2015-2016年湖南省常德一中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）（解析版）

1、2015-2016学年湖南省常德一中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）己知集合Q=x|2x25x0，xN，且PQ，则满足条件的集合P的个数是（）A3B4C7D82（5分）已知命题p：“xR，x+10”的否定是“xR，x+10”；命题q：函数y=x3是幂函数，下列为真命题的是（）ApqBpqCpDp（q）3（5分）给定函数，y=|x1|，y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）ABCD4（5分）向量=（2，1），=（，1），若与夹角为钝角，则取值范围是（）A（，

2、2）（2，+）B（2，+）C（，+）D（，）5（5分）以椭圆的右焦点F2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，若直线MF1（F1为椭圆左焦点）是圆F2的切线，则椭圆的离心率为（）ABC1D26（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A9B18+9C18+3D9+187（5分）已知0a1，则函数y=a|x|logax|的零点的个数为（）A1B2C3D48（5分）已知点（a，b）在圆x2+y2=1上，则函数f（x）=acos2x+bsinxcosx1的最小正周期和最小值分别为（）ABCD9（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=2xy的最大值为（）A3BC5D

3、610（5分）定义为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”若已知数列an的前n项的“均倒数”为，又bn=，则+=（）ABCD11（5分）函数f（x）=sin（x+）（xR）（0，|）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）ABCD112（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）=f（x）+f（2），且当x0，2时，y=f（x）单调递减，若方程f（x）=m在2，10上有6个实根x1，x2，x3，x4，x5，x6，则x1+x2+x3+x4+x5+x6=（）A6B12C20D24二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知x，求y=4x

4、2+的值域14（5分）A、B、C三点在同一球面上，BAC=135°，BC=2，且球心O到平面ABC的距离为1，则此球O的体积为15（5分）已知A（1，2），B（3，4），C（2，2），D（3，5），则向量在向量上的投影为16（5分）如果直线2axby+14=0（a0，b0）和函数f（x）=mx+1+1（m0，m1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（xa+1）2+（y+b2）2=25的内部或圆上，那么的取值范围三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10分）已知集合A=x|a1x2a+1，B=x|0x1，U=R（1）若a=，求AB；A

5、（UB）；（2）若AB=，求实数a的取值范围18（12分）在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且三角形的面积为S=accosB（1）求角B的大小（2）已知=4，求sinAsinC的值19（12分）已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=14（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足+=an+1（nN*）求数列bn的前n项和Sn20（12分）如图，在三棱锥PABC中，PAAC，PCBC，M为PB的中点，D为AB的中点，且AMB为正三角形（1）求证：BC平面PAC；（2）若BC=4，PB=10，求点B到平面DCM的距离21（12分）已知F1、F

6、2是椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P（1，）在椭圆上，且椭圆的离心率为（）求椭圆的标准方程；（）O是以F1F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与O相切，且与椭圆交于不同的两点A、B当=，且，求AOB面积S的取值范围22（12分）已知函数f（x）=x2+2lnx（）求函数f（x）的最大值；（）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，（i）求实数a的值；（ii）若对于“x1，x2，3，不等式1恒成立，求实数k的取值范围2015-2016学年湖南省常德一中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四

7、个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）（2014海南模拟）己知集合Q=x|2x25x0，xN，且PQ，则满足条件的集合P的个数是（）A3B4C7D8【分析】解出集合Q，再根据PQ，根据子集的性质，求出子集的个数即为集合P的个数；【解答】解：集合Q=x|2x25x0，xN，Q=0，1，2，共有三个元素，PQ，又Q的子集的个数为23=8，P的个数为8，故选D；【点评】此题主要考查集合的包含关系判断及应用，是一道基础题；2（5分）（2015秋天水校级期末）已知命题p：“xR，x+10”的否定是“xR，x+10”；命题q：函数y=x3是幂函数，下列为真命题的是（）ApqBpqCpDp（q）【分

8、析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可【解答】解：命题“xR，x+10”的否定是p：“xR，x+10”，故命题p是假命题；命题q：函数y=x3是幂函数，是真命题，故pq是真命题，故选：B【点评】本题考查了复合命题的判断，考查命题的否定和幂函数的定义，是一道基础题3（5分）（2010北京）给定函数，y=|x1|，y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）ABCD【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；为增函数，为定义域上的减函数，y=|x1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，

