信号第五章电子

1、第五章第五章 连续系统的连续系统的S S域分析域分析 傅里叶变换法对系统分析无疑是有用的傅里叶变换法对系统分析无疑是有用的. .它使响应的求解得到简化。它使响应的求解得到简化。但它也有不足之处：但它也有不足之处：在有关信号的分析处理方面诸如有关谐波成分、在有关信号的分析处理方面诸如有关谐波成分、 频率响应、系统带宽、波形失真等问题上频率响应、系统带宽、波形失真等问题上, , 它所给它所给 出的结果都具有清楚的物理意义。出的结果都具有清楚的物理意义。2、傅里叶逆变换的确定有时是很困难的，因此使傅里傅里叶逆变换的确定有时是很困难的，因此使傅里叶变换的应用受到限制叶变换的应用受到限制。 3、它只能求

2、出系统的零状态响应，零输入响应还得用它只能求出系统的零状态响应，零输入响应还得用其它方法确定其它方法确定。 在这一章中将通过把频域中的傅里叶变换推广到在这一章中将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题复频域来解决这些问题-即拉普拉斯变换。即拉普拉斯变换。1、傅里叶变换存在的充分条件是傅里叶变换存在的充分条件是 =有限有限值值，因而有些工程中常用的信号如因而有些工程中常用的信号如 、 等并等并不满足该条件不满足该条件，不能从定义来求不能从定义来求。还有一些信号如还有一些信号如 根本不存在傅里叶变换根本不存在傅里叶变换,无法在频域进行分析无法在频域进行分析. dttf t tt 0 t

3、et 应用拉普拉斯变换进行系统分析的方法，同样是应用拉普拉斯变换进行系统分析的方法，同样是建立在建立在LTI系统具有线性和时不变性的基础上的，只系统具有线性和时不变性的基础上的，只是信号分解的是信号分解的基本信号基本信号不同。因此这两种变换，无论不同。因此这两种变换，无论在性质上或是在进行系统分析的方法上都有着很多类在性质上或是在进行系统分析的方法上都有着很多类似的地方。事实上，似的地方。事实上，傅里叶变换可看成是拉普拉斯变傅里叶变换可看成是拉普拉斯变换的一种特殊情况。换的一种特殊情况。在频域分析中在频域分析中，我们以我们以tje 为基本信号为基本信号； 在复频域分析中在复频域分析中，我们以我

4、们以tse 为基本信号为基本信号； js 复数复数 ste其中其中 因此，傅立叶变换是拉普拉斯变换的一个特例。因此，傅立叶变换是拉普拉斯变换的一个特例。拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。由于当由于当 js , 0tjstee 本章主要内容：本章主要内容：51 拉普拉斯变换拉普拉斯变换52 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质53 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换54 复频域分析（重点）复频域分析（重点）主要内容主要内容:一、一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、二、收敛域收敛域三、三、单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换 51 拉普拉斯变换拉普拉斯变

5、换 符号表示符号表示收敛域收敛域常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 那么，能不能将这些信号乘上一个衰减因子，这那么，能不能将这些信号乘上一个衰减因子，这样它就可能满足绝对可积条件？正是这种想法，样它就可能满足绝对可积条件？正是这种想法，引出了拉普拉斯变换。引出了拉普拉斯变换。 0 tet如如：一个指数增长的信号一个指数增长的信号 显然不满显然不满足绝对可积条件，且它的傅里叶变换是不存在的。足绝对可积条件，且它的傅里叶变换是不存在的。对任意信号对任意信号 乘以一个衰减因子乘以一个衰减因子 ,适当适当选取选取 的值使的值使 当当 时时,

6、信号幅度趋于信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件，从而使其满足绝对可积的条件： tfte tetf t dtetft dtedttett 022 例如例如 tetft 2 不满足绝对可积的条件不满足绝对可积的条件。 teetftt 2 只要只要2 dteett02 满足绝对可积的条件满足绝对可积的条件。又如又如 tttf 也不满足绝对可积的条件也不满足绝对可积的条件。 tteetftt 只要只要0 dtett0 满足绝对可积的条件满足绝对可积的条件。上述积分结果是上述积分结果是 的函数，令其为的函数，令其为 即即： j jFb jFb dtetftj dejFetftjbt 21假设假设

7、 满足绝对可积条件，则满足绝对可积条件，则 tetf 由傅立叶逆变换得由傅立叶逆变换得： dtetfdteetfetftjtjtt 收敛收敛 dejFtftjb 21 dejFtftjb21令令 ， 为实数为实数，则则 于是上面于是上面两个式子变为两个式子变为：js jdsd 2 . 21 jjstbdsesFjtf 1 . dtetfsFstb 式称为式称为双边拉普拉斯变换对双边拉普拉斯变换对； 称为称为 的双边拉氏变换（或象函数）；的双边拉氏变换（或象函数）； 称为称为 的双边拉氏逆变换（或原函数）。的双边拉氏逆变换（或原函数）。 21 sFb tf tf sFb jFb dtetftj

