傅立叶变换的基本性质

1、1三、傅立叶变换的基本性质三、傅立叶变换的基本性质n线性线性n奇偶性奇偶性n对偶性对偶性n尺度变换特性尺度变换特性n时移特性时移特性n频移特性频移特性n微分特性微分特性n积分特性积分特性n帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理n卷积定理卷积定理21、线性（叠加性）、线性（叠加性）若则 )()()()(2211XtxXtx)()()()(22112211XaXatxatxa3求：求：x(t)的傅立叶变换的傅立叶变换( )x t2212t22( ) ()() ()()x tu tu tu tu t()(/ 2)2()XSaSa242、 奇偶性奇偶性无论x(t)是实函数还是复函数，均成立*( )()F x tX

2、( )( )F x tX时域共轭频域共轭并且反摺5证明：由傅立叶变换定义式证明：由傅立叶变换定义式dtetxXtj)()(dtetxdtetxXtjtj)()()(*取共轭取共轭*()( )( )j tXx t edtF x t以以代替代替6讨论：若讨论：若x(t)是实函数是实函数( )( )cos( )sinXx ttdtjx ttdt)(R( )I)()(RR*()( )XX 偶函数 奇函数实函数傅立叶变换幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数实函数傅立叶变换幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数( )()II 22arctanXRIIR 7实偶函数的傅立叶变换仍为实偶函数( )()tx tet 222(

3、)X0)( x(t)( )X0t08实奇函数的傅立叶变换则为虚奇函数(0)( )(0)atatetx tet222()jX)0(2)0(2)( x(t)0222()X22( )X( )Xjt93、对偶性、对偶性n若若 则则证明：由傅立叶反变换式证明：由傅立叶反变换式 Xtx)( )(2xtXdeXtxtj)(21)(deXtxtj)(21)(dtetXxtj)(21)(自变量自变量t变成变成t将将t和和互换互换)(2)(xdtetXtj为X（t）的傅立叶变换10直流和冲激函数的频谱的对称性)(2)(t111()xt( )X( )Xtt11( )x t( )X2222( )x t( )Xc2c2

4、2c2ctt12c1000012( )atx te傅立叶变换1( )Xaj11( )?XFajt对偶性1( )2()2aXxe t 换成0, 1tax 换成1F 换成t1X134、尺度变换特性、尺度变换特性n若n则 Xtx)(aXaatx1)(根据傅立叶变换定义式证明14时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩） x(t/2)0t2(2 )X20(2 )xt04/4/t12()2X244压缩扩展110155、时移特性、时移特性若 则证明：根据傅立叶变换定义式求证。 Xtx)( Xettxtj0)(0在时域：信号沿时间在时域：信号沿时间轴平移轴平移t

5、0,等效于在等效于在频域中幅度频谱不变，频域中幅度频谱不变，而相位谱产生了附加而相位谱产生了附加的相位变化的相位变化16带有尺度变换的时移特性带有尺度变换的时移特性001()()tjaFx attXeaa17例：求三脉冲信号的频谱例：求三脉冲信号的频谱单矩形脉冲 的频谱为有如下三脉冲信号其频谱为)(0tf)2()(0SaEF)()()()(000TtfTtftftf)cos21)(2()cos21)()1)()(00TSaETFeeFFTjTj18E22E3T2T222)(0F)(Ft196、频移特性、频移特性n若n则n证明n同理000 ( )( )()jtjtjtF x t ex t eed

6、tX 00 ( )()jtF x t eX Xtx)(00)(Xetxtj在时域将信号在时域将信号x(t)乘以因子乘以因子 ，对应于在频域将原信号的频谱右移对应于在频域将原信号的频谱右移0，即往高频段平移，实行频谱的，即往高频段平移，实行频谱的搬移。搬移。 tje020调幅信号的频谱（调制技术）调幅信号的频谱（调制技术）)(21cos000tjtjeet0001 ( )cos()()2F x ttXX)(21sin000tjtjeejt0001 ( )sin()()2F x ttXXj求：求：0( )cosx tt的频谱？的频谱？将调制信号将调制信号x(t)乘以正乘以正弦或余弦信号，在时弦或余

7、弦信号，在时域由信号域由信号x(t)改变正弦改变正弦或余弦信号的幅度，或余弦信号的幅度，在频域则是使在频域则是使x(t)频谱频谱右移，将发送信号的右移，将发送信号的频谱搬移到适合信道频谱搬移到适合信道传输的较高频率范围，传输的较高频率范围，频移特性也称为调制频移特性也称为调制特性。特性。 21)(21cos000tjtjeet( )x ttje021( )x ttje021频谱右移01()2X频谱左移01()2X001()()2XX 载波频率 0220( ) cosF x tt00001()()2XX0 ( )()F x tX001( )2jtjtx t ee00( )X102( )X( )X

8、00频移特性102( )X237、微分特性n若n则 Xtx)( Xjdttxdnnn)(24例：求三角脉冲例：求三角脉冲 的频谱的频谱n方法一：代入定义计算n方法二：利用二阶导数的FT222(1) ()( )0 ()Ettx tt2222( )2()()2 ( )d x tEtttdt2222222()( )(2)8sin()424jjEjXeeEESa 2( )()24EXSaFT25( )x t220t( )dx tdtE2E222E2E2E422( )XE24422( )d x tdttt000 三角脉冲三角脉冲频谱的求解过程三角脉冲频谱的求解过程268、积分特性（一）n若n则 ( )(

9、 )F x tX( )0,(0) 0Xor X( )( )tXFxdj278、积分特性（二）n若n则 ( )( )F x tX(0)0X( )( )(0) ( )tXFxdXj 28积分特性的证明( )( )y txd( )( )d ytxtd t( )( )j YX( )( )XFxdjn令n两边求导nFT 微分特性nFT 积分特性29例：求斜平信号例：求斜平信号 的频谱的频谱看成高 ，宽 的矩形脉冲 的积分0000 (0)1( )(0)0 ()xttt)(1)0 () 0(0)(000ttttty( )( )ty txd01t0t( )x0021( ) ( )( )(0) ( )1()( )2tjYF y tXXjtSaej X(0)不为010t0t01t( )x309、帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理n若n则)()(XtxdXdttx22)(21)(帕斯瓦尔定理表明，信号的总能量也可由频域求得，即从单位频率的能量 在整个频率范围内积分得到。 2)(2X3110、卷积定理、卷积定理n时域卷积定理时域卷积定理n频域卷积定理频域卷积定理32（1） 时域时域 卷积定理卷积定理n若n则)()(11X