9、y=2x+1为增函数【解答】解：是幂函数，其在（0，+）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+）内为减函数，故此项符合要求；中的函数图象是由函数y=x1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意故选B【点评】本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件4（5分）（2016中山市校级模拟）向量=（2，1），=（，1），若与夹角为钝角，则取值范围是（）A（，2）（2，+）B（2，+）C（，+）D（，）【

10、分析】由于与夹角为钝角，可知=210，且与夹角不为平角，解出即可【解答】解：与夹角为钝角，=210，解得，当=2时，与夹角为平角，不符合题意因此（，2）（2，+）故选：A【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题5（5分）（2015秋常德校级月考）以椭圆的右焦点F2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，若直线MF1（F1为椭圆左焦点）是圆F2的切线，则椭圆的离心率为（）ABC1D2【分析】根据题意思可得：点P是切点，因此PF2=c并且PF1PF2，可得PF1F2=30°，可知|PF1|=c根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，可得|PF2|=2ac求得a，

11、由离心率公式即可求得椭圆的离心率【解答】解：设F2为椭圆的右焦点由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，点P是切点，PF2=c，PF1PF2又F1F2=2c，PF1F2=30°，|PF1|=c根据椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2ac2ac=c，即a=c，e=1，故选C【点评】本题考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，勾股定理及离心率公式，考查计算能力，属于中档题6（5分）（2015湖南模拟）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A9B18+9C18+3D9+18【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体

12、是底面为等腰三角形，侧棱PB底面ABC的三棱锥，结合图形，求出它的表面积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面是等腰三角形，侧棱PB底面ABC的三棱锥，如图所示；且AC=6，PB=3；取AC的中点D，连接PD，BD，BDAC，BD=3；SABC=ACBD=×6×3=9，SPAB=SPBC=ABPB=××3=，SPAC=ACPD=×6×=9，该几何体的表面积为S=SABC+SPAD+SPBC+SPAC=9+9=9+18故选：D【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目7

13、（5分）（2012湖南一模）已知0a1，则函数y=a|x|logax|的零点的个数为（）A1B2C3D4【分析】转化为y=a|x|与y=|logax|的图象交点个数，利用数形结合可得结论【解答】解：f（x）=a|x|logax|的实根个数即为y=a|x|与y=|logax|的图象交点个数，由图可得，交点有2个，故f（x）=a|x|logax|的实根个数为2个故选B【点评】本题考查根的个数的应用和数形结合思想的应用数形结合的应用大致分两类：一是以形解数，即借助数的精确性，深刻性来讲述形的某些属性；二是以形辅数，即借助与形的直观性，形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探究解题途径，获得问题结果的

14、重要工具8（5分）（2015郴州模拟）已知点（a，b）在圆x2+y2=1上，则函数f（x）=acos2x+bsinxcosx1的最小正周期和最小值分别为（）ABCD【分析】由点（a，b）在圆x2+y2=1上，得到a2+b2=1，然后利用倍角公式降幂后由两角和的正弦化积，化为y=Asin（x+）+k的形式后可求周期和最值【解答】解：点（a，b）在圆x2+y2=1上，a2+b2=1=1，（tan=）函数的最小正周期为，当sin（2x+）=1时，函数有最小值故选：B【点评】本题考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了形如y=Asin（x+）+k的函数的周期和最值得求法，此类问

15、题解决的方法是先降幂，后化积，是中档题9（5分）（2015安徽四模）已知实数x，y满足，则目标函数z=2xy的最大值为（）A3BC5D6【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数z=2xy对应的直线进行平移，可得当x=2，y=1时，z取得最大值5【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（1，1），B（2，1），C（0.5，0.5）设z=F（x，y）=2xy，将直线l：z=2xy进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值z最大值=F（2，1）=5故选：C【点评】题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2xy的最大值，着重考查了二

16、元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题10（5分）（2015秋重庆校级月考）定义为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”若已知数列an的前n项的“均倒数”为，又bn=，则+=（）ABCD【分析】首先根据信息建立等量关系，进一步求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出结果【解答】解：定义为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”所以：已知数列an的前n项的“均倒数”为，即：=，所以Sn=n（2n+3）则an=SnSn1=4n+1，当n=1时，也成立则an=4n+1由于bn=2n+1，所以=（），则+=（）+（）+（）=（）=故选：A【点评】本题考查的知识要点：信息题型的应用，

17、数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和11（5分）（2015青岛模拟）函数f（x）=sin（x+）（xR）（0，|）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）ABCD1【分析】通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可【解答】解：由图知，T=2×=，=2，因为函数的图象经过（），0=sin（+），所以=，所以故选C【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力12（5分）（2015秋常德校级月考）定义在R上的