8、我们先来研究两种信号：我们先来研究两种信号： （1）因果信号因果信号 )0 , 0( ttf（2）反因果信号反因果信号 )0 , 0( ttf二、收敛域二、收敛域如前所述如前所述，选择适当的选择适当的 值才可能使值才可能使 式的式的积分收敛积分收敛，信号信号 的双边拉普拉斯变换存在。的双边拉普拉斯变换存在。通常把通常把 满足绝对可积的满足绝对可积的 值的范围称为值的范围称为收敛域。收敛域。 1 tf tetf 例例5.1-1 设因果信号设因果信号 0 , 0 , 01tettetftt求其拉氏变换求其拉氏变换。 解解： 0 1dtedtetesFtssttb s1 0sets 0 seetjt

9、 sRe收敛域收敛域 为实数为实数 可见对于因果信号可见对于因果信号，仅当仅当 时时，其拉氏变换才存在其拉氏变换才存在。其收敛域为其收敛域为 。 sRe sRe在以在以 为横轴为横轴， 为纵轴的为纵轴的 平面平面（复平面复平面），）， 是一个区域，称为拉普拉斯变换的收敛域或是一个区域，称为拉普拉斯变换的收敛域或象函数的收敛域。如下图象函数的收敛域。如下图 所示所示。js sRe因果函数因果函数的收敛域的收敛域S平面平面收敛边界收敛边界(收敛轴收敛轴)例例5.1-2 设反因果信号设反因果信号 0, 00, e 2 tttetftt为实数为实数， 求其双边拉氏变求其双边拉氏变换。换。 0 2dte

10、dtetesFtssttb 解解： 0 sets s1 0 seetjt sRe 收敛域收敛域可见对于反因果信号可见对于反因果信号，仅当仅当 时时，其拉氏变换才存在其拉氏变换才存在。其收敛域为其收敛域为 。如图所示如图所示。 sRe sRe反因果函数反因果函数的收敛域的收敛域S平面平面收敛边界收敛边界(收敛轴收敛轴)如果一个双边函数如果一个双边函数 0 0 21 tetetftftftt 其双边拉氏变换为其双边拉氏变换为 sFsFsFbbb21 如果如果 ，当然存在共同的收敛域当然存在共同的收敛域 ，收敛域是带，收敛域是带状区域状区域 ; sRe如果如果 则没有共同的收敛域则没有共同的收敛域，

11、 不存在不存在。 sFb双边函数双边函数的收敛域的收敛域 sRe sRe因果函数因果函数的收敛域的收敛域反因果函数反因果函数的收敛域的收敛域 tetft 1 tetft 2 0 0 21 tetetftftftt 双边函数双边函数的收敛域的收敛域通过上面的分析，我们得到如下结论：通过上面的分析，我们得到如下结论：因果信号的收敛域为收敛轴以右的区域；因果信号的收敛域为收敛轴以右的区域；反因果信号的收敛域为收敛轴以左的区域；反因果信号的收敛域为收敛轴以左的区域；双边信号的收敛域为带状区域；双边信号的收敛域为带状区域；只有标出收敛域的象函数，其原函数才是唯一的。只有标出收敛域的象函数，其原函数才是唯

12、一的。 3121 sssFb tetetftt 32 tetetftt 32 tetetftt 32 2Re s 3Re s 2Re3 s 当收敛域包含虚轴时，拉氏变换与傅氏当收敛域包含虚轴时，拉氏变换与傅氏变换同时存在变换同时存在，将将 代入即可得其傅氏代入即可得其傅氏变换。变换。 js 2Re 212 s stetft 21 jjF 2Re 212 s stetft 而而收敛域不包含虚轴，所以其傅立叶变换不存在。收敛域不包含虚轴，所以其傅立叶变换不存在。实际用到的信号都有初始时刻实际用到的信号都有初始时刻，不妨设其为坐标原不妨设其为坐标原点点，这样这样， 时时， 从而拉氏变换可写成从而拉氏

13、变换可写成0 t 0 tf 0dtetfsFst单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换 本章仅讨论单边拉普拉斯变换，单边拉普拉斯变本章仅讨论单边拉普拉斯变换，单边拉普拉斯变换简称为拉普拉斯变换或换简称为拉普拉斯变换或拉氏变换拉氏变换。 0这里这里 0是指是指 三、（单边）三、（单边） 拉普拉斯变换拉普拉斯变换1、拉普拉斯变换的拉普拉斯变换的符号表示符号表示2收敛域（存在条件收敛域（存在条件） 3常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换 的拉氏变换简记为的拉氏变换简记为: tf sFtfL 逆变换简记为逆变换简记为: tfSFL 1其变换与逆变换也简记为其变换与逆变换也简记为: sFtf1、拉普拉斯变换的

14、拉普拉斯变换的符号表示符号表示为了使为了使 存在存在，积分式必须收敛积分式必须收敛。对此有如下定理对此有如下定理： 0dtetfst若若因果函数因果函数 ： tf（2）存在某个存在某个 有有 0 0 , 0lim ttetf(1) 在有限区间在有限区间 内可积内可积。bta 那么对于那么对于 ，拉氏积分收敛拉氏积分收敛。 0Re s2收敛域（存在条件收敛域（存在条件）我们称我们称 为为 指数阶的指数阶的。 tf0 例如例如： 0lim 3t3 ttteete 3Re0 s 0lim 2t2 ttteete 2Re0 s 0lim t tett 0Re0 s 0lim t tnnettt 0Re

