概率论与数理统计--典型例题及其分析

1、精选优质文档-倾情为你奉上概率论与数理统计 典型例题及其分析第三章 多维随机变量及其分布例3.2.1 设随机变量和的联合分布律为X Y121b2a3 求应满足的条件； 若X与Y相互独立 ，求 a,b的值.【思路】 先利用联合分布律的性质确定a,b应满足的条件，再利用独立性的定义来求出a与b.【解】 因为 ，所以 因此 由于 X与Y相互独立，即对所有有 于是 解得 或同理 解得 或再由知 【解毕】【技巧】 由于X与Y的独立性，故对所有的应有因此，我们可在联合分布律表中找到几个比较容易计算的值来分别确定分布律中的参数，例如而可求得又而求得这种参数的确定方式，需要读者熟练掌握.例3.2.2 （199

2、9年考研题）设随机变量X与Y相互独立 ，下表列出了二维随机变量的联合分布律及关于和关于的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空间处： X Y1【思路】 利用边缘分布律的求法及独立性来进行，例如，从求得再利用独立性知从而知等等.【解】 利用以及 与独立性 . 求解空格内的数值，故即又由可得反复运用上列公式，可求得 将算得的数值填入表中的空格内，即得X Y 1例3.2.3 （1999年考研题）已知随机变量和的概率分布分别为 与 P P ，而且求和的联合分布；问： 和是否独立？ 为什么？【思路】 已知和的边缘分布，一般是不能确定和的联合分布的，但题中给了一附加条件因此就要从条件入手加以分析

3、，再利用边缘分布与联合分布的关系，就可求解此题了.独立性的判断是比较简单的.【解】 由知即 于是和的联合分布有如下结构： 0 1-1001 01从而利用边缘分布律与联合分布律的关系知即 从而得同理可知故和的联合分布律为 0 1-10001 01 由以上结果知 而 可见，与不独立.【技巧】先.将边缘分布的数据以及由条件中对应数据填入表中，得到联合分布律表的基本结构，再来求其余的值，是对解离散型随机向量的基本技巧.按独立性的要求，可以检验与是否独立，特别对不独立的说明只需找出一对，使即可.例3.2.4 将两封信投入3个编号为1，2，3的信箱，用分别表示投入第1，2号信箱的信的数目，求的边缘分布律，

4、并判断与是否独立.【思路】 首先确定的所有可能取值，并用古典概型求出取相应值的概率，即可得到的联合分布律，剩下的问题也就迎刃而解了.【解】 将2封信投到3个信箱的总投法而和的可能取值均为0，1，2，于是（两封信都投入第3号信箱）=（两封信中一封投入第1号信箱，另一封投入第3号信箱）同理可得： 这样，可得的联合分布律，又由于故所求的分布律为X Y0120102001 X的边缘分布律在表中的最后一列，Y的边缘分布律在表中的最后一行. 由于，而故与不独立. 【解毕】【技巧】 二维离散型随机变量的联合分布律，在实际问题中可用事件的乘机（交）的概率求得，此时概率的乘法公式是十分常用的计算技巧.例3.2.

5、5 设服从区域上的均匀分布， 写出的联合密度函数； 求和的边缘密度函数； 求概率.【思路】 先画出区域D的图形，再按上面的解法来求解.【解】 （1）由于区域D是由曲线和所围成的（如图3.2.1所示），其面积为所以的联合密度为 图3.2.1 X的边缘密度函数为而Y的边缘密度函数为 记，则为图3.2.2阴影部分，从而【寓意】 本题要求熟悉二维均匀分布和计算边缘密度及概率的基本方法，求这些问题的技巧读者应牢牢掌握，最关键的问题是激发呢区间和积分区域的确定. 图 3.2.2 例3.2.6 设二维随机变量的概率密度为 确定常数A； 求随机变量X的密度； 求概率. (后二问为1992年考研题) 【解】 记

