2015-2016年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）（解析版）

1、2015-2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）复数等于（）AiBiC1D12（5分）已知命题p：若ab，则a2b2；q：“x1”是“x2+2x30”的必要不充分条件则下列命题是真命题的是（）ApqBpqCpqDpq3（5分）记集合A=（x，y）|x2+y216，集合B=（x，y）|x+y40，（x，y）A表示的平面区域分别为1，2若在区域1内任取一点P（x，y），则点P落在区域2中的概率为（）ABCD4（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A7B9C10D115（5分）一个几何体的三

2、视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为（）A+B2C2D6（5分）已知函数y=sin2xcos2x，下列结论正确的个数是（）图象关于x=对称；函数在0，上的最大值为2函数图象向左平移个单位后为奇函数A0B1C2D37（5分）已知定义在R上的函数f（x）=1|1（xm）2|关于y轴对称，记a=f（m+2），b=f（log5），c=f（e），则a，b，c的大小关系是（）AcabBbacCacbDabc8（5分）已知函数f（x）=，如果关于x的方程f（x）=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围是（）Ak1Bk1C0k1D0k1二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9（5分）已

3、知集合A=1，a，B=2a，b，若AB=1，则AB=10（5分）为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n=11（5分）如图，AB是O的直径，且AB=3，CDAB于D，E为AD的中点，连接CE并延长交O于F，若CD=，则EF=12（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的左顶点与抛物线y2=2px（p0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），则双曲线的方程为13（5分）已知四边形ABCD，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，O为四边形ABCD外一点，设|=5，|=3，则

4、（+）（）=14（5分）设a0，b0，且不等式+0恒成立，则实数k的最小值等于三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15（13分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知ABC的面积为3sinA，周长为4（+1），且sinB+sinC=sinA（1）求a及cosA的值；（2）求cos（2A）的值16（13分）某卖场同时销售变频冷暖空调机和智能洗衣机，这两种产品的市场需求量大，有多少卖多少今年五一假期该卖场要根据实际情况确定产品的进货数量，以达到总利润最大已知两种产品直接受资金和劳动力的限制根据过去销售情况，得到两种产品的有关数据如表：（表中单位

5、：百元）试问：怎样确定两种货物的进货量，才能使五一期间的总利润最大，最大利润是多少？资金单位产品所需资金资金供应量空调机洗衣机成本3020440劳动力：工资710156单位利润10817（13分）己知三棱柱ABCA1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，BCA=90°，AC=BC=2，又知BA1AC1（）求证：AC1平面A1BC；（）求点C到平面A1AB的距离；（）求二面角AA1BC余弦值的大小18（13分）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn、an、成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若，设，求数列Cn的前项和Tn19（14分）如图，设椭圆C：+=1

6、（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足=，且=0（1）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线l1：xy3=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由20（14分）已知函数（a0）（1）若函数f（x）有三个零点分别为x1，x2，x3，且x1+x2+x3=3，x1x2=9，求函数f（x）的单调区间；（2）若，3a2c2b，证明：函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点；（3）在（2

7、）的条件下，若函数f（x）的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围2015-2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2016春天津校级月考）复数等于（）AiBiC1D1【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可【解答】解：复数=i故选：A【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力2（5分）（2015万州区校级二模）已知命题p：若ab，则a2b2；q：“x1”是“x2+2x30”的必要不充分条件则下列命题是真命题的是（）ApqBpqCpqDpq【分析】先判断命题p

8、，q的真假，再利用复合真假的判定方法即可判断出正误【解答】解：命题p：若ab，则a2b2，不正确，举反例：取a=1，b=2，不成立；q：由x2+2x30，解得3x1，因此“x1”是“x2+2x30”的必要不充分条件，是真命题pq，pq，pq，是假命题，pq是真命题故选：B【点评】本题考查了复合真假的判定方法，属于基础题3（5分）（2016烟台一模）记集合A=（x，y）|x2+y216，集合B=（x，y）|x+y40，（x，y）A表示的平面区域分别为1，2若在区域1内任取一点P（x，y），则点P落在区域2中的概率为（）ABCD【分析】由题意，根据几何概型的公式，只要求出平面区域1，2的面积，利用

9、面积比求值【解答】解：由题意，两个区域对应的图形如图，其中，由几何概型的公式可得点P落在区域2中的概率为；故选B【点评】本题考查了几何概型的概率求法，解答本题的关键是分别求出平面区域1，2的面积，利用几何概型公式求值4（5分）（2016宜春校级模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A7B9C10D11【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序是累加求和的应用问题，当S1时输出i的值即可【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；，否；，否；，否；，否；，是，输出i=9故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，是基础题目5（5分）（2014太原二模）一个几何体的三视图如图所