15、0 s增长比任何指数阶都快，所以不存在拉氏变换。增长比任何指数阶都快，所以不存在拉氏变换。 、 2tet ttt而而另外，要注意还有一类信号：另外，要注意还有一类信号：时限信号时限信号0t2 tf b1T2Tt0 tf a 120TTttdtetfdtetf 对任意对任意 均可积均可积，收敛域为整个收敛域为整个 平面平面。s SRe即即例例5.1-3 求求 其余其余 , 0t0 , 12tgtf的象函数的象函数。 解解：这个信号显然是可积的，且对于任何这个信号显然是可积的，且对于任何 都有都有 0lim ttetf所以收敛域是整个所以收敛域是整个 S 平面平面。3常用信号的拉氏变换常用信号的拉

16、氏变换 00dtedtetftfLststsesesst 1 0setgs 12 SRe例例5.1-4 求求 、 的象函数的象函数。 t t解解： ， 均为时限信号，所以收敛域均为时限信号，所以收敛域为整个为整个 平面平面。 t ts 100 dttdtettLst ssedtdedtettLtsttstst 000 1t St SRe SRe例例5.1-5 求复指数函数求复指数函数 的象函数的象函数。 tetftso 式中式中 为复常为复常数数 0s 00 0000ssedteeteLtsssttsts01ss 0ReRess 解解：特例特例： 100 s stL1 0Re s 2 0 0

17、s steLt1 sRe 3 0 0 s steLt1 sRe 4 0 0 js jsteLtj 1 0Re s 5 0 0 js jsteLtj 1 0Re s01ss 0ReRess tets 0 setgs 12 SRe 1t St SRe SRe 010sstets 0ReRess *.收敛域简单记忆法收敛域简单记忆法 ： sF其中其中 为为 所有极点中实部的最大值所有极点中实部的最大值。 0 的收敛域为的收敛域为： sF Re0 s*.由于单边拉氏变换的积分区间是由于单边拉氏变换的积分区间是 ， 所以所以 ， 与与 的拉氏变换相同的拉氏变换相同。 为简便，时间函数中的为简便，时间函数

18、中的 也常略去不写也常略去不写。 0 ttf tf t 010sstets 0ReRess 010ssets 0ReRess 1.拉氏变换是傅氏变换的拓展，它对信号的拉氏变换是傅氏变换的拓展，它对信号的限制要宽限制要宽的多的多。象函数是。象函数是复变函数复变函数，它存在于收敛域的半平面，它存在于收敛域的半平面内，而傅里叶变换仅是收敛域中虚轴上的函数。内，而傅里叶变换仅是收敛域中虚轴上的函数。3.但拉氏变换也有但拉氏变换也有不足之处不足之处，单边拉氏变换仅适用，单边拉氏变换仅适用于因果信号，而且它们的物理意义不很明显，例于因果信号，而且它们的物理意义不很明显，例有明确的物理含义有明确的物理含义，

19、而而 却没有明确的含义却没有明确的含义。s拉氏变换与傅里叶变换比较拉氏变换与傅里叶变换比较:2. 拉氏变换可同时求解零输入响应和零状态响应，拉氏变换可同时求解零输入响应和零状态响应，且拉氏逆变换容易求得。且拉氏逆变换容易求得。一线性一线性52 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质二二尺度变换尺度变换三三时移时移（延时延时）特性特性四四复频域复频域 ( 域平移域平移) )特性特性s五时域微分特性五时域微分特性(定理定理）六时域积分定理六时域积分定理九初值定理和终值定理九初值定理和终值定理八八S S域微分和积分域微分和积分七七卷积定理卷积定理一线性一线性 21,maxRe s SFasFatfat

20、fa22112211 则则 sFtf11 1Re s 2Re s sFtf22且有常数且有常数21,aa实际上若是两函数之差实际上若是两函数之差,收敛域有可能扩大，收敛域有可能扩大，这是由于位于收敛边界的极点被抵消的缘故。这是由于位于收敛边界的极点被抵消的缘故。例例5.2-1 求单边正弦函数求单边正弦函数 和单边余和单边余弦函数弦函数 的象函数的象函数。 tt sin tt cos解解：因为因为 jeettjtj2sin tjeetjtj 2 jsjjsj 1.211.2122 s 010sstets 而而 0Re s 22sin stt同理因为同理因为 2cos tjtjeet 22 ss

21、teetjtj 2 jsjs 1.211.21 0Re s 22cos stt 22cos sstt 22sin stt 0Re s若若 sFtf 0Re s且有常数且有常数 ，则则0 a asFaatf1 0Reas 证明证明： 0dteatfatfLst令令atx 二二尺度变换尺度变换 01dxexfaaxs 01dtetfatas asFa1得证得证。若若 且且 为实常数则为实常数则 sFtf 0Re s00 t sFettttfst000 0Re s证明证明: 00000dtettttfttttfLst 00tstdtettf 00dxexfesxst sFest0 0Re s三三时移

