212椭圆的简单几何性质

1、观察与分析观察与分析1. 你能说出它们具有哪些特点吗？你能说出它们具有哪些特点吗？yxO2.观察椭圆观察椭圆12222xy+=ab（ab0）的形状，你能看出它的范围吗？的形状，你能看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊呢？些点比较特殊呢？ 这节课就让我们一起学习和研究椭圆这节课就让我们一起学习和研究椭圆的简单的几何性质的简单的几何性质知识与能力：知识与能力：了解用方程的方法研究图形的对称性；了解用方程的方法研究图形的对称性； 理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；称中心、离心率、顶点的概念；

2、 掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题义解决实际问题. 过程与方法：过程与方法：注重数形结合，掌握解析法研究几何问注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重培养学生的能力；题的一般方法，注重培养学生的能力；注重探索能力的培养注重探索能力的培养.情感态度与价值观：情感态度与价值观：在合作、互动的教学氛围中，培养学生科在合作、互动的教学氛围中，培养学生科学探索精神，激励学生创新学探索精神，激励学生创新 让学生参与利用信息技术探究点的轨迹让学生参与利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣问题，培养学生学习数学的兴趣.重点：重点：难点：难

3、点：认识生活中的椭圆，及其特点认识生活中的椭圆，及其特点.掌握椭圆的简单几何性质掌握椭圆的简单几何性质.一一.范围：范围： oxy图图2.2-5由由12222xy+=ab22221byax同理可得：同理可得：|y|b 说明：椭圆位于直线说明：椭圆位于直线x=a和和y=b所围成的矩形之中，如图所围成的矩形之中，如图2.2-5. 所以椭圆上点的坐标都所以椭圆上点的坐标都适合不等式：适合不等式：1 即即: |x|a22ax二二. 对称性对称性:F1F2xyO图图2.2-6 经过观察图经过观察图2.2-6，我，我们可以发现椭圆既是轴对称们可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形图形，又是中心对称图

4、形.在椭圆在椭圆12222xy+=ab（ab0）把）把y换成换成-y方方程不改变程不改变,所以曲线所以曲线关于关于x轴对称轴对称. 若把若把x换成换成-x方程也不改变方程也不改变,所以曲线所以曲线关于关于y轴轴对称对称. 若把若把x换成换成-x同时把同时把y换成换成-y方程不变方程不变,所所以曲线以曲线关于原点对称关于原点对称.结论结论 由上述可知，椭圆关于由上述可知，椭圆关于x x轴、轴、y y轴对称，坐标轴就是椭圆的对称轴对称，坐标轴就是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心轴，原点是椭圆的对称中心. .对称对称中心叫做椭圆的中心中心叫做椭圆的中心. .三三. 顶点顶点:在椭圆在椭圆12222

5、xy+=ab（ab0）中，中，令令x=0，那么那么y= , 说明椭圆与说明椭圆与 y轴的交点是（轴的交点是（0， b ）b令令 y=0，得，得 x= , 说明椭圆与说明椭圆与 x轴的交点是轴的交点是a椭圆和对称轴的交点叫做椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆的顶点. 如右图，椭圆与对称如右图，椭圆与对称轴有四个交点：轴有四个交点：A1、A2、B1、B2oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2（a ，0 ）. 且且A1、A2、B1、B2这四这四个交点叫做个交点叫做椭圆的顶点椭圆的顶点. 线段线段A1A2叫做椭圆的叫做椭圆的长轴长轴，它的长等于它的长等于2a， a叫做椭圆的叫做椭圆的长半轴长长

6、半轴长. 线段线段B1B2叫做椭圆的叫做椭圆的短轴短轴，它的长等于，它的长等于2b， b叫做椭圆的短半轴长叫做椭圆的短半轴长.oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2ab四四. 离心率：离心率：图图2.2-6 观察图观察图2.2-6，我们发现，我们发现椭圆的扁平程度不一，那么椭圆的扁平程度不一，那么用什么量可以刻画椭圆的扁用什么量可以刻画椭圆的扁平程度呢？平程度呢？我们接下来讲的我们接下来讲的离心率离心率就可以刻画就可以刻画.ca离心率离心率：椭圆的焦距与长轴长的椭圆的焦距与长轴长的比比 叫做离心率叫做离心率. 用用e表示，记做表示，记做e= .cayxO图图2.2-7如图如图2.2-7，

