2015-2016年江苏省常州市高级中学高三(上)阶段调研数学试卷(文科)(二)(解析版)_第1页
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文档简介

1、2015-2016学年江苏省常州市高级中学高三(上)阶段调研数学试卷(文科)(二)一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上)1(5分)函数y=的定义域是2(5分)设i是虚数单位,若复数z满足z(1+i)=(1i),则复数z的模|z|=3(5分)“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a1)y+7=0平行”的条件(选“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)4(5分)若样本数据x1,x2,x10的标准差为8,则数据2x11,2x21,2x101的标准差为5(5分)阅读程序框图,运行相应的程序,则输出的值为6(5分)

2、若等差数列an的公差为2,且a1,a2,a4成等比数列,则a1=7(5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球中有黄球的概率为8(5分)圆锥的侧面展开图是圆心角为,面积为2的扇形,则圆锥的体积是9(5分)已知sin2xcos2x=2cos(2x)(),则=10(5分)已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为11(5分)已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=DF,若=1,则的值为12(5分)

3、如果函数f(x)=(m2)x2+(n8)x+1(m0,n0)在区间上单调递减,则mn的最大值为13(5分)已知函数f(x)=则方程f(x)=ax恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是14(5分)已知圆O:x2+y2=4,点M(1,0)圆内定点,过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD,则弦长AC的取值范围二、解答题(本大题共6小题,共计90分)15(14分)在ABC中,A=,AB=6,AC=3(1)求sin(B+)的值;(2)若点D在BC边上,AD=BD,求AD的长16(14分)在四棱锥PABCD中,PC平面ABCD,DCAB,DC=2,AB=4,BC=2,CBA=30°(1)

4、求证:ACPB;(2)若PC=2,点M是棱PB上的点,且CM平面PAD,求BM的长17(14分)某油库的设计容量是30万吨,年初储量为10万吨,从年初起计划每月购进石油m万吨,以满足区域内和区域外的需求,若区域内每月用石油1万吨,区域外前x个月的需求量y(万吨)与x的函数关系为y=(p0,1x16,xN*),并且前4个月,区域外的需求量为20万吨(1)试写出第x个月石油调出后,油库内储油量M(万吨)与x的函数关系式;(2)要使16个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且每月石油调出后,油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定m的取值范围19(16分)平面直角坐标系xO

5、y中,已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C上一动点P(x0,y0)(y00)的直线l:+=1,过F2与x轴垂直的直线记为l1,右准线记为l2;设直线l与直线l1相交于点M,直线l与直线l2相交于点N,证明恒为定值,并求此定值若连接F1P并延长与直线l2相交于点Q,椭圆C的右顶点A,设直线PA的斜率为k1,直线QA的斜率为k2,求k1k2的取值范围20(16分)设数列an的前n项和Sn0,a1=1,a2=3,且当n2时,anan+1=(an+1an)Sn(1)求证:数列Sn

6、是等比数列;(2)求数列an的通项公式;(3)令bn=,记数列bn的前n项和为Tn设是整数,问是否存在正整数n,使等式Tn+成立?若存在,求出n和相应的值;若不存在,说明理由21(16分)已知a为实常数,函数f(x)=lnxax+1()讨论函数f(x)的单调性;()若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2(x1x2) ()求实数a的取值范围; ()求证:x11,且x1+x22(注:e为自然对数的底数)2015-2016学年江苏省常州市高级中学高三(上)阶段调研数学试卷(文科)(二)参考答案与试题解析一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上)1(

7、5分)(2016广州模拟)函数y=的定义域是(1,+)【分析】根据二次根式的性质以及父母不为0,得到关于x的不等式,解出即可【解答】解:由题意得:x+10,解得:x1,故函数的定义域是(1,+),故答案为:(1,+)【点评】本题考察了求函数的定义域问题,考察二次根式的性质,是一道基础题2(5分)(2015秋常州校级月考)设i是虚数单位,若复数z满足z(1+i)=(1i),则复数z的模|z|=1【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解:z(1+i)=(1i),z(1+i)(1i)=(1i)(1i),2z=2i,z=i则复数z的模|z|=1故答案为:1【点评】本题考查了复数的运算

8、法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题3(5分)(2015秋常州校级月考)“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a1)y+7=0平行”的充分不必要条件(选“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)【分析】由直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a1)y+7=0平行,可得,解出即可判断出结论【解答】解:由直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a1)y+7=0平行,可得,解得a=3或2“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a1)y+7=0平行”的充分不必要条件故答案为:充分不必要【点评】本题考查了向直线平行的充要条件、方程的解法、简

