第七章非正弦周期性电路

1、第七章第七章: :非正弦周期性电路非正弦周期性电路7.1 7.1 非正弦周期电流非正弦周期电流电路中的电压和电流都是非正弦周期量。电路中的电压和电流都是非正弦周期量。非正弦周期性电路非正弦周期性电路: :非正弦周期量：按非正弦规律周期性变化的电压和电流。非正弦周期量：按非正弦规律周期性变化的电压和电流。0tf （t）T2T3T0tf （t）T0tf （t）T2T3T4T0tf （t）T非正弦周期量的产生非正弦周期量的产生 tsin2tsin6tu t3sin2tu2非正弦周期量的产生非正弦周期量的产生1. 1.交流发电机产生的电源是非正弦量。交流发电机产生的电源是非正弦量。2. 2.电路中有几

2、个不同频率的正弦量共同作用叠加后为非正弦量。电路中有几个不同频率的正弦量共同作用叠加后为非正弦量。3. 3.电路中存在非线性元件。电路中存在非线性元件。0u（t）t tsin6tu1u1（t）u2（t）u（t）0ti i(t)20ti i(t)327.27.2非正弦函数分解为傅立叶级数非正弦函数分解为傅立叶级数 t7sin74t5sin54t3sin34tsin4tf4 tsin4tf1 t5sin54t3sin34tsin4tf3一个非正弦周期函数可以用无穷多个频率成整数倍的正弦函数之和表示一个非正弦周期函数可以用无穷多个频率成整数倍的正弦函数之和表示0t tf (t)1T20t tf1 (

3、t)1T20t tf2 (t)1T20t tf3 (t)1T20t tf4 (t)1T2 t3sin34tsin4tf27.27.2周期函数分解为傅立叶级数周期函数分解为傅立叶级数1kkk0) tksin(b) tkcos(2) t (fT00dt) t (fT2T0kdt) tkcos() t (fT2T0kdt) tksin() t (fT2b为傅立叶系数为傅立叶系数、）的周期；）的周期；（为为，式中式中kk0btfTT2周期为周期为T T的周期性时间函数的周期性时间函数f(tf(t) )分解成的傅立叶级数是分解成的傅立叶级数是周期函数分解为傅立叶级数周期函数分解为傅立叶级数 2傅立叶级的

4、常用的表达式傅立叶级的常用的表达式)tksin(AA) t (fk1KK02A002k2kKbA)barctan(kkk式中式中A0项为常数项项为常数项K=1项项 称为非正弦周期函数的基波称为非正弦周期函数的基波)tsin(A11K 2各各项统称为非正弦周期函数的高次谐波项统称为非正弦周期函数的高次谐波7.37.3对称波形的傅立叶级数对称波形的傅立叶级数1. 周期函数的波形在横轴上、下部分包围的面积相等。周期函数的波形在横轴上、下部分包围的面积相等。a a0 0=0=0，无直流分量。，无直流分量。2. 周期函数为奇函数周期函数为奇函数满足满足f（t）=f（t），波形对称于原点。），波形对称于原

5、点。a0=0、aK=0。表示为表示为1kK) tksin(b) t (f0T2Ttf(t)对称波形的傅立叶级数对称波形的傅立叶级数3. 周期函数为偶函数周期函数为偶函数满足满足f（t）=f（t），波形对称于纵轴。），波形对称于纵轴。 bK=0。表示为表示为1kK0) tkcos(a2a) t (f4. 周期函数为奇谐波函数周期函数为奇谐波函数T2满足满足f（t）=f（t + ），波形移动半个周期后与原函数波形），波形移动半个周期后与原函数波形k k为奇数为奇数对称于横轴。对称于横轴。)tksin(b) tkcos(a ) t (fK1kK表示为表示为f(t)t0tf(t)0例题例题dt) tk

6、cos() t (fT4a2T0K2T4T4T0m) tksin() tksin(k1TA44T02T4Tmdt) tkcos(dt) tkcos(TA4已知周期函数已知周期函数f（t）如图所示，求其傅立叶级数的展开式。）如图所示，求其傅立叶级数的展开式。tf(t)0AmAmT2TTf f（t t）既是偶函数（）既是偶函数（ bK=0）又是奇谐波函数（又是奇谐波函数（aK=0，不含偶次谐波）不含偶次谐波） 2ksinkA4m) t5cos(51) t3cos(31) tcos(kA4) t (fm例题例题) t5sin(251) t3sin(91) tsin(A8) t (f2m1)4Tt (