6、D为的零区域，即 其图形如图3.2.3所示.由联合密度的性质得，从而有 因此，A=1. X的边缘密度为 设，则如图3.2.4所示.故 图 3.2.3 图3.2.4【技巧】 在利用确定中的常数时，若的区域为D，则只需用就可以了.例3.3.1 设的联合分布律为X Y -1 012 a求： 常数a; 联合分布函数在点处的值 【解】 由联合分布律的性质知 求得的联合分布函数在点处的值 【解毕】【技巧】 求联合分布函数时，只需把取值满足的点的概率找出来，然后求和就可以了，值得注意的是不要有遗漏.而求条件分布律时的关键是将其边缘分布求出即可，而边缘分布律的求法在前节已反复强调过多次.例3.3.2 已知随机

7、变量和联合概率密度为 求 条件密度及 X和Y的联合分布函数.(第二问为1995年考研题) 【思路】 根据条件密度的定义，我们首先要求出X与Y的边缘密度，然后再来求条件密度.而联合分布函数的求法是一个较为繁琐的工作，需要分区域讨论，这些区域不能遗漏.【解】 由于X的边缘密度为 同理，有 故当时，0，且 从而，在条件下，X的条件密度为 同样可得，在条件下，Y的条件密度为 对联合分布函数要分区域讨论.对于或，有 对于有 对于，有 对于有 对于有 从而，X和Y的联合分布函数为 【技巧】 由于本题中，X与Y的地位完全平等，因此，在求条件密度时，只需求出一个，另一个用对称性即可得到，此对称性在中也有很好的

8、体现，对称性的利用也经常是我们解决数学问题的一种技巧，另外，在求的分布函数时，一定要牢牢记住它的定义：对一切都要讨论，它是一个分区域函数，不同值的定义范围一定要证明.例3.4.1 设二维随机变量的概率密度函数为 试求常数,并问X与Y是否相互独立？【思路】 常数的确定仍是利用联合密度的性质，而独立性质的判断只须验证是否成立为此，首先要求出X与Y的边缘密度与.【解】 由联合密度的性质知 所以，关于X的边缘密度为而关于Y的边缘密度为很明显，当时，有 所以X与Y不互相独立. 【注】本例中，的联合密度的区域是三角形区域.虽然在D上可表达成分离变量形状 ，这里，但需要注意的是，只有当D为矩形区域（包括全平

9、面、半平面等）时，才是使与相互独立的充要条件.从而本题中与不是相互独立的.如果的联合密度改为 则此时，与必相互独立.例3.4.2 设和是两个相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从参数的指数分布，求a的二次方程有实根的概率.【思路】 方程有实根当且仅当故本题是求概率,而要计算此概率必须知道与的联合密度，因此 首先必须根据题中独立性的假定求出【解】 有题设知，与的概率密度分别为 和 由于相互独立，故与的联合密度为 又因为方程有实数当且仅当故所求概率为而（查正态分布表），故方程有实根的概率为0.1448.【技巧】 本题是二维连续型随机变量的综合题，要求读者熟悉均匀分布，指数分布的定义，掌握独

10、立性和概率计算的基本方法，知道怎么利用独立性构造联合分布.同时，要求大家在计算形如的积分时，如何应用正态分布的性质和特征，这种计算技巧，在概率论、微积分中是常用的.例3.4.3 一电子仪器由两个部件构成，以和分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知和的联合分布函数为 问和是否独立； 求两个部件的寿命都超过100小时的概率【解】 （方法1）直接利用分布函数计算. X与Y的边缘分布函数分别为 与 故有 从而，X与Y相互独立. 由于X与Y相互独立，故（方法2）利用概率密度进行计算. 以，分别表示，的概率密度，则 由知X与Y独立. 【解毕】【技巧】 用分布函数和概率密度均可以判定随机变量的独立性，具

11、体应用哪种方法要依题而定.一般较为常用的是概率密度的方法，但本题中用前一方法反而简单些.在本题的计算时，读者要注意X与Y的对称性，不必重复计算，另外，利用分布函数的性质也可以直接计算出，即 例3.5.1 设二维随机变量的联合分布律为X Y-112-1 2 求：（1）（2）（3）（4）的分布律【思路 】 思路与一维离散型随机变量的函数的分布律的计算类似，注意上面介绍的技巧.【解】 我们将的取值与取这些值的概率以及要计算的所有随机变量的函数的取值都列在下表中：概率X+Y-2011341-1-2-2241-1-221-112222从而得到：（1）的分布律为-20134P（2）的分布律为 -1-212