9、易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题4(5分)(2015秋常州校级月考)若样本数据x1,x2,x10的标准差为8,则数据2x11,2x21,2x101的标准差为16【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差,然后结合变量之间的方差关系进行求解即可【解答】解:样本数据x1,x2,x10的标准差为8,=8,即DX=64,数据2x11,2x21,2x101的方差为D(2X1)=4DX=4×64,则对应的标准差为=16,故答案为16【点评】本题主要考查方差和标准差的计算,根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键5(5分)(2013新余二模)阅读程序框图,运行相应的程

10、序,则输出的值为4【分析】利用循环体,计算每执行一次循环后a的值,即可得出结论【解答】解:第一次循环,i=1,a=2;第二次循环,i=2,a=2×2+1=5;第三次循环,i=3,a=3×5+1=16;第四次循环,i=4,a=4×16+1=6550,退出循环,此时输出的值为4故答案为4:【点评】本题考查循环结构,考查学生的读图能力,解题的关键是读懂循环结构6(5分)(2015徐汇区模拟)若等差数列an的公差为2,且a1,a2,a4成等比数列,则a1=2【分析】把a2,a4用a1和常数表示,再由a1,a2,a4成等比数列列式求得a1【解答】解:等差数列an的公差为2,

11、a2=a1+2,a4=a1+6,又a1,a2,a4成等比数列,解得:a1=2故答案为:2【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了等比数列的性质,是基础题7(5分)(2015秋常州校级月考)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球中有黄球的概率为【分析】先求出基本事件总数,再求出这2只球中有黄球包含的基本事件个数,由此能求出这2只球中有黄球的概率【解答】解:袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,基本事件总数n=6,这2只球中有黄球包含的基本事件个数m=5,这2只球中有黄球的概率为p

12、=故答案为:【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用8(5分)(2014南京模拟)圆锥的侧面展开图是圆心角为,面积为2的扇形,则圆锥的体积是【分析】设圆锥的底面半径为r,母线长为l,利用圆锥的侧面展开图是圆心角为,面积为2的扇形,列出关系式,即可求出l,r,然后求出圆锥的高,即可求解圆锥的体积【解答】解:设圆锥的底面半径为r,母线长为l,由题意知=,且2rl=2,解得l=2,r=,所以圆锥高h=1,则体积V=r2h=故答案为:【点评】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算9(5分)(2015秋常州校级月考)已知sin2xcos2x=2cos(2

13、x)(),则=【分析】由条件利用两角和差的余弦公式,诱导公式可得cos(2x)=cos(2x),由此求得的值【解答】解:sin2xcos2x=2cos(2x)(),sin(2x)=cos(2x),即 cos(2x)=cos(2x),=,故答案为:【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式,诱导公式的应用,属于基础题10(5分)(2015秋常州校级月考)已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程,从而可得双曲线的左焦点,再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程,得a、b的另一个方程

14、,求出a、b,即可得到双曲线的标准方程【解答】解:由题意,=,抛物线y2=4x的准线方程为x=,双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,c=,a2+b2=c2=7,a=2,b=,双曲线的方程为故答案为:【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题11(5分)(2014天津)已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=DF,若=1,则的值为2【分析】根据向量的基本定理,结合数量积的运算公式,建立方程即可得到结论【解答】解:BC=3BE,DC=DF,=,=,=+=+=+,=+=+=+,菱形A

15、BCD的边长为2,BAD=120°,|=|=2,=2×2×cos120°=2,=1,(+)(+)=+(1+)=1,即×4+×42(1+)=1,整理得,解得=2,故答案为:2【点评】本题主要考查向量的基本定理的应用,以及数量积的计算,要求熟练掌握相应的计算公式12(5分)(2015秋冀州市校级月考)如果函数f(x)=(m2)x2+(n8)x+1(m0,n0)在区间上单调递减,则mn的最大值为18【分析】函数f(x)=(m2)x2+(n8)x+1(m0,n0)在区间,2上单调递减,则f(x)0,即(m2)x+n80在,2上恒成立而y=(m

16、2)x+n8是一次函数,在,2上的图象是一条线段故只须在两个端点处f()0,f(2)0即可结合基本不等式求出mn的最大值【解答】解:函数f(x)=(m2)x2+(n8)x+1(m0,n0)在区间,2上单调递减,f(x)0,即(m2)x+n80在,2上恒成立而y=(m2)x+n8是一次函数,在,2上的图象是一条线段故只须在两个端点处f()0,f(2)0即可即,由得m(12n),mnn(12n)=18,当且仅当m=3,n=6时取得最大值,经检验m=3,n=6满足和mn的最大值为18故答案为:18【点评】本题综合考查了函数方程的运用,考查导数的运算,体现了数学转化思想方法,是中档题13(5分)(20

