2015-2016届湖北省武汉市武昌区高三（上）元月调考数学试卷（文科）(解析版)

1、2015-2016学年湖北省武汉市武昌区高三（上）元月调考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=x|2x3，B=x|x2+2x80，则AB=（）A（2，3B（，4）2，+）C2，2）D（，3（4，+）2（5分）已知（1+2i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z 的共轭复数），则z的虚部为（）A1B1CiDi3（5分）在区间0，1上随机取一个数x，则事件“log0.5（4x3）0”发生的概率为（）ABCD4（5分）如图程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x+1问题”执行该程序框图，若输入的N=3，则输出

2、i=（）A6B7C8D95（5分）“a0”是“函数 f （x）=2x+a有零点”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（5分）已知，且为第三象限角，则tan2的值等于（）ABCD7（5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）AB2C3D48（5分）已知抛物线y2=2px（p0）上一点M （x0，4）到焦点F 的距离|MF|=x0，则直线 MF 的斜率kMF=（）A2BCD9（5分）在ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a2，b2，c2成等差数列，则cosB的最小值为（）ABCD10

3、（5分）如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方 向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（）A14hB15hC16hoD17h11（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A82B8C8D812（5分）已知函数 f（x）=sinxxcosx现有下列结论：f（x）是R 上的奇函数；f（x）在，2上是增函数；x0，f（x）0其中正确结论的个数为（）A0B1C2D3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为14

4、（5分）双曲线C：的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于15（5分）已知，若对任意实数，都有|f（x）|m，则实数 m 的取值范围是16（5分）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为2，则该球的表面积为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知Sn是公差不为0 的等差数列an的前n 项和，S1，S2，S4成等比数列，且，（I）求数列an的通项公式；（）若bn=，求数列bn的前n 项和Tn18（12分）某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：API0，50（50，100（100，150（15

5、0，200（200，300300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染重度污染天数61418272015（）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=，若在本年内随机抽取一天，试估计这一天的经济损失超过400元的概率；（）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染根据提供的统计数据，完成下面的22 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非严重污染严重污染合计供暖季非供暖季合计100附：参考公式：K2=P（K2k）0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.82

6、819（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD=PD=2MA（）求证：平面EFG平面PDC；（）求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比20（12分）过椭圆右焦点F2 的直线交椭圆于A，B 两点，F1为其左焦点当直线ABx轴时，AF1B为正三角形，且其周长为 （）求椭圆的方程；（）设 C 为直线x=2上的一点，且满足 CF2AB，若（其中O为坐标原点），求四边形OACB的面积21（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnxx+1（）若=0，求f（x）的最大值； （）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处

7、的切线与直线x+y+1=0垂直，证明：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分做答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22（10分）如图，EC切O于点C，直线EO交O于A，B两点，CDAB，垂足为D（）证明：CA平分DCE；（）若EA=2AD，EC=2，求O的直径选修4-4：坐标系与参数方程23将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线 （）写出的参数方程；（）设直线 l：3x+2y6=0与 的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程选修4-5

8、：不等式选讲24设函数f（x）=|kx1|（kR）（）若不等式f（x）2的解集为，求k的值；（）若f（1）+f（2）5，求k的取值范围2015-2016学年湖北省武汉市武昌区高三（上）元月调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2016河南二模）已知集合A=x|2x3，B=x|x2+2x80，则AB=（）A（2，3B（，4）2，+）C2，2）D（，3（4，+）【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的并集即可【解答】解：由B中不等式变形得：（x2）（x+4）0，解得：x4或x2，即B=

9、（，4）（2，+），A=2，3，AB=（，4）2，+），故选：B【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2（5分）（2015秋武昌区月考）已知（1+2i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z 的共轭复数），则z的虚部为（）A1B1CiDi【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出【解答】解：（1+2i）=4+3i，=2i，z=2+i，z的虚部为1故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3（5分）（2015秋武昌区月考）在区间0，1上随机取一个数x，则事件“log0.5（4x3）0”发生的

10、概率为（）ABCD【分析】由题意可得区间长度，解对数不等式可得事件所占区间长度，由几何概型的概率公式可得【解答】解：在区间0，1上随机地取一个数x，则x所占的区间长度为10=1，不等式log0.5（4x3）0可化为04x3，解得x1，事件“log0.5（4x3）0”发生x所占的区间长度为，由几何概型可得所求概率为故选：D【点评】本题考查几何概型，涉及对数不等式的解法，属基础题4（5分）（2016福建校级模拟）如图程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x+1问题”执行该程序框图，若输入的N=3，则输出i=（）A6B7C8D9【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量