22、时移（延时延时）特性特性如函数如函数 ，显然显然 与与 不同不同，其象函数也不相同。其象函数也不相同。 t sin 00sintttt ttt 0sin 这里注意一下延时信号是指因果信号这里注意一下延时信号是指因果信号 延时延时 后的信号后的信号 ,并非并非 。 ttf0t tttf0 00ttttf 0tt 00sintttt 00tt ttt 0sin 0时间平移特性可以用来求有始周期函数的拉氏变换。时间平移特性可以用来求有始周期函数的拉氏变换。设设 为有始周期信号为有始周期信号，其周期为其周期为T；而而 表示第一周期的表示第一周期的函数函数，则则 可写成可写成： tf tf1 tf Tt

23、fTtftftf2111 sFtf11 设设 sTesFtf 11 1则则利用时移特性可以求有始周期信号的拉氏变换利用时移特性可以求有始周期信号的拉氏变换: :等于第一周等于第一周期单个函数的拉氏变换乘以周期因期单个函数的拉氏变换乘以周期因子子 .sTe 11综合尺度变换和时移特性有综合尺度变换和时移特性有: : 若若 sFtf 0Re s sabeasFabatbatf 1 0Reas 0, 0 ba其中其中例例5.2-2 求矩形脉冲求矩形脉冲 其余其余 , 0t0 , 12tgtf的象函数的象函数。解解: tttgtf2 sesssF 11ses 1 sRe但两者之差的收敛域比其中任何一个

24、多大但两者之差的收敛域比其中任何一个多大。 0Re s虽然两个阶跃函数的收敛域均为虽然两个阶跃函数的收敛域均为 tft0 例例5.2-3 求在求在 时接入的周期性单位冲激函时接入的周期性单位冲激函数序列数序列 的象函数的象函数。 0t 0nnTt . 20 TtTttnTtn .120 sTsTneenTtL 解解: 这是等比级数这是等比级数。当当 时时 该级该级数收敛数收敛，所以所以 0Re s, 1 sTe sTnenTt 110 0Re s 0nnTt t0 TT2T31 这里象函数的收敛域比任何一个冲激函数的收这里象函数的收敛域比任何一个冲激函数的收敛域都小敛域都小, ,而线性性质的收

25、敛域只适用于有限而线性性质的收敛域只适用于有限个函数求和的形式。个函数求和的形式。 sTnenTt 110 0Re s四四复频域复频域 ( 域平移域平移) )特性特性s若若 且有复常数且有复常数 ，则则 sFtf 0Re saaajs atsssFetfa 0Re as证明证明: dteetfsttsa0 dtetftssa 0 assF 0Re as例例5.2-4 求衰减的正弦函数求衰减的正弦函数 及及衰减的余弦函数衰减的余弦函数 的象函数的象函数. ttetsin ttetcos 22sin stt 0Res 22sin sttet s Re解解：同理同理 22cos ssttet sRe

26、例例5.2-5 已知因果信号已知因果信号 的象函数的象函数 tf 12 sssF求求 的象函数的象函数。 23 tfet解解: 1 2 sssFtf sesFtf3233123 132291123 stesstfesess322.93.31 sess3229 微分定理微分定理: 若若 sFtf 0Re s 00 122ffssFstf 0 001121nnnnnffsfssFstf 01fssFtf则则五时域微分特性五时域微分特性(定理定理）主要用于求解具有初始条件的微分方程主要用于求解具有初始条件的微分方程.收敛域至少是收敛域至少是 0Re s证明证明: 001tdfedtetfstst 0

27、0dtetfsetfstst 0fssF其它结论可由此推得其它结论可由此推得。 00 12ffssFstf 00 12ffssFs 0 1fssFtf sFtf 000s 2123fffsFsstf 000 2123fsffssFs 00 122ffssFstf 0 1fssFtf sFtf 1010nmmmnnnfssFstf 000 21233fsffssFstf如如 00 0 213fffsFtf3s2ss 00 0 0 3214ffffsFtf4s3s2ss如果如果 是因果信号是因果信号，则由于则由于 微分特性具有更简洁的特性微分特性具有更简洁的特性： tf ,.2 . 1 , 0 0

28、0 nfn sFstfnn 0Re s例例5.2-6 若已知若已知 的象函数的象函数为为 ，求求 的象函数的象函数。 tttfcos 12 sssF ttsin解法一解法一： 1sin 221 ssttttf tfttt1sin 1111sin222 sssttL 1cos 2 sstttf 1111sin2222 sssstL112 s例例5.2-6 若已知若已知 的象函数的象函数为为 ，求求 的象函数的象函数。 tttfcos 12 sssF ttsin解法二解法二： 1ost 2 ssctf 11sin 22 sst - tf 11sin2 stt 表示对函数表示对函数 从从 到到 的的

29、 重积分重积分，亦可表示为亦可表示为 。 tfn xf tn dxxfnt 若该积分下限为零，就表示为若该积分下限为零，就表示为： dxxfnt 0六时域积分定理六时域积分定理 nmmmnnntnfsssFdxxftf1101其收敛域至少是其收敛域至少是 和和 相重叠的相重叠的部分。部分。 0Re s 0Re s sFtf 0Re s若若 sFsdxxfnnt10 则则 01111fssFsdxxftft 0101121222fsfssFstf sFtf 0Re s若若 sFsdxxfnnt10 则则证明：设证明：设n=1 dtedxxfdxxfLsttt 000 dttfsedxxfsedx

