2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案：专题31数列求和

1、专题31数列求和1.求数列的前 n 项和的方法(1)公式法等差数列的前 n 项和公式等比数列的前 n 项和公式(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3) 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.(4) 倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5) 错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的 推广.并项求和法一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=(1)f(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn

2、= 1002 992+ 982 972+ , + 22 12= (100 + 99) + (98+ 97)+ , + (2 + 1) = 5 0 50.2 常见的裂项公式11 1(1);T-= _.n (n+1)n n+ 1(2)-1- =1亠亠(2)(2n 1)( 2n+ 1)2 2n 1 2n + 1.1/=7 n+ 1心.n+ n + 1Sn=n (ai+ aj2=n ai+d.(i)当 q = 1 时,(ii )当 q 工 1 时,sn=na1；(1-qn)1 qa1anq高频考点一分组转化法求和1 1 2例 1、（2016 天津卷）已知刘是等比数列，前n项和为S（n N+），且一 一

3、 = ,9= 63.aia2a3（1）求an的通项公式；（2）若对任意的n N+,bn是 log2禺和 log2禺+1的等差中项，求数列（ 1）塢的前 2n项和.【解析】 设数列仏的公比 4由已知，有丄一丄=亠赴 ft?解得尸2或y=l.又由氏=世*-=S3,知护一匚1_?所以出* 2=63,得 E.所臥焉=厂 1宙题意：得i=（log：4- Log：a.-；） =|（log：2_,+ log：2f）=ir忆庄即乩是首项为?公差为1的等差数列.设数列（-1）说的前 R 项和为工,则瓦=（-反+忑）4-（抚+ &） +4-（也+ =矗+ b +岛+氏+比严：+抚上=【方法规律】 若数列6的通项公

4、式为 & =anbn,且an , bn为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列Cn的前n项和an,n为奇数，若数列Cn的通项公式为 6= 亠曲亠 其中数列an , bn是等比数列或等差数列，可采用分组bn,n为偶数，求和法求的前n项和11111【变式探究】（1）数列 1;, 3-, 5-, 7, , , （2n 1） +n,的前n项和 S 的值等于（）2 4816221 A.n+ 1 歹C 2彳丄 C.n+ 1 2门-1nn数列an的通项公式an=ncos 牙，其前n项和为 S,贝US 等于（）B.2n2n+ 1 右D.n2A.1 008【答案】 (1)A(2)AB.2 016C.504 D.

5、0【解析】 该数列的通项公式为 (加1)+g则=L+3 + 5+ (如一1)+二+吉+吕_ 1=小-尹(2) acos 0?琵=2 cos兀=一2，6=0,决=4, *所以数列 g 的所有奇数项为 6 前201&项的所有偶数项(rt 1008项)依次为-2, 4, -6 8r -2014,2 016故5cn=0+ (-2 + 4) 4- (-6 + 8) + - 4-(一2 014 + 2 016) = 1 008*高频考点二 错位相减法求和 例 2、(2016 山东卷)已知数列an的前n项和Sn= 3n2+8n, bn是等差数列，且 勿=6 +6+1. (1)求数列bn的通项公式；n+1(a

6、n+ 1)(bn+ 2)n【解析】 (1)由题意知，当n2时，an=S S-1= 6n+ 5.当n= 1 时，ai=Si= 11,符合上式.所以an= 6n+ 5.设数列bn的公差为d,即 11=2b1+d,17= 2b + 3d,可解得b1= 4,d= 3.所以bn= 3n+ 1.由(1)知，6=(策?)n= 3(n+ 1)2+又Tn=C1+C2+ , +Cn.得Tn=3X2X 22+3X 23+,+(n+1)X2n+1. 2Tn=3X2X 23+3X 24+,+(n+1)X2n+2.两式作差，得Tn=3X2X 22+23+24+,+2n+1(n+1)X2n+2【方法规律】(1) 一般地，如

