2-5第五节 函 数 的 微 分

1、高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系第五节第五节 函函 数数 的的 微微 分分一、微分的定义一、微分的定义 设边长为x0的一块正方形金属片， 均匀受热后其边长增加了x， 问此片的面积增加了多少？ 设受热后金属片的边长为x， 则面积为 x2=（x0+ x)2 受热后面积的增量为xxxxxxxxS020202022)(xx0 xx0高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系定义定义 如果函数y=f(x)在点x0的增量能分成两部分的和,其中一项为的线性函数A x(A与 x无关),另一项是较x高阶的无穷小,) 1 ( )( xoxAy有则称

2、函数y=f(x)在x0点可微,并称A x为函数y=f(x)在点x0的微分 记作 dy|x=x0 或 df(x)|x=x0 即00| )(|xxxxxdfxAdy当A0时,把A x 叫做y的线性主要部分当 x很小时,我们可把函数的增量看为函数的微分.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系设函数y=f(x)在点x0可微,根据定义则有 下面我们研究可导和可微的关系 (1) 可微就可推出可导xxoAxyxoxAy)()(2) 可导也可推出可微 如果y=f(x)在点x0可导,即有Axfxyx)(lim00由极限和无穷小的关系,得到xxxfyxfxyx)()0lim()(0

3、0所以,f(x)在点x0可导,且A=f(x0).高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系上面表示可微 可导 由于f(x)和 x 无关,且 所以上式相当(1)式,)( xx 定理 函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是f(x)在点x0 今后我们把可导和可微不严格区分而混合使用. dy/dx可看成除法的形式.Axf)(0f(x)在点x0可微.且xxfdyxx)(|00 可导,且高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例1 求函数y=x4在x=3处的微分解: dy|x=3=(x4)|x=3 x =4x3|x=3 x =108 x 例2 求

4、函数y=x3-x当x=2, x =0.01时的微分解: dy|x=2=(x3-x)|x=2 x =(3x2-1)|x=2 x =11*0.01=0.11高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系二二. 微分的几何意义微分的几何意义 为了对微分有比较直观的了解,我们来说明微分的几何 意义。在直角坐标系中，函数y=f(x)的图形是一条曲线。 对于某一固定的值x0，曲线上有一个确定点M (x0,y0)，当 自变量x有微小增量x时, 相应函数有微小增量y， 从而得到曲线上另一点N(x0+x,y0+y)x0 x0+xY=f(x)dyxMNQPyT 从图可见 MQ=x, QN=

5、y 过M点作曲线的切线MT, 它的倾角为, 则QP=MQtg=xf(x0) 即dy=QP高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 由此可见,当y是曲线y=f(x)上点的纵坐标的增量时,dy就是曲线上相应点的切线纵坐标的增量,当| x|很小时,| y-dy| 比 |x| 小得多，因此在点M邻近，可用切线段来近似代替曲线段.三三. 基本初等函数的微分公式与微分运算法则基本初等函数的微分公式与微分运算法则 从函数微分表达式 dy=f(x)dx 可以看出要计算函数的微分值是把函数的导数，再乘以自变量的微分。由此可得如下微分公式和微分运算法则. 高等数学电子教案高等数学电子

6、教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系221)18( 1)17(xdxdarcctgxxdxdarctgx 同学们,如果能将此表从左到右,或从右到左地记熟它们, 对今后的演算积分是大有好处的.shxdxdchxchxdxdshx)20( )19(221)22( )21(xdxdarshxxchdxdthx221)24( 1)23(xdxdarthxxdxdarchx为常数）CCduCuddvduvud( )()26( )()25(2)()28( )()27(vudvvduvududvvduuvd高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系三三. 微分形式的不变性微

