电动力学第五章课件

1、2022-3-24第四章 电磁波的传播1第四章 电磁波的传播（9课时）l 三类典型的电磁波问题：传播，激发，与介质相互作用l 电磁场的波动性和波动方程，定解问题转换（传播问题）l 时谐电磁场，独立齐次边值关系l 绝缘介质和导体中的电磁波，电磁波在界面上的反射和折射l 有限空间的电磁波的传播，谐振腔和波导管节次节 名小节标题4.1电磁场波动方程和时谐电磁场电磁场的波动方程，时谐电磁场，无限均匀、线性各向同性绝电磁场的波动方程，时谐电磁场，无限均匀、线性各向同性绝缘介质中的平面缘介质中的平面.电磁波，电磁波的偏振电磁波，电磁波的偏振4.2电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射定解问题的提法，定态波动方

2、程和无散条件对反射波和折射波定解问题的提法，定态波动方程和无散条件对反射波和折射波的约束，边值关系对反射波和折射波频率和波矢的约束，边值的约束，边值关系对反射波和折射波频率和波矢的约束，边值关系对反射波和折射波的幅度约束，物理分析，能量守恒和动关系对反射波和折射波的幅度约束，物理分析，能量守恒和动量守恒关系量守恒关系4.3导体介质中的电磁波基本方程，无限均匀导体中的平面电磁波，电磁波在导体表面基本方程，无限均匀导体中的平面电磁波，电磁波在导体表面的反射与折射的反射与折射4.4 谐振腔和波导管基本方程和边界条件，谐振腔，波导管基本方程和边界条件，谐振腔，波导管2022-3-24第四章 电磁波的传

3、播24.1 电磁场波动方程和时谐电磁场0)(12HHn1 1电磁场的波动方程电磁场的波动方程(分区均匀线性各向同性介质分区均匀线性各向同性介质)1. 1. 基本方程基本方程,tBE,0 Dt DjH00 B000 jt(4.1.2)(4.1.3)0,00 Ej HB ED2. 2. 边值关系边值关系, 0)(12EEn012)(iHHn ,)(012DDn0)(12 BBnt 00102)(jjn(4.1.4)绝缘介质、普通导体界面：绝缘介质、普通导体界面： i0 = 0 绝缘介质界面：绝缘介质界面： 00 0)(12DDn(4.1.5)(4.1.1)齐次边值关系直接用于求解，非齐次边值关系事

4、后用来确定界面场源齐次边值关系直接用于求解，非齐次边值关系事后用来确定界面场源2022-3-24第四章 电磁波的传播34.1 电磁场波动方程和时谐电磁场3. 3. 电场波动方程电场波动方程 将电磁性能方程将电磁性能方程(4.1.3)代入麦克斯韦方程代入麦克斯韦方程(4.1.1)得得,tBE, 0 Et EEB0 B(4.1.6)运用矢量分析手段，从方程中消去运用矢量分析手段，从方程中消去B，化作仅含，化作仅含E 的方程：的方程：)()()(22BBEEEEtt22)(ttt EEB0222 ttEEE(4.1.7)0222 ttBBB类似步骤可导出类似步骤可导出(4.1.12)2022-3-2

5、4第四章 电磁波的传播44.1 电磁场波动方程和时谐电磁场, 0 E,EtB4. 4. 电场波动方程的定解问题电场波动方程的定解问题l 原定解问题原定解问题,tBE, 0 Et EEB0 B(4.1.6);(),(0000rB|B rE|EttSSE|E 初始条件：初始条件：边界条件：边界条件：l 新定解问题新定解问题(a) 基本方程基本方程0222 ttEEE(4.1.7)0 B( (将证式将证式(4.1.6)第二式自动成立第二式自动成立) )(b) 定解条件：定解条件：),(00rE|EtSSE|E 电场：电场：磁场：磁场：)(00rB|Bt（为何不需要标定边条件？）（为何不需要标定边条件