7、果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可 采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解；在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqS”的表达式.=3X4+4(1-2)(n+1)X2n+2L3n2n+212所以Tn= 3n2n+2令 Cn=.求数列o的前n项和Tn.a1=b1+b2,由ra2=b2+b3,【变式探究】 已知an是递增的等差数列，a2,a4是方程x2 5x+ 6= 0 的根.(1)求an的通项公式;求数列远的前n项和.【解析】(1)方程氐+6=0的两根为2,心 由题意得& =2e.=

8、 3.设数列咯的公差为必则选一尸2必故 戶右 从而a=T.所以廟的通项公式为设滲啲前口项和为必由知芋齐.34ir+1JI+2则二歹+歹十+ 丁+沪n1 _34JJ+1 n+ 2两式相减得扣=#+|r+圭厂31 n+2=+ =1 -B441 T 2* *高频考点三裂项相消法求和2例 3、S为数列an的前n项和.已知an0,an+ 2an=4S+ 3.(1)求an的通项公式；1设bn=，求数列bn的前n项和a“an+1所以耳=2-n+4【解析】（D由Z+2=4+3?可知S；-；+2&-I=4-；+3.可得s,_ +2(-： a.) Aa=_f貝卩2 （a-：+韵笔=（足-L+矩） 由于0,可得也-

9、：一殳=2又al+ 2&.4&. + 3,解得盘二一1（舍去）或313,所以韵是首项为山公差为2的等差数列，通项公式为e；=2r+l.由z=2卄1可知1 1 1/ 1 1 ,（2u+l）（2n+3_2 xZn+1 湖+P丿设数列的前 Q 项和为G则畫=花+b；+九_ n_3 2n+3）T【方法规律】（1）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项（2）将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等【变式探究】 设S为等差数列的前n项和，已知 S=a7,a8-2as= 3.（1）求an；1设bn=，求

10、数列bn的前n项和为Tn.sn【解析】（1）设数列an的公差为d,3a1+ 3d= + 6d,由题意得1+ 7d)-2(a1+ 2d)= 3,解得ai= 3,d= 2, an=ai+ (n-1)d= 2n+1.由(1)得S= na1+n(n- d=n(n+ 2),b=1= 1i?_ 丄、n=n(n+ 2) = 2 6n+ 2 /Tn=b+b2+ , +bn-1+bn1 1 11-3.广丁4 丿 +,+土 +1n+1n+3/111 1=2I+2-n+1-HT2=3+丄4 2n+ 1n+ 2 【举一反三】在数列an中，a1= 1,当n2时，其前n项和$满足S2=anS1.（1）求 S 的表达式；设

11、bn=2nST1，求bn的前n项和Tn.F1 j【解析】1?- S-i（诊2），4/=（名一, 5；- ,j即2斤&=忑 7&由題意得洋0,式两边同除以-L * s巧彳畦-二数列罔是苜项为公差为2的等差数列-=14- 2 (1)=2n 1fS=-,忑2n 1丁b,二一=-曲 +12JJ-12JJ+1_lr_2k2_n 12JJ+Vlrr1,1 lv,1.人=刊+氏+ $尸#(1飞)+吋飞)+“ + $丁 如* 1) - 12加 +VJ32u+l1.【2016 高考山东理数】(本小题满分 12 分)已知数列:aj的前 n 项和 Sn=3n2+8n,fbj是等差数列，且 abhbnd.(i)求数列

12、 IbJ 的通项公式；(a + l)n十(n)令cnn .求数列；、c的前 n 项和 Tn.n(bn+2)n【答案】(i)bn=3n 1； (n)Tn=3 n2n 2.【解析】(I )由题青知当料巴 2 时ar=6M+ 5,当M= IB寸，白二S二11,所以.碍=6n+5+设数列仮的公差为乩所以4=餉+1又Tn二G C2cCn，得Tn=3 2 223 234 244川(n 1) 2n1,2Tn=3 2 233 244 25(n 1) 2n 2,两式作差，得-Tn=3 2 2223242n 1-(n 1) 2n 2=3 44(2一1)-(n 1) 2n 221(n)由(i)知(6n 6)n 1(

