第三章动量守恒

1、牛顿运动方程牛顿运动方程冲量冲量力在时间过程中的累积效应力在时间过程中的累积效应I研究力的瞬时效应研究力的瞬时效应动量动量描述物体机械运动的一个重要物理量描述物体机械运动的一个重要物理量牛二定律可表示为牛二定律可表示为:Fdtvmd)(dtFvmd)(质点动量定理的微分形式质点动量定理的微分形式.表述为表述为:质点动量的微分等于质点动量的微分等于作用在质点上合力的元冲量作用在质点上合力的元冲量冲量冲量受恒力时，表示为受恒力时，表示为tF 受变力时，可把时间分成微小间隔受变力时，可把时间分成微小间隔tt,每个每个内的力可看作恒力，内的力可看作恒力，tF为该力的元冲量为该力的元冲量总冲量总冲量;d

2、tFI第三章第三章 动量守恒动量守恒3.1 冲量冲量 动量定理动量定理如图，质点在变力如图，质点在变力)(tF作用下，沿一曲线运动，作用下，沿一曲线运动，11vt 22vt 将上式在12tt内积分内积分:dttFvmd)()(21vmvm21tt2112ttdtFvmvm质点动量定理的积分形式质点动量定理的积分形式讨沦讨沦:(1)上式在直角坐标系各轴上的投影上式在直角坐标系各轴上的投影:xttxxxIdtFmvmv2112yttyyyIdtFmvmv2112zttzzzIdtFmvmv2112)(1tF1vm)(2tF2vm(2) 为了进一步说明冲量积分的意义，引进平均力这个概念为了进一步说明

3、冲量积分的意义，引进平均力这个概念xFtoxF1t2t若若xF为恒力为恒力，)(12ttFIxx大小可由图中阴影面积表示大小可由图中阴影面积表示曲线下阴影面积等于曲线下阴影面积等于 在12tt 内的冲量内的冲量若令在时间在时间称为变力称为变力xFxF12tt 内的平均力内的平均力to1t2txFxF若若xF为变力，为变力，由积分可知由积分可知，虚线矩形框的面积等于曲线下的面积虚线矩形框的面积等于曲线下的面积21)(12ttxxdtFttF同理，21)(12ttyydtFttF21)(12ttzzdtFttF21)(12ttttFdtFI(3) 动量定理也是自然界最普遍的定理之一。适用动量定理也

4、是自然界最普遍的定理之一。适用于惯性系于惯性系应用应用:一般用于计箅平均冲力，如碰撞，冲击问一般用于计箅平均冲力，如碰撞，冲击问题题.因为质点的冲量只与其始未动量有关因为质点的冲量只与其始未动量有关.平均冲力平均冲力tptttFFtt 1221d 例例1已知：已知：一篮球质量一篮球质量m = 0.58kg， 求：求：篮球对地的平均冲力篮球对地的平均冲力F解：解：篮球到达地面的速率篮球到达地面的速率m/s26. 6280. 922 ghvN1082. 3019. 026. 658. 0222 tmFv从从h=2.0m的高度下落，的高度下落， 到达地面后，到达地面后，接触地面时间接触地面时间 t

5、= 0.019s。FFto t速率反弹，速率反弹，以同样以同样例例2 质量为质量为1kg的质点的质点M，从，从o点开始沿半径点开始沿半径R=2m的圆的圆周运动周运动,以以o点为自然坐标原点点为自然坐标原点,己知质点运动学方程己知质点运动学方程221ts试求从试求从到到这段时间内作用于质点上的冲量及平均冲力这段时间内作用于质点上的冲量及平均冲力st21st22A1vmB2vmos解st21st22tdtdsv221ts1s21mv22s22mv1vm2vmI据动量定理据动量定理12vmvmIR6)()(2221mvmvI方向方向22tg44540)(12ttFI22612ttIF3.2 质点系动