18、偶函数f（x）满足f（x+4）=f（x）+f（2），且当x0，2时，y=f（x）单调递减，若方程f（x）=m在2，10上有6个实根x1，x2，x3，x4，x5，x6，则x1+x2+x3+x4+x5+x6=（）A6B12C20D24【分析】确定x=2是函数f（x）的对称轴，周期T=4，结合条件，即可得出结论【解答】解：f（x+4）=f（x）+f（2），令x=2，则f（2+4）=f（2）+f（2），f（2）=2f（2），解得f（2）=0；又f（x+4）=f（x），f（4x）=f（x）=f（x），x=2是函数f（x）的对称轴，周期T=4，又函数f（x）是偶函数，关于y轴对称，因此x=4也是其对称轴，

19、函数f（x）在区间6，8上单调递增当x0，2时，y=f（x）单调递减，f（2）=0，当x0，2）时，f（x）0，不妨取x2=2，则f（x2）=0同理在区间2，0）上只有f（2）=0，取x1=2，满足f（x1）=0可知：x1+x2=2+2=0同理，x3+x4=8，x5+x6=16，x1+x2+x3+x4+x5+x6=24，故选：D【点评】本题综合考查了函数奇偶性、单调性、周期性，考查了推理能力和数形结合能力，属于难题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）（2015秋常德校级月考）已知x，求y=4x2+的值域【分析】变形已知条件，利用基本不等式求解函数的值域即可【解答】解：

20、x，54x0y=4x2+=4x5+3=54x+3，54x+2=2，当且仅当x=1时取得最小值2，54x+3在x=1时，取得最大值：1y=4x2+的值域：（，1【点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查转化思想以及计算能力14（5分）（2015南昌校级二模）A、B、C三点在同一球面上，BAC=135°，BC=2，且球心O到平面ABC的距离为1，则此球O的体积为4【分析】运用正弦定理可得ABC的外接圆的直径2r，再由球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形，即可求得球的半径，再由球的体积公式计算即可得到【解答】解：由于BAC=135°，BC=2，则ABC的外

21、接圆的直径2r=2，即有r=，由于球心O到平面ABC的距离为1，则由勾股定理可得，球的半径R=，即有此球O的体积为V=R3=×（）3=4故答案为：4【点评】本题考查球的体积的求法，主要考查球的截面的性质：球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形，同时考查正弦定理的运用：求三角形的外接圆的直径，属于中档题15（5分）（2014郑州模拟）已知A（1，2），B（3，4），C（2，2），D（3，5），则向量在向量上的投影为【分析】先求得向量的坐标，再求得其数量积和模，然后用投影公式求解【解答】解：根据题意：，=，故答案为：【点评】本题主要考查向量投影的定义，要求熟练应用公式属

22、于基础题16（5分）（2016佛山模拟）如果直线2axby+14=0（a0，b0）和函数f（x）=mx+1+1（m0，m1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（xa+1）2+（y+b2）2=25的内部或圆上，那么的取值范围【分析】求出函数恒过的定点，代入直线方程，及圆的方程，再换元，转化为t的不等式，即可求出的取值范围【解答】解：函数f（x）=mx+1+1的图象恒过点（1，2），代入直线2axby+14=0可得2a2b+14=0，即a+b=7定点始终落在圆（xa+1）2+（y+b2）2=25的内部或圆上，a2+b225设=t，则b=at，代入a+b=7，a=代入a2+b225可得，12t

23、225t+120，故答案为：【点评】本题考查恒过定点问题，考查学生分析解决问题的能力，考查解不等式，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10分）（2014秋蚌山区校级期中）已知集合A=x|a1x2a+1，B=x|0x1，U=R（1）若a=，求AB；A（UB）；（2）若AB=，求实数a的取值范围【分析】（1）把a的值代入A求出解集，找出A与B的交集，求出A与B补集的并集即可；（2）根据A与B的交集为空集，确定出a的范围即可【解答】解：（1）把a=代入得：A=x|x2，B=x|0x1，AB=x|0x1；UB=x|x1或x0，A（UB）=R；