10、示，则该几何体的体积（单位：cm3）为（）A+B2C2D【分析】由三视图可以看出，该几何体下部是一个圆柱，上部是一三棱锥，圆柱半径为1高也是1，三棱锥底面是一等腰直角三角形，过斜边的侧面与多方面垂直且该侧面是一等边三角形，边长是2，由于该几何体是一组合体故其体积为圆柱的体积与棱锥体积的和【解答】解：由三视图，该组合体上部是一三棱锥，下部是一圆柱由图中数据知 V圆柱=×12×1= 三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形，且边长是2，故其高即为三棱锥的高，高为 故棱锥高为 由于棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为2，故两直角边长度都是 底面三角形的面积是=1 故= 故该

11、几何体的体积是+故选A【点评】本题考点是由三视图还原实物图，考查由在视图给出几何体的度量，由公式求体积，本题是三视图考查中常出现的题型，关键是正确地还原出几何体的特征6（5分）（2016春天津校级月考）已知函数y=sin2xcos2x，下列结论正确的个数是（）图象关于x=对称；函数在0，上的最大值为2函数图象向左平移个单位后为奇函数A0B1C2D3【分析】利用两角和的正弦函数化简函数的解析式，利用正弦函数的对称性，判断图象关于x=对称是否正确；求出函数在0，上的最大值是否为2，判断正误即可利用函数图象向左平移个单位后，求出函数的解析式，判断是否为奇函数【解答】解：函数y=sin2xcos2x=

12、2sin（2x），因为2x=k，kZ，当k=1时，x=是函数的一条对称轴，所以图象关于x=对称正确；x0，则2x，所以函数y=2sin（2x）的最大值为2，正确；函数图象向左平移个单位后可得：函数y=2sin（2x+）=sin2x，函数为奇函数正确；故选：D【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的对称性，函数的最值以及函数的图形的平移，考查计算能力7（5分）（2016春天津校级月考）已知定义在R上的函数f（x）=1|1（xm）2|关于y轴对称，记a=f（m+2），b=f（log5），c=f（e），则a，b，c的大小关系是（）AcabBbacCacbDabc【分析】先由偶函数的性质求出f

13、（x）=1|1x2|，由此利用对数函数和指数函数的性质能求出a，b，c的大小关系【解答】解：定义在R上的函数f（x）=1|1（xm）2|关于y轴对称，m=0，f（x）=1|1x2|，a=f（m+2）=f（2）=1|122|=2，b=f（log5）=1|1（）2|=（log5）2（0，1），c=f（e）=1|1（）2|=1|1e|=2e0.71828，acb【点评】本题考查三个数的大小关系的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用8（5分）（2015秋赤峰校级期末）已知函数f（x）=，如果关于x的方程f（x）=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围是（）Ak1Bk1C0k1D0

14、k1【分析】根据方程的特点，相当于只需有三个不等于零的不同实数根，把方程解的问题转化为两函数的交点问题，通过数形结合得出k的范围【解答】解：f（x）=kx2有四个不同的实数解，显然当x=0时，无论k为何值，都成立，当只需有三个不等于零的不同实数根，方程可化=|x|（x+2），只需y=和y=|x|（x+2）有三个不等于零的交点即可，画出函数y=|x|（x+2）的图象如图：有图象可知只需01，k1，故选A【点评】本题考查了方程的解和函数的交点问题的转换，难点是利用数形结合的思想解决问题二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9（5分）（2012张家港市校级一模）已知集合A=1，a，B=2a

15、，b，若AB=1，则AB=1，1，2【分析】由AB=1，可得1A且1B，进而可得a=1，b=1，求出集合A，B后，根据集合并集运算规则可得答案【解答】解：集合A=1，a，B=2a，b，又AB=1，a=1，2a=2，则b=1故A=1，1，B=1，2AB=故答案为1，1，2【点评】本题以集合交集及并集运算为载体考查了集合关系中的参数取值问题，解答是要注意集合元素的互异性10（5分）（2011江苏模拟）为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n=30【分析】学生人数比例为2：3：5，用分层抽样方法抽取n名志

