2015-2016年江苏省常州市高级中学高三（上）阶段调研数学试卷（文科）（二）（解析版）

1、2015-2016学年江苏省常州市高级中学高三（上）阶段调研数学试卷（文科）（二）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1（5分）函数y=的定义域是2（5分）设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=（1i），则复数z的模|z|=3（5分）“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a1）y+7=0平行”的条件（选“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空）4（5分）若样本数据x1，x2，x10的标准差为8，则数据2x11，2x21，2x101的标准差为5（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的值为6（5分）

2、若等差数列an的公差为2，且a1，a2，a4成等比数列，则a1=7（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为8（5分）圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为2的扇形，则圆锥的体积是9（5分）已知sin2xcos2x=2cos（2x）（），则=10（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为11（5分）已知菱形ABCD的边长为2，BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=DF，若=1，则的值为12（5分）

3、如果函数f（x）=（m2）x2+（n8）x+1（m0，n0）在区间上单调递减，则mn的最大值为13（5分）已知函数f（x）=则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是14（5分）已知圆O：x2+y2=4，点M（1，0）圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD，则弦长AC的取值范围二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15（14分）在ABC中，A=，AB=6，AC=3（1）求sin（B+）的值；（2）若点D在BC边上，AD=BD，求AD的长16（14分）在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，DCAB，DC=2，AB=4，BC=2，CBA=30°（1）

4、求证：ACPB；（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM平面PAD，求BM的长17（14分）某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p0，1x16，xN*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围19（16分）平面直角坐标系xO

5、y中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C上一动点P（x0，y0）（y00）的直线l：+=1，过F2与x轴垂直的直线记为l1，右准线记为l2；设直线l与直线l1相交于点M，直线l与直线l2相交于点N，证明恒为定值，并求此定值若连接F1P并延长与直线l2相交于点Q，椭圆C的右顶点A，设直线PA的斜率为k1，直线QA的斜率为k2，求k1k2的取值范围20（16分）设数列an的前n项和Sn0，a1=1，a2=3，且当n2时，anan+1=（an+1an）Sn（1）求证：数列Sn

6、是等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）令bn=，记数列bn的前n项和为Tn设是整数，问是否存在正整数n，使等式Tn+成立？若存在，求出n和相应的值；若不存在，说明理由21（16分）已知a为实常数，函数f（x）=lnxax+1（）讨论函数f（x）的单调性；（）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1x2） （）求实数a的取值范围； （）求证：x11，且x1+x22（注：e为自然对数的底数）2015-2016学年江苏省常州市高级中学高三（上）阶段调研数学试卷（文科）（二）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1（

7、5分）（2016广州模拟）函数y=的定义域是（1，+）【分析】根据二次根式的性质以及父母不为0，得到关于x的不等式，解出即可【解答】解：由题意得：x+10，解得：x1，故函数的定义域是（1，+），故答案为：（1，+）【点评】本题考察了求函数的定义域问题，考察二次根式的性质，是一道基础题2（5分）（2015秋常州校级月考）设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=（1i），则复数z的模|z|=1【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：z（1+i）=（1i），z（1+i）（1i）=（1i）（1i），2z=2i，z=i则复数z的模|z|=1故答案为：1【点评】本题考查了复数的运算

8、法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）（2015秋常州校级月考）“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a1）y+7=0平行”的充分不必要条件（选“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空）【分析】由直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a1）y+7=0平行，可得，解出即可判断出结论【解答】解：由直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a1）y+7=0平行，可得，解得a=3或2“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a1）y+7=0平行”的充分不必要条件故答案为：充分不必要【点评】本题考查了向直线平行的充要条件、方程的解法、简

9、易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（5分）（2015秋常州校级月考）若样本数据x1，x2，x10的标准差为8，则数据2x11，2x21，2x101的标准差为16【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可【解答】解：样本数据x1，x2，x10的标准差为8，=8，即DX=64，数据2x11，2x21，2x101的方差为D（2X1）=4DX=4×64，则对应的标准差为=16，故答案为16【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键5（5分）（2013新余二模）阅读程序框图，运行相应的程

10、序，则输出的值为4【分析】利用循环体，计算每执行一次循环后a的值，即可得出结论【解答】解：第一次循环，i=1，a=2；第二次循环，i=2，a=2×2+1=5；第三次循环，i=3，a=3×5+1=16；第四次循环，i=4，a=4×16+1=6550，退出循环，此时输出的值为4故答案为4：【点评】本题考查循环结构，考查学生的读图能力，解题的关键是读懂循环结构6（5分）（2015徐汇区模拟）若等差数列an的公差为2，且a1，a2，a4成等比数列，则a1=2【分析】把a2，a4用a1和常数表示，再由a1，a2，a4成等比数列列式求得a1【解答】解：等差数列an的公差为2，

