《结构动力学》-第0章-习题课

1、例例 如图所示，半径为如图所示，半径为r的均质圆柱可在半径为的均质圆柱可在半径为R的圆轨的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置面内无滑动地、以圆轨面最低位置o为平衡位置左右微摆，为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，并求其固有频率。试导出柱体的摆动方程，并求其固有频率。第第0 0章习题课章习题课解：系统的势能为解：系统的势能为)cos1)(rRmgU系统的动能为系统的动能为222212121CCCAAJmvJTrrRmrJrRvCCC221)(固有频率常数，两边求导就可得由UT例例一个不计质量的悬臂梁端部接一弹一个不计质量的悬臂梁端部接一弹簧，弹簧下端有一质量簧，弹簧下端有一质量m，如图所示

2、，求该系，如图所示，求该系统的固有频率。统的固有频率。解：解： 静平衡时，梁和弹簧受力静平衡时，梁和弹簧受力如图，悬臀梁自由端受一个集如图，悬臀梁自由端受一个集中力中力mg，由材料力学可知，梁，由材料力学可知，梁端点的挠度为端点的挠度为EImgL331弹簧的伸长量为弹簧的伸长量为kmg2重力作用下质量重力作用下质量m的静位移是的静位移是)13(321kEILmg系统的固有频率为系统的固有频率为)3(332EIkLmkEIgn或者悬臂梁与弹簧是或者悬臂梁与弹簧是串联系统串联系统例例 如图所示系统，绳索一端接一质量如图所示系统，绳索一端接一质量m，另一端绕过一转动惯量为，另一端绕过一转动惯量为J的

3、滑轮与弹的滑轮与弹簧相接，弹簧的另一端固定。设绳索无伸簧相接，弹簧的另一端固定。设绳索无伸长，绳索与滑轮之间无滑动。求该系统的长，绳索与滑轮之间无滑动。求该系统的固有频率。固有频率。解：系统的势能为解：系统的势能为系统的动能为系统的动能为2221krU 2222121JmrT常数由UT两边求导得：两边求导得：022Jmrkr 从而可得固有频率。从而可得固有频率。例例求质量为求质量为m、半径为、半径为r的半圆形环向两侧作微小角滚动的半圆形环向两侧作微小角滚动(无滑动无滑动)的固有频率。的固有频率。解：系统的势能为解：系统的势能为系统的动能为系统的动能为cosmgaU221AJT 常数，两边求导得

4、由UT)(2arrgan)cos(2)cos2()cos2(22222222armrraarmmamrraarmmaJmACJJOCA0)(20sinsin)cos(22arrgamgamraarmr 或动能表达式有问题动能表达式有问题例例 如图所示，如图所示， 轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为量为J，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P的物体，绳与轮缘的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径R与与a均已知，求微振动的周期。均已知，求微振动的周期。例例 如图所

5、示，一弹簧质量系统从一倾斜角为如图所示，一弹簧质量系统从一倾斜角为30 的光滑的光滑斜面下滑。求弹簧与墙壁开始接触到脱离接触的时间。斜面下滑。求弹簧与墙壁开始接触到脱离接触的时间。例例列出图示系统运动微分方程。列出图示系统运动微分方程。例例重量重量G=35kN的发电机置于简支梁的中点上（如图的发电机置于简支梁的中点上（如图1），已知梁的惯性矩），已知梁的惯性矩I=0.000088m4，E=210GPa，发电机，发电机转动时其离心力的垂直分量为转动时其离心力的垂直分量为Fsint，且，且F=10kN。若不。若不考虑阻尼，试求当发电机每分钟的转数为考虑阻尼，试求当发电机每分钟的转数为n=500r/