30、xfLsttstt 0000 sFs1 seddxxfstt00 sFsdxxfnnt10 tttdxxffdxxfdxxfdxxftf010010 sFsfstfL10111 若若 是因果函数是因果函数，则则 tf 00 nf .2 , 1 , 0 n sFstfnn1 证明证明： 01111fssFsdxxftft dttff 010这里这里时域微积分特性：时域微积分特性： 01fssFtf sFtf 0Re s若若 sFsdxxfnnt10 01111fssFsdxxftft若若 是因果函数是因果函数，则则 tf sFstfnn1 sFstfnn时域积分特性也应用于求某些复杂函数的拉普拉

31、斯变时域积分特性也应用于求某些复杂函数的拉普拉斯变换换:先求导先求导,再积分再积分. 再由积分特性得：再由积分特性得：求导求导将将的拉普拉斯变换时，先的拉普拉斯变换时，先在求在求, sFtftgtgtg ，设，设 dxxgt0 ssF ssFgtg 0 sgssFtg 0 再由积分特性得：再由积分特性得：求导求导 将将的拉普拉斯变换时，先的拉普拉斯变换时，先在求在求, sFtgtftgtg ，设，设 dxxgt dxxgsssF 01 ggsssFgtg01 sgssFtg 0 sgssFtg 0下面我们来看一下微分及积分定理的应用：下面我们来看一下微分及积分定理的应用：t032)(2)(2t

32、tf 图图5.2-1 5.2-1 微分与积分特性的应用微分与积分特性的应用t03)(3)(1ttf t03)(3)(4ttf (a)t01)()(5ttf (b)t01)()(3ttf t01)()(6ttf (c)(1) ttftf21 ssFs F321 2 321ttfttf 由图可见由图可见结论：两个函数只要结论：两个函数只要t0是相同的，其拉氏变换就相同。是相同的，其拉氏变换就相同。t032)(2)(2ttf t03)(3)(1ttf 303.01111 ssfssFtfL 123.02212 ssfssFtfL这是由于这是由于 ttf311 ttf 12 tfLtfL1211 可见

33、可见(2) 与与 的拉氏变换相同，其导数的拉的拉氏变换相同，其导数的拉氏变换是否相同？氏变换是否相同？ tf1 tf2t032)(2)(2ttf t03)(3)(1ttf t03)(3)(4ttf (a)t01)()(5ttf (b)结论：两个函数拉氏变换相同，其导数的拉氏变换不一定结论：两个函数拉氏变换相同，其导数的拉氏变换不一定相同。相同。（3） 和和 的一阶导数的拉氏变换相同的一阶导数的拉氏变换相同， 那么那么， 和和 的拉氏变换是否相同？的拉氏变换是否相同？ tf3 tf2 tf2 tf3 165 ttftf sssfssFss F321011252 ssfssFssF10101136

34、3 t032)(2)(2ttf t01)()(5ttf (b)t01)()(3ttf t01)()(6ttf (c)结论：两个函数导数的拉氏变换相同，其拉氏变换不一结论：两个函数导数的拉氏变换相同，其拉氏变换不一 定相同。定相同。例例5.2-7 求三角脉冲求三角脉冲 2 , 0 , 02 , 2220 , 22tttttttf的象函数的象函数。 2 tft01 2 解解：令令 则则 22tftf 2 tft01 2 2 tft 2 0 2 2 t 2 0 2 2 4 2 tf seesFs 2422 ttttf2242 sees22122212 se 22221.212sesFstfLs 例例

35、5.2-8 已知已知 ，利用阶跃函数的积分利用阶跃函数的积分求求 的象函数的象函数。 stL1 ttn解解： 由于由于 ttdxxt 0 ttdxxxdxxtt202021 ttndxxnnt!10 利用积分特性及利用积分特性及 得得 stL1 111.1! nnnssstntL 1! nnsntt 1! nnsntt st1 21stt 322stt 436stt 七卷积定理七卷积定理时域卷积定理：时域卷积定理： 若若因果信号因果信号： 111sRe sFtf 222sRe sFtf则则 sFsFtftf2121 收敛域至少是二者公共部分收敛域至少是二者公共部分。 复频域卷积定理复频域卷积定

36、理： jcjcdsFFjtftf212121 21Re s 21Re sc积分路线积分路线 是是 和和 收敛域重叠收敛域重叠部分内与虚轴平行的直线。它由于计算较繁部分内与虚轴平行的直线。它由于计算较繁，很少应用很少应用。c 1F sF2例例5.2-9 如图所示为如图所示为 接入的周期性矩形接入的周期性矩形脉冲序列脉冲序列 ，求其象函数求其象函数。0 t tf解解：设设 00nnTttftf sFtfO0 sesFtgtfso 12 0 sFetfLsT011 seesTs 11 (a)1)(tf 0TT2t(b)=1)(0tft 0*10 0)(nnTtTT2t c图图5.2-4 方波信号方波

