第二节一阶微分方程

1、第二节一阶微分方程一、可分离变量的方程一、可分离变量的方程dxxfdyyg)()( 的形式称为可分离变量的微分方程的形式称为可分离变量的微分方程. .可分离变量的微分方程的解法： dxxfdyyg)()(CxFyG )()(如果一个一阶微分方程能写成如果一个一阶微分方程能写成. .dxxfdyyg)()( CxFyG )()(例例1 1 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy12lnCxy 2xCey 2、典型例题、典型例题xydxdy2 的通解。的通解。即为所求的通解。即为所求的通解。例例 2 2 已知某厂的纯利润已知某厂的纯利润 L

2、 对广告费对广告费x的变化率的变化率dLdx与与常数常数 A 和纯利润和纯利润L ,成正比成正比,当当 0 x 0时L=L,试求纯利试求纯利润润 L 与广告费与广告费x之间的函数关系。之间的函数关系。 解：解： 略略例例 3 3 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与其下落速设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与其下落速度成正比（比例系数为常数度成正比（比例系数为常数0k ） ，起跳速度为） ，起跳速度为 0.求下落的速度与时间之间的函数关系求下落的速度与时间之间的函数关系. 解：解： 略略)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为齐次方程的微分方程称为齐次方程. .2.解法解法,xyu 令令,dyd

3、uyxuuxdxdx则于是方程变为从而化为可分离变量方程从而化为可分离变量方程( ),dug uuxdx.( )dudxg uux1.1.定义定义二、齐次方程二、齐次方程 例例 4 4 求解微分方程求解微分方程 的通解的通解 解解 原方程可化为原方程可化为 22()0y dxxxy dx此为齐次方程，因而令：此为齐次方程，因而令：,uxy dyduuxdxdx则代入上式得12 uudxduxu分离变量，得分离变量，得1udxduux两边积分得两边积分得lnlnlnxuuC原方程的通解为原方程的通解为yxyCe1222 xyxyxxyydxdy)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程的标准形

4、式一阶线性微分方程的标准形式:, 0)( xQ当当称称 为为 齐次线性方程齐次线性方程.称称 为非齐次线性方程为非齐次线性方程,0)( xQ当当三、线性方程三、线性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.( )0dyP x ydx)()(xQyxPdxdy ( )0dyP x ydx,)(dxxPydy ln( )ln,yP x dxC 两边积分，得这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数） 齐次线性方程齐次线性方程 是可分离变量方程是可分离变量方程 ， 1

5、.齐次线性方程的解法齐次线性方程的解法分离变量后得分离变量后得 1()dxcCe - p x或y=Ce2. 非齐次线性方程的解法（常数变量法）非齐次线性方程的解法（常数变量法）C)(xC( )( )P x dxyC x e将齐次线性方程通解中的常数将齐次线性方程通解中的常数换成函数换成函数 (8)()()()()()()()()(xQexCxPexCxPexCdxxPdxxPdxxP)()()(xQexCdxxPdxxPexQxC)()()(代入方程（代入方程（6）得）得 即即 .或或CdxexQxCdxxP)()()()()()(CdxexQeydxxPdxxPdxxPdxxPdxxPexQ

6、eCey)()()()(C)(xC)(xC两边求积分得两边求积分得 .将上式代入将上式代入(8)式得一阶非齐次线性方程的通解的公式式得一阶非齐次线性方程的通解的公式 (9) 上面的解法，即是把对应的齐次方程的通解中的常数上面的解法，即是把对应的齐次方程的通解中的常数变易为函数变易为函数，而后再去确定，而后再去确定方程的通解方程的通解.这种解法顾名思义称为这种解法顾名思义称为“常数变易法常数变易法”.或或 (10) ，从而得到非齐次，从而得到非齐次一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: : dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxx

7、P )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程一个特解非齐次方程一个特解32(1).1yyxx求方程的通解解解例例5 5先求与原方程对应的齐次线性方程先求与原方程对应的齐次线性方程 的通解的通解.即即2)1( xCy012yxydxxydy12Cxyln)1ln(2ln分离变量得分离变量得 ,两边积分得两边积分得 , 2)1)(xxCy从而从而 )1)(2)1)(2xxCxxCy再由常数变易法可设原方程的解为再由常数变易法可设原方程的解为322)1 ()1)(12)1)(2)1)(xxxCxxxCxxC代入原方程得代入原方程得 化简得化简得 xxC1)(,两边积分得两边积分得

8、CxxC2)1 (21)(于是原方程的通解为于是原方程的通解为 )1 (21)1 (22Cxxy.,.3. 贝努里贝努里( Bernoulli )方程方程nyxQyxpdxdy)()() 1 , 0(n形如形如 的方程称为贝努里方程的方程称为贝努里方程. (13) 贝努里方程虽然不是线性方程，但我们可把贝努里方程虽然不是线性方程，但我们可把(13)改写为改写为)()(1xQyxpdxdyynn,从而有)()()(1111xQyxpdxydnnn (14) .nyu1)()(11xQuxpdxdunnuy11于是，只要令于是，只要令，方程，方程(14)就化为线性方程就化为线性方程 它的通解可由公

9、式它的通解可由公式(10)给出，再利用变换给出，再利用变换就可得方程就可得方程(13)的通解的通解.例例6 求解方程求解方程 yxxydxdy222.解：原方程可改写为解：原方程可改写为 12221yxyxdxdy (15) . 它是一个贝努里方程，它是一个贝努里方程，. 1n作变换作变换,2yu 则方程则方程(15)变为变为21xuxdxdu根据公式根据公式(10)得得 31,2xuc x因此原方程的通解为因此原方程的通解为 231xxcy. 四、 全微分方程如果方程0),(),(dyyxNdxyxM (16) 的左边是某一个函数的的左边是某一个函数的),(yxu的全微分，即的全微分，即 dyyxNdxyxMyxdu),(),(),( , (17)则称方程则称方程(16)是全微分方程（又称恰当方程）是全微分方程（又称恰当方程）.容易验证，方程容易验证，方程(16) 是全微分方程的充要条件为是全微分方程的充要条件为 xNyM其通解为其通解为.),(Cyxu. 例例7 求解方程求解方程0)2()23(2222dyyyxdxxyx22222,23yyxNxyxM解解: 4,Mx