17、14天津二模)已知函数f(x)=则方程f(x)=ax恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是,)【分析】由题意,方程f(x)=ax恰有两个不同实数根,等价于y=f(x)与y=ax有2个交点,又a表示直线y=ax的斜率,求出a的取值范围【解答】解:方程f(x)=ax恰有两个不同实数根,y=f(x)与y=ax有2个交点,又a表示直线y=ax的斜率,y=,设切点为(x0,y0),k=,切线方程为yy0=(xx0),而切线过原点,y0=1,x0=e,k=,直线l1的斜率为,又直线l2与y=x+1平行,直线l2的斜率为,实数a的取值范围是,)故答案为:,)【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题,考

18、查函数与方程的关系,是易错题14(5分)(2015秋常州校级月考)已知圆O:x2+y2=4,点M(1,0)圆内定点,过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD,则弦长AC的取值范围1,+1【分析】根据题意,求出AC的中点的轨迹方程,求出AC的最大值与最小值,即可得出它的取值范围【解答】解:设AC的中点为P(x,y),则OPAC,|PA|=|PM|=,=,|PM|max=,|PM|min=,|AC|max=+1,|AC|min=1,故答案为:1,+1【点评】本题考查了弦长AC的取值范围,也考查了数形结合的应用问题,是综合性题目二、解答题(本大题共6小题,共计90分)15(14分)(2015秋常

19、州校级月考)在ABC中,A=,AB=6,AC=3(1)求sin(B+)的值;(2)若点D在BC边上,AD=BD,求AD的长【分析】(1)利用余弦定理及其推论,求出BC,cosB,再由同角三角函数基本关系公式,求出sinB,结合两角和的正弦公式,可得答案;(2)过点D作AB的垂线DE,垂足为E,由AD=BD得:cosDAE=cosB,即可求得AD的长【解答】解:(1)在ABC中,A=,AB=6,AC=3由余弦定理得:BC=3,故cosB=,则sinB=,故sin(B+)=(+)=;(2)过点D作AB的垂线DE,垂足为E,由AD=BD得:cosDAE=cosB,RtADE中,AD=【点评】本题主要

20、考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,属于基本知识的考查16(14分)(2015秋常州校级月考)在四棱锥PABCD中,PC平面ABCD,DCAB,DC=2,AB=4,BC=2,CBA=30°(1)求证:ACPB;(2)若PC=2,点M是棱PB上的点,且CM平面PAD,求BM的长【分析】(1)推导出PCAC,AC=2,从而ACBC,进而AC平面PBC,由此能证明ACPB(2)以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,CP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出BM的值【解答】证明:(1)PC平面ABCD,PCAC,又CBA=30°,BC=2,AB=4,AC=,AC2+BC

21、2=4+12=16=AB2,ACB=90°,故ACBC又PC、BC是平面PBC内的两条相交直线,AC平面PBC,ACPB 7分解:(2)以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,CP为z轴,建立空间直角坐标系,B(0,2,0),A(2,0,0),P(0,0,2),D(1,0),设M(0,b,c),(01),即(0,b,c2)=(0,2,2),b=2,c=22M(0,2,22),=(0,2,22),设平面PAD的法向量=(x,y,z),则,取x=1,得=(1,1)CM平面PAD,=2+22=0,解得=,M(0,1),BM=2.14分【点评】本题考查线线垂直的证明,考查线段长的求法,是中档题,

22、解题时要认真审题,注意向量法的合理运用17(14分)(2015闵行区二模)某油库的设计容量是30万吨,年初储量为10万吨,从年初起计划每月购进石油m万吨,以满足区域内和区域外的需求,若区域内每月用石油1万吨,区域外前x个月的需求量y(万吨)与x的函数关系为y=(p0,1x16,xN*),并且前4个月,区域外的需求量为20万吨(1)试写出第x个月石油调出后,油库内储油量M(万吨)与x的函数关系式;(2)要使16个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且每月石油调出后,油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定m的取值范围【分析】(1)利用前4个月,区域外的需求量为20万吨,