6、？）)()(1000rErBEttl 新老定解问题之间的等效性新老定解问题之间的等效性);(/00rf|Ett222)()(tttEEEBEE0ttEEBt EEB证毕证毕2022-3-24第四章 电磁波的传播54.1 电磁场波动方程和时谐电磁场二二 时谐电磁场时谐电磁场1. 1. 定义：定义：在空间任一点以稳恒振幅随时间作简谐周期变化的电磁场在空间任一点以稳恒振幅随时间作简谐周期变化的电磁场, ,称为时谐电磁场称为时谐电磁场, ,或称为定态电磁场或称为定态电磁场. .2. 2. 时谐电磁场的复数表述时谐电磁场的复数表述 ttetetii)(),(,)(),(rBrB rErE (4.1.13

7、)222,itt / / (4.1.15)3. 3. 定态波动方程定态波动方程 0222 ttEEE022 EEki22k (4.1.16), 0 E,EtB0 EEBi (4.1.17)l 由式由式(4.1.17)，B = 0 自动满足自动满足l 幅度因子满足的方程化为椭圆型，定解问题转化为边值问题，只需幅度因子满足的方程化为椭圆型，定解问题转化为边值问题，只需 给定边界条件和无限远处的渐近条件给定边界条件和无限远处的渐近条件l 解的唯一性问题：需由时谐场叠加得通解，然后借助初始条件和其解的唯一性问题：需由时谐场叠加得通解，然后借助初始条件和其 他外部约束条件解决；他外部约束条件解决；例如电

8、磁波的反射和折射将证明解的唯一性例如电磁波的反射和折射将证明解的唯一性0 B2022-3-24第四章 电磁波的传播64.1 电磁场波动方程和时谐电磁场0)(12 BBn4. 4. 时谐电磁场的边值关系时谐电磁场的边值关系l 原边值关系原边值关系 0)(12HHn, 0)(12EEn012)(iHHn ,)(012DDn0)(12 BBnt 00102)(jjn(4.1.4)绝缘介质、普通导体界面：绝缘介质、普通导体界面： i0 = 0 绝缘介质界面：绝缘介质界面： 00 0)(12DDn(4.1.5)l 齐次边值关系齐次边值关系0)(12EEn可由可由导出导出CSSdddlESESBi1i1C

9、SdSlEBni1lim0SC电场切向分量连续导致磁感应强度法向分量自动连续电场切向分量连续导致磁感应强度法向分量自动连续; ;对时谐场，后者不独立！对时谐场，后者不独立！EBi一般结论一般结论: :切向分量连续的任意矢量场，其旋度的法向分量连续：切向分量连续的任意矢量场，其旋度的法向分量连续：2022-3-24第四章 电磁波的传播74.1 电磁场波动方程和时谐电磁场0)(12HHn0)(12HHnl 绝缘介质、普通导体界面绝缘介质、普通导体界面(i0 = 0)： (a) 绝缘介质界面：绝缘介质界面： 00 0)(12DDn齐次边值关系齐次边值关系可由可由导出导出HDittDDjH0证证CSS

10、dddlHSHSDiiCSdSlHDnilim0SC磁场强度切向分量连续导致电位移矢量法向分量自动连续；后者不独立！磁场强度切向分量连续导致电位移矢量法向分量自动连续；后者不独立！(b) 普通导体普通导体界面：界面： 0 0 ， 012)(DDn关于电位移矢量法向分量的边值关系为非齐次，不直接用于求解，而关于电位移矢量法向分量的边值关系为非齐次，不直接用于求解，而是事后用来计算导体界面的自由面电荷密度是事后用来计算导体界面的自由面电荷密度结论：用于求解时谐场的独立齐次边值关系如下：, 0)(12EEn0)(12HHn2022-3-24第四章 电磁波的传播84.1 电磁场波动方程和时谐电磁场l

11、理想导体或超导体边界理想导体或超导体边界(体内体内 E = B = 0) 作为电磁场的边界作为电磁场的边界 与边值关系自洽的边界条件与边值关系自洽的边界条件0)(12EEn012)(iHHn 1（良导体或超导体）（良导体或超导体）2S0EHni0B D H E, 事后用于计算边界面上的传导电流密度和自由电荷密度事后用于计算边界面上的传导电流密度和自由电荷密度n012)(DDnDn0说明：说明：Bn = 0 可由可由E = 0 导出，即自动满足。导出，即自动满足。2022-3-24第四章 电磁波的传播94.1 电磁场波动方程和时谐电磁场5. 5. 复数表示下的乘法运算复数表示下的乘法运算l 乘积

