，对应位置相加减;a1M数与矩阵相乘：m1mn,(AB)AB()AAA1AA且满足(A)()A两矩阵相乘：A(aij)是ms阵，B(bj)是sn阵,则乘积是

32、mn矩阵C(Cj),a11a22diag(a11,a22,aa11M57/59sa与&月(ii,2L,mji,2L,n)ki矩阵转置:7方阵行列式：由方阵中元素按原来的位置所构成的行列式,可交换矩阵：满足ABBA；注意：AB0不能推出：方阵的藉:AAAk1(Ak)1Akl如ai2Lainaiia2iLamia2ia22La2n,ai2a22Lamn2MMMMMMamiam2Lamnaina2nLamnATAq禽加Sj2jL其中，性质:ATA,A（大题）3、逆矩阵：ABBAI称矩阵A可逆，B为A的逆矩阵伴随矩阵:A*AiA12MAinA21LA22LMA2nLAniAn2MAnn58/5

33、9A或detA记为59/59方阵A可逆充要条件:“11*A|AA的行列式A,若A可逆则IA111(A)一A一性质：(0),A1A1-1|A|(AB)1B1A1(A1)T(A1)3、矩阵初等行变换：三种形式：、对换变换：互换两行、倍数变换：用非零数乘以某一行；、倍加变换：数K乘以某行元素后加到另一行对应元素上去等价矩阵：A经初等变换成B,则称等价AB；具有反身性、对称性、传递性行最简形：非零行的首非零元素是1；首非零元素所在列其余元素都为零标准形：主对角元素1,1的个数小于等于列数其余0两矩阵等价充要条件：具有相同标准形4、求逆矩阵：(单位阵经一次初等变换得到的矩阵)坐乘行变换，右成1列变换(A

34、M)(IMA1)60/595、矩阵秩：矩阵A中存在一个r阶子式不为零，而高于r的子式全为零则称r为矩阵A的秩，记做R(A)=r，当A=0时，R(A)=0.若r=n,则称A为满秩矩阵，否则称为降秩；61/59A07两秩充要条件；A可逆充分条件A秩;初等行变换不改变矩阵秩标准向量1，2，L,n；负向量（1，2，L，n）封闭指对，V，有+V对R,V,有V2、线性相关：若线性组合，1，2，L，m为m+1个向量，存在一组数i，2，L，m，使1122Lmm，则称是1，2，L，m的线性组合2.1、定义：设1，2，L，m是向量空间V的一向量组，1，2，L，mP不全为零，使1122Lmm0，则称1、n维向量(1

35、,2，L,n).向量空间：V为n维向量的非空集合,V对线性运算封闭,62/591,2,L,m线性相关（或相关集组）；否则为线性无关2.2、判别：向量组1，2，L，m相关充要条件是其中至少一个向量是其余的线性组合；1，2，L，m线性无关，而1，2，L，m，线性无关，贝U可由1，2，L，m表示且表示唯一；A：1，2，L，r和B:1，2，L，s均为V的向量组，B可由A线性表示，则S；相关向量组加上有限个同维向量，新组合仍相关；线性无关的组合加分量后仍无关3、向量极大无关组和秩：若存在同维向量1，2，L，m的一个子集i1，i2，ir满足：i1，i2，ir线性无关；i（i1，2，L，m）均可由i1，i2

36、，ir线性表示，则i1，i2，ir为1，2，L，m的最大（或极大）无关组，而r为1，2，L，m的秩。注：只含0向量的的向量组秩为0;一般情况极大组不唯一性质：无关充要条件：向量个数等于秩；向量组和它的最大无关组等价；63/59等价的向量组有相同的秩；矩阵行秩=矩阵列秩=矩阵的秩十二、方程组a11a12LanXIa1jAa21a22La2nX2Xaja2j,j0,1,L,nMMMMMam1am2LamnXnamj则齐次方程组可表示为Ax0(*)或向量形式站1LXnan0A为齐次方程的系数矩阵，X为未知向量数1、解的性质：两个解的和仍是*式的解；解的倍数仍是*的解2、*式的所有解构成的向量空间称为