12、4P（3）的分布律为-2-1-12P （4）分布律为-112P【注】（1）二维离散型随机变量的函数的分布律的计算是有一定的方法可循的，读者在利用上述方法计算时要搞清楚它的背景.在求的分布律时，注意要求 （2）如果已知与独立，且与的分布律给定时，求的分布律的方法是：首先利用独立性构造出与的联合分布律表，然后再按本题类似的技巧处理.例3.5.2 (1987年考研题)设随机变量与相互独立，其概率密度函数分别为 和 求随机变量的概率密度函数.【思路】 这是计算两个独立随机变量和的概率密度的典型题，可有两种解法，一是通过的分布函数来求解.另一是利用卷积公式来计算.【解】 （方法1）分布函数法.因为相互独

13、立，所以的联合概率密度函数为 故的分布函数为 记的区域为，积分区域为于是为此，考虑区域的情形. 当时，（见图3.5.1），于是， 当时，为图3.5.2中的阴影部分，于是图3.5.1 图3.5.2当时，为图3.5.3中的阴影部分，于是 所以，随机变量的概率密度为 （方法2）卷积公式法. 若记，为求的密度函数，我们先考虑的分布函数 故W的概率密度为 图3.5.3因为相互独立，所以与也相互独立，从而的概率密度可按卷积公式计算，即 为使被积函数非零，则必须满足条件 即 从而，分情况讨论： 若则于是 若则 故 若，则故 综上知 【技巧】 这类问题的求解，主要工作量是求分段函数的积分和积分上、下限的确定，

14、希望读者仔细体会此题求解的方法，得到举一反三的效果.第一种分布函数的方法是通常的方法，第二种卷积公式法仅适用随机变量和的情形.其实，对两随机变量和的线性组合，我们也有如下推广的卷积公式：设的联合概率密度为，则的概率密度为 不妨用此公式去验证一下本题的结论.例3.5.3 设二维随机变量的概率密度函数为 求的概率密度. 【思路】 用分布函数法.【解】 显然，当时，有 当时，有 此积分的积分区域如图3.5.4所示.因此，化此重积分为累次积分，得所以有 从而的概率密度为 图3.5.4【寓意】 本题考查的是给定联合概率密度的条件下，求和的函数的分布函数，关键是对二重积分确定其积分区域.例3.5.4 设二

15、维随机变量服从取区域上的均匀分布，试求：（1）的概率密度；（2）的概率密度.【思路】 利用分布函数法来处理，先分别求出和的分布函数，然后再求导.【解】 （1）由于的概率密度为 故当时，而当时，有当时，有 从而的概率密度为 （2）由于 故 从而，与相互独立，且均服从上的均匀分布，故对的分布函数有由此得的概率密度为 【注】 此题时考查对随机变量的商及极值函数的分布的计算，其中的关键仍然时积分区域的确定.当然，商运算等也已有现成的公式，我们在此一并介绍给读者.若的联合密度为，则有综例3.6.1 在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品，从10件产品中不放回地抽取3件，用表示其中的一等品数，表

16、示其中的二等品数.求：（1）的联合分布律；（2）的边缘分布律；（3）和是否独立； （4）在 的条件下，的条件分布律.【解】 依题设知只能取0，1，2，只能取0，1，2，3.显然，当或时，有 当时，由古典概率知 将这些一一计算并列表后，即得的分布律的具体表示. 的边缘分布律也列于分布律表中，具体形式如下：X Y0123X边缘分布律000100200Y的边缘分布列1 而因此，与Y不相互独立. 在的条件下，的条件概率为 因此的条件分布律如下：23 【寓意】本例时二维离散型随机变量的综合题，首先要求读者了解如何用古典概型来求解相关的概率，进而考查联合分布律与边缘分布律的关系及独立性的判别，条件分布律的