12、的瞬时值：取复数量的实部（瞬时值）之后进行乘法运算乘积的瞬时值：取复数量的实部（瞬时值）之后进行乘法运算 l 乘积的周期平均值：可直接由复数量进行计算乘积的周期平均值：可直接由复数量进行计算 类比交流电的平均功率表达式：类比交流电的平均功率表达式：)Re(21IVP 平均功率平均功率复电压复电压( (共轭）共轭）复电流复电流：IVP 可写下电磁能密度、能流密度和功率密度可写下电磁能密度、能流密度和功率密度Ej HES HBED pw,),(21)Re(41HBED w(4.1.21)Re(21HES )Re(21Ej p(4.1.22)(4.1.23)的周期平均值：的周期平均值：2022-3-

13、24第四章 电磁波的传播104.1 电磁场波动方程和时谐电磁场zzyyxxzyxkkkkkkkeeek ,22222三三 无限均匀线性各向同性绝缘介质中的平面电磁波无限均匀线性各向同性绝缘介质中的平面电磁波, 022EEk,22k0 E,iEB用直角坐标下的分离变量法求解，对用直角坐标下的分离变量法求解，对E 的某个分量的某个分量u :tezZyYxXui)()()(ZkdzZdYkdyYdXkdxXdzyx222222222, )i(iiittizkykxkAeeeeAeuzyxrk)i(0terkEE; 0Ek0 E,ii)i()i(k krkrktteeEkB1EBi取实部：取实部：,

14、0)Re(Ek)Re(1)Re(EkBl 求解过程求解过程（波矢）（波矢）2022-3-24第四章 电磁波的传播114.1 电磁场波动方程和时谐电磁场l 物理分析物理分析22222kkkkzyx,)i(0terkEE, 0EkEkB11. 1. 平面波平面波( (波阵面为平面），沿波矢波阵面为平面），沿波矢k 方方向传播，相速度为向传播，相速度为2. 2. 横波，横波，E、B、k 满足右手正交关系满足右手正交关系(见右图见右图)EBk3. 3. E 和和B 同相变化同相变化 ，且且|BEv 4. 4. 平均电磁能量密度、能流密度和动量密度：平均电磁能量密度、能流密度和动量密度：2020|21|

15、21BE wkvwkk/,ke eS kvwveSg 2100,1 nnckv （n 为折射率）为折射率）(4.1.28)(4.1.28)(4.1.29)(4.1.30)2022-3-24第四章 电磁波的传播124.1 电磁场波动方程和时谐电磁场5. 5. 平均动量流密度：平均动量流密度： 动量流密度表达式（瞬时值）：动量流密度表达式（瞬时值）：,BHDEITw相对基矢相对基矢( (eE, eB, ek)及其并矢展开及其并矢展开（技巧：选择合适坐标系）（技巧：选择合适坐标系）BBEEkkBBEEBHDEeeBH eeDE eeeeeeI ,BBEEkkBBEEkkBBEEBHDEBHDEeee

16、eeeeeeeeeeeeeT)(21)(21kkweeT BHDEBHDEw2121(4.1.33)kkweeT (4.1.34)瞬时动量流密度：瞬时动量流密度：平均动量流密度：平均动量流密度：2022-3-24第四章 电磁波的传播134.1 电磁场波动方程和时谐电磁场4 4电磁波的偏振电磁波的偏振1. 1. 定义：横电磁波中电场的振动状态定义：横电磁波中电场的振动状态l针对横电磁波，针对横电磁波，E 和和B 均与传播方向垂直均与传播方向垂直l只需分析电场的振动状态：只需分析电场的振动状态：Re (B) = kRe (E) / 2. 数学描述：不妨设电磁波沿数学描述：不妨设电磁波沿 z 轴传播

17、，轴传播，k = k ez,),()i(0tkzet ErE,i0i00yyxxyxeEeEeeE)i(0)i(0yxtkzyytkzxxeEEeEE).cos(Re),cos(Re00yyyxxxtkzEEtkzEEi0)i(00eReEEEERxyxyxyxyEER000/xy 偏振度：偏振度：偏振度的模：偏振度的模：偏振度的辐角：偏振度的辐角l 通过在通过在Re (Ex)Re (Ey)平面作图，描出电场矢尖运动轨迹平面作图，描出电场矢尖运动轨迹l 从电场矢尖运动轨迹判断偏振特性（个例分析）从电场矢尖运动轨迹判断偏振特性（个例分析）l 按偏振度的模和辐角的取值给出偏振特性的定量判据（综合）