37、信号(b)t10T2T)(2tfsq10tT2T(a)(1tfsq sTTssTsqesseesF22111 11若若 ，则方波信号则方波信号 2T 对称方波对称方波 sTsTsqsqsqeseTtftftf22112112 seesFsTs 11 例例5.2-10 已知某已知某LTI系统的冲激响应系统的冲激响应 ，求输入求输入 时的零状态响应时的零状态响应 。 tetht ttf tyzs解解： thtftyzs sHsFsYzs ssFtf1 11 ssHth 11111.1 sssss Yzs tetttzs y tet 1八八S域微分和积分域微分和积分若若 sFtf 0Re s则则 d

38、ssdFtft nnndssFdtft sdFttf 0Re s 0Re s例例5.2-11求求 的象函数的象函数。 tett 2 解解：法一法一：设设 ssFtetft1 3222 ssFtett 322 stetLt法二法二：令令 322ssFtttf 由移位特性由移位特性 32 ssFtfet例例5.2-11求求 的象函数的象函数。 tett 2 九初值定理和终值定理九初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用来由初值定理和终值定理常用来由 直接求直接求 而不必求出而不必求出 。 sF ff,0 tf 初值定理初值定理:设函数设函数 不包含不包含 及其各阶导数及其各阶导数,且且 tf t

39、sFtf 0Re s则有则有 ssFtffst limlim00 0lim0fssFsfs 00lim02 fsfsFssfs 若函数若函数 包含包含 及其各阶导数及其各阶导数,则则 tf t sFsasaatfppp 10)( ssFfps lim0终值定理终值定理：若函数若函数 当当 时的极限存在时的极限存在，即即 存在且存在且 tf t tfft lim sFtf 0Re s00 则则 ssFfs0lim 注意注意： 收敛域应包括原点收敛域应包括原点 点点，否则不否则不能应用该终值定理能应用该终值定理。0s ssF即即 的极点要限制在左半平面内或是原点处的的极点要限制在左半平面内或是原点

40、处的单极点。单极点。 sF例例5.2-13如果函数如果函数 的象函数的象函数 求原函数的初值和终值求原函数的初值和终值。 tf ssF1 sRe解解： 1limlim0 ssssFfss 0 , 00 , 10 , 0limlim00ssssFfss上式当中上式当中， 时的结果是不正确的时的结果是不正确的。0 5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换对于单边拉普拉斯变换对于单边拉普拉斯变换,象函数象函数 的拉普拉斯逆变换为的拉普拉斯逆变换为： SF jjsttdsesFjttf 0 ,210 , 0 若若 是有理分式是有理分式，可将可将 展开为部分分式展开为部分分式，然后然后求得其原函数求

41、得其原函数 。当然当然,如果直接利用拉氏逆变换表将更如果直接利用拉氏逆变换表将更简便简便. (附录五附录五) SF SF可利用复变函数理论中的围线积分和留数定理求得可利用复变函数理论中的围线积分和留数定理求得.若若 是是s的有理分式的有理分式，可写为可写为： SF 01110111asasasbsbsbsbSFnnnmmmm 式中式中，各系数各系数均为实数均为实数，为简单设为简单设 。1 na mjbniaji, 1 , 0, 1 , 0 若若 ,可用多项式除法将象函数可用多项式除法将象函数 分解为有分解为有理多项式理多项式 和有理真分式之和和有理真分式之和。nm sF sP sAsBsPsF

42、 式中式中 的幂次小于的幂次小于 的幂次。的幂次。 sB sA 6116153125823234 ssssssssF例如例如：61163322232 ssssss , 1stt 22 stt 下面主要讨论有理真分式的情形。下面主要讨论有理真分式的情形。二、二、部分分式展开法部分分式展开法 如果如果 是是 的实系数有理真分式（式中的实系数有理真分式（式中 ) s sFnm 01110111)()()( asasasbsbsbsbsAsBsFnnnmmmm 式中分母多项式式中分母多项式 称为系统的称为系统的特征多项式特征多项式。方程方程 称为称为特征方程特征方程，它的根称为它的根称为特征根特征根。

43、 0 sA sA为了将为了将 展开为部分分式展开为部分分式，要先求出要先求出n个特征个特征根根 称为称为 的极点的极点。 sF iisnis , , 2 , 1 sF一、一、查表法查表法特征根可能是实根特征根可能是实根（含零根含零根）或复根或复根（含虚根含虚根）；）；可能是单根可能是单根，也可是重根也可是重根。分几种情况来讨论分几种情况来讨论 有单极点有单极点 sF有有共轭共轭单极点单极点； sF有重极点有重极点有重有重实实极点极点； 有单有单实实极点极点；有重有重复复极点极点； sF1、 有单极点有单极点（特征根为单根特征根为单根）如果方程如果方程 的根都是单根的根都是单根，其其 n 个个根