6、min时，时，梁的最大弯矩和挠度（梁的自重可略去不计）。梁的最大弯矩和挠度（梁的自重可略去不计）。 解：在发电机重量作用下，解：在发电机重量作用下，梁中点的最大静力位移为：梁中点的最大静力位移为： 33339535 1042.53 104848 210 108.8 10stGlmEI自振频率自振频率 (固有频率固有频率)为为: 图1FsintG2m2mm(rad/s)3 .621053. 281. 93stng干扰力的频率为干扰力的频率为: 动力放大系数为：动力放大系数为：(rad/s)3 .526050014. 32602n4 . 33 .623 .5211112222n梁中点的最大弯矩为：

7、梁中点的最大弯矩为：max35 43.4 10 46944GFstMMMkN m梁中点的最大挠度为：梁中点的最大挠度为：3333max953(353.4 10) 104484848 210 108.8 104.98 104.98FststGlFlyyEIEImmm 例例惯性式测振仪原理。惯性式测振仪原理。 惯性式测振仪是一个典型的惯性式测振仪是一个典型的“质质量量阻尼阻尼弹簧弹簧”的单自由度系统。的单自由度系统。假定其支承假定其支承(壳体壳体)做简谐振动。做简谐振动。设地面位移为设地面位移为y，质量位移，质量位移x，相对位移，相对位移z运动微分方程运动微分方程)()(yxkyxcxm 或用相对

8、位移或用相对位移z描述的运动微分方程：描述的运动微分方程：ymzkzczm 代入得令tiAey方程的解为：方程的解为：Z为相对位移的振幅为相对位移的振幅tieAmzkzczm2 )(2)()(tintieHAZez)(2HAZn动力放大系数22224)1 (1)(H当当/n1时，即激励频时，即激励频率很高时，率很高时，Z可近似为可近似为:AHAZn)(2测振仪的质量块在惯性空间中几乎保持不动，与结构相测振仪的质量块在惯性空间中几乎保持不动，与结构相接的仪器壳体相对质量块运动接的仪器壳体相对质量块运动,仪器的相对振幅与激励仪器的相对振幅与激励幅值相等，此时仪器用于测量振动位移。幅值相等，此时仪器

9、用于测量振动位移。当当/n1时，即激励频率时，即激励频率远小于系统固有频率，有远小于系统固有频率，有:即即Z与测振仪壳体与测振仪壳体(地面地面)的加速度幅值的加速度幅值YA2成比例，成比例，此时测振仪可用做加速度计。此时测振仪可用做加速度计。2nAZ例例推导图示系统的频率方程，推导图示系统的频率方程，假定绳索通过圆筒时没有滑动。假定绳索通过圆筒时没有滑动。解：质量块应用牛顿运动定律，对圆解：质量块应用牛顿运动定律，对圆筒用定轴转动微分方程筒用定轴转动微分方程221221121)()(rmJrxrkrkJrxkxmOO 0)(02211111rkkrxkJrkxkxmO ，代入微分方程得令：tB

10、tAxsinsin0)(0)(2222111211BJrkrkrAkrBkAmkO02221212112214mmkkmkmkk例例图示系统，凸轮外半径为图示系统，凸轮外半径为R，内半径为，内半径为r，关，关于质心的回转半径为于质心的回转半径为，已知，已知m1，m2，k1，k2和和k3，试建立系统运动微分方程。，试建立系统运动微分方程。例例一个弹簧联系两个装在相一个弹簧联系两个装在相同圆轴上的相同的转子，转动惯同圆轴上的相同的转子，转动惯量为量为J。建立系统运动微分方程，。建立系统运动微分方程，并求固有频率。并求固有频率。1k2a例例图质量为图质量为m、半径为、半径为r的两个相同的圆柱体，它们