11、a2=a1+2，a4=a1+6，又a1，a2，a4成等比数列，解得：a1=2故答案为：2【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题7（5分）（2015秋常州校级月考）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球中有黄球包含的基本事件个数，由此能求出这2只球中有黄球的概率【解答】解：袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n=6，这2只球中有黄球包含的基本事件个数m=5，这2只球中有黄球的概率为p

12、=故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用8（5分）（2014南京模拟）圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为2的扇形，则圆锥的体积是【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，利用圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为2的扇形，列出关系式，即可求出l，r，然后求出圆锥的高，即可求解圆锥的体积【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知=，且2rl=2，解得l=2，r=，所以圆锥高h=1，则体积V=r2h=故答案为：【点评】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算9（5分）（2015秋常州校级月考）已知sin2xcos2x=2cos（2

13、x）（），则=【分析】由条件利用两角和差的余弦公式，诱导公式可得cos（2x）=cos（2x），由此求得的值【解答】解：sin2xcos2x=2cos（2x）（），sin（2x）=cos（2x），即 cos（2x）=cos（2x），=，故答案为：【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题10（5分）（2015秋常州校级月考）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程

14、，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程【解答】解：由题意，=，抛物线y2=4x的准线方程为x=，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，c=，a2+b2=c2=7，a=2，b=，双曲线的方程为故答案为：【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题11（5分）（2014天津）已知菱形ABCD的边长为2，BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=DF，若=1，则的值为2【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论【解答】解：BC=3BE，DC=DF，=，=，=+=+=+，=+=+=+，菱形A

15、BCD的边长为2，BAD=120°，|=|=2，=2×2×cos120°=2，=1，（+）（+）=+（1+）=1，即×4+×42（1+）=1，整理得，解得=2，故答案为：2【点评】本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式12（5分）（2015秋冀州市校级月考）如果函数f（x）=（m2）x2+（n8）x+1（m0，n0）在区间上单调递减，则mn的最大值为18【分析】函数f（x）=（m2）x2+（n8）x+1（m0，n0）在区间，2上单调递减，则f（x）0，即（m2）x+n80在，2上恒成立而y=（m

16、2）x+n8是一次函数，在，2上的图象是一条线段故只须在两个端点处f（）0，f（2）0即可结合基本不等式求出mn的最大值【解答】解：函数f（x）=（m2）x2+（n8）x+1（m0，n0）在区间，2上单调递减，f（x）0，即（m2）x+n80在，2上恒成立而y=（m2）x+n8是一次函数，在，2上的图象是一条线段故只须在两个端点处f（）0，f（2）0即可即，由得m（12n），mnn（12n）=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足和mn的最大值为18故答案为：18【点评】本题综合考查了函数方程的运用，考查导数的运算，体现了数学转化思想方法，是中档题13（5分）（20

17、14天津二模）已知函数f（x）=则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是，）【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围【解答】解：方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，y=，设切点为（x0，y0），k=，切线方程为yy0=（xx0），而切线过原点，y0=1，x0=e，k=，直线l1的斜率为，又直线l2与y=x+1平行，直线l2的斜率为，实数a的取值范围是，）故答案为：，）【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，考

18、查函数与方程的关系，是易错题14（5分）（2015秋常州校级月考）已知圆O：x2+y2=4，点M（1，0）圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD，则弦长AC的取值范围1，+1【分析】根据题意，求出AC的中点的轨迹方程，求出AC的最大值与最小值，即可得出它的取值范围【解答】解：设AC的中点为P（x，y），则OPAC，|PA|=|PM|=，=，|PM|max=，|PM|min=，|AC|max=+1，|AC|min=1，故答案为：1，+1【点评】本题考查了弦长AC的取值范围，也考查了数形结合的应用问题，是综合性题目二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15（14分）（2015秋常

19、州校级月考）在ABC中，A=，AB=6，AC=3（1）求sin（B+）的值；（2）若点D在BC边上，AD=BD，求AD的长【分析】（1）利用余弦定理及其推论，求出BC，cosB，再由同角三角函数基本关系公式，求出sinB，结合两角和的正弦公式，可得答案；（2）过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cosDAE=cosB，即可求得AD的长【解答】解：（1）在ABC中，A=，AB=6，AC=3由余弦定理得：BC=3，故cosB=，则sinB=，故sin（B+）=（+）=；（2）过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cosDAE=cosB，RtADE中，AD=【点评】本题主要

20、考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查16（14分）（2015秋常州校级月考）在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，DCAB，DC=2，AB=4，BC=2，CBA=30°（1）求证：ACPB；（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM平面PAD，求BM的长【分析】（1）推导出PCAC，AC=2，从而ACBC，进而AC平面PBC，由此能证明ACPB（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BM的值【解答】证明：（1）PC平面ABCD，PCAC，又CBA=30°，BC=2，AB=4，AC=，AC2+BC