7、5sin251)4Tt (3sin91)4Tt (sinA8) t (f2m2一个周期函数是奇函数还是偶函数有时还与纵轴的位置有关一个周期函数是奇函数还是偶函数有时还与纵轴的位置有关tf1(t)0AmAmT2TTf2(t)Am0T2tAm求图所示三角波求图所示三角波f2（t t）的傅立叶级数展开式。）的傅立叶级数展开式。查表得三角波查表得三角波f1（t t）展开式为）展开式为) t5cos(251) t3cos(91) tcos(A82m例题例题) t (f) t (f) t (f21有时平移横轴会使谐波分析简化有时平移横轴会使谐波分析简化tf(t)0AmTf1(t)t0Tf2(t)t0Am1

8、2求图所示矩形波求图所示矩形波f（t t）的傅立叶级数展开式。）的傅立叶级数展开式。解解 将将f（t t）分解为）分解为f f1 1(t)(t)和和f f2 2(t)(t)之和之和mmA21) t5sin(51) t3sin(31) tsin(A27.47.4非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算0X0L0CXLjX1L计算电路的一般步骤计算电路的一般步骤:1. 把激励分解为傅立叶级数把激励分解为傅立叶级数2. 分别求出各次谐波单独作用下的响应分别求出各次谐波单独作用下的响应对于直流对于直流Cj1X1CCjk1XCKLjkXLK对于一次谐波对于一次谐波对于对于K次谐波次谐波3. 应用

9、叠加原理将各次谐波单独作用时响应的瞬时值叠加应用叠加原理将各次谐波单独作用时响应的瞬时值叠加例题例题V)45t3sin(60) tsin(18040u+uRLCi i在图在图RLC串联电路中串联电路中,已知已知R=10,L=0.05H,C=50F.电源电压为电源电压为式中式中 =314rad/s=314rad/s。试求电路中的电流试求电路中的电流i i。解解 （1）直流分量单独作用时）直流分量单独作用时I I（0）= 0（2）一次谐波单独作用时）一次谐波单独作用时Cj11U+RLjV012702180U12 .784910503141j05. 0314j10Z61A2 .786 . 22 .7

10、84903 .127ZUI111I I1 1例题例题（3）三次谐波单独作用时）三次谐波单独作用时V454 .4245260U39 .687 .27105031431j05. 03143 j10Z63A9 .2353. 19 .687 .27454 .42ZUI333（4）电流）电流i i为各次谐波电流瞬时值之和为各次谐波电流瞬时值之和)9 .23t3sin(253. 1)2 .78tsin(26 . 2iii31A)9 .23t3sin(17. 2)2 .78tsin(67. 3C3 j13U+RL3 j I I3 37.57.5非正弦周期电流电路中的有效值和有功功率非正弦周期电流电路中的有效

11、值和有功功率)tksin(IIi1Kkkm0T02dtiT1IT01k2kkm0dt)tksin(II T1一、有效值一、有效值已知周期量的傅立叶级数已知周期量的傅立叶级数20T020IdtIT12k2kmk2T02kmI2Idt)tk(sinIT10dt)tksin(II2T1kkmT00) lk(0dt)tlsin(I )tksin(I 2T1llmkkmT0则有效值则有效值各次谐波自身的平方各次谐波自身的平方两个不同次谐波乘积的两倍两个不同次谐波乘积的两倍非正弦周期电流电路中的有效值和有功功率非正弦周期电流电路中的有效值和有功功率V)45t3sin(60) tsin(18040u2221

12、20UUUU222120IIII222120UUUU所以所以周期量的有效值等于它的个次谐波有效值的平方和的平方根周期量的有效值等于它的个次谐波有效值的平方和的平方根非正弦电压的有效值非正弦电压的有效值例题例题 求电源电压求电源电压的有效值的有效值V140260218040222解解非正弦周期电流电路中的有效值和有功功率非正弦周期电流电路中的有效值和有功功率T00avIidtT1IdtiT1IT0rectdtiT2I2T0rect二、平均值二、平均值非正弦周期量的平均值是它的直流分量非正弦周期量的平均值是它的直流分量dt) tsin(IT2I2T0mrectm2T0mI2)tcos(TI2m2T

