反函数、复合函数的求导法则

1、上页下页结束返回首页一、反函数的导数一、反函数的导数二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则基本初等函数的导数公式小结三、求导法则小结三、求导法则小结2 反函数、复合函数的求导法则反函数、复合函数的求导法则上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页一、反函数的导数一、反函数的导数 如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 )(1)(yxfj=。 简要证明：简要证明： 因为y=f(x)连续，所发当Dx0时，Dy0。 )(11limlim)(00yyxxyxfyxj=DD=DD=DD即 )(1)(yxfj=。 )(11li

2、mlim)(00yyxxyxfyxj=DD=DD=DD)(11limlim)(00yyxxyxfyxj=DD=DD=DD， 下页上页下页结束返回首页 例例1求(arcsin x)及(arccos x)。 类似地有：211)(arccosxx=。 一、反函数的导数一、反函数的导数 如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 )(1)(yxfj=。 (arcsin x) 解：解：因为y=arcsin x是x=sin y的反函数，所以 (arcsin x)yycos1)(sin1=2211sin11xy=yycos1)(sin1

3、=2211sin11xy=yycos1)(sin1=2211sin11xy=yycos1)(sin1=2211sin11xy=。 下页上页下页结束返回首页 例例2求(arctan x)及(arccot x)。 一、反函数的导数一、反函数的导数 如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j (y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且 )(1)(yxfj=。 解：解：因为y=arctan x是x=tan y的反函数，所以 22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx= 类似地有：211)cotarc(xx=。 22211tan11sec1)(tan1

4、)(arctanxyyyx=22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx=22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx=22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx=。 下页上页下页结束返回首页 (16) (arctan x)211x=。(1) (C)=0，(2) (xm)=m xm1，(3) (sin x)=cos x，(4) (cos x)=sin x，(5) (tan x)=sec2x，(6) (cot x)=csc2x，(7) (sec x)=sec x tan x，(8) (csc x)=csc x cot x，(9)

5、 (ax)=ax ln a ，(10) (ex)=ex，基本初等函数的导数公式小结：基本初等函数的导数公式小结：(12) (ln x)=x1， (13) (arcsin x)=211x， (14) (arccos x)=211x， (15) (arctan x)=211x， (11) (log a x)=axln1(a0, a1)， ，上页上页下页结束返回首页二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则 如果u=j(x)在点x0可导，函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导，则复合函数y=fj(x)在点x 0可导，且其导数为 0 xxdxdy= f (u0)j (x0)。 假定u=j(x)在x

6、0的某邻域内不等于常数，则Du0，此时有 简要证明：简要证明： 0 xxdxdy=xuuyxuuyxyxuxxDDDD=DDDD=DD=DDDD0000limlimlimlim = f (u 0)j (x 0)。 0 xxdxdy=xuuyxuuyxyxuxxDDDD=DDDD=DD=DDDD0000limlimlimlim0 xxdxdy=xuuyxuuyxyxuxxDDDD=DDDD=DD=DDDD0000limlimlimlim 下页上页下页结束返回首页二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则 如果u=j(x)在点x0可导，函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导，则复合函数y=fj

7、(x)在点x 0可导，且其导数为 0 xxdxdy= f (u0)j (x0)。 如果 u=j(x)在开区间 Ix内可导，y=f(u)在开区间 Iu内可导，且当xIx时，对应的uIu，那么复合函数y=fj(x)在区间Ix内可导，且下式成立： dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 下页上页下页结束返回首页 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 复合函数的求导法则：复合函数的求导法则： 例例 3y=lntan x ，求dxdy。 解：解：函数y=lntan x是由y=ln u，u=tan x复合而成， dxdududydxdy=xxxu22seccotsec1= xxcos

8、sin1=。 dxdududydxdy=xxxu22seccotsec1=dxdududydxdy=xxxu22seccotsec1= 下页上页下页结束返回首页 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 复合函数的求导法则：复合函数的求导法则： 例例 4y=3xe，求dxdy。 dxdududydxdy=3332xuxexe=dxdududydxdy=3332xuxexe=dxdududydxdy=3332xuxexe=。 解解：函数3xey =是由 y=eu ，u=x3 复合而成， 下页上页下页结束返回首页 例例 5212sinxxy=，求dxdy。 dxdududydxdy=，或

9、y=yuux 。 复合函数的求导法则：复合函数的求导法则： dxdududydxdy=2222)1 ()2()1 (2cosxxxu= 222212cos)1 ()1 (2xxxx=。 解解：212sinxxy=是由 y=sin u，212xxu=复合而成， dxdududydxdy=2222)1 ()2()1 (2cosxxxu= 下页上页下页结束返回首页 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 复合函数的求导法则：复合函数的求导法则： 对复合函数求导法则比较熟练以后，就不必再写出中间变量。 例例 6lnsin x，求dxdy。 解解：)(sinsin1)sin(ln=xxxdxd

10、y xxxcotcossin1=。 )(sinsin1)sin(ln=xxxdxdy)(sinsin1)sin(ln=xxxdxdy 下页上页下页结束返回首页 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 复合函数的求导法则：复合函数的求导法则： 例例 73221xy=，求dxdy。 解解：)21 ()21 (31)21(2322312=xxxdxdy 322)21 (34xx=。 )21 ()21 (31)21(2322312=xxxdxdy)21 ()21 (31)21(2322312=xxxdxdy 下页上页下页结束返回首页 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 复合函数

11、的求导法则：复合函数的求导法则： 例例 8y=lncos(e x)，求dxdy。 解解： )cos()cos(1 )cos(ln=xxxeeedxdy )tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee= )cos()cos(1 )cos(ln=xxxeeedxdy )cos()cos(1 )cos(ln=xxxeeedxdy )tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee=)tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee=)tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee=。 复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。下页上页下页结束返回首页 dxdududyd

12、xdy=，或 y=yuux 。 复合函数的求导法则：复合函数的求导法则： 例例 9xey1sin=，求dxdy。 解：解：)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx xexx1cos11sin2=。 )1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sin=xxexeeyxxx 下页上页下页结束返回首页 例例 10y=sin nx sin n x (n 为常数)， 求dxdy。 解：解：y=(sin nx) sin nx + sin nx (sin nx) = ncos nx sin nx+sin nx n sin n1x (sin x ) = ncos nx sin nx+n sin n1x cos x =n sin n1x sin(n+1)x。 dxdududydxdy=，或 y=yuux 。 复合函数的求导法则：复合函数的求导法则：上页上页下页结束返回首页函数的和、差、积、商的求导法则：函数的和、差