17、计算只需知道条件概率的定义便可给出.综例3.6.2 设独立同分布，且 （第一问为1994年考研题）求：（1）行列式的概率分布；（2）方程组 只有零解的概率.【思路】 要求行列式的分布律，先要将的所有可能取值找到，然后利用独立性将取这些值的概率计算出来，而第二问就是求系数行列式的概率.【解】（1）记则 由于相互独立，故也相互独立，且都只能取0，1两个值,而 随机变量有3个可能取值-1，0，1，易见 于是行列式的概率分布为 -101P0.13440.7312 0.1344.（2）由于齐次方程 只有零解的充要条件是系数行列式不为0，故此题就简化为求概率 【技巧】 本题实质上是求多维离散型随机变量的函

18、数分布的问题，通过引入变量将其化为二维随机变量函数分布问题，问题的解决最关键的是用到了独立性的性质：若随机变量相互独立，则与也相互独立.综例3.6.3 设随机变量服从上的均匀分布，定义随机变量如下： 求的联合概率分布，并计算【思路】 写出的所有可能取值，并利用均匀分布的特征计算其取值的概率.【解】 由题设知，的联合密度函数为 有6个可能取值：和由的定义知 其中，和 分别表示图3.6.1中扇形与半圆的面积.同理有 所以，的联合概率分布为 图 3.6.1 U V0100102 从而 【技巧】 本题是求连续型随机变量的离散值函数的分布问题，解题过程中巧妙地应用了均匀分布的性质从而简化了计算.综例3.

19、6.4 设随机变量的联合概率密度为 求常数c; 与是否独立？为什么？ 求； 求 求的联合分布函数； 求的密度函数； 求; 求.【解】 （1）根据得 这里利用了特殊函数的性质：故（2）先分别计算和的边缘密度.由于在上，故与不独立.（3）由条件分布密度的定义知 （4）直接由条件概率定义知又由条件密度的性质知 而 （5）由于故有：当或时，当时，有当时，有综上知 （6）根据两个随机变量和的密度公式 由于要被积函数非零，只要当，即时，从而有：当时， 当时， 因此， （7）由于已经求出了的密度，故（8）【技巧】 本题是二维连续型随机变量的综合题，几乎涵盖了其中的主要内容.在常数确定c时，应用了函数的定义和

20、性质，当然，读者也可以直接用分部积分法计算.概率的求法，要利用条件密度进行计算，其计算过程同一般的一维密度的计算方法.的计算，我们利用了第(6)问的结论，在不需要求密度的情形下，只要直接计算就可以了，即 综例3.6.5 设且在的条件下，求（1） （2）【思路】 第一问等价于求故只需利用条件密度来计算，而第二问的计算，首先要知道的联合分布密度.【解】 由题设知，的密度函数为 而在条件下，的条件密度为 从而的联合密度函数为： 对，有【注】 本题中的和虽然具有相同的表示式，但其含义却截然不同. 是的一元函数，而不是二元函数，在此视为常量，这相当于微积分中，当二元函数一个自变量固定时，它只是另一个变量

21、的一元函数.当变化时，的条件密度函数也变化.综例3.6.6 设二维随机变量在矩形 上服从均匀分布，试求边长为和的矩形面积的概率密度【解】 由题设知，二维随机变量的概率密度为 设为的分布函数，则：当时， 当时，当时，曲线与矩形的上边交于点（见图3.6.1），于是 因而，的概率密度为 【解毕】【寓意】 本题实质上是求两随机变量的乘积的概率密度.第四章 随机变量的数学特征例4.2.1 一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30，假设各部件的状态相互独立，以表示同时需要调整的部件数，试求的数学期望和方差.【思路】 关键是求出的分布律，然后用定义计算.【解

22、】 引入事件： 根据题设，三部件需要调整的概率分别为 由题设部件的状态相互独立，于是有 于是的分布律为X0123P 0.5040.3980.0920.006从而 故 【解毕】【技巧】 本题的关键是引入事件，将的分布律求出，因此，可以发现求期望和方差的难点转到了求的分布.同时，方差的计算一般均通过公式来进行.例4.2.2 对目标进行射击，直到击中目标为止.如果每次射击的命中率为，求射击次数的数学期望和方差.【解】 由题意可求得的分布律为于是 为了求级数的和，我们利用如下的技巧：由于对此级数逐项求导，得 因此 从而 为了求,我们先求.由于 为了求 得值，注意到 从而因此 【寓意】 本题实质上是求几

