从双基到四基从两能到四能

1、从双基到四基从两能到四能第一页，共19页。一、传统与未来一、传统与未来 数学课标：双基 四基、两能 四能 基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验 分析问题、解决问题 + 发现问题、提出问题知识为本：单纯的双基（99年大纲）、专门人才育人为本：学生成长、认知规律 如何教如何学(有效教学、有效学习）； 有效 + 兴趣 减负第二页，共19页。创新：基础知识 + 创新思维 + 创新经验。 思维方法和经验：培养学科直观。 结果是看出来的。 思维方法的教育：数学思想 + 思维经验。第三页，共19页。二、基本活动经验二、基本活动经验 会想问题：不是教出来的、是自己悟出来的； 悟的方法就是自己思考、积

2、累经验。物价调查：物价调查： 会整体规划、 会把问题化简、 会抽象出问题的本质、 会归纳出规律性的东西、 会逻辑地表达自己的思考。第四页，共19页。三、数学的基本思想三、数学的基本思想 不是指数学思想方法：等量替换、数形结合、分类、递归、转换；配方法、换元法、加强不等式。 数学产生与发展所依赖的思想 学习数学以后具有的思维能力抽象抽象：把与数学有关的知识引入数学内部；抽象能力强推理推理：促进数学内部的发展；推理能力强模型模型：沟通数学与外部世界的桥梁；应用能力强第五页，共19页。抽象抽象：数量与数量关系的抽象；图形与图形关系的抽象。得到：得到：研究问题的对象概念对象概念和对象之间的关系概念关系

3、概念； 运算方法运算方法和运算之间的运算法则运算法则。亚里士多德： 数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些感性的东西。对于数学而言，线、角、或者其他的量的定义，不是作为存在而是作为关系。引出抽象的两个层次两个层次：直观描述，符号表达。第六页，共19页。数量的第一步抽象数量的第一步抽象 数量 数。 2匹马、2头牛 2。 数量的本质多与少 数的本质大与小 自然数：10个符号 + 位数 加法：加一、万的产生 加法 四则运算； 逆运算 数域扩充； 自然数 整数、有理数、实数。第七页，共19页。数量的第二步数量的第二步抽象抽象 符号意识：符号可以代表数、关系、规律、逻辑 符号可以进行计算和论证

4、（方程） 通过符号得到的结论具有一般性（交换律） 具体 一般 凡是具体的都会存在反例（函数变量说） 凡是一般的都会存在概念（函数对应说）第八页，共19页。解释微积分 定义极限运算 定义实数 定义无理数 重新定义有理数 有理数：分数形式 小数形式：有限 + 无限循环 无理数：无限不循环小数 实数 有理数 + 无理数 运算：23 = 23 ？ 性质：连续 ？实数的加法：两个实数相加，如果符号相同，取相同的符号，和为两个实数绝对值的和；如果符号不同，取绝对值大的符号，和为大的绝对值减小的绝对值。 第九页，共19页。图形的第一次抽象图形的第一次抽象 欧几里得几何原本描述定义：点、线、面、角 关系术语：

5、相交、平行、垂直、全等 度量定义：长度、面积、体积、边角关系(三角函数、巴比伦)带来的问题 点：两条直线交于一点？ 平行：两条永远不相交的直线？ 全等：两个图形重合？修改平行：过直线外一点可以有一条（欧几里得几何） 无数（罗巴契夫几何） 没有（黎曼几何）第十页，共19页。Aaab赤道ONN北极出地与纬度之间的关系 第十一页，共19页。图形的第二次抽象图形的第二次抽象 希尔伯特几何基础：桌子、椅子、啤酒杯 符号定义：A，a，五组公理五组公理：两点决定一条直线； 三点决定一个平面。本质是维数本质是维数：0维点；1维线；2维面；3维体。 高维看低维：直线、平面。第十二页，共19页。推理推理：一种思维

6、过程思维：形象思维、逻辑思维逻辑思维、辩证思维命题：可以进行判断的话语推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程命题 + 判断的四种形式：是是、是否、非是、非否逻辑推理：命题主词的内涵之间具有传递性 有逻辑：凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。 无逻辑：苹果是酸的，酸是一种味道。所以苹果是一种味道。第十三页，共19页。逻辑推理逻辑推理 = = 演绎推理演绎推理 + + 归纳推理归纳推理演绎推理演绎推理：从大到小，一般到特殊，结果必然； 已知 A 求证 B：不能发现新东西。归纳推理归纳推理：从小到大，特殊到一般，结果或然； 已知 a 推断 A：归纳（代数）； 已知 A 推断 A+B：类

7、比（几何）。第十四页，共19页。归纳教学的例子：尝试。为得到公式 a2 b2 = (a-b)(a+b)首先进行化简，令 b=1。变化 a 可以得到： 22 1 = 4 - 1 = 3 32 1 = 9 - 1 = 8 42 1 = 16 - 1 = 15 52 1 = 25 - 1 = 24 62 1 = 36 - 1 = 35因为 8 = 24，15 = 35，24 = 46 ，35 = 57， 可以想到 a21 = (a-1)(a+1)，然后考虑一般的 b。 从自然数的前 n 项和公式出发，得到平方和、立方和公式。第十五页，共19页。模型模型：构建数学与外部世界的桥梁。数学的应用叙述的是一

8、个用数学语言表达的实际故事。方程、不等式、函数、递推(时间序列)等是语言工具。比如，方程叙述的是量相等的故事。距离=速度时间 用数学语言定义概念。 F=maF=ma 桥梁双方：数学 + 现实。流行病模型，投入产出模型各种场合：参数 + 约束。自由落体模型中的重力加速度第十六页，共19页。四四. . 统计基本思想统计基本思想 统计学与数学有所不同。 立论基础 数学：公理、假设； 统计：数据、模型。 推理方法 数学：演绎推理； 统计：归纳推理。 判断准则 数学：对与错； 统计：好与坏。第十七页，共19页。 一个袋子里有5个球，其中有4个白球和1个红球，让学生有放回地摸球。 概率：概率：验证出现白球的可能性4/54/5。不可操作 统计：统计：不告诉学生背景，预测 1.白球多还是红球多？ 2.比例大概是多少？ 7/10,9/10，80%需要20次，90%需要60次。 3.如果有5个球，白球有多少？ 估计的好坏与样本量有关，与方法有关。第十八页，共19页。因此，可以认为： 统计学是一门收集和分析数据的科学与艺术。统计学是一门收集和分析数据的科学与艺术。 科学科学：基础是假说。验证与时间、地点、个性