24、（2）A=x|a1x2a+1，B=x|0x1，AB=，2a+10或a11，解得：a或a2【点评】此题考查了交、并、补角的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键18（12分）（2015南昌校级模拟）在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且三角形的面积为S=accosB（1）求角B的大小（2）已知=4，求sinAsinC的值【分析】（1）根据三角形的面积，建立条件关系即可求角B的大小（2）已知=4，根据正弦定理即可求sinAsinC的值【解答】解（1）在三角形ABC中，由已知可得，0B，（2），由正弦定理可得sin2B=3sinAsinC，【点评】本题主要考查三角函数值的计算，

25、根据三角函数的正弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键19（12分）（2015河南二模）已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45，a2+a6=14（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足+=an+1（nN*）求数列bn的前n项和Sn【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差即可求数列an的通项公式；（2）根据数列的递推关系，利用作差法求出数列bn的通项公式，根据等比数列的定义判断数列是等比数列即可得到结论【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，则依题设d0由a2+a6=14，可得a4=7由a3a5=45，得（7d）（7+d）=45，可得d=2即a1=73

26、d=1可得an=1+2（n1）=2n1（2）+=an+1=2n，当n2时，+=2（n1），两式作差得=2，即bn=22n=2n+1，数列bn是首项为4，公比为2的等比数列即数列bn的前n项和Sn=【点评】本题主要考查数列的求和，利用条件利用作差法判断数列bn是等比数列是解决本题的关键20（12分）（2013秋广州期末）如图，在三棱锥PABC中，PAAC，PCBC，M为PB的中点，D为AB的中点，且AMB为正三角形（1）求证：BC平面PAC；（2）若BC=4，PB=10，求点B到平面DCM的距离【分析】（1）要证BC平面PAC，只需证明BC与平面PAC内的两条相交直线PA、PC垂直，利用直线与平

27、面垂直的判定定理证明即可；（2）解法一：通过BC=4，PB=10，利用等体积法VMBCD=VBMCD，即可求解点B到平面DCM的距离解法二：过点B作直线CD的垂线，交CD的延长线于点H，证明BH平面DCM说明BH为点B到平面DCM的距离，一是利用等面积法求解，二是利用解直角三角形求解【解答】（本小题满分14分）（1）证明：在正AMB中，D是AB的中点，MDAB（1分）M是PB的中点，D是AB的中点，MDPA，故PAAB（2分）又PAAC，ABAC=A，AB，AC平面ABC，PA平面ABC（4分）BC平面ABC，PABC（5分）又PCBC，PAPC=P，PA，PC平面PAC，BC平面PAC（7分

28、）（2）解法1：设点B到平面DCM的距离为h，（8分）PB=10，M是PB的中点，MB=5AMB为正三角形，AB=MB=5（9分）BC=4，BCAC，AC=3（10分），由（1）知MDPA，MDDC在ABC中，（11分）VMBCD=VBMCD，（12分），即（13分）故点B到平面DCM的距离为（14分）解法2：过点B作直线CD的垂线，交CD的延长线于点H，（8分）由（1）知，PA平面ABC，MDPA，MD平面ABCBH平面ABC，MDBHCDMD=D，BH平面DCMBH为点B到平面DCM的距离（9分）PB=10，M是PB的中点，MB=5AMB为正三角形，AB=MB=5（10分）D为AB的中点，

29、以下给出两种求BH的方法：方法1：在BCD中，过点D作BC的垂线，垂足为点E，则（11分），（12分）方法2：在RtBHD中， （11分）在RtBHC中，BC=4，BH2+CH2=BC2，即 （12分）由，解得故点B到平面DCM的距离为（14分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判断与证明，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力21（12分）（2015凤凰县校级模拟）已知F1、F2是椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P（1，）在椭圆上，且椭圆的离心率为（）求椭圆的标准方程；（）O是以F1F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与O相切，且与椭圆交于不同的两点A、B当=

30、，且，求AOB面积S的取值范围【分析】（）由点P（1，）在椭圆上，且椭圆的离心率为，求出a，b，即可求出椭圆的标准方程（）由圆O与直线l相切，知=1，联立直线与椭圆，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，由直线l与椭圆交于两个不同点，得到k20，由此能推导出AOB的面积S的取值范围【解答】解：（）点P（1，）在椭圆上，且椭圆的离心率为，=，a=，b=1，椭圆的标准方程为；（）圆O与直线l相切，=1，即m2=k2+1，联立直线与椭圆，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0，直线l与椭圆交于两个不同点，=（4km）24（1+2k2）（2m22）0，k20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，=x1x2+y1y2=，k21，S=SABO=， 设u=k4+k2，则，S=，u，2，S关于u在，2单调递增，S（）=，S（2）=，S【点评】本题考查椭圆方程的求