44、根 都互不相等都互不相等，那么根据那么根据代数理论，可展开为如下的部分分式：代数理论，可展开为如下的部分分式： 0 sA nisi, 2 , 1 niiinniissksskssksskssksAsBsF12211 issiisFssk )( tekssktsiiii nitsiteKsFLtfi11)()()( 例例5.3-3 求求 的原函数的原函数 。 sssssF23423 tf解解：21)( 321 sKsKsKsF首先我们来看一道首先我们来看一道 有单实极点的情况：有单实极点的情况： sF)2)(1( 23)(23 sssssssA 2|)2)(1()4(| )( 001 sssss

45、ssssFK3)2)(1()4)(1()() 1( 112 ssssssssFsK1)()2( 23 ssFsK21132)( ssssF)()32()( 2teetftt 下面我们再看一道下面我们再看一道 有共轭单极点的情况有共轭单极点的情况： sF例例5.3-4 求求 的原函数的原函数 。 2222 ssssF tf解解： jsjssssA 11 222jsKjsKsF 11)(21411212211121)()1( jjsejjjjsFjsK 41221)()1( jjsesFjsK )()4cos(2 )(2121)()1(44)1(tteteeeetfttjjjtj jsejsesF

46、jj 121121)(44 我们来看一下我们来看一下 之间的关系以及响应与极点的关系之间的关系以及响应与极点的关系.21kk 、下面导出有共轭单极点时，简便实用的关系式：下面导出有共轭单极点时，简便实用的关系式： 0 sA设设 有一对共轭单根有一对共轭单根 jsjs 21 jskjsksF 21可以证明可以证明 12kkjjekkekk 1211 设设 jsekjseksFjj 11取逆变换，得取逆变换，得 )( ) () (1teeeKtjtjt )() cos(2)( 1ttektft jskjsksF 11jsjs 21 若若 11 jekk )()( )(1)(1teeKeeKtftj

47、jtjj )() cos(21tteKt 例例5.3-4 求求 的原函数的原函数 。 2222 ssssF tf解解： jsjssssA 11 22241121)()1( jjsesFjsK 前面的例题：前面的例题：)()4cos(2)(ttetft )() cos(2)( 1ttektft 例例5.3-5 求求 的原函数的原函数 。 2211422223 sssssssssF tf解解： 0 sA有六个单根有六个单根； jskjskjskjsksksksF 111654321 11 21201 sssFskssFk 2321 jjsesFjsk 4315211jjsesFjsk 435232

48、121 21 1 2jjekekkk jsejsejsejsesssFjjjj 1211212121112434322 tetft 2 2cos t 43cos2 tet)() cos(2)( 1ttektft sF2、 有重极点有重极点（特征根为重根特征根为重根）如果如果 在在 处有处有 重根重根，即即 ，而其余而其余 个根个根 都不等于都不等于 。那么那么 可展可展开为如下的部分分式开为如下的部分分式： 0 sAsss 211ss 1snss,1 n sF)()()()()()()(22111112111sAsBssKssKssKsAsBsFrrr 其系数求法其系数求法：1111)()()

49、!1(1)()(21)()()()(111112213112111ssriiissrssrssrsFssdsdiKsFssdsdksFssdsdKsFssK )()()()()()()(22111112111sAsBssKssKssKsAsBsFrrr 1)( nnsntt！ 11)(1)(!11 ntsnsstetn 据此可求出相应的据此可求出相应的)(tf)()()()()()()(22111112111sAsBssKssKssKsAsBsFrrr 11)( nnstnt ！)()(1121ttessts )(111tessts )(21)(11231tetssts 常用常用例例5.3-6

50、 求求 的原函数的原函数 。 2133 ssssF tf21)1()1()(413212311 sKsKsKsKsF解解： 0 sA有一个三重根和一个单根；有一个三重根和一个单根；2| )()1(1311 ssFsK 1)()1(1312 ssFsdsdK 11! 21132213 ssFsdsdK1)()2(24 ssFsK2111)1(1)1(2)(23 sssssF )( )(ttf tet 2tte te te2 )()(1121ttessts )(111tessts )(21)(11231tetssts 常用常用如果如果 有复重根有复重根，例如例如， 有二重有二重复根复根 ，则则 可

51、可 展开为展开为： 0 sA 0 sA sFjs 2 , 1 jskjskjskjsksF2222112211 12221121 ,kkkk可以证明可以证明：系数的求法同上。系数的求法同上。 tttekjsekjsekLtjj11112112111cos21111 ttekjsekjsekLtjj121212121cos21212 例例5.3-7 求求 的原函数的原函数 。 22121 sssF tf 有二重复根有二重复根解解： 0 sA122 , 1js jskjskjskjsksF 22 222222112211 222124221141)()2(42| )()2(jjsjjsesFjsd

52、sdKesFjsK )(2cos214cos21)(22ttettetftt 122 , 1js jskjskjskjsksF 22 222222112211另外，在求逆变换时，应注意利用拉普拉斯变换的另外，在求逆变换时，应注意利用拉普拉斯变换的各种各种性质性质和常用和常用变换对变换对。例例5.3-8 求求 的原函数的原函数 。 112 sesFs tf解解： 112 sesFs test 11 21122 teests 22 tetetfttsess21111 例例5.3-9 求求 的原函数的原函数 。 2222 ssssF tf解解： 2222 ssssF ttettettetfttt 4