7、椭圆椭圆12222xy+=ab（ab0）的长半轴为的长半轴为a，半焦距为，半焦距为c.保持长保持长半轴半轴a不变，改变椭圆的半焦距不变，改变椭圆的半焦距c，可以发现，可以发现，c越接近越接近a，椭圆越扁，椭圆越扁平平.所以用所以用a、c这两个量可以刻画这两个量可以刻画椭圆的扁平程度椭圆的扁平程度.1. 离心率的取值范围：离心率的取值范围：因为因为ac 0，所以，所以1e0.2. 离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：1）e 越接近越接近 1, c 就越接近就越接近 a, 从而从而 b就越小就越小, 椭椭 圆就越扁圆就越扁.2）e 越接近越接近 0, c 就越接近就越接近 0, 从而从

8、而 b就越大就越大, 椭椭 圆就越圆圆就越圆.3）当且仅当）当且仅当a=b时，时，c=0，这时这两个焦点重，这时这两个焦点重合，图形变成圆，它的方程为合，图形变成圆，它的方程为x2+y2=a2.例例1：解：解：由方程可知，由方程可知，a=4，b=3，则，则c=求椭圆求椭圆 的离心率、顶点坐标的离心率、顶点坐标. 22xy+=116916 97 所以这个椭圆的离心率所以这个椭圆的离心率e=.c7c7= =a4a4 顶点坐标为顶点坐标为A1（4，0），），A2（-4，0），），B1（0，3），），B2（0，-3）.例例2：求满足长轴与短轴之和为，焦距为求满足长轴与短轴之和为，焦距为4 5的椭圆方程

9、的椭圆方程.解：解：当焦点在当焦点在x轴上时，轴上时，2222xy+=1(a b 0)ab设所求椭圆的方程为设所求椭圆的方程为由题意，得由题意，得2a+2b = 202c = 4 5即即a+b =1022a -b = 20解得解得a=6，b=4继续解答继续解答1163222yx所以焦点在所以焦点在x轴上的椭圆的方程为轴上的椭圆的方程为1163222yx同理可求当焦点在同理可求当焦点在y轴上椭圆的方程为轴上椭圆的方程为1361622yx因此，所求的椭圆的方程为因此，所求的椭圆的方程为1361622yx和和例例3：lyxOF.MdH图图2.2-8 点点M（x，y）与定点）与定点F（4，0）的距离和

10、它到直线的距离和它到直线l： 的距离的距离的比是常数的比是常数 ，求点，求点M的轨迹的轨迹.25=4x45 解：解：设设d是点是点M到直线到直线l： 的距离，的距离，根据题意，点根据题意，点M的轨迹就是集合的轨迹就是集合25=4x|MF|4P = M|=5，d继续解答继续解答由此得由此得22-4 +4=.255|-|4（）xyx将上式两边平方，并化简，得将上式两边平方，并化简，得9x2+25y2=225，即即1.25922xy 所以，点所以，点M的轨迹是长轴、短轴分别的轨迹是长轴、短轴分别为为10、6的椭圆的椭圆.（图（图2.2-8）lyxOF.MdH图图2.2-81. 范围：范围： 椭圆椭圆

11、 （ab0）位于直线）位于直线x=a和和y=b所围成的矩形框内所围成的矩形框内.12222xy+=ab2. 对称性：对称性： 椭圆关于椭圆关于x轴、轴、y轴都是对称的，坐标轴轴都是对称的，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心是椭圆的中心椭圆的对称中心是椭圆的中心.3. 顶点：顶点： 椭圆与它的对称轴椭圆与它的对称轴x x轴，轴，y y轴的四个交点轴的四个交点叫做椭圆的叫做椭圆的顶点顶点. .oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2 椭圆椭圆 顶点坐顶点坐标分别为标分别为A1（-a，0），），A2（a，0）,B1（0，-b），），B