23、何分布的数学期望和方差.本题的主要技巧是利用了级数的逐项求导公式来求期望. 当然同样可用逐项积分方法来求和，这种手段在级数求和或数学期望和方差的计算是十分奏效的.还有一点，我们在此说明一下，在本题中，由于的取值都是正数，所以只要正项级数收敛，则一定绝对收敛，即的和就为.而实际情况中，可能存在级数是条件收敛的，此时，的数学期望就不存在（虽然本身仍是收敛的），因此判断离散型随机变量的期望是否存在，要用关于级数绝对收敛的判断方法.例4.2.3 设是一随机变量，其概率密度为求. (1995年考研题)【解】 于是 【解毕】【技巧】 在计算数学期望和方差时，应首先检验一下的奇偶性，这样可利用对称区间上奇偶

24、函数的积分公式简化求解，比如本题中，为偶函数，故同样的计算也可直接简化.例4.2.4 已知连续型随机变量的密度函数为 求与. (1987年考研题)【思路】 一种求法是直接利用数学期望与方差的定义来求.另一种方法是利用正态分布的形式及其参数的含义.【解】 （方法1）直接法.由数学期望与方差的定义知 （方法2） 利用正态分布定义. 由于期望为，方差为的正态分布的概率密度为所以把变形为 易知，为的概率密度，因此有 【解毕】【技巧】 解决本题的关键是要善于识别常用分布的密度函数，不然的话，直接计算将会带来较大的工作量.反过来，用正态分布的特性也可以来求积分等.(2)若干计算公式的应用主要包括随机变量函

25、数的数学期望公式，数学期望与方差的性质公式的应用.例4.2.5 设表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，求. (1995年考研题)【解】 由题意知于是由可推知【寓意】 本题考查了两个内容，一是由题意归结出随机变量的分布；二是灵活应用方差计算公式，如果直接求解，那么 的计算是繁琐的.例4.2.6 设服从参数的指数分布，求.（1992年考研题）【解】 由题设知，的密度函数为且，又因为从而 【解毕】【寓意】 本题的目的是考查常见分布的分布密度（或分布律）以及它们的数字特征，同时也考查了随机变量函数的数学期望的求法.例4.2.7 设二维随机变量在区域内服从均匀分布，求随机

26、变量的方差 【解】 由方差的性质得知又由于的边缘密度为于是因此 ， 【解毕】【技巧】 尽管本题给出的是二维随机变量，但在求的期望于方差时，可以从的边缘密度函数出发，而不必从与的联合密度函数开始.在一般情形下，采用边缘密度函数较为方便.例4.2.8 设随机变量和独立，且服从均值为1，标准差为的正态分布，而服从标准正态分布，试求随机变量的概率密度函数.（1989年考研题）【思路】 此题看上去好像与数字特征无多大联系，但由于和相互独立且都服从正态分布，所以作为的线性组合也服从正态分布.故只需求和，则的概率密度函数就唯一确定了.【解】 由题设知，.从而由期望和方差的性质得 又因是的线性函数，且是相互独

27、立的正态随机变量，故也为正态随机变量，又因正态分布完全由其期望和方差确定，故知，于是，的概率密度为 【解毕】【寓意】 本题主要考查二点内容，一是独立正态分布的线性组合仍为正态分布；其二是正态分布完全由其期望和方差决定.例4.2.9 假设随机变量服从参数为的指数分布，随机变量 （1） 求和的联合概率分布；（2） 求.【解】 显然，的分布函数为 （1）有四个可能取值：且 于是得到和的联合分布律为 0 1 0 0 1 （3） 显然，的分布律分别为 0 1 0 1P P 因此 故 【解毕】【技巧】 本题中若不要求求与的联合分布律，也可直接求出，这是因为 而 因此 不仅如此，我们还能求其他函数的期望.例