53、cos2 sincos 11111122 sss in cos2222 sttssstt例例5.3-10 求求 的原函数的原函数 . tf 1221111 ssesesF ssseseesF2211121 解：先求解：先求 的原函数的原函数。 ssesesF22111 mtttttfm2 21201 0221222mtmtmtmtetf 2212220 mtmtmtm 其波形如图其波形如图： tf1t01234511 tft012345 mtttttfm2 21201 0221222mtmtmtmtetf5.4 5.4 复频域分析复频域分析一、微分方程的变换解；一、微分方程的变换解；二、系统函

54、数；二、系统函数；三、系统的三、系统的S S域框图；域框图；四、电路的四、电路的S S域模型域模型( (自学）；自学）；五、拉普拉斯变换与傅立叶变换；五、拉普拉斯变换与傅立叶变换；一、一、微分方程的变换解微分方程的变换解( (以一个二阶微分方程为例以一个二阶微分方程为例） tfbtfbtfbtyatyaty01201 0,0yy初始状态初始状态对方程两边取拉普拉斯变换对方程两边取拉普拉斯变换： sFtfsYty , 设设 sYa0 sFbssFbsFsb0122 00ysy sYs2 01ya ssYa1 sYasas012 0001yaysy sFbsbsb0122 0001yaysy sF

55、bsbsb0122 sY 012asas sA sM sB 特征多项式特征多项式 sFsAsBsAsMsY sFsBsMsYsA 零输入响应零输入响应的象函数的象函数零状态响应零状态响应的象函数的象函数 sAsMsYzi sFsAsBsYzs 即即例例5.4-1 描述某描述某LTI连续系统的微分方程为连续系统的微分方程为 tftftytyty6223 已知输入已知输入 10 , 20 , yyttf求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：对微分方程取拉普拉斯变换，有解：对微分方程取拉普拉斯变换，有 sFssFsYyssYysysYs622033002

56、 整理得整理得 tftftytyty6223 sA sM sB sFsyysysYss620300232 21143123622 ssssssssFsAsBsYzs 231523722 ssssssAsMsYzi 0,3521 teesYLtyttzizi teesYLtyttzszs 4321 0,232 teetytytyttzszi例例5.4-2 描述某描述某LTI连续系统的微分方程为连续系统的微分方程为 tftftytyty6223 已知输入已知输入 10 , 20 , yyttf 求求 和和 。 0y 0 y解解： 0000000000 zszizizsziziyyyyyyyyyy所

57、以，只要先求出零状态响应即可。所以，只要先求出零状态响应即可。 tftftytytyzszszs6223 sFssFsYssYsYszszszs62232 sssssFssssYzs12362236222 由上题由上题 teetyttzs 432 20 , 00 zszsyy 022000202000 zszsyyyyyy 在第二章从时域角度讨论了系统全响应中的在第二章从时域角度讨论了系统全响应中的自自由响应由响应与与强迫响应强迫响应，瞬态响应瞬态响应与与稳态响应稳态响应的概念。的概念。这里再从这里再从S S域来讨论。域来讨论。例例5.4-3 描述某描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为

58、 已知初始状态已知初始状态 激励激励 ，求系统的全响应求系统的全响应 。 tftytyty265 , 10 , 10 yy tttf cos5 ty解解： sFsAsBsAsMsYsYsYzszi sFssssyysy65265050022 15cos52 ssttLsF sFssssyysysY65265050022sssssssjsejsessssjj 44212133243122 sYzi sYzs sY自自由由 sY强迫强迫1、自由响应象函数的极点等于系统的特征根。自由响应象函数的极点等于系统的特征根。2、系统强迫响应的象函数的极点就是系统强迫响应的象函数的极

59、点就是 的极点，的极点，因而其形式由激励确定。因而其形式由激励确定。 sF可见可见：jsejsessssjj 44212133243122 sYzi sYzs sY自自由由 sY强迫强迫本例中，系统的特征根均为负值，所以自由响应就本例中，系统的特征根均为负值，所以自由响应就是是瞬态响应瞬态响应。激励象函数的单极点的实部为。激励象函数的单极点的实部为0 0，强，强迫响应就是迫响应就是稳态响应稳态响应。一般而言：系统特征根的实部均为负，自由响应是一般而言：系统特征根的实部均为负，自由响应是衰减的，这时自由响应就是瞬态响应。衰减的，这时自由响应就是瞬态响应。若若 的极点为单极点且实部为零，强迫响应为

60、等幅的极点为单极点且实部为零，强迫响应为等幅振荡或阶跃函数的形式。这时强迫响应就是稳态响振荡或阶跃函数的形式。这时强迫响应就是稳态响应。应。)(sF 0,4cos23423232 tteeeetytttt tyzi tyzs ty自由自由 ty强迫强迫二、系统函数二、系统函数 )()()()(sFsAsBsYzs 系统零状态响应的象函数与激励的象函数系统零状态响应的象函数与激励的象函数 之比之比，称为系统函数称为系统函数。用用 表示表示。)(sH sFsYsHzs )( 它仅与系统的结构，元件参数有它仅与系统的结构，元件参数有关，而与激励及初始状态无关关，而与激励及初始状态无关。 )(sHth