11、n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟执行程序，可得n=3，i=1满足条件n是奇数，n=10，i=2不满足条件n=1，不满足条件n是奇数，n=5，i=3不满足条件n=1，满足条件n是奇数，n=16，i=4不满足条件n=1，不满足条件n是奇数，n=8，i=5不满足条件n=1，不满足条件n是奇数，n=4，i=6不满足条件n=1，不满足条件n是奇数，n=2，i=7不满足条件n=1，不满足条件n是奇数，n=1，i=8满足条件n=1，退出循环，输出i的值为8故选：C【点评】本题考查的知识点是循环结构的程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法

12、解答，属于基础题5（5分）（2015秋武昌区月考）“a0”是“函数 f （x）=2x+a有零点”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据函数零点的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：若函数 f （x）=2x+a有零点，则f （x）=2x+a=0有解，即a=2x有解，2x0，a0，则“a0”是“函数 f （x）=2x+a有零点”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数零点的条件以及指数函数的性质求出a的取值范围是解决本题的关键6（5分）（2015秋武昌区月考）已知，且为第三象限角，则tan2的值

13、等于（）ABCD【分析】利用诱导公式求得cos的值，利用同角三角函数的基本关系求得sin和tan 的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2的值【解答】解：=cos，cos=，为第三象限角，sin=，tan=，则tan2=，故选：C【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题7（5分）（2014福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）AB2C3D4【分析】虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个【解答】解：O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，M

14、是平行四边形ABCD的对角线的交点，=2=4故选：D【点评】本题考查了平面向量的加法，做题时应掌握规律，认真解答8（5分）（2016春湖北期中）已知抛物线y2=2px（p0）上一点M （x0，4）到焦点F 的距离|MF|=x0，则直线 MF 的斜率kMF=（）A2BCD【分析】根据定义抛物线y2=2px（p0）上一点M （x0，4）到焦点F的距离|MF|=x0，求出x0，然后M （2p，4）代入y2=2px，可得p=2，即可求出直线MF的斜率【解答】解：根据定义抛物线y2=2px（p0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|=x0，x0+=x0，x0=2p，M（2p，4）代入y2=2px，

15、可得p=2，M（4，4），F（1，0），kMF=故选：B【点评】本题考查了抛物线的定义和性质，解题的关键是根据定义得出M的坐标，属于基础题9（5分）（2015秋武昌区月考）在ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a2，b2，c2成等差数列，则cosB的最小值为（）ABCD【分析】a2，b2，c2成等差数列，可得2b2=a2+c2，利用余弦定理与基本不等式的性质即可得出【解答】解：在ABC 中，a2，b2，c2成等差数列，2b2=a2+c2，cosB=，当且仅当a=c=b时取等号cosB的最小值为故选：A【点评】本题考查了等差数列的性质、余弦定理与基本不等式的性质，考查了推理

16、能力与计算能力，属于中档题10（5分）（2015秋武昌区月考）如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方 向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（）A14hB15hC16hoD17h【分析】设风暴中心最初在A处，经th后到达B处自B向x轴作垂线，垂足为C若在点B处受到热带风暴的影响，则OB=450，求出t，即可得出结论【解答】（本题满分为12分）解：设风暴中心最初在A处，经th后到达B处自B向x轴作垂线，垂足为C若在点B处受到热带风暴的影响，则OB=450，即=450，（2分）即=45

17、0，（4分）上式两边平方并化简、整理得4t2120t+1575=0，（6分）解得t=或，（9分）又13.7，=15，（11分）所以，经过约13.7后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间为15h故选：B（12分）【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用考查了学生解决实际问题的能力，属于中档题11（5分）（2015秋武昌区月考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A82B8C8D8【分析】由题意，几何体是棱长为2的正方体减半个圆柱，圆柱的底面半径为2，高为1，即可求出几何体的体积【解答】：由题意，几何体是棱长为2的正方体减半个圆柱，圆柱的底面半径为2，高为1几何体的体积为=8，故选：

18、D【点评】本题考查几何体的体积，考查学生的计算能力，比较基础12（5分）（2015秋武昌区月考）已知函数 f（x）=sinxxcosx现有下列结论：f（x）是R 上的奇函数；f（x）在，2上是增函数；x0，f（x）0其中正确结论的个数为（）A0B1C2D3【分析】利用三角函数的奇偶性判断正确；利用导数研究函数的单调性，可得f（x）在，2上是减函数，故错误；利用导数求得f（x）在0，上是增函数，f（x）f（0），从而得出结论【解答】解：根据 f（x）=sinxxcosx，可得f（x）=sinx+xcosx=f（x），故函数f（x）为奇函数，故：f（x）是R 上的奇函数，正确f（x）在，2上，f（

