向量的极化恒等式与等和线的应用_学生版

1、极化恒等式引例：平行四边形是表 你能用向量方法证明：示向量加法和减法的几 何模型。 平行四边形的对角线的 平方和等于两条邻边平方和的两倍.证明：不妨设AB a, AD b,则 AC a b,DB a b,|Ac|2 AC2 2_.2DB DB-2a b- 一 2a bH2付2_ r 22a b bT ff 22a b b(1)(2)(1) (2)两式相加得:屈2阐2 2|F2 AB2 AD2.下载可编辑结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍思考1:如果将上面(1) (2)两式相减，能得到什么结论呢？2 一 - 2a b= - a b a b 极化恒等式4对于上述恒等式，用向量运

2、算显然容易证明。 那么基于上面的引例， 你觉得极化恒等式 的几何意义是什么？ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与1“差对角线”平方差的 1.4即:a b 1 AC 2 |DB 24(平行四边形模式)思考：在图1的三角形ABD ( M为BD的中点)，此恒等式如何表示呢?. _ _ _ , 2 12因为AC 2AM，所以a b AM | 1DB (三角形模式)uuu uuur例1.(2012年浙江文15)在 ABC中，M是BC的中点，AM 3, BC 10,则AB AC 目标检测（2012北京文 13改编）已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点E是AB边

3、上的动点，则 DE- DA的值为 .例2.（自编）已知正三角形 ABC内接于半径为2勺圆O,点P是圆O上的一个动点, 则PA PB的取值范围是.目标检测22（2010福建文11）若点O和点F分别为椭圆y % 1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为（）A2B.3C.6D.81 例3. （2013浙江理7）在 ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B AB ,且对于边AB 4uuu uur上任一点P，恒有PB PCuuur uuurRB PC。则（）A. ABC 90o B.BAC 90o C. AB AC D.AC BC例4. （2017全国2理科12）已知 ABC

4、是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点, uurr uuu uuir则PA （PB PC）的最小是（）c34,A. 2 B. C. D.123课后检测1 .在 ABC中， BAC 60o若AB 2, BC J3 , D在线段AC上运动，DB DA的最小值为2 .已知AB是圆O的直径,AB长为2, C是圆O上异于A, B的一点,P是圆。所在平面上uur uuu uuir任意一点，则 PA PB PC的最小值为 3 .在 ABC中，AB 3, AC 4, BAC 60o,若P是 ABC所在平面内一点，且 uuu uuurAP 2,则PB PC的最大值为2X 24 .若点。和点F( 2,0)分

5、别是双曲线-y y 1(a 0)的中心和左焦点，点P为双曲线 auuu uuu右支上任意一点则 OP FP的取值范围是5.在 Rt ABC , ACBC 2,已知点P是 ABC内一点，则PC (PA PB)的最小6.已知A、B是单位圆上的两点,。为圆心，且 AOB 120o,MN是圆O的一条直径,点C在圆内，且满足OC OA (1)OB(01),则CM CN的取值范围是()1_一 3A.1 1 B .1,1C .- 024,D.1,07 .正 ABC边长等于"3,点P在其外接圆上运动，则 AP PB的取值范围是（A.3 32,2B.3 12, 2C.2, 2D.1 12,28 .在锐

6、角 ABC中，已知Buur uuurAB AC 3uur uur2 ,则AB AC的取值范围是（2008折江理9）已知a,b是平面内2个互相垂直的单位向量,若向量c满足9. （a c） （b c） 0,则c的最大值是（）.<-,2A.1B.2C. 2 D.2平面向量基本定理系数的等和线【适用题型】平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。【基本定理】(一) 平面向量共线定理uuuuuiruuur已知OA OB OC ,若 1 ,则A,B,C三点共线；反之亦然(二)等和线uuu uuiruuru uuu平面内一组基底 OA, OB及任一向量OP, OPuuuOA

7、uuirOB(R),若点P在直线AB上或者在平行于 AB的直线上，则k (定值)，反之也成立，我们把直线 AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。(1) 当等和线恰为直线 AB时，k 1;(2) 当等和线在。点和直线AB之间时，k (0,1);(3) 当直线AB在点。和等和线之间时，k (1,);(4)当等和线过O点时，k 0；(5) 若两等和线关于 。点对称，则定值k互为相反数;【解题步骤及说明】1、确定等值线为1的线；2、平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起

8、点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。【典型例题】例1、给定两个长度为1的平面向量1A和OB1,它们的夹角为120°,如图所示，点 C在以O为圆心的圆弧 Ab上变动。uuur uur uuu若OC xOA yOB ,其中x, y R ,则x y的最大值跟踪练习：已知1 uuur。为 ABC的外心，若cos ABC - , AO 3uuuABuurAC ,则一下载可编辑最大值为例2、在平面直角坐标系中,uuuO为坐标原点，两定点 A, B满足| OA |uuu uuu

9、uuu|OB | OA OB 2 ,uuuuuuuur则点集P|OPOAOB,| | | | 1,R所表示的区域面积为例3、如图，在扇形OAB中,AOB 600, C为弧AB上不与A, B重合的一个动点,.下载可编辑umruur uuuOC xOA yOB，若 u x y (0）存在最大值，则的取值范围为跟踪练习：在正方形uuirujur设 AE xAD【强化训练】1、在正六边形ABCD中，E为BC中点，P为以AB为直径的半圆弧上任意一点, uuuy AP ,则2x y的最小值为 .uuuumrujurABCDEF中，P是三角形CDE内（包括边界）的动点，设AP xAB yAF ,则x y的取

10、值范围2、如图，在平行四边形 ABCD中，M ,N为CD边的三等份点,S为AM,BN的交点，Puur为边AB上的一动点，Q为 SMN内一点（含边界），若PQuuuu uurxAM yBN，则 x y的取值范围123、设D,E分别是 ABC的边AB, BC上的点，AD AB, BE - BC ,若23uur uur uurDE 1AB2 AC （ i, 2为实数），则i 2的值为.4、梯形ABCD中，AD uuur uuu 括边界），AP xABAB, AD DC 1, AB 3, P为三角形BCD内一点（包 uuuyAD ,则x y的取值范围.uur uur _ uur uuu5、已知 |OA

11、| 1,|OB | 於,OA OB0 ,点C在 AOB内，且AOC 300 ,设uurOCuuu uur mmOA nOB,则m的值为n6、在正方形ABCD中, uuuuuur点，设AC xDEE为AB中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意 uuryAP ,贝U x y的最小值为 .uuuiruuu uuu uuur uuur7、已知|OM | |ON | 1 , OP xOM yON（x,y为实数）。若 PMN为以M为直角顶点的直角三角形，则 x y取值的集合为uuu uuir uuuruuur8、平面内有三个向量OA,OB,OC ,其中 OA,uurn uuu uuurnOB夹角为120°, OA,OC的夹角为30°,且uuu uur|OA| |OB| 1uuuuur uuu uuu|OC | 2V3 ,若 OC mOA nOB ,则 m n 的值为9、如图，A, B,C是圆O上的三点，C