16、愿者，每个个体被抽到的概率相等，A高校恰好抽出了6名志愿者，则每份有3人，10份共有30人【解答】解：学生人数比例为2：3：5，A高校恰好抽出了6名志愿者，n=30，故答案为：30【点评】一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本这样使得样本更具有代表性11（5分）（2016春天津校级月考）如图，AB是O的直径，且AB=3，CDAB于D，E为AD的中点，连接CE并延长交O于F，若CD=，则EF=【分析】AB是圆O的直径，可得ACB=90°利用射影定理可得CD2=ADDB已知AD=2DB，得DB=1，已

17、知E为AD的中点，可得ED=1在RtCDE中，利用勾股定理可得CE利用ACEFBE可得：EAEB=ECEF，即可求得EF【解答】解：在RtABC中，CDAB于D，CD2=ADBD=2BD2=2，DB=1，E为AD的中点，AE=ED=1，CE=BC=，又ACEFBE，EF=故答案为：【点评】熟练掌握圆的性质、射影定理、勾股定理、相交弦定理是解题的关键12（5分）（2016春天津校级月考）已知双曲线=1（a0，b0）的左顶点与抛物线y2=2px（p0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），则双曲线的方程为【分析】根据题意，点（2，1）在抛物线的准线上，结合抛物

18、线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（2，1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，即可求出双曲线的方程【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），即点（2，1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（2，0），即a=2；点（2，1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，由双曲线的性质，可得b=1；则双曲线的方程为故答案为【点评】本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与

19、抛物线的准线的交点坐标为（2，1）”这一条件的运用，属于中档题13（5分）（2016春天津校级月考）已知四边形ABCD，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，O为四边形ABCD外一点，设|=5，|=3，则（+）（）=16【分析】根据条件，AC垂直平分线段BD，从而得出，而，且，代入进行向量加法和数量积的运算便可求出答案【解答】解：AC是BD的垂直平分线；，；=259=16故答案为：16【点评】考查垂直平分线的概念，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，相反向量的概念，以及向量减法的几何意义，向量数量积的运算14（5分）（2016浙江模拟）设a0，b0，且不等式+0恒成立，则实数k的最小值等于4【

20、分析】把k看作参数，将参数分离成k，再利用基本不等式求的最大值【解答】解：a0，b0，由+0，得k，只需kmax即可a+b，k4，从而实数k的最小值等于4故答案为：4【点评】本题属于不等式恒成立问题，是高考常考题型之一常规思路是先分离参数，再转化为函数最值问题求解三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15（13分）（2016春天津校级月考）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知ABC的面积为3sinA，周长为4（+1），且sinB+sinC=sinA（1）求a及cosA的值；（2）求cos（2A）的值【分析】（1）由已知及三角形面积公式可求b

21、c=6，进而可求a，利用余弦定理即可得解cosA的值（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解【解答】解：（1）ABC的面积为3sinA=bcsinA，可得：bc=6，sinB+sinC=sinA，可得：b+c=，由周长为4（+1）=+a，解得：a=4，cosA=，（2）cosA=，sinA=，sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A1=，cos（2A）=cos2Acos+sin2Asin=【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函

22、数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16（13分）（2016春天津校级月考）某卖场同时销售变频冷暖空调机和智能洗衣机，这两种产品的市场需求量大，有多少卖多少今年五一假期该卖场要根据实际情况确定产品的进货数量，以达到总利润最大已知两种产品直接受资金和劳动力的限制根据过去销售情况，得到两种产品的有关数据如表：（表中单位：百元）试问：怎样确定两种货物的进货量，才能使五一期间的总利润最大，最大利润是多少？资金单位产品所需资金资金供应量空调机洗衣机成本3020440劳动力：工资710156单位利润108【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用本题主要

23、考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解【解答】解：设进货量分别为空调机x台，洗衣机y台，利润z百元，则，化简为目标函数z=10x+8y即，做出可行域如图所示：由可得A（8，10），平移经过A（8，10）点时截距最大，即目标函数z最大，此时z=10×8+8×10=160百元【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解17（1

24、3分）（2011东湖区校级三模）己知三棱柱ABCA1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，BCA=90°，AC=BC=2，又知BA1AC1（）求证：AC1平面A1BC；（）求点C到平面A1AB的距离；（）求二面角AA1BC余弦值的大小【分析】解法一几何法：（I）根据已知中BCA=90°得BCAC，由A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，可得A1DBC，结合线面垂直判定定理得BC面A1AC，所以BCAC1，又由BA1AC1，再由线面垂直的判定定理，可得AC1平面A1BC；（）根据（I）的结论可得A1ACC1是菱形，进而根据AC=BC=2，我们可以根据，得到点