13、3n 3)n= 3(n 1) 2n 1,可解得所以Tn=3n 2n 2【解析】（I）由已紙有仏+码）（込+碍）二（码 5）-仏 5）,即 所以約-1）,又因为工1,故角二化，由化得2当?1 = 2斤一1(覘E AY时an =悅打it w JV*)时a耳 211-六1 1 1 11111 1【2015 江苏高考,* 111】数列an满足c =1，且an屮an=n+1（nN），则数列一的前10 项和为【答案】2011【解析】由题意得:ann(n +1)an= (a._ a.丄)(a._a./)亠亠(a：_ aj a = n n _ 1 亠 亠 2 1 =1 2n20所以 ann n 1）$=2（1

14、百心市金二石1 .2(-a【2015 高考天津，理 18】（本小题满分 13 分）已知数列an满足an 2=qan(q为实数，且q =1),n N*, a1,a2，且a?+a3,a3+a4,a4+比成等差数列（I）求q的值和an的通项公式;(II)设bnlog2a2na2n,nN*，求数列bn的前n项和.【答案】(I)an22,n为奇数,；(II)Sn=4-2n_L22, n为偶数.所以归J的通项公式为卫为偶数(II)由(I)得bn二lOg232na2n 42n设数列 的前n项和为Sn，则卢十厂肓+3专沁歹 两式相减得1_n 2nn22 n12n2n2n，1 -2整理得Sn=44-齐卫【201

15、5 高考四川，理 16】设数列an的前n项和Sn=2 务-印，且ca1,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)记数列；的前 n 项和Tn，求得1T”沖10100成立的 n 的最小值.【答案】(1)an=2n；( 2)10.【解析】(1)由已知 -2应厂 有耳二打一=2务一2卫小 D?从而a；= 2ax.吗4码一又因为成等差数列,即內+偽=2(+1).所以旳+4珂二2(加+1),解得码=2所叹，数列是首项为2,公比为2的等比数列一因为29=512 0,a2 an=错误！未找到引用源。(I)求an的通项公式;1 S 122 2223所以数列 的前n项和为1所以a1 11 11尹丿222

16、32n1-2由|Tn-1卜:，得11-匚-1|0 Sa=Il-+ n.于是ai:=Si=2时，3s Sn Sn-i=n* 4-n一(n一1)亠 一(n 1=2口.综上，数列血的通项为旳5.( 2013 湖南卷)设 Sn为数列an的前 n 项和，Sn=(1)n(1)a3=_；S1+ S2+ + S100= _ 2n + 22n + 1.r2n + 2所以升=2n+12n + 1(2)证明：宙于3a=2lb th=(且 +(n+2)尸汀恳一(n+2),挣一*+妒*+_旺十11TD=:5+12+点5+2打-宦十2】(n+ 1)2(n + 2)1*an尹 n N，则16【解析】：(1)设等差数列an的

17、首项为 a1,公差为 由S4= 4S2, a2n= 2an+ 14a1+ 6d = 8a+ 4d,得 L(2n1) d=2a1+ 2( n 1) d+ 1,【解析】-寻(琥磊1111；解析因空=(则S；= -a：-；空=34-话解得赵当n为偶数时，S=a3-当口为奇数时，乞二一込一若 可得当n为奇数时亦=一占/1、f又S1 + S：+ . + S00=(-ai-；+laa1Anc 1、f-+ 一觀一斎；+VIM I1aj+取+一aw+3】oo1亍+元+丁 櫛帅fi、=Sioi_aioi(1-丄)V2V=1_空口3 2出专32：旳I；6.( 2013 山东卷)设等差数列an的前 n 项和为Sn,