7、分形式的不变性 与复合函数求导法则相对应的微分运算法则为下面的 微分形式不变性质. 设 y 是由 y=f(u)，u=g(x) 复合而成的x的函数，则由xuxuyy 对照 dy=yxdx, 公式dy=yudu 说明不论u是自变量还是中间变量,函数微分的形式是完全一样的,此即称为微分形式不变性质.duydyduydxuydxydyuuxux高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例4 利用函数微分的不变性,求函数y=e1-2x2的微分和导数 解: 将1-2x2看成中间变量udxxexdedyxx22212214)21 ( 利用微分不变性质求函数的微分,比直接用公式 d

8、y=f(x)dx 求微分更有规律性,不容易出错.)()( 22可导已知 fxxfy例5 求函数的微分2214xxxey)()( :22xxfy解)()()()( 2222xxdxxfdy)()(2)()()()( 2222xdxxdxxxfdxxxxxxxf)()(2)(2)()( 222高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系四四. 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用1. 近似计算 如果函数y=f(x)在点x0处可导，且f(x0)0，我们知道当| x |很小时有近似公式: ydy 即),1 (,)()()(000 xxfxfxxf如果知道f(x0)，f

9、(x0)就可以利用(1)式计算增量 y,利用(2),(3)式计算函数值。特别是若 x0=0, x在原点附近, 有 x=x,）（4 )0()0()(xffxf)2(,)()()(000 xxfxfxxf00 xxxxxx)3( ),)()()(000 xxxfxfxf高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 当|x|很小时,由(4)式可推出下列常用的近似公式:xffxf)0()0()(xxx01)01ln()1ln(xxx0cos0sinsinxxtgxfftgx0cos0)0()0( 2xxeexffex1)0()0( 00nxxnxnnn1)01 (1011 1

10、1高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例1 计算sin60020的近似值解: 将60020化为弧度,得到)5406020180(540320600令x0=/3, x= /540,5403cos3sin)5403sin(2060sin0要求x0比x大很多,否则不精确例2 计算 的近似值305.105.0, 1 )(31xxxxf解：设8689.00058.02123xxfxfxxf)()()( 由31)1( )1()1()1( fxffxf且0167.105.0311)05.01 31（所以高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例

11、3 计算 的近似值302. 80017. 2)4001311 (2400112)40011 (802. 8 333解：二二. 微分在误差估计中的应用微分在误差估计中的应用 设某个量的准确值为A,它的近似值为a，则A与a之差的绝对值|A-a|叫做a的绝对误差，而绝对误差与 |a| 的比值叫做相对误差.在实际中准确值A往往无法知道，所以绝对误差和相对误差没有办法得到。但根据某些条件或加工要求，有时能确定误差在某一个容许范围A之内，有|A-a|A 则称A为A的绝对误差限,把A/|a|称为A的相对误差限。有时也把它们称为A的绝对误差与相对误差.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科

12、技学院数理系例4 测得某圆半径r=22.5cm,测量r的绝对误差限r=0.1cm, 计算 这圆面积A的绝对误差限为多少?rrrrrrdAA22)(| 2例5 计算球的体积时,要精确度在2%之内,问这时测量直径 D的相对误差不能超过多少? 解: 设球的体积为V, 则VD3/6 两边取对数DdDVdVDV3ln3)6/ln(ln即测量直径D的相对误差不能超过0.6% 解:)(5 .41 .05 .2221 .0,5 .222cmAcmcmrr300210023DDVVDdDVdVVV高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 在这里我们把微分进行小结,微分和导数一样是微积分的基本概念在理解微分的概念时,要注意以下几点:(1) 函数的微分是函数改变量(函数增量)的线性主部. y=f (x) x+ x 其中是x的高阶小量 f (x)是 x的一次函数，因为一次函数的图象是直线, 所以也叫线性函数,当x很小时, x 可以忽略不计, 所以f (x)成为 y的主要部分,称为线性主部.(2) 当x很小时,函数的增量y可以用它的微分来代替. 即 ydy= f (x) dx(3) 微分的几何意义是y=f(x)图象上一点(x,f(x)处切线的 纵坐标的改变量.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理