18、按偏振度的模和辐角的取值给出偏振特性的定量判据（综合）(E0 x,E0y为正实数为正实数)3. 分析步骤：分析步骤：2022-3-24第四章 电磁波的传播144.1 电磁场波动方程和时谐电磁场4. 典型结果典型结果l线偏振：电矢量矢尖轨迹为直线线偏振：电矢量矢尖轨迹为直线 判据：偏振度判据：偏振度 R 为实数（偏振度的辐角为实数（偏振度的辐角0）l圆偏振：圆偏振：电矢量矢尖轨迹为圆周电矢量矢尖轨迹为圆周 判据：偏振度为虚数单位，判据：偏振度为虚数单位，R = i图41ReExReEyReE0ReEyReE0ReExOO左旋左旋(R=i)右旋右旋(R=i)右手定则：大拇指指向传播方向（纸面），电

19、矢量旋转方向与四右手定则：大拇指指向传播方向（纸面），电矢量旋转方向与四指方向一致为右旋，反之为左旋（也适合于椭圆偏振情况）指方向一致为右旋，反之为左旋（也适合于椭圆偏振情况）2022-3-24第四章 电磁波的传播154.1 电磁场波动方程和时谐电磁场l椭圆偏振：椭圆偏振：电矢量矢尖轨迹为椭圆电矢量矢尖轨迹为椭圆 判据：偏振度为复数；将辐角约化至判据：偏振度为复数；将辐角约化至（0，2）范围，范围，:2:0左旋椭圆偏振（左旋椭圆偏振（R = i为左圆偏振）为左圆偏振）右旋椭圆偏振（右旋椭圆偏振（R= i为右圆偏振）为右圆偏振）l任意（椭圆）偏振波的分解（参见任意（椭圆）偏振波的分解（参见4.1

20、4.1节末尾的定性陈述）节末尾的定性陈述）分解为左旋圆偏振波和右旋圆偏振波分解为左旋圆偏振波和右旋圆偏振波,),()i(0tkzet ErEyyxxEEeeE000:,yxe e线偏振基矢线偏振基矢2021010eeEEE2/ )i(2/ )i(21yxyxeeeeee：左旋圆偏振基矢：左旋圆偏振基矢：右旋圆偏振基矢：右旋圆偏振基矢复基矢正交归一关系：复基矢正交归一关系：),2 , 1,(jiijji ee0000,Ee EeyyxxEE02020101,Ee EeEE圆偏振与线偏振分量的关系：圆偏振与线偏振分量的关系：2/ )i(,2/ )i(00020001yxyxEEEEEE 分解为分解

21、为 x 向线偏振波和向线偏振波和 y 向线偏振向线偏振l 自然光（非偏振光）：电矢量振动方向随机等概率分布，例如太阳光自然光（非偏振光）：电矢量振动方向随机等概率分布，例如太阳光2022-3-24第四章 电磁波的传播164.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射1 1定解问题的提法定解问题的提法1.1.必要性：我们期望解的存在性和唯一性，即给定入射波就能唯一地必要性：我们期望解的存在性和唯一性，即给定入射波就能唯一地确定反射波和折射波，从而给出反射折射规律的确定描述确定反射波和折射波，从而给出反射折射规律的确定描述图42xzO2, 21, 1n12给定入射波给定入射波:)i(0),(tetrk

22、ErE（4.2.1)0,1,1111 zkvvk , 0EkEkBH 111确定反射波和折射波确定反射波和折射波: (4.2.6)0, 0 zkz 满足定态波动方程和无散条件，满足界面上的边值关系满足定态波动方程和无散条件，满足界面上的边值关系:0, 0zkz (4.2.5),)(EnEEn ;)(HnHHn 0200101,1EkH EkH 2. 2. 定解问题描述：电磁波从定解问题描述：电磁波从1 1侧入射至界面侧入射至界面 z0(4.2.8)(4.2.9)(4.2.7),),()i(0 k ,rkkEEte,),()i(0 k ,rkkEEte,),()i(0 k ,rkkHHte,),