6、量定理质点系动量定理质点系的动量质点系的动量: 质点系内各质点动量的矢量和质点系内各质点动量的矢量和没由没由n个质点组成的质点糸，其质量分别是个质点组成的质点糸，其质量分别是在时刻在时刻t的速度分别是的速度分别是质点系在时刻质点系在时刻t的动量的动量1m2mnm1v2vnvpiiivmp以两个质点澹成的系统为例以两个质点澹成的系统为例1m2m2F1F12f21f受外力受外力1F受内力受内力12f质点质点1m2m受内力受内力21fdtfFvmd)()(12111dtfFvmd)()(21222两式相加02112 ffdtFFvmvmd)()(212211受外力受外力2F推广到多个质点组成的质点系

7、推广到多个质点组成的质点系,同理同理0ijijfdtFvmdiiiii)(质点系动量定理的微分形式质点系动量定理的微分形式)tt 0内积分内积分ittiiiiiiidtFvmvm00iiIpp0iiivmpiioivmp0dtFIittiiio令(质点系动量定理的积分形式质点系动量定理的积分形式)讨论讨论:把上式投影到直角坐标系上把上式投影到直角坐标系上iiixixidtFvmd)(iiiyiyidtFvmd)(iiizizidtFvmd)(iixoxxIppiiyoyyIppiizozzIpp若各外力为恒力若各外力为恒力,则则iiiiiiiittFvmvm)(00内力不能改变质点系的动量内力

8、不能改变质点系的动量,只有外力才能改变只有外力才能改变如图，用传送带如图，用传送带A A输送煤粉输送煤粉, ,料斗口在料斗口在A A上方高上方高h=0.5mh=0.5m处，煤粉自料斗口处，煤粉自料斗口自由落在自由落在A A上，设料斗口连续卸煤们流量为上，设料斗口连续卸煤们流量为skgqm/40A A以以v=2.0m/sv=2.0m/s的水平速度匀速向右移动，求装煤过程中，煤粉对的水平速度匀速向右移动，求装煤过程中，煤粉对A A的作用力的大小，方向的作用力的大小，方向. .Avhvm解选内落在A上的煤粉为研究对象ttqmm设t内传送带作用于煤粉的平均力为F据质点系动量定理:tFvmvmp0)()

9、()(000vvqvvttqtvvmFmmNvvqFm6 .1482020vmpI008 .67vvarctg讨论:煤粉对A的作用力大小与相同,方向与之相反F3.3 质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律若质点系所受外力的矢量和为零若质点系所受外力的矢量和为零,即即0iiF0)(iiivmdiiivm常矢量常矢量即质点系动量守恒定律即质点系动量守恒定律讨论讨论:(1) 若质点系上所有外力沿某一坐标轴投影的代数和为零若质点系上所有外力沿某一坐标轴投影的代数和为零,即即iixF0iiyF0iizF0iiyivm常量iixivm常量iizivm常量上式表明质点系动量沿某一方向上的守恒定律上式表明质点系

10、动量沿某一方向上的守恒定律动量守恒定律是比牛顿定律更普适的定律之一动量守恒定律是比牛顿定律更普适的定律之一, ,不仅适用不仅适用于宏观物体于宏观物体, ,还适用于分子还适用于分子. .原子原子. .以及其它微观粒子以及其它微观粒子从实践的角度从实践的角度看，迄今为止，人们未发现动量守恒定律有任何看，迄今为止，人们未发现动量守恒定律有任何例外。因此，物理学家们对这条定律和对能量守恒定律一样，例外。因此，物理学家们对这条定律和对能量守恒定律一样，是充分信心的。每当在实验中观察刭似乎是违反动量守恒定律是充分信心的。每当在实验中观察刭似乎是违反动量守恒定律的现象时，物理学家就提出一些新的假设来救，最后