13、0mrectUdtUT2I) tsin(Iim1整流平均值整流平均值上下半周对称的电流上下半周对称的电流例题例题 计算正弦电流计算正弦电流及表及表7-1所示矩形波电压所示矩形波电压u2的整流平均值的整流平均值,矩形波的最大值为矩形波的最大值为Um。正弦电流的整流平均值正弦电流的整流平均值矩形波电压的整流平均值矩形波电压的整流平均值非正弦周期电流电路中的有效值和有功功率非正弦周期电流电路中的有效值和有功功率整流平均值整流平均值有效值有效值fK11. 1I22/IKmmf11. 115. 12/A3/AKmmf三、波形因数三、波形因数11. 1Kf11. 1Kf工程上为了粗略反映波形的性质，定义波

14、形因数为工程上为了粗略反映波形的性质，定义波形因数为正弦波的波形因数为正弦波的波形因数为对非正弦波，如波形因数对非正弦波，如波形因数波形比正弦波尖波形比正弦波尖如波形因数如波形因数波形比正弦波平坦波形比正弦波平坦表表7-1中三角波的波形因数中三角波的波形因数三角波比正弦波尖三角波比正弦波尖非正弦周期电流电路的有效值和有功功率非正弦周期电流电路的有效值和有功功率)tksin(UUuku1kkm0)tksin(IIiki1kkm0)tksin(II)tksin(UUuipki1kkm0ku1kkm0四、非正弦周期电流电路的有功功率四、非正弦周期电流电路的有功功率dt)tksin(II)tksin(

15、UUT1ki1kkm0ku1kkm0T0T0T0uidtT1pdtT1P电压电流取关联参考方向，并设电压电流取关联参考方向，并设瞬时功率为瞬时功率为平均功率为平均功率为非正弦周期电流电路的有效值和有功功率非正弦周期电流电路的有效值和有功功率kKKkikukmkmcosIU)cos(IU21k1KKK00cosIUIUPK210PPPPdt)tksin(I )tksin(UT1PT0kikmkukmK00T0000IUdtIUT1P同次谐波电压与电流的乘积的平均值为同次谐波电压与电流的乘积的平均值为不同次谐波电压与电流的乘积的平均值为零不同次谐波电压与电流的乘积的平均值为零得到得到非正弦周期电流

16、电路中，只有同次谐波的电压和电流才构成非正弦周期电流电路中，只有同次谐波的电压和电流才构成平均功率，不同次谐波的电压和电流不构成平均功率。平均功率，不同次谐波的电压和电流不构成平均功率。例题例题V)60t3sin(50) tsin(4 .14110uA)60t3sin(3 . 0)70tsin(i0IUP000设两端网络在相关联参考方向下，有设两端网络在相关联参考方向下，有1I11cosIUP3333cosIUPW2 .24)700cos(2124 .141W5 . 7)6060cos(23 . 0250310PPPPW7 .315 . 72 .24求两端网络吸收的功率求两端网络吸收的功率解解

17、非正弦周期电流电路中的有效值和有功功率非正弦周期电流电路中的有效值和有功功率五、等效正弦波五、等效正弦波等效正弦波代替非正弦周期波的条件等效正弦波代替非正弦周期波的条件:1.等效正弦波和非正弦周期波频率相同等效正弦波和非正弦周期波频率相同;2.等效正弦波和非正弦周期波有效值相同等效正弦波和非正弦周期波有效值相同;3.用等效正弦波代替非正弦周期波后用等效正弦波代替非正弦周期波后,全电路的有功功率不变。全电路的有功功率不变。用第三个条件确定等效正弦电压和等效正弦电流的相位差用第三个条件确定等效正弦电压和等效正弦电流的相位差UIParccos等效正弦波不可能与被代替的非正弦周期波在各方面完全等效，等