25、C到平面A1AB的距离；（）令AC1A1C=O，作OEA1B于E，连AE，由（I）中结论可得A1BAE，故AEO为二面角平面角，解三角形AEO即可得到答案解法二向量法：（I）取AB的中点E，则DEBC，因为BCAC，所以DEAC，又A1D平面ABC，以DE，DC，DA1为x，y，z轴建立空间坐标系，求出各点坐标，进而得到相应向量的坐标，利用向量垂直数量积为0，可以判断出AC1与平面A1BC内两条件相交直线都垂直，进而得AC1平面A1BC；（II）C到平面A1AB的距离，其中平面A1AB的法向量，求出法向量的坐标，代入即可求出答案（III）分别求出平面AA1B与平面A1BC的法向量，代入向量夹角

26、公式，即可求出答案【解答】解法一几何法：（I）BCA=90°得BCAC，因为A1D底ABC，所以A1DBC，A1DAC=D，所以BC面A1AC，所以BCAC1因为BA1AC1，BA1BC=B，所以AC1底A1BC（II）由（I）得AC1A1C，所以A1ACC1是菱形，所以AC=AA1=A1C=2，由，得（III）设AC1A1C=O，作OEA1B于E，连AE，由（1）所以A1BAE，所以AEO为二面角平面角，在RtA1BC中，所以，所以二面角余弦解法二向量法：（I）如图，取AB的中点E，则DEBC，因为BCAC，所以DEAC，又A1D平面ABC，以DE，DC，DA1为x，y，z轴建立空

27、间坐标系，则A（0，1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），A1（0，0，t），C1（0，2，t），由，知A1CCB，又BA1AC1，从而AC1平面A1BC；（II）由，得设平面A1AB的法向量为，所以，设z=1，则所以点C到平面A1AB的距离=（III）再设平面A1BC的法向量为，所以，设z=1，则，故=，根据法向量的方向可知二面角AA1BC的余弦值大小为【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，点面之间距离的计算，二面角的平面角，解答立体几何有几何法和向量法两种方法，前者要求熟练掌握相应的判定定理、性质定理，要求有较强的逻辑性，后者可将空间问题转化为向量问题，需要记忆大量公式和

28、较强的计算能力18（13分）（2008湖北校级模拟）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn、an、成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若，设，求数列Cn的前项和Tn【分析】（） Sn、an、成等差数列即，再利用1）根据Sn与an的固有关系an= 去解 （）（），bn=42n，=，可用错位相消法求和【解答】解：（） 由题意知当n=1时，；当两式相减得an=2an2an1（n2），整理得：（n2）数列an是为首项，2为公比的等比数列.（），bn=42n=，得【点评】本题考查Sn与an关系的具体应用，指数的运算，数列错位相消法求和知识和方法要注意对n的值进行讨论19（14分）（201

29、4蒙山县模拟）如图，设椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足=，且=0（1）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线l1：xy3=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由【分析】（1）设B（x0，0），由已知条件推导出，b2=3c2，从而得到a=2c，再由，能求出椭圆C的方程（2）由（1）知F2（1，0），l：y=k（x1），联立，得（3+4k2）x28k2x+4k

30、212=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出存在满足题意的点P，且m的取值范围是（0，）【解答】解：（1）设B（x0，0），F2（c，0），A（0，b），=0，=，F1为BF2中点，b2=3c2，从而a2=4c2，a=2c，=0，ABF2的外接圆的圆心为F1（c，0），半径r=|F2B|=2c，又直线：x3=0与ABF2的外接圆相切，解得c=1，a=2，b=，椭圆C的方程为（2）由（1）知F2（1，0），l：y=k（x1），联立，得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，y1+y2=k（x1+x22），=（x1m，y1）+（x2m，y2）=（x1

31、+x22m，y1+y2），菱形的对角线互相垂直，（）=0，（x1+x22m，y1+y2）（x2x1，y2y1）=0，（x1+x22m）（x2x1）+（y1+y2）（y2y1）=0，（x1+x22m）+k（y1+y2）=0，由题意知kR且k0，m=，0m，存在满足题意的点P，且m的取值范围是（0，）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用20（14分）（2011蓝山县校级模拟）已知函数（a0）（1）若函数f（x）有三个零点分别为x1，x2，x3，且x1+x2+x3=3，x1x2=9，求函数f（x）的单调区间；（2）若，3a2c2b，证明：函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点；（3）在（2）的条件下，若