23、()i(0 k ,rkkHHte2022-3-24第四章 电磁波的传播174.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射二二 定态波动方程和无散条件对反射波和折射波的约束定态波动方程和无散条件对反射波和折射波的约束222211111,;1, vvkvvk 000 EkEk (4.2.11) (4.2.10)三三 边值关系对反射波和折射波的频率和波矢的约束边值关系对反射波和折射波的频率和波矢的约束yxyxttte e kkk ; (4.2.12)由时间由时间 t 的任意性推得的任意性推得 (4.2.13),112221kkvvkkk 由由(4.2.10) 得得kkk ! kkk 不能由上式断定不能由

24、上式断定以考察点为原点，引入局地圆柱坐标：以考察点为原点，引入局地圆柱坐标：eknnekk nee)()(/ekneknekn )()()(knknkn (4.2.16)2022-3-24第四章 电磁波的传播184.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射knknkn (4.2.16)上式表明：反射波和折射波的波矢位于上式表明：反射波和折射波的波矢位于n-k平面（称为入射面）内。平面（称为入射面）内。0)()(, 0)()( kknkkn kknkkn取入射面为取入射面为 x-z 平面，则平面，则),(),(),(zxzxzxkkkkkk k k k 由由(4.2.16)得得xxxkkk (4.

25、2.18) (4.2.17)反射波和入射波的频率和波矢被唯一确定，原通解中求和不复存在。反射波和入射波的频率和波矢被唯一确定，原通解中求和不复存在。四四 反射定律和折射定律反射定律和折射定律xzkk 12k 图43由由(4.2.18)得得 sinsinsinkkk (4.2.19)2112112221sinsinnnnvvkk (4.2.20)2022-3-24第四章 电磁波的传播194.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射5 5边值关系对反射波和折射波的幅度约束边值关系对反射波和折射波的幅度约束l独立齐次边值关系独立齐次边值关系,)(EnEEn ;)(HnHHn EkH EkH EkEkE

26、k 211,1; 0l 解的存在性和唯一性解的存在性和唯一性 E 与与k 垂直，垂直，E与与k垂直，各有两个独立分量；独立边值关系共垂直，各有两个独立分量；独立边值关系共计计4个，解唯一存在。个，解唯一存在。l 尝试分两种情况进行求解：尝试分两种情况进行求解： 1. E垂直于入射面，垂直于入射面，2. E平行于入射面；平行于入射面； 依据：叠加原理依据：叠加原理 目的：将目的：将4元代数方程化为两组元代数方程化为两组2元代数方程求解，简化计算过程元代数方程求解，简化计算过程2022-3-24第四章 电磁波的传播204.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射1. 1. E垂直于入射面垂直于入射面

27、zH E H xk kEHE k 图44猜测：猜测：E 和和E也垂直于入射面；也垂直于入射面；规定：规定：指向纸面为电场正向，按电场、指向纸面为电场正向，按电场、磁场、波矢右手正交关系标出磁场强度磁场、波矢右手正交关系标出磁场强度正向，示于图正向，示于图44 coscoscosHHHEEE EHEHEH 221111/,/,/ coscos)(21EEE021以下一律取以下一律取.)sin(sincos2coscoscos2,)sin()sin(coscoscoscos2112121 EEEE (4.2.21)2022-3-24第四章 电磁波的传播214.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射

28、2. 2. E平行平行于入射面（于入射面（H 垂直于入射面垂直于入射面）猜测：猜测：H 和和H也垂直于入射面；也垂直于入射面；规定：规定：指向纸面为磁场正向，按电场、指向纸面为磁场正向，按电场、磁场、波矢右手正交关系标出电场强度磁场、波矢右手正交关系标出电场强度正向，示于图正向，示于图45EHEHEH 020101/,/,/ (4.2.22)zH E H xk kEHE k 图45 coscos)(EEEHHH EEE 21)(.)cos()sin(sincos2coscoscos2,)tan()tan(coscoscoscos1211212 EEEE式（式（.21）和（）和

29、（.22）：菲涅耳公式）：菲涅耳公式zxxikeek 2022-3-24第四章 电磁波的传播224.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射六六 物理分析物理分析1.1.偏振特性：两种偏振波的反射波和折射波幅度不同；自然光经反射偏振特性：两种偏振波的反射波和折射波幅度不同；自然光经反射和折射后变为部分偏振光。特别当和折射后变为部分偏振光。特别当 90 时，时，E 平行于入射平行于入射面的波不发生反射，反射波为偏振方向与入射面垂直的线偏振波。面的波不发生反射，反射波为偏振方向与入射面垂直的线偏振波。（布儒斯特定律；布儒斯特角）（布儒斯特定律；布儒斯特角）l半波损失：当半波损失：当

