椭圆及其标准方程

1、椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程复习回顾复习回顾（1）平面上到两个定点的距离满足某种条件）平面上到两个定点的距离满足某种条件 的点的的点的轨迹比较特殊，这种轨迹又会是什么呢？轨迹比较特殊，这种轨迹又会是什么呢？演示画板演示画板（2）到两定点的距离之和等于定长）到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是否都是椭圆？的点的轨迹是否都是椭圆？轨迹讨论轨迹讨论圆回顾圆回顾 问题的提出：问题的提出： 前面已学过曲线和方程的关系，并由此建立了圆的方程，前面已学过曲线和方程的关系，并由此建立了圆的方程，要求适合某种条件的点的轨迹方程：要求适合某种条件的点的轨迹方程：建立适当的直角

2、坐标系；建立适当的直角坐标系；设曲线上任一点的坐标为设曲线上任一点的坐标为（x,，y）；）；根据条件列出关于点的坐标满足的等式；根据条件列出关于点的坐标满足的等式；化简而得方程。即建系、设点、列式、化简四步骤。化简而得方程。即建系、设点、列式、化简四步骤。椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程定义定义 平面内到两定点的距离等于定长平面内到两定点的距离等于定长2a(|F1F2|）的点的轨迹称椭圆。两定点称焦点，的点的轨迹称椭圆。两定点称焦点，|F1F2|称焦距。称焦距。F2F1M坐标选取坐标选取 取过焦点取过焦点F1,F2的直线为的直线为x轴轴,线段线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为y轴轴,建立

3、直角坐标系建立直角坐标系.（如图）（如图）椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程定义定义椭圆标准方程椭圆标准方程xyOF1F2M 取过焦点取过焦点F1,F2的直线为的直线为x轴轴,线段线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为y轴轴,建立直角坐标系建立直角坐标系.（如图）（如图） 把坐标代入方程把坐标代入方程 :|MF1 |+|MF2|=2a 得：得： 则椭圆就是集合：则椭圆就是集合： P=M| |MF1 |+|MF2|=2a。 设设M (x,y)为为椭圆上任意一点椭圆上任意一点,椭圆焦距为椭圆焦距为2c(c0),M到到 F1和到和到F2的距离之和等于正数的距离之和等于正数2a, F1,F2的坐标分别

4、为（的坐标分别为（-c,0），），（c,0）。）。 平面内到两定点的距离等于定长平面内到两定点的距离等于定长2a(|F1F2|）的点的轨迹称椭圆。两定点称焦点，的点的轨迹称椭圆。两定点称焦点，|F1F2|称焦距。称焦距。移项，两边平方得移项，两边平方得2222222)()(44)(ycxycxaaycx两边再平方得两边再平方得:2222222222422yacacxaxaxccxaa整理得整理得)()(22222222caayaxca由椭圆定义可知由椭圆定义可知:2a2c,即即ac,所以所以设设, 0ca22得两边除以22222222,babayaxb1byax2222)0b(bca222a2

5、y) cx(y) cx(2222222y)cx(acxa椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程定义定义椭圆标准方程椭圆标准方程xyOF1F2M)0ba ( 1byax2222 它所表示的椭圆焦点在它所表示的椭圆焦点在x轴上轴上,分别为分别为:F1(-c,0),F2(c,0) 平面内到两定点的距离等于定长平面内到两定点的距离等于定长2a(|F1F2|）的点的轨迹称椭圆。两定点称焦点，的点的轨迹称椭圆。两定点称焦点，|F1F2|称焦距。称焦距。椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程定义定义椭圆标准方程椭圆标准方程xyOF1F2M)0ba ( 1byax2222焦点焦点F1(-c,0),F2(c,0)在在x轴上

6、轴上若椭圆焦点若椭圆焦点F1(0,-c),F2(0,c)在在y轴轴上，上， 因为这时因为这时x轴与轴与y轴交换轴交换,所以所以只要把方程中的只要把方程中的x,y互换即可得方互换即可得方程程:)0ba ( 1bxay2222焦点焦点F1(0,-c),F2(0,c)在在y轴上轴上xyOF2F1M其中其中: a2-c2=b2几何意义几何意义 平面内到两定点的距离等于定长平面内到两定点的距离等于定长2a(|F1F2|）的点的轨迹称椭圆。两定点称焦点，的点的轨迹称椭圆。两定点称焦点，|F1F2|称焦距。称焦距。椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程椭圆标准方程椭圆标准方程)0ba ( 1byax2222焦点焦

7、点F1(-c,0),F2(c,0)在在x轴上轴上)0ba ( 1bxay2222焦点焦点F1(0,-c),F2(0,c)在在y轴上轴上2a=10,2c=8a2=25,c=4, 例例1：平面内到两个定点的距离：平面内到两个定点的距离是是8，写出到这两个定点的距离之和，写出到这两个定点的距离之和是是10的点的轨迹方程。的点的轨迹方程。所以椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程为:19y25x22 若焦点放在若焦点放在y轴上则轴上则椭圆的标准方程为椭圆的标准方程为:19x25y22其中其中: a2-c2=b2 解：这个轨迹是个椭圆，两个解：这个轨迹是个椭圆，两个定点是焦点，用定点是焦点，用F1，F2表示

8、。表示。取过点取过点F1，F2的直线为的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为y轴轴b2=a2-c2=52-42=9,C CB BA AC CB BA A 解解:以以BC的边为的边为x轴轴,BC线段线段的中垂线为的中垂线为y轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系,x xy yB BC CA AO O椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程课堂练习：课堂练习：a=4,b=3,焦点在焦点在x轴上轴上; a=5,c=2,焦点在焦点在y轴上轴上答案答案:19y16x222.已知已知ABC的一边的一边BC长为长为8，周长为，周长为18，求顶点，求顶点A的轨的轨迹方程。迹方程。1.写出适合下列条件

9、的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答）口答）19y25x22则则A点的轨迹方程是椭圆方程点的轨迹方程是椭圆方程:121x25y22椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程课堂练习：课堂练习：1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程:a=4,b=3,焦点在焦点在x轴上轴上; a=5,c=2,焦点在焦点在y轴上轴上答案答案: 19y16x22121x25y222.已知已知ABC的一边的一边BC长为长为8，周长为，周长为18，求顶点，求顶点A的轨的轨迹方程。迹方程。 解解:以以BC的边为的边为y轴轴,BC线段线段的中垂线为的中垂线为x轴建立直角坐标系轴建立直角

10、坐标系,yxOCBA19x25y22则则A点的轨迹方程是椭圆方程点的轨迹方程是椭圆方程:椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程思考题思考题xyP(-3,0)Q(3,0)oAM已知定圆已知定圆 Q:x2+y2-6x-55=0,动圆动圆 M和已知定圆内切于点和已知定圆内切于点A且过且过点点P(-3,0),求圆心求圆心M的轨迹及其方的轨迹及其方程程答案：答案： 圆心圆心M的轨迹为椭圆；的轨迹为椭圆；方程为：方程为：17y16x22椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程椭圆标准方程椭圆标准方程)0ba ( 1byax2222)0ba ( 1bxay2222定义定义作业：作业：P79,1,6,7其中其中: a2-c2=b2课堂小结课