19、x）=cosxcosx+xsinx=xsinx0，故函数f（x）是减函数，故不正确x0，f（x）=xsinx0，故f（x）是增函数，故f（x）的最小值为f（0）=0，f（x）0，故正确，故选：C【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性和单调性，利用导数研究函数的单调性，属于基础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）（2015秋武昌区月考）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为3【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+2y为y=，结合图

20、象可知，当目标函数通过点（1，1）时，z取得最小值，zmin=1+21=3故答案为：3【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题14（5分）（2015秋武昌区月考）双曲线C：的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于8【分析】根据双曲线的离心率结合焦点到渐近线的距离建立方程关系求出a的值即可【解答】解：双曲线的渐近方程为y=x，设一个焦点坐标为F（c，0），一个渐近线方程为bxay=0，则焦点到渐近线的距离为3，即d=b=3，双曲线C：的离心率为，e=，即c=a，则c2=a2=a2+9，即a2=9，则a2=16，即a=4，则C的实轴长等于2a=8，故答案

21、为：8【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据条件建立方程关系是解决本题的关键15（5分）（2015秋武昌区月考）已知，若对任意实数，都有|f（x）|m，则实数 m 的取值范围是，+）【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得m的取值范围【解答】解：已知=2sin（2x），任意实数，2x（，），sin（2x）（，），f（x）=2sin（2x）（，1），再根据|f（x）|m，可得m，故答案为：，+）【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的图象的对称性，属于基础题16（5分）（2016大庆二模）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为

22、 4，底面边长为2，则该球的表面积为25【分析】正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高PE上，求出球的半径，求出球的表面积【解答】解：如图，正四棱锥PABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知PAF为直角三角形且AEPF，根据平面几何中的射影定理可得PA2=PFPE，因为AE=2，所以侧棱长PA=2，PF=2R，所以20=2R4，所以R=，所以S=4R2=25故答案为：25【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题三、解答题：解答应写出文字

23、说明、证明过程或演算步骤17（12分）（2015秋武昌区月考）已知Sn是公差不为0 的等差数列an的前n 项和，S1，S2，S4成等比数列，且，（I）求数列an的通项公式；（）若bn=，求数列bn的前n 项和Tn【分析】（I）设等差数列an的公差为d（d0），运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得d=1，a1=，可得an=；（）求得bn=（），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和【解答】解：（I）设等差数列an的公差为d（d0），S1，S2，S4成等比数列，且，可得S22=S1S4，a1+2d=，即有（2a1+d）2=a1（4a1+6d），化为d=2

24、a1，解得d=1，a1=，可得an=a1+（n1）d=（n1）=；（）bn=（），则前n项和Tn=（1+）=（1）=【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题18（12分）（2015秋武昌区月考）某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：API0，50（50，100（100，150（150，200（200，300300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染重度污染天数61418272015（）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=，若在本年内随机抽取

25、一天，试估计这一天的经济损失超过400元的概率；（）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染根据提供的统计数据，完成下面的22 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非严重污染严重污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100附：参考公式：K2=P（K2k）0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828【分析】（）根据题意，问题转化为求空气质量指数大于200的频率即可；（）根据题意填写 列联表，计算观测值K2，对照临界值即可得出结论【解答】解：（）记“在本年内随机抽

26、取一天，该天的经济损失超过400元”为事件A，由y400，得x200；由统计数据可知，空气质量指数大于200的频数为35，所以P（A）=0.35；（）根据题设中的数据填写22 列联表如下，非严重污染严重污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100把列联表中的数据代入公式K2=中计算，得K2=4.575，因为4.5753.841，所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”【点评】本题考查了频率分布表的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题目19（12分）（2010山东）如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分

27、别为MB、PB、PC的中点，且AD=PD=2MA（）求证：平面EFG平面PDC；（）求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比【分析】（I）欲证平面EFG平面PDC，根据面面垂直的判定定理可知在平面EFG内一直线与平面PDC垂直，而根据线面垂直的判定定理可知GF平面PDC，GF平面EFG，满足定理条件；（II）不妨设MA=1，求出PD=AD，得到VpABCD=S正方形ABCD，求出PD，根据DA面MAB，所以DA即为点P到平面MAB的距离，根据三棱锥的体积公式求出体积得到V PMAB：V PABCD的比值【解答】解：（I）证明：由已知MA平面ABCD，PDMA，所以PD平面ABCD又BC平面