12、2（0，b）如图所示）如图所示.12222xy+=ab4. 离心率离心率 把椭圆的焦距与长轴长的比把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭称为椭圆的圆的离心率离心率，用，用e表示，即表示，即e= ，取值范，取值范围为围为0eb0）的左右焦点分别为）的左右焦点分别为F1,F2，离心率，离心率 ，右准线，右准线为为l，M,N是是l上的两个动点，上的两个动点，2222+= 1xyab2=2e120FM F N （）若）若 ，求，求a，b的值；的值； （）证明：当）证明：当|MN|取最小值时，取最小值时， 与与 共线共线.122 5FMFN 12FM FN 12FF 解：解：由由a2-b2=c2与与 ，得，得

13、 a2=2b2 ， 2=2aec1222F-a 0Fa 022， ，l的方程为的方程为2xa1222MayNay，设设则则1122322F M =ayF N =ay22 ，由由120FM F N 212302y ya 得得（）由）由12F M = F N = 25 ，得得22132a+ y= 2522222a+ y= 252 由由、三式，消去三式，消去y1，y2，并求得，并求得a2=4 故故2= 2,=22ab（） 23222212121 21 21 21 2MN = y -y=y +y -2y y -2y y -2y y =-4y y =6a当且仅当当且仅当126y =-y =a2或或216

14、y =-y =a2时，时，|MN|取最小值取最小值62a此时，此时， 1212121 23 22FM+FN=a y +a y = 2 2a,y +y = 2 2a,0 =2FF22 ，故故12FMF N 与与12F F 共线共线.2. （2008北京文）北京文）已知已知ABC的顶点的顶点A，B在椭圆在椭圆 上，上，C在直线在直线l:y=x+2上，上，且且ABl.（）当）当AB边通过坐标原点边通过坐标原点O时，求时，求AB的的长及长及ABC的面积；的面积；（）当）当ABC=90，且斜边，且斜边AC的长最大的长最大时，求时，求AB所在直线的方程所在直线的方程.2234xy解：解：（）因为）因为AB

15、l，且，且AB边通过点（边通过点（0，0），所以），所以AB所在直线的方程为所在直线的方程为y=x.设设A，B两点坐标分别为（两点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由由22x +3y = 4,y = x得得x =1,所以所以12AB =2 x -x= 2 2.又因为又因为AB边上的高边上的高h等于原点到直线等于原点到直线l的距离，的距离，所以所以 h= ,SABC= |AB|h=2212（）设）设AB所在直线的方程为所在直线的方程为y=x+m.由由22x +3y = 4,y = x+m得得224x +6mx+3m -4=0.因为因为A，B在椭圆上，在椭圆上，所以所以21264 0.m设

16、设A，B两点坐标分别为（两点坐标分别为（x1,y1），（），（x2,y2）.则则212123m3m -4x +x = -,x x =,24所以所以21232-6mAB =2 x -x =.2 又因为又因为BC的长等于点（的长等于点（0,m）到直线）到直线l的距的距离，即离，即2-mBC =.2所以所以22222AC = AB + BC =-m -2m+10=-(m+1) +11. 所以当所以当m=-1时，时，AC边最长边最长.（这时（这时=-12+640）此时此时AB所在直线的方程为所在直线的方程为y=x-1.3. （2008安徽理）安徽理）设椭圆设椭圆 （ab0）过点过点 ，且着焦点为，且着

17、焦点为 2222+= 1xyab( 2,1)M1(2,0)F （）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程；（）当过点）当过点 的动直线的动直线l与椭圆与椭圆C相交相交与两不同点与两不同点A,B时，在线段时，在线段A,B上取点上取点Q，满足满足|AP|QB|=|AQ|PB|，证明：点，证明：点Q总在总在某定直线上某定直线上.(4,1)P解：解：(1)由题意：由题意： ，解得，解得 ，222222c = 221+=1abc = a -b224,2ab所求椭圆方程为所求椭圆方程为 22142xy（2）设点设点Q、A、B的坐标分别为的坐标分别为 1122( , ),( ,),(,)x yx yxy由题设知由题