18、效正弦波不可能与被代替的非正弦周期波在各方面完全等效，它只是在一定误差允许条件下的一种计算方法。它只是在一定误差允许条件下的一种计算方法。例题例题V7 .10431100U22A03. 45 . 04I22W8 .24376cos5 . 0311 .53cos4100P已知某两端网络的电压、电流为已知某两端网络的电压、电流为V) t3sin(231) tsin(2100uA)76t3sin(25 . 0)1 .53tsin(24iV) tsin(27 .104ueUIParccos7 .5403. 47 .1048 .243arccosA)7 .54tsin(203. 4ie以上两式中以上两式

19、中 =314rad/s=314rad/s。式求电压、电流的等效正弦波。式求电压、电流的等效正弦波。解解 电压电流的有效值各为电压电流的有效值各为电路的功率电路的功率设电压的初相为零设电压的初相为零等效正弦电压与电流的相位差为等效正弦电压与电流的相位差为等效正弦电流等效正弦电流7.67.6对称三相电路中的谐波对称三相电路中的谐波) t (uuA3TtuuB3TtuuC一、正序、负序及零序对称量一、正序、负序及零序对称量在对称三相非正弦周期电流电路中在对称三相非正弦周期电流电路中) t5sin(U) t3sin(U) tsin(Uum5m3m1A3Tt5sinU3Tt3sinU3TtsinUum5

20、m3m1B32tsinU) t3sin(U32tsinUm5m3m13Tt5sinU3Tt3sinU3TtsinUum5m3m1C32tsinU) t3sin(U32tsinUm5m3m1设设uA为奇谐波函数为奇谐波函数对称三相电路中的谐波对称三相电路中的谐波tsinUum11A32tsinUum11B32tsinUum11C对称三相周期量中各次谐波情况对称三相周期量中各次谐波情况1.它们的基波它们的基波2.它们的三次谐波它们的三次谐波3.它们的五次谐波它们的五次谐波t3sinUum33At3sinUum33Bt3sinUum33Ct5sinUum55A32t5sinUum55C32t5sin

21、Uum55B为一组正序对称量为一组正序对称量,它们的它们的1、7、13次等谐波都各是一组正序对称量。次等谐波都各是一组正序对称量。为一组零序对称量为一组零序对称量,它们的它们的3、9、15次等谐波都各是一组零序对称量。次等谐波都各是一组零序对称量。为一组负序对称量为一组负序对称量,它们的它们的5、11、17次等谐波都各是一组负序对称量。次等谐波都各是一组负序对称量。对称三相电路中的谐波对称三相电路中的谐波5P3P1PUUU、25P23P21PPUUUU二、三相电源的谐波情况二、三相电源的谐波情况1.三相电源作星形连接三相电源作星形连接设它的相电压各次谐波的有效值各设它的相电压各次谐波的有效值各

22、为为5B3B1BBuuuu5C3C1CCuuuu25P21P25l21 llUU3UUUPlU3U 5A3A1AAuuuu+NABC相电压的有效值为相电压的有效值为线电压的有效值线电压的有效值3线电压的有效值小于相电压有效值的线电压的有效值小于相电压有效值的 倍。倍。对称三相电路的谐波对称三相电路的谐波33333ZEZ3E3I99999ZEZ3E3I0ZEZEIZEUU33333333AB32.三相电源作三角形连接三相电源作三角形连接0ZEZEIZEUU99999999AB9+3IABC3E3E3E03Z03Z03Z由于环流的存在由于环流的存在,使得相电压中的使得相电压中的3次、次、9次谐波：次谐波：相电压和线电压中都不含零序谐波。相电压和线电压中都不含零序谐波。对称三相电路中的谐波对称三相电路中的谐波2923NII3I3A3N3A33AI3ZIZU3N33A3AZ3ZUI三、三、Y形连接负载情况形连接负载情况1.三相四线制电路三相四线制电路3A3N3A3NN3N3NNIZ3I3ZIZU+Ni iA Ai iBi ic ci iNNN+N1AU1AIZ1Z5N+N5AU5AI+NN3AU3AIZ33ZN3中线电流的有效值为中线电流的有效值为各序对称波的计算各序对称波的计算对正序谐波对正序谐波对负序谐波对负序谐波对三次谐波对三次谐波对称三相电路中的谐波对称三相电路中的谐波2.三相三