二重积分的概念与性质

1、上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出第第8章二章二 重重 积积 分分8.1二重积分的概念与性质8.2直角坐标系中二重积分的计算8.3极坐标系中二重积分的计算 8.4无界区域上简单反常二重积分的计算 上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出8.1二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 一一.二重积分的概念二重积分的概念 1. 引例：求曲顶柱体的体积引例：求曲顶柱体的体积设有一立体，它的底是xOy平面上的有界闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y),这里假设f(x,y)，且f(x,y)在D上连续，如下图所示.现在我们来讨论:如何求这个曲

2、顶柱体的体积? 上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出我们知道平顶柱体的高是不变的，它的体积可用公式 体积=底面积高 上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出 先将区域D分割成n个小区域： 同时也用 (i=1,2,，n）表示第i个小区域的面积以每个小区域的边界线为准线，作母线平行于z轴的柱面，这样就把给定的曲顶柱体分割成了n个小曲顶柱体用 表示第i个小区域内任意两点之间的距离的最大值(也称为第i个小区域的直径)(i=1,2,，n),并记12,niid12max ,nd dd当分割很细密，即时，由于z=f(x,y)是连续变化的，在每个小区域 上，各点高度变化不大，可以近似看作平顶柱体并在

3、中任意取一点 ，把这点的高度 作为这个小平顶柱体的高度，ii( ,)ii ( ,)iif 上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出则第i个小曲顶柱体的体积的近似值为.iiiiVf（ ， ）将n个小平顶柱体的体积相加，得曲顶柱体体积的近似值11( , )nnniiiiiiVV Vf 当分割越来越细，小区域 的直径越来越小，并逐渐收缩成接近一点时，Vn就越来越接近V若令，对Vn取极限，该极限值就是曲顶柱体的体积V，即 i001l i ml i m( , )nniiiiVVf 上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出2. 二重积分的定义二重积分的定义 定义定义设二元函数f(x,y)在有界闭区域D

4、上有界，将D任意划分成n个小区域 并以 和 分别表示第i个小区域的面积和直径，记在每个小区域 上任取一点 （i=1,2,，n），作乘积 (i=1,2,，n)，并作和如果极限 12,niid12max ,nd ddi( ,)iix y( ,)iiif x y01l i m( , )niiiif x y 存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作 ,即( , )diDf x y上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出01( , )dl i m( , )niiiiDf x yf x y 其中f(x,y)叫做被积函数被积函数，x,y称为积分变量积分变量，f(x,y)d称为被积表达

5、式被积表达式，d称为面积元素面积元素，D称为积分区积分区域域而 称为积分和积分和1( , )niiiif x y 注注：(1) 这里积分和的极限存在与区域D分成小区域 的分法和点 的取法无关当f(x,y)在区域D上可积时，常采用特殊的分割方式和取特殊的点来计算二重积分在直角坐标系中，常用分别平行于x轴和y轴的两组直线来分割积分区域D，这样小区域 都是小矩形这时小区域的面积 i( ,)iix yiiiixy，上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出因此面积元素为d=dxdy，在直角坐标系下( , ) d( , ) d dDDf x yf x yx y(2) 可以证明，若f(x,y)在有界闭区域

6、D上连续，则二重积分 一定存在 ( , ) dDf x y(3) 当f(x,y)0且连续时，二重积分 在数值上等于以区域D为底、以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积；当f(x,y)0时，二重积分 表示该柱体体积的相反数；当f(x,y)有正有负时，二重积分( , ) dDf x y( , )dDf x y( , )dDf x y上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出 表示以曲面z=f(x,y)为顶、以D为底的被xOy面分成的上方和下方的曲顶柱体体积的代数和这就是二重积分的几何意义 上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出二二. 二重积分的性质二重积分的性质性质性质1若，为常数，则( , )( , ) d( , ) d( , ) dDDD f x y g x y f x y g x y性质性质2若积分区域D由D1，D2组成(其中D1与D2除边界外无公共点)，则12( , ) d( , ) d( , ) dDDDf x yf x yf x y性质性质3若区域D的面积为,则 d d.Dx y性质性质4如果在区域D上总有f(x,y)g(x,y)，则 ( , ) d( , ) dDDf x yg x y上一页上一页目录目录下一页下一页退退 出出特别有 ( , ) d( , )dDDf x yf x y性质性质5设M,m是函数f(x,y)在闭区域D上