23、求出p,可得y=10(1x16,xN*),即可求出第x个月石油调出后,油库内储油量M(万吨)与x的函数关系式;(2)由题意0mxx10+1030(1x16,xN*),分离参数求最值,即可得出结论【解答】解:(1)由题意,20=,2p=100,y=10(1x16,xN*),油库内储油量M=mxx10+10(1x16,xN*);(2)0M30,0mxx10+1030(1x16,xN*),(1x16,xN*)恒成立;设=t,则t1,由(x=4时取等号),可得m,由20t2+10t+1=(x16时取等号),可得m,m【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查函数的最值,确定函数解析式,正确分离参数

24、求最值是关键19(16分)(2015秋常州校级月考)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C上一动点P(x0,y0)(y00)的直线l:+=1,过F2与x轴垂直的直线记为l1,右准线记为l2;设直线l与直线l1相交于点M,直线l与直线l2相交于点N,证明恒为定值,并求此定值若连接F1P并延长与直线l2相交于点Q,椭圆C的右顶点A,设直线PA的斜率为k1,直线QA的斜率为k2,求k1k2的取值范围【分析】(1)以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1

25、为半径的圆相交,且交点E在椭圆C上可得|EF1|+|EF2|=3+1=2a,解得a=2又e=,a2=b2+c2,解得c,b2,即可得到椭圆C的方程;(2)直线l1:x=1,直线l2:x=4把x=1代入直线1,解得y,可得M坐标同理可得N坐标又=,利用两点之间的距离公式可得=为定值由由,解得=直线l1的方程为:x=1;直线l2的方程为:x=4直线PF1的方程为:y0=(x+1),由于1x02,可得(,+),即可得出k1k2,利用函数的性质即可得出【解答】解:(1)由题意知2a=4,则a=2,由e=,求得c=1,b2=a2c2=3椭圆C的标准方程为;(2)证明:直线l1:x=1,直线l2:x=4把

26、x=1代入直线1:+=1,解得y=,M,把x=4代入直线1:+=1方程,解得y=,N,由,解得=3(1)(2x02),x01直线l1的方程为:x=1;直线l2的方程为:x=4直线PF1的方程为:y0=(x+1),令x=4,可得yQ点Q,k2=,k1k2= 点P在椭圆C上,k1k2= 1x02,(,+),k1k2k1k2的取值范围是k1k2(,)【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的方程、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题20(16分)(2015淮阴区校级模拟)设数列an的前n项和Sn0,a1=1,a2=3,且当n2时,anan+1=

27、(an+1an)Sn(1)求证:数列Sn是等比数列;(2)求数列an的通项公式;(3)令bn=,记数列bn的前n项和为Tn设是整数,问是否存在正整数n,使等式Tn+成立?若存在,求出n和相应的值;若不存在,说明理由【分析】(1)通过当n2时,an=SnSn1,an+1=Sn+1Sn,代入anan+1=(an+1an)Sn,通过S1=1,S2=4,S3=16,满足,而Sn恒为正值,即可证明数列Sn是等比数列;(2)利用(1)求出Sn,然后求数列an的通项公式;(3)化简bn=,利用裂项法求出数列bn的前n项和为Tn通过n=1,推出不是整数,不符合题意,n2,是整数,从而=4是整数符合题意然后得到

28、结论【解答】解:(1)当n2时,an=SnSn1,an+1=Sn+1Sn,代入anan+1=(an+1an)Sn并化简得(n3),(4分)anan+1=(an+1an)Sn,又由a1=1,a2=3得S2=4,代入a2a3=(a3a2)S2可解得a3=12,S1=1,S2=4,S3=16,也满足,而Sn恒为正值,数列Sn是等比数列(6分)(2)由(1)知当n2时,又a1=S1=1,(8分)(3)当n2时,此时=,又(10分)故,当n2时,=,(12分)若n=1,则等式为,不是整数,不符合题意;(14分)若n2,则等式为,是整数,4n1+1必是5的因数,n2时4n1+15当且仅当n=2时,是整数,从而=4是整数符合题意综上可知,当=4时,存在正整数n=2,使等式成立,当4,Z时,不存在正整数n使等式成立(16分)【点评】本题考查数列求和,数列的递推关系式的应用,函数的思想的应用,考查分析问题解决问题的能力21(16分)(2014石家庄模拟)已知a为实常数,函数f(x)=lnxax+1()讨论函数f(x)的单调性;()若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2(x1x2) ()求实数a的取值范围; ()求证:x11,且x1+x22(注:e为自然对数的底数)【分析】()写出函数f(x)的定义域,求出f'(x),分a0,a0两种情况

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