28、ABCD，因为四边形ABCD为正方形，所以PDBC又PDDC=D，因此BC平面PDC在PBC中，因为G、F分别是PB、PC中点，所以GFBC因此GF平面PDC又GF平面EFG，所以平面EFG平面PDC；（）因为PD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1，则PD=AD=2，所以VpABCD=S正方形ABCD，PD=由于DA面MAB的距离所以DA即为点P到平面MAB的距离，三棱锥VpMAB=122=，所以VPMAB：VPABCD=1：4【点评】本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面垂直、面面垂直的判定及几何体体积的计算，考查试图能力和逻辑思维能力20（12分）（2015秋武昌区月考

29、）过椭圆右焦点F2 的直线交椭圆于A，B 两点，F1为其左焦点当直线ABx轴时，AF1B为正三角形，且其周长为 （）求椭圆的方程；（）设 C 为直线x=2上的一点，且满足 CF2AB，若（其中O为坐标原点），求四边形OACB的面积【分析】（）由椭圆的定义，周长为即可求得a的值，根据正三角形高求得c的值，即可求得b的值，写出椭圆的标准方程；（）设出直线AB方程，利用CF2AB，表示出直线CF2的方程，求得C点坐标，并将直线AB方程代入椭圆方程，求得关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，求得y1+y2及y1y2值，利用平行四边形面积公式求得OACB的面积【解答】解：（），由椭圆的定义，周长为，

30、得4a=4，即a=，由AF1B为正三角形，周长为，边长丨AF1丨=，AB边高F1F2的长为丨AF1丨，丨F1F2丨=2，即2c=2，c=1，a2+b2=c2，b=2，故椭圆方程：，（）由（）可知：F2（1，0）由题意可知：设AB的方程可设x=ty+1，由CF2AB可知，CF2的方程为y=t（x1），由，得C（2，t），由，消去x，整理得：（2t2+3）y2+4ty4=0，其判断=16t2+16（2t2+3）0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则，y1+y2=，y1y2=，x1+x2=t（y1+y2）+2=，=，四边形0ACB为平行四边形，且（x1，y1）=（2x2，ty2），解得t=0，解

31、得t=0，此时y1+y2=0，y1y2=，SOACB=2SOAB=丨OF2丨丨y1y2丨=，=，=【点评】本题考查的知识点是椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题，联立直线方程，运用韦达定理，考查运算能力，综合性强，转化困难，属于难题21（12分）（2015秋武昌区月考）已知函数f（x）=（x+1）lnxx+1（）若=0，求f（x）的最大值； （）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线x+y+1=0垂直，证明：【分析】（）求得函数的定义域为（0，+），当=0，f（x）=lnxx+1，求导，令f（x）=0，根据函数的单调性可知，当x=1时，f（x）取最大值；（）求导，f（1）=1，

32、即=1，由（）可知，lnxx10，分类当0x1时，f（x）=（x+1）lnxx1=xlnx+（lnxx+1）0，当x1时，f（x）=lnx+（xlnxx+1）=lnxx（ln+1）0，可知【解答】解：（）由f（x）的定义域为（0，+），当=0，f（x）=lnxx+1，求导，f（x）=1，令f（x）=0，解得：x=1，当0x1时，f（x）0，f（x）在（0，1）上是增函数；当x1，f（x）0，f（x）在（1，+）上是减函数；故f（x）在x=1处取最大值，f（1）=0，（）证明：求导，f（x）=lnx+1，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线x+y+1=0垂直，曲线y=f（x）在点（1

33、，f（1）处的切线斜率k=f（1）=1，即=1，f（x）=（x+1）lnxx+1，由（）可知，lnxx10（x1），当0x1时，f（x）=（x+1）lnxx1=xlnx+（lnxx+1）0，0，当x1时，f（x）=lnx+（xlnxx+1）=lnxx（ln+1）0，0，综上可知：0【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查导数的几何意义及两直线垂直的充要条件，考查转化思想，属于中档题请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分做答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22（10分）（2015秋武昌区月考）如图，EC切O于点C，直线EO交O于A，B两点，CDAB，垂足为D（）证明：CA平分DCE；（）若EA=2AD，EC=2，求O的直径【分析】（）利用AB为圆O的直径，CDAB，得出CAB+DCA=90，可得DCA=B利用EC切O于点C，可得ACE=B，从而DCA=ACE，即可证明：CA平分DCE；（）若EA=2AD，EC=2，利用射影定理，切割线定理建立方程，即可