30、2 1 时，有时，有 ，对对E垂直入射面的情况，有垂直入射面的情况，有E/E 0，反射波与入射波反相，称为半波损失。，反射波与入射波反相，称为半波损失。l全反射：当全反射：当2 1 时，有时，有 c sin 1， 为虚数！为虚数！ 这表示，这表示，k“ 为复数矢量；而为复数矢量；而在复数法中，波矢允许为复数量，其实在复数法中，波矢允许为复数量，其实部为物理波矢部为物理波矢(正余弦函数正余弦函数)，虚部反映平面波随空间的衰减，虚部反映平面波随空间的衰减(指数函数指数函数)。2122,sinknkkkkkkzxxx ,isin222122 nkkkkxz2212sinnk )i(0)i(0),(t

31、xkztzkxkxzxeeet EErE折射波电场：折射波电场：l 折射波沿界面传播，沿折射波沿界面传播，沿 z 向指数衰减，此时有向指数衰减，此时有sin/1vkvx l 传播速度为传播速度为 ，由介质，由介质1波速和入射角决定；波速和入射角决定；)/(i)/(sin1cos,/sinsin0222121 nn 1|/| EE反射系数为反射系数为1 1，即发生全反射，即发生全反射2022-3-24第四章 电磁波的传播244.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射l 折射波不是横波折射波不是横波【备注备注】 当波矢为复数量时，无散条件当波矢为复数量时，无散条件(k E = 0) 横波条件！横波

32、条件！zyxxyEkEeeEkH0000000i1 zxxikeek 0i000 zxxEEkEk横波条件：横波条件：000 xxHE00000000i1EeEeEkH zyxxEk:00 xH将可能出现电场或磁场沿将可能出现电场或磁场沿 x 方向的分量，从而破坏横波条件方向的分量，从而破坏横波条件(1)入射波电场垂直入射面入射波电场垂直入射面( )，电场与，电场与 x 方向垂直，但方向垂直，但(2)入射波磁场垂直入射面，磁场与入射波磁场垂直入射面，磁场与 x 方向垂直，但方向垂直，但02icosEEEx yyE eE00 2022-3-24第四章 电磁波的传播254.2 电磁波在绝缘介质界面

33、上的反射和折射七七 能量守恒和动量守恒关系（能量守恒和动量守恒关系（物理分析之继续物理分析之继续）1.1.能量守恒关系能量守恒关系SS S 图46An介质1介质2入射波能流：入射波能流：n SA反射波能流：反射波能流： n S A折射波能流：折射波能流：n S AAAASnSnSn SnSSn )(l 直觉分析直觉分析l 严格证明严格证明 从从1.4节给出的能流密度的边值关系出发：节给出的能流密度的边值关系出发：,21SnSnSn HEHESSHHEES )()(1, 0, 0,1,111kk Ek EkEkH EkH zzkk0)( HEHEn(4.2.30)l 反射系数和反射系数和 透射系

34、数透射系数RTwwEEvvR1,|cos|cos|22020120121120121 EEEESnSn2022-3-24第四章 电磁波的传播264.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射2. 动量守恒关系动量守恒关系l 直觉分析直觉分析l 严格证明严格证明 从从1.4节给出的光压公式出发：节给出的光压公式出发：入射波动量流密度入射波动量流密度反射波动量流密度反射波动量流密度折射波动量流密度折射波动量流密度)( :TTTnn p光压公式：光压公式：:TTT 22coscos)(wwwp(4.2.34),cos)(2wwp2cos)1 (Rwp 介质介质2为透明介质：为透明介质：介质介质2为全吸收