18、且S4=4S2,a2n=2an+1.(1)求数列 an 的通项公式;+ 1设数列bn的前 n 项和为 Tn,且Tn+豊厂=入(为常数)，令 Cn=b2n(n N )，求数列Cn的前 n 项和 Rn.d.解得 ar= 1,d = 2,因此 an= 2n 1, n N(2)由题意知故Cn=b2n= 22n-12n2=(n -1)n1*,* N.所以Rn= OX1+1X1I 2X1 3X1 31I1X1 2+2X1 3+(n2)+ + (n 1)n1则1JRn= OX广1+ (n 1)两式相减得3R= ,Rn1(n 1)16n亡严 r、r r L门 口一 1门一 2Tn=入2_1, 所以 n2吋，b

19、n= Tn Tn-1= += ?n-11_ |1 屮44inT -(n-1)41-4_ 1_ 1 + 3n |，1 屮=3 3 4 ， 整理得 Rn= 94 -34+1.所以数列Cn的前 n 项和 Rn= %3nn+11.941. 等差数列an的通项公式为an= 2n+1,其前n项和为S,则数列 晋的前 10 项的和为()A.120B.70C.75 D.100【答案】CSQ10X9【解析】析因为=n+2,所以 U 的前 10 项和为 10 3+2 = 75.2. 数列an的前n项和为 S,已知 S = 1 2+ 3 4 +, + ( 1)n1n,则 S7=()A.9B.8C.17D.16【答案

20、】A【解析】 -二1一2 + 3 4 + 5 6 + “+15-16+17 = 1+ (-2+3) + (-4+5)十(一6 +*?) + + ( L4 +15)+ (-16+17) = 1 + 1+1+- +1=9.3. 数列an的通项公式为an= ( 1)n1 (4n 3)，则它的前 100 项之和 S。等于()A.200B. 200C.400D. 400【答案】B【解析】析Soo= (4 1 3) (4 2 3) + (4 3 3) , (4 100 3) = 4 (1 2) + (3 4) + , +(99100)=4X(50)= 200.4. 已知数列 5, 6, 1 , 5,该数列

21、的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 16 项之和S6等于()A.5B.6C.7D.16【答案】C【解析】析根据题意这个数列的前7 项分别为 5, 6, 1 , 5, 6, 1, 5, 6,发现从第 7 项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6,前 6 项和为 5+ 6 + 1 + ( 5) + ( 6) + ( 1) = 0.又因为 16= 2 6+ 4,所以这个数列的前16 项之和S16= 2016=a1+a2+a3+a4+as+a6+, +a2 015+a2 016=(a1+a3+a5+, +a2 015)+ (a2+a4+a6+, +a2 016

22、)1 008 1 008、1 2 2 ( 1 2 )1 008=千 h +(12)= 3 T1 008 3.故选 B.二0二色+ 二2013二直+乞十0=2000仓=13依次可得圖二1000& = 13 101-3；由此可知 Sr-：+ + 工-=08 .已知正项数列an的前n项和为S,?n N*2S=a2+an,令bn=一尸- 尸a科an+1+an+讨an为Tn,则在T1,T2,T3, , ,T100中有理数的个数为【答案】9| 昂二吐一- 13U+ 1=2013,a=1013,民二1000,2 016丄A.21 008B.3 2C.3 21 0081D.3 21 007 22. . a ,

23、as,a5,成等比数列；a2,a4,a6,an6.在等差数列an中,ai0, az a*0，若此数列的前10 项和So= 36,前 18 项和Sis= 12,则数列|an|的前 18 项和Tis的值是【答案】 60【解析】析 由a10,a10an 0,a* 0,.Ti8=a1+,+a10 an ,a18=So (S8So) = 60.7.整数数列an满足an+2=an+1an(n N)，若此数列的前 800 项的和是 2013，前 813 项的和是 2000,则其前 2015 项的和为【答案】 13【解析】由 07=缶-：一 S彳导 色= 酢一日”=a-； ；易得该数列是周期为 e 的数列，目斗；十，设bn的前n项和【解析】/2=s；+2?/ 1+ 2+ 3+, +n=n n+1 iB 2 a- =. + a-. a=（比-L+ 龟）（是 7