11、总是以有的现象时，物理学家就提出一些新的假设来救，最后总是以有所新发现而胜利告终。所新发现而胜利告终。例如，例如，衰变是从一个原子核衰变是从一个原子核A A射出一个电子射出一个电子e e后转化为另一原子后转化为另一原子核核B B的过程的过程. .如果没有其它粒子牵涉进去如果没有其它粒子牵涉进去, ,这过程可写为这过程可写为: :AB+e如果如果A A基本上是孤立的，且开始是静止的，则不管其它的细节如何，对基本上是孤立的，且开始是静止的，则不管其它的细节如何，对动量守恒定律的笃信使我们预言，动量守恒定律的笃信使我们预言，B B不可避地将在射出来的电子相反的不可避地将在射出来的电子相反的方向上反冲

12、方向上反冲. .但但. .如果坚持终态的总动量和初态里一样为如果坚持终态的总动量和初态里一样为0,0,那就得假设这里还那就得假设这里还存在另一个未被发现的粒子存在另一个未被发现的粒子. .泡利泡利(W.Pauli(W.Pauli) )为解释为解释但但衰变的云室照片显示，二者的径迹并不在一条直线上衰变的云室照片显示，二者的径迹并不在一条直线上衰变中的各种反常衰变中的各种反常，于于19301930年提出中微子假说年提出中微子假说. .虽然此后多年来陆续找到不少中微子存在的虽然此后多年来陆续找到不少中微子存在的间接，但直到间接，但直到2626年后，即年后，即19561956年，终于在实验中直接找到了

13、它年，终于在实验中直接找到了它. .例例3 一长一长L.质量为质量为M的船静止浮在湖面中，今有一质量的船静止浮在湖面中，今有一质量m的人，从船头的人，从船头走到船尾走到船尾.求人和船相对于岸各移动的距离求人和船相对于岸各移动的距离.设水对船的阻力忽略不计设水对船的阻力忽略不计LvvX解法一解法一: 取人和船为系统，水平方向受力为零取人和船为系统，水平方向受力为零 因而因而水平方向动量守恒水平方向动量守恒设任一时刻设任一时刻13v人相对岸的速度人相对岸的速度23v船相对岸的速度船相对岸的速度02313MvmvdtvMdtvm2313t0t0tdtvs013tdtvs023mssMLssLMmms

14、LMmMs解法二:12v人对船的速度0)(232312MvvvmdtvmMmdtvLtt230012smmMss条件：条件：燃料相对箭体以恒速燃料相对箭体以恒速u喷出喷出初态：初态：系统质量系统质量 M，速度，速度v (对地对地)，动量，动量 M v 一一. 火箭不受外力情形火箭不受外力情形（在自由空间飞行）（在自由空间飞行） 1.火箭的速度火箭的速度系统：系统： 火箭壳体火箭壳体 + 尚存燃料尚存燃料总体过程：总体过程：i (点火点火) f (燃料烧尽燃料烧尽)先分析一先分析一微过程：微过程： t t +dt末态：末态：喷出燃料后喷出燃料后喷出燃料的质量：喷出燃料的质量：dm = dM，喷出

15、燃料速度喷出燃料速度(对地对地)： v uvu火箭壳体火箭壳体 +尚存燃料的质量：尚存燃料的质量： M dm系统动量：系统动量： ( M dm)(v + d v) + dM(v u) 火箭壳体火箭壳体 +尚存燃料的速度尚存燃料的速度(对地对地)：v + d v 由动量守恒，有由动量守恒，有 M v = dM(v - u) +( M dm)(v + d v ) 经整理得：经整理得： Mdv = udMMMudd v fiMMfiMMuddv速度公式：速度公式： fiifMMuln vv引入引入火箭质量比：火箭质量比：fiMMN 得得Nuifln vv提高提高 vf 的途径：的途径： (1)提高提

16、高 u（现可达（现可达 u = 4.1 km/s） (2)增大增大 N（单级火箭（单级火箭N 提得很高不合算）提得很高不合算）为有效提高为有效提高N，采用多级火箭（如，采用多级火箭（如2级、级、3级）级）v = u1ln N1+ u2ln N2+ u3ln N3 资料：资料：长征三号（长征三号（3级大型运载火箭）级大型运载火箭） 全长：全长：43.25m， 最大直径：最大直径：3.35m， 起飞质量：起飞质量：202吨，起飞推力：吨，起飞推力：280吨力。吨力。t +dt时刻：时刻：速度速度 v u， 动量动量dm(v u)由动量定理，由动量定理，dt内喷出气体所受冲量内喷出气体所受冲量 2.