21、2=4+12=16=AB2，ACB=90°，故ACBC又PC、BC是平面PBC内的两条相交直线，AC平面PBC，ACPB 7分解：（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，2，0），A（2，0，0），P（0，0，2），D（1，0），设M（0，b，c），（01），即（0，b，c2）=（0，2，2），b=2，c=22M（0，2，22），=（0，2，22），设平面PAD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1）CM平面PAD，=2+22=0，解得=，M（0，1），BM=2.14分【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线段长的求法，是中档题，

22、解题时要认真审题，注意向量法的合理运用17（14分）（2015闵行区二模）某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p0，1x16，xN*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围【分析】（1）利用前4个月，区域外的需求量为20万吨，

23、求出p，可得y=10（1x16，xN*），即可求出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）由题意0mxx10+1030（1x16，xN*），分离参数求最值，即可得出结论【解答】解：（1）由题意，20=，2p=100，y=10（1x16，xN*），油库内储油量M=mxx10+10（1x16，xN*）；（2）0M30，0mxx10+1030（1x16，xN*），（1x16，xN*）恒成立；设=t，则t1，由（x=4时取等号），可得m，由20t2+10t+1=（x16时取等号），可得m，m【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值，确定函数解析式，正确分离参数

24、求最值是关键19（16分）（2015秋常州校级月考）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C上一动点P（x0，y0）（y00）的直线l：+=1，过F2与x轴垂直的直线记为l1，右准线记为l2；设直线l与直线l1相交于点M，直线l与直线l2相交于点N，证明恒为定值，并求此定值若连接F1P并延长与直线l2相交于点Q，椭圆C的右顶点A，设直线PA的斜率为k1，直线QA的斜率为k2，求k1k2的取值范围【分析】（1）以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1

25、为半径的圆相交，且交点E在椭圆C上可得|EF1|+|EF2|=3+1=2a，解得a=2又e=，a2=b2+c2，解得c，b2，即可得到椭圆C的方程；（2）直线l1：x=1，直线l2：x=4把x=1代入直线1，解得y，可得M坐标同理可得N坐标又=，利用两点之间的距离公式可得=为定值由由，解得=直线l1的方程为：x=1；直线l2的方程为：x=4直线PF1的方程为：y0=（x+1），由于1x02，可得（，+），即可得出k1k2，利用函数的性质即可得出【解答】解：（1）由题意知2a=4，则a=2，由e=，求得c=1，b2=a2c2=3椭圆C的标准方程为；（2）证明：直线l1：x=1，直线l2：x=4把

26、x=1代入直线1：+=1，解得y=，M，把x=4代入直线1：+=1方程，解得y=，N，由，解得=3（1）（2x02），x01直线l1的方程为：x=1；直线l2的方程为：x=4直线PF1的方程为：y0=（x+1），令x=4，可得yQ点Q，k2=，k1k2= 点P在椭圆C上，k1k2= 1x02，（，+），k1k2k1k2的取值范围是k1k2（，）【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的方程、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题20（16分）（2015淮阴区校级模拟）设数列an的前n项和Sn0，a1=1，a2=3，且当n2时，anan+1=

27、（an+1an）Sn（1）求证：数列Sn是等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）令bn=，记数列bn的前n项和为Tn设是整数，问是否存在正整数n，使等式Tn+成立？若存在，求出n和相应的值；若不存在，说明理由【分析】（1）通过当n2时，an=SnSn1，an+1=Sn+1Sn，代入anan+1=（an+1an）Sn，通过S1=1，S2=4，S3=16，满足，而Sn恒为正值，即可证明数列Sn是等比数列；（2）利用（1）求出Sn，然后求数列an的通项公式；（3）化简bn=，利用裂项法求出数列bn的前n项和为Tn通过n=1，推出不是整数，不符合题意，n2，是整数，从而=4是整数符合题意然后得到

28、结论【解答】解：（1）当n2时，an=SnSn1，an+1=Sn+1Sn，代入anan+1=（an+1an）Sn并化简得（n3），（4分）anan+1=（an+1an）Sn，又由a1=1，a2=3得S2=4，代入a2a3=（a3a2）S2可解得a3=12，S1=1，S2=4，S3=16，也满足，而Sn恒为正值，数列Sn是等比数列（6分）（2）由（1）知当n2时，又a1=S1=1，（8分）（3）当n2时，此时=，又（10分）故，当n2时，=，（12分）若n=1，则等式为，不是整数，不符合题意；（14分）若n2，则等式为，是整数，4n1+1必是5的因数，n2时4n1+15当且仅当n=2时，是整数，从而=4是整数符合题意综上可知，当=4时，存在正整数n=2，使等式成立，当4，Z时，不存在正整数n使等式成立（16分）【点评】本题考查数列求和，数列的递推关系式的应用，函数的思想的应用，考查分析问题解决问题的能力21（16分）（2014石家庄模拟）已知a为实常数，函数f（x）=lnxax+1（）讨论函数f（x）的单调性；（）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1x2） （）求实数a的取值范围； （）求证：x11，且x1+x22（注：e为自然对数的底数）【分析】（）写出函数f（x）的定义域，求出f'（x），分a0，a0两种情况