35、介质：为全吸收介质：平均值：平均值：)( :)( :121TTnnTTnn p).()(21111111HBHBEDEDIHBHBEDEDTTHBEDIT w, 0, 0,1,111kk Ek EkEkH EkH zzkk0:交叉项nn(4.2.33)即式即式(4.2.33)成立成立HHH BBBEEE DDD1111,2022-3-24第四章 电磁波的传播274.2 电磁波在绝缘介质界面上的反射和折射例例4.1 4.1 无限介质平面两侧的介质的磁导率同为无限介质平面两侧的介质的磁导率同为0，介电常量分别为介电常量分别为1和和2, ,电场强度为电场强度为E 的平面电磁波自的平面电磁波自1 1侧

36、垂直入射侧垂直入射, ,在界面上发生反射和折射在界面上发生反射和折射. .在介质在介质2 2全透明和全吸收两种情况下全透明和全吸收两种情况下, ,分别计算介质界面所受的压力分别计算介质界面所受的压力. .解解222121,EwEwEw 21222122212212224, EEwwEEww .)(21)(2412212122121212221212211EEEwwwp .)(21)(21221212212121212212EEEwwp )(211212121200220001 EdzBEdzpfnfn介质介质2透明：透明：介质介质2全吸收：全吸收：解毕解毕备注：备注：（参见第一章（参见第一章1

37、.4节（节（1.4.60）式）式）2022-3-24第四章 电磁波的传播284.3 导体中的电磁波1 1基本方程和边值关系基本方程和边值关系, 022EEk,/i,22 k, 0 E,iEBl 基本方程中出现电导率，等效介电常量为复数，相应波矢为复数基本方程中出现电导率，等效介电常量为复数，相应波矢为复数l 处理方法和步骤与绝缘介质情况类似处理方法和步骤与绝缘介质情况类似2. 独立齐次边值关系独立齐次边值关系:, 0)(12EEn0)(12HHn1. 基本方程：基本方程：3. 说明说明:2022-3-24第四章 电磁波的传播294.3 导体中的电磁波eeek i,22222zzyyxxzyxk

38、kkkkkk用直角坐标下的分离变量法求解电场波动方程，得用直角坐标下的分离变量法求解电场波动方程，得 HH EErkrk)i(0)i(0,ttee; 0Ek二二 无限均匀导体中的平面电磁波无限均匀导体中的平面电磁波, 022EEk,/i,22 k)i(i22222kkk21,22 2)i(0)i(0,tteeeerrrrHH EE(4.3.9)(4.3.10)001EkH (4.3.11), 0 EEHi0i00HH横波条件：横波条件：无散条件：无散条件：; 0, 000H E仅仅当当 / 时时才能满足才能满足(反证法反证法), 0i00EE2022-3-24第四章 电磁波的传播304.3 导

39、体中的电磁波3 3电磁波在导体表面的反射与折射电磁波在导体表面的反射与折射 由绝缘介质结果，做如下替换：由绝缘介质结果，做如下替换：xzk 12k 图472,01,0k i,i22 0202221, 2xxxxxkkki , 0 x01,sin kkx 020222221,sin zzk 2,sin1sin122/120222222222022220kkz2/120222222222022220sin1sin12 kk)/arctan(zx l 反射定律：反射定律：l 折射波衰减方向：折射波衰减方向：l 折射定律：折射定律：沿沿z 向衰减向衰减2022-3-24第四章 电磁波的传播314.3

40、导体中的电磁波2/120222222222022220sin1sin12kkz2/120222222222022220sin1sin12 kk良导体近似：良导体近似：sinkx20 z1)/(2 1sin2sin22sintan1220220 vvkkzx222022vvvz 折射波传播速度：折射波传播速度：结论：折射波传播方向近似垂直导体表面，传播速度远小于绝缘介质中结论：折射波传播方向近似垂直导体表面，传播速度远小于绝缘介质中的光速；二者均与导体的介电常量无关（类比恒定电场中的导体）！的光速；二者均与导体的介电常量无关（类比恒定电场中的导体）！2022-3-24第四章 电磁波的传播324.