28、如求，此时，由于 故 例4.2.10 设随机变量服从二维正态分布，其密度函数为 求随机变量的期望和方差.【思路】 利用随机变量函数的期望的求法进行计算.【解】 由于，故令，则而故 【解毕】【技巧】 本题也可先求出的密度函数，再来求的期望与方差，但由于求的密度本身就是一繁琐的工作，因此我们借助随机变量函数的期望公式来求解，再此公式中并不需要知道的分布，而只需直接计算一个二重积分即可.因此，对随机变量函数的期望计算问题，除非它是一线性函数，或者为离散型随机变量，一般我们往往不直接去求这个函数的分布，而直接按随机变量函数的期望计算公式来求解.（4） 随机变量的分解.例4.2.11 一民航班车上共有2

29、0名旅客，自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以表示停车的次数，求（设每位旅客再各车站下车是等可能的）.【解】 引入随机变量 易见 按题意，任一旅客在第i站不下车的概率是因此，20位旅客都不在第i站下车的概率为，从而，在第i站有人下车的概率为，也就是说，的分布律为 0 1 P ， .于是 进而有也就是说,平均停8.784次.【技巧】 本题中不是直接去求的分布,然后再求的数学期望,而是将表示成数个随机变量之和,然后,通过算出,这种处理方法具有一定的普遍意义,我们称之为随机变量的分解法.这类通过分解手法能将复杂的问题化为较简单的问题,它是处理概率论问题中常采用

30、的一种方法.这种分解法的关键是引入合适的,使.例4.2.12 对目标进行射击,每次击发一颗子弹,直至击中次为止,设各次射击相互独立,且每次射击时击中目标的概率为试求子弹的消耗量的数学期望和方差.【解】 设表示第i-1次击中到第i次击中目标所消耗的子弹数，则显然有.依题设可知，各个独立同分布，都服从几何分布，即 于是由本节例4.2.2知 因此 另外，又由于 是相互独立的，故 【解毕】例4.3.1 设二维离散随机变量的分布列为X Y -1 0 1 -1 0 0 求：，并问与是否独立，为什么？【解】 与的边缘分布列分别为 X -1 0 1 Y -1 0 1 和 P P 从而 从而 又由于 所以 从而

31、 因为所以与不独立. 【解毕】【寓意】 由于0，即与不相关，但与不独立，因此，此题说明了，不相关未必就独立.例4.3.2 设是两随机事件，随机变量 试证明随机变量和不相关的充分必要条件是与独立. （2000年考研题）【思路】 先计算出，再看是否当且仅当【证明】 记，则的分布律分别为 X -1 1 Y -1 1 P P 可见 现在求,由于只有两个可能值和，故从而 因此，当且仅当，即与不相关当且仅当与相互独立.【技巧】 本题是二维离散随机变量协方差的综合题，在这个问题中，不相关恰好与独立是等价的.一般情形下，没有这么好的性质.本题的关键是计算，我们采用先求的分布律，而后再求的方法，这样的计算再离散

32、型时是较为简单的.当然，另一思路是求出的联合分布律，再用联合分布律直接计算和，这里X Y -1 1 -1 1 1那么，用随机变量函数的期望公式，仍可算出和.例4.3.3 假设随机变量和在圆域上服从联合均匀分布.（1） 求和的相关系数.（2） 问和是否独立？ （1991年考研题）【思路】 求相关系数，应求出协方差；判断随机变量独立性，需求出它们的联合密度和边缘密度.【解】 （1）由假设知，和大的联合密度为根据联合密度与边缘密度的关系，有 注意到，均为偶函数，可得 从而，有于是 （2） 因为在上， 所以随机变量和不独立. 【解毕】 【寓意】 从该题可见，随机变量的“独立性”与“不相关”是两个不同的

33、概念，需要大家注意，但在二维正态随机变量中，“独立性”与“不相关”具有同一性.例4.3.4 已知随机变量与分别服从正态分布和，且与的相关系数，设求：（1）的数学期望和方差；（2）与的相关系数；（3） 问与是否相互独立？为什么? （1994年考研题）【解】 （1）由数学期望的运算性质有由有（2）因为所以 （3）因均为正态，故的线性组合也是正态随机变量，由于二正态分布的独立性与相关性是等价的，所以由知，与相互独立. 【解毕】 【寓意】 本题考查的主要有两点，一是关于协方差，有性质 另一点为：对于二正态变量与，与 相互独立等价于综例4.4.1 某人用把钥匙去开门，其中只有一把能打开门上的锁，今逐个任