18、设知AP , PB , AQ , QB 均不为零，均不为零，记记APAQ =PBQB 则则0且且1又又A，P，B，Q四点共线，四点共线，从而从而,APPB AQQB 于是于是1241xx1211yy121xxx121yyy从而从而 22212241xxx（1）2221221yyy（2）又点又点A、B在椭圆在椭圆C上，即上，即221124,(3)xy222224,(4)xy（1）+（2）2并结合（并结合（3），（），（4）得）得424sy即即 点总在定直线点总在定直线 上上.( , )Q x y220 xy1.填空题填空题 （1）已知椭圆中心在原点，一个焦点是）已知椭圆中心在原点，一个焦点是F

19、（2 ，0），且长轴长是短轴长的），且长轴长是短轴长的2倍，倍，则该椭圆的标准方程是则该椭圆的标准方程是_. 322+= 1164xy（2）分别是椭圆的左右焦点，）分别是椭圆的左右焦点，AB为其过为其过点且斜率为点且斜率为1的弦，则的值为的弦，则的值为 _.4652.选择题选择题（1）方程表示焦点在）方程表示焦点在y轴上的椭圆，则轴上的椭圆，则k的取值的取值范围是（范围是（ ）A（0，+） B（0，2）C（1，+）D（0，1）D（2）若椭圆两准线间的距离等于焦距的）若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，倍，则这个椭圆的离心率为则这个椭圆的离心率为 （ ） A B C D 14222412D3.解

20、答题解答题（1）椭圆）椭圆 （a b0）与直线）与直线x+y=1交于交于P、Q两点，且两点，且 ，其中，其中O为为坐标原点坐标原点.求求 的值；的值；.若椭圆的离心率若椭圆的离心率e满足满足 e ，求椭圆，求椭圆长轴的取值范围长轴的取值范围.2222xy+= 1abOQOP 2211+ab3322解：解：设设P（x1，y1），由），由OP OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 01122Qy =1-x ,y =1-x ,代入上式得：12122x x -(x +x )+1= 0 2222xy+= 1ab222222(a +b )x -2a x+a (1-b ) = 0又将又将y=1-x代

21、入，代入，212222a 0,x + x =,a +b221222a (1-b )x x =a +b代入代入化简得化简得2211+= 2ab . 又由又由.知知 ，长轴长轴 2a .6, 52211121-,32232222222cbbbe =1-aaaa 222=2-1aba2112535622-1342222aaa （2）中心在原点，一焦点为）中心在原点，一焦点为F1（0，5 ）的）的椭圆被直线椭圆被直线y=3x2截得的弦的中点横坐标截得的弦的中点横坐标是是 ，求此椭圆的方程，求此椭圆的方程. 212解：解：设椭圆：设椭圆： （ab0），），则则a2b2=50 又设又设A（x1，y1），）

22、，B（x2，y2），弦），弦AB中点（中点（x0，y0） x0= ，y0= 2= .2222+= 1xyab123212由由2211222222121222222222222012AB2120yx+=1y -yx -xab=-abyx+=1abxy -yak=-=3a =3bx -xby 解解，得：得：a2=75，b2=25，椭圆为：，椭圆为：22+= 1 .7 52 5yx（3）椭圆）椭圆C： （ab0)的两个焦点的两个焦点为为F1，F2，点，点P在椭圆在椭圆C上，且上，且PF1F1F2，|PF1|= ，|PF2|= . 求椭圆求椭圆C的方程；的方程； . 若直线若直线l过圆过圆x2y24x2y=0的圆心的圆心M，交椭圆交椭圆C于于A，B两点，且两点，且A，B关于点关于点M对称，对称，求直线求直线l的方程的方程 12222xy+=ab43143解：解： .用椭圆定义及基本量法可以求得椭用椭圆定义及基本量法可以求得椭圆方程为圆方程为 ； 22+= 194xy .设设A(x1,y1)、B(x2,y2),直线直线l过点过点M（2，1），设直线方程为），设直线方程为y=k(x2)1，代入椭圆方，代入椭圆方程得（程得（49k2)x2(36k21