17、火箭所受的反推力火箭所受的反推力研究对象：研究对象：喷出气体喷出气体 dmt 时刻：时刻：速度速度v (和主体速度相同和主体速度相同)，动量动量 vdm F箭对气箭对气dt = dm(v u) vdm = F气对箭气对箭dt由此得火箭所受燃气的反推力为由此得火箭所受燃气的反推力为tmuFFdd 气气对对箭箭今以今以F力拉它的一端，使其匀速力拉它的一端，使其匀速V上升，上升，求求t 秒未，秒未，F=?解解 以离开桌面链条为研究对象，以离开桌面链条为研究对象，t 秒未，秒未，L=vtvdtdmvtvmgvF22解法一解法一 运用动量定理dtmgFIdtttFL例例4 一根均匀质量分布的链条一根均匀

18、质量分布的链条，密度为密度为 ，t=0时，链条静止于光滑桌面，时，链条静止于光滑桌面，=dm vmvvdmmpIp vdmdtmgF)(vdtdm解法二dtdpmgF20vvvdtdmvmlvt第五节 非惯性系牛顿定律一、惯性系与非惯性系惯性系：牛顿第一定律定义的参照系。非惯性系：与惯性系做加速运动的参照系。二、惯性力aafm示例1：非惯性系：小车：惯性系：路基（地面）：小球静止小车水平方向不受力，但有反方向加速度。非惯性系中牛顿定律不适用非惯性系中引入惯性力：为了保持牛顿定律的形式afm大小：ma方向：加速度反向。示例2：or非惯性系：圆盘TtvnnTrmman2符合牛顿第二定律惯性系：地面

19、小球受力T，却保持静止。牛顿定律不符合引入惯性力：nrfrmm22圆盘上看：0fT示例3、科里奥利力oABtAvtBvvoABvcFa惯性系（地面）观察：非惯性系（盘面）观察：A、B代表相对于转盘静止的两个儿童A向B掷小球，小球如何运动？tAvtBv BB小球B沿直线到达转动的前方，并未到达B小球不沿直线到达B，而是向小球运动方向的右侧偏去了。科里奥利力科里奥利效应牛顿定律只适用于惯性系，实际问题中会遇到许多非惯性系问题，自转牛顿定律只适用于惯性系，实际问题中会遇到许多非惯性系问题，自转着的地球，加速延动的电梯。着的地球，加速延动的电梯。方法方法: 相对运动的加速度变换式相对运动的加速度变换式

20、引入惯性力恢复牛二定律形式一 惯性力S惯性系S非惯性系s mFs0a0as系相对于S的加速度sa质点m相对的加速度a质点m相对 S 的加速度0aaa据加速度变换公式amF0amamFamamF0令0amFiamFFi其中iF被称作惯性力惯性力惯性力由非惯性系本身加速度引起，无施力者，没有反作用力，由非惯性系本身加速度引起，无施力者，没有反作用力，所以说它是所以说它是“假想的假想的”力力惯性力可用测力器测量出来，又可说是惯性力可用测力器测量出来，又可说是“真实的真实的”力力惯性力与引力类似，在广义相论中提出引力效应与加速惯性力与引力类似，在广义相论中提出引力效应与加速度效应等效度效应等效两种常见的惯性力两种常见的惯性力(1) 平动加速度参考系中的惯性力(2) 匀角速转动参孝系中的惯性离心力0)(amaamFi小球对地面，具有法向加速度raan20nrnmaamFni20从转台上看，iF同弹簧拉力平衡才使小球保持静止讨沦讨沦:(1) 惯性