34、取一把试开，求打开此门所需开门次数的均值及方差，假设（1） 打不开的钥匙不放回；（2） 打不开的钥匙仍放回.【思路】 本题没有直接给出的分布律，因而必须先根据题意求出的分布律，再利用期望的定义进行计算.【解】 （1）打不开的钥匙不放回的情况下，所需开门的次数的可能取值为，注意到意味着从第1次到第次均未能打开门，第次才打开，故由古典概型计算知从而 又 故 (2)由于试开不成功，钥匙仍放回，故的可能取值为其分布律为 即服从几何分布，故由例4.2.2知 【解毕】【技巧】 本题中用到了两个常用的等式：而第二问是典型的几何分布的问题，要求读者熟悉几何分布的实际背景.综例4.4.2 某射手有5发子弹，射击

35、一次的命中率为0.9，如果他击中目标就停止射击，否则一直射击到用完5发子弹为止.求：（1） 所用子弹数的数字期望；（2） 子弹剩余数的数学期望.【思路】 只需求出的分布律，的期望就容易知道，而与之间显然有关系：因而第2问就迎刃而解了.【解】 （1）显然，的可能取值为1，2，3，4，5，且由试验的独立性知，而 从而 （2）由题意知，.故 【技巧】 与几何分布不同，本题是一有截止的几何分布，也就是说，试验直到击中目标为止或第5次射击为止，故的计算也可通过下列方式计算. 综例4.4.3 设随机变量的概率密度为已知求：（1）常数（2）.【思路】 要确定三个常数需三个条件，题设中已有两个条件，另一条件为

36、而只需利用随机变量函数的期望计算公式即可.【解】 （1）由概率密度的性质知，有 又因为 而 解方程 得 （2） 【解毕】【寓意】 本题是考查一维连续型随机变量的综合题，要求大家掌握其中相关的定义和计算公式.综例4.4.4 袋中装有只球，但其中白球数为随机变量，只知道其数学期望为，试求从该袋中摸一球得到白球的概率. 【思路】 摸一球为白球是与袋中有多少个白球紧密相关的，虽然袋中的白球为随机多个，但当已知袋中白球个数时，那么从袋中换一球为白球的概率是易知的，要建立这一条件概率与要求的问题的概率的桥梁，非全概率公式莫属.【解】 记为袋中的白球数，则由题设知 由此，若令，利用全概率公式知 【解毕】【技

37、巧】 本题主要是利用了全概率公式的思想来解决题目中的难点的.综例4.4.5 假设由自动线加工的某种零件的内径服从正态分布内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品,销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损， 已知销售利润（单位：元）与销售零件的内径由如下关系： 问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ （1994年考研题）【思路】 问题是求，使达到最大，故关键使求出的表达式.【解】 由于，故从而由题设条件知，平均利润为其中为标准正态分布函数，设为标准正态密度函数，则有 令其等于0，得 由此得 由题意知当时，平均利润最大. 【解毕】【技巧】 本题是随机变量数学期望的应用题，是一的典

38、型的题型，在求最大平均利润时，应用了微积分中典型的求最大（小）值的计算方法.综例4.4.6 设某种商品每周的需求量服从区间上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间中的某一整数，商店每销售一单位可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位仅获利300元，为使商品所获利润的期望值不少于9280元，试确定最小进货量. （1998年考研题）【解】 根据题设，随机变量的概率分布密度为 设进货数量为a,则利润应为 利用随机变量函数的期望公式知，期望利润 依题意，要 即 于是 即 故要利润期望值不少于9280元的最小进货量为21单位. 【解毕】【技巧】 在利用数学期望求解应用问题时，关键在于建立起问题要求的量与某一已知分布的随机变量之间的函数关系，如本题中与的关系.这样就可利用已知分布的量来求未知分布的量的数学期望，从而最终确定所求问题的解.综例4.4.7 设是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知的分布律为 又设. （1） 求二维随机变量的分布律；（2） 求随机变量的数学期望;（3） 求与的相关系数.（前