37、*式的解空间，用S表示，称S的基为*的基础解系，基础解系的线性组合称为*的通解。3、齐次方程组只有零解的充要条件R(A)=n;有非零解的充要条件R(A)=rn。当R(A)=rn时，方程组的任一基础解系中含n-r个解向量;齐次方程组有非零解的充要条件是系数矩阵行列式非齐次方程AXb(#)或Xia1X2a2LXnanb，称B(Ab)()为增广矩阵式有界充要条件R(A)=R(B)64/59R(A)=R(B)=n时，有唯一解；R(A)=R(B)n,有无穷多解，若1，2,L,nr为Ax0的基础解系，为#式的解，贝uAxb的通解为xki1k22Lnr1/59第二部分接本数学例题精选注：【】中为考察的知识点

38、/sin2x1-xsin2xrx12练习1、limlimxx0 xsln2xx0isin2x12x一,1练习3、求f(x)一的间断点，并判断类型【-1】(1x)1_,1【重要极限】3x1x练习2、lim()xlimxl)xx(3x(110/59练习4、证明方程x53x10至少有一个小于1正根。【零点定理】提示：构造函数f(x)5x3x1,在【0,1】上f(0)1,f(1)1练习5、lim(secxx2tanx)1sinx.cosx-lim=lim0 x-cosxx-sinx22(一型)【罗比达法贝u】练习6、求函数f(x)cosxsinx的极值(周期函数只考虑一个10/59周期0,2)【条件极

39、值】提示求二阶导，找驻点来判断驻点处二阶导正负，直接由第二充分条件判断。练习7、讨论V3x4x1的凹凸性及拐点。2(提示求二阶导，f(x)不存在的点0,3,00,|2,结果，0是凹，3凸，3凹)练习82cos2xdxcos2x.2dx2cos.(2x)dxcos2xd2xsin2xc【凑微分】练习9、求a2x2【换元】答案提示：利用sin2xcs2t1,t,一令xasint（22）,.xtarcsin最后回代原变量a10/59练习10、【分部积分】cost1sin21及1（：）210/59xdcosxxcosxcosxdxxcosxsinxCm=1,M=8,b-a=112x3dx8)【积分中值

40、定理】11提示：0型，等价无穷小替换及洛必达法则， 结果3xsinxdx练习11、估讨2x3dx1的值（解析：在【1,2】上,x2练习12、计算极限sintdtlim-0733x0 xsinx【原函数存在定理】x轴一周所围体积练习解析：V&V内：*(x)I510/59【旋转体积】10/59a=(1,-4,1)与b=(3,-1,3)的单位向量【向量矢量积】11i11k练习13、求co【 单 位 向 量 应用】Coaoboaobo(解析：ca。bo,(解析:所以练习14、求同时垂直于10/59abJ(11)2(11)21槌(11,0,11)ab22)练习15、平面的法向量n(1,2,3),

41、【平面关系】且与点M(2,2,3),N(1,2,0)等距，求该平面(提示设平面方程x2y3zD结果：x2y3z100)练习16、求过点M(2,3.2)且平行于直线2X5y2Z1的直线方程5y2z2(解析：设方向向量s同时垂直于已知的两平面，法向量分别为n1(2,5,2),n2(0,5,2)ijkab25220i4j10k052sn1n2=X2y3z2又过点M,得直线标准方程20410,将方程拆成两X 5y13010/59个方程组，在整理得一般方程X2z60)10/59【空间直线，右手定则】练习17、设函数zz(x,y)由方程x【偏导】2yz36z0确定,2,、z求。xy(解析:Q(x2x2y2

42、z6z)02x2zZ6-x-0 xz_x3L又一zy(x22y2z6z)0z2y2z6-y-0yzyy3z2z(3z)cpx(z)yxzyxyxy(32z)(32z)(33z)练习19、Vx,求偏导【复合求导】32、练习18、求zln(1xy)在点(i,2)处全微分【全微分】(解析:2x2xdxy12、一dxdy)10/59（解析：-fufyy二fuf1、x)xuxuxyuyux练习20、z2f(x,y)由xz222yzy0确定，求偏导【隐函数求导】（解析；两边同时对x求导:2xz2xz2zxxz2xz则22xx2zy两边同时对y求导：x24yz22y22z10 xymz4yz21、则_2,2)yx4zy练习21、Dx岫区域D由x2y22y与xy2所围成【二重积分】（解析:xdxdyD213yy21dy-)622yy2dyedx12y2ydyy10/5922练习22、求曲面z8xy与XOY面所围成形体体积【极坐标积分】(解析：D:020r2、2cos2222.2cos