11、之间的两个相同的圆柱体，它们之间用弹簧用弹簧k1联系，右侧的圆柱体用弹簧联系，右侧的圆柱体用弹簧k2与固定面连接。设圆与固定面连接。设圆柱体自由地在水平表面上滚动，请推导系统的运动微分方程。柱体自由地在水平表面上滚动，请推导系统的运动微分方程。1k12k20)(2302322111221111kkkmkkm 答案：答案：例例一质量为一质量为M、半径为、半径为r的均质实心圆柱体在质的均质实心圆柱体在质量为量为m的车子上无滑动地滚动。车辆用弹簧常数为的车子上无滑动地滚动。车辆用弹簧常数为k1、k 2的弹簧连接，并在水平表面自由滑动。用拉的弹簧连接，并在水平表面自由滑动。用拉格朗日方程求系统的运动微

12、分方程。格朗日方程求系统的运动微分方程。解：系统的动能为解：系统的动能为22221212121OOJxMxmTrxxMrJOO12221 例例 如图所示悬臂梁，长为如图所示悬臂梁，长为L，抗弯刚度为，抗弯刚度为EJ在中点和在中点和自由端分别有集中质量自由端分别有集中质量m，忽略梁本身的质量，试写出系统横，忽略梁本身的质量，试写出系统横向振动的微分方程，并求出固有频率和画出相应的主振型。向振动的微分方程，并求出固有频率和画出相应的主振型。PLc梁的挠曲线方程为梁的挠曲线方程为LxccxEIPcw)3(62例图示振动系统，已知机器质量例图示振动系统，已知机器质量m1=90kg，动力消振，动力消振器

13、质量器质量m2=2.25kg，若机器上有一偏心块质量，若机器上有一偏心块质量m=0.5kg，偏，偏心距心距e =1cm，机器转速，机器转速n=1800 r/min。(1) 建立系统运动微建立系统运动微分方程；分方程；(2) 消振器的弹簧刚度消振器的弹簧刚度k2为多大时，才能使机器的为多大时，才能使机器的振幅为零？振幅为零？ 解：系统运动微分方程：解：系统运动微分方程： 1k2mm1m2ke1k0sin)2(22122222212111xkxkxmtmexkxkkxm 6060/2n设设 tXxtXxsinsin22110)()2(22221222212121XmkXkmeXkXmkk要使机器振

14、幅为零，应使要使机器振幅为零，应使X20，即有，即有 22222212122222)()2()(kmkmkkmkmeX)/(79944)60(25. 22222mNmk例求图示五自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。例求图示五自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。2m3m4m5m1k2k3k4k5k1x2x3x4x5x1m例例写出图示系统的刚度矩阵和柔度矩阵。写出图示系统的刚度矩阵和柔度矩阵。例例图示一平移系统，设所有接触面光滑，图示一平移系统，设所有接触面光滑，写出该系统运动微分方程。写出该系统运动微分方程。例例用第一瑞利商和第二瑞利商求图示系统用第一瑞利商和第二瑞利商求图示系统的第一阶固有频率估值。的

15、第一阶固有频率估值。例例用矩阵迭代法求图示系统的第一阶固有用矩阵迭代法求图示系统的第一阶固有频率和振型，精确到小数点后两位有效数字。频率和振型，精确到小数点后两位有效数字。假设初始振型向量为假设初始振型向量为1 3 4。例例 一长度为一长度为L的杆，一端紧固，另一端用常数为的杆，一端紧固，另一端用常数为k的的弹簧连结，如图示。推导系统的频率方程。弹簧连结，如图示。推导系统的频率方程。xk解：杆的纵向振动一般表达式：解：杆的纵向振动一般表达式： 边界条件：边界条件：LxxuAEtLkutu),(0), 0(tEtDxCAxCAtqxtxunnnncossincossin)()(),(21LCCAELCkAnnncossin02kCAELCnntan考虑特殊情况：考虑特殊情况：k0和和k的固的固有频率和振型有频率和振型例例 推导一长度为推导一长度为L、一端固支另一端铰支的均匀梁、一端固支另一端铰支的均匀梁横向振动的频率方程。横向振动的频率方程。解：梁横向振动振型函数一般解：梁横向振动振型函数一般表达式：表达式： 边界条件为：边界条件为：xyxDxCxBxAxsincossh