41、3 导体中的电磁波l 垂直入射情况下的幅度关系垂直入射情况下的幅度关系H E H k kEHE k 图481,02,0)i(0)i(0)i(0tzztkztkzeeee EEEEEE入射波：入射波：反射波：反射波：折射波：折射波：EEE HHH EkEEk )( 边值关系：边值关系：结果：结果：.i22,ii kkkkkEEkkkkkkEE )i( k 不妨假定电场正向垂直纸面向内不妨假定电场正向垂直纸面向内 正确列出独立齐次边值关系正确列出独立齐次边值关系EkHEkEkHkEkEH ,)/(0介质介质2 2换成理想导体或超导体怎么处理？换成理想导体或超导体怎么处理？无折射波；无折射波；边值关

42、系：边值关系：E+E = 0; HH =2H= i0; (i0 与与E 正向一致正向一致) i02022-3-24第四章 电磁波的传播334.3 导体中的电磁波.i22,ii kkkkkEEkkkkkkEE.i1/2/8,i1/2i1/21111 EEEE1. 上述结果与上述结果与2无关无关, ,同样说明对良导体来说同样说明对良导体来说, ,其介电常量不起作用其介电常量不起作用. .2.2. 反射系数：反射系数：l 良导体近似及对结果的物理分析：良导体近似及对结果的物理分析：/2/2/:1)/(10102kk1811)/21 (1)/21 (121212EER3. 3. 半波损失：半波损失：E

43、/ /E1 14. 4. 折射波的特性：折射波的特性：4/i00i)1 (2/iek 4/i00000eEEkH 1|2202200 EH(4.3.29)折射波因欧姆耗散沿透入深度指数衰减折射波因欧姆耗散沿透入深度指数衰减( (对比绝缘介质全反射情况对比绝缘介质全反射情况) )2022-3-24第四章 电磁波的传播344.3 导体中的电磁波5.5. 表面电阻和功率耗散表面电阻和功率耗散l 引入表面电阻的目的：实现对良导体表面焦耳耗散的参数描述引入表面电阻的目的：实现对良导体表面焦耳耗散的参数描述l 满足边界条件：满足边界条件： e H e EytzzxtzzeeeHeeE4/i)i(0)i(0

44、,0000,2HE 0),|4/ii00zytzteeHHE e H（半无限良导体半无限良导体(z 0)中的定态电磁波解中的定态电磁波解（k = + i）a) 上述解来自前面垂直入射结果，也可直接代入波动方程验证上述解来自前面垂直入射结果，也可直接代入波动方程验证b) 在理想导体极限下，下边界在理想导体极限下，下边界H 切向分量有限，切向分量有限，E 切向分量趋于零切向分量趋于零,)i(0tzzeeEEjtteHeiEjdzii0i00i)i()()i()i(000220000000EEEEkEHl 表面电流：表面电流：2022-3-24第四章 电磁波的传播354.3 导体中的电磁波zeEEj

45、p22021)Re(21,222442020202200200iHHHEdzpdAPd图49abi0,abR 22212020220abiaibaRIP 220iabdAPdAP 021 20202121HidAPdl 平均功率：平均功率：l 表面电阻：表面电阻：积分电导：积分电导： ；表面电阻：；表面电阻：1/( ) ; ; 功率面密度功率面密度: :表面电阻表面电阻面电流密度有效值平方面电流密度有效值平方2022-3-24第四章 电磁波的传播364.3 导体中的电磁波1应用：计算电磁波在导体中的穿透深度；计算导体壁的焦耳功率应用：计算电磁波在导体中的穿透深度；计算导体壁的焦耳功率1. 1.

46、 计算电磁波在导体中的穿透深度：计算电磁波在导体中的穿透深度：2. 计算导体壁的焦耳功率计算导体壁的焦耳功率 采用良导体近似计算功率面密度：采用良导体近似计算功率面密度： 在理想导体近似下求解电磁波（见下节波导管）在理想导体近似下求解电磁波（见下节波导管） 条件：衰减距离（也正比于条件：衰减距离（也正比于1/2） 波长波长 积分求出单位长度波导管的耗散功率（习题积分求出单位长度波导管的耗散功率（习题4.13)良导体：良导体：.1,220 2/120222222222022220sin1sin12kk普通导体：普通导体：20202121HidAPd2022-3-24第四章 电磁波的传播374.4

47、 谐振腔和波导管l 将电磁波限制在有限空间，实现高频电磁波的有效激发和传播将电磁波限制在有限空间，实现高频电磁波的有效激发和传播l 求解赫姆霍兹方程的边值问题，分量变量法求解赫姆霍兹方程的边值问题，分量变量法l 不同于反射折射问题，允许出现多解，分析各种波模的性质不同于反射折射问题，允许出现多解，分析各种波模的性质一一 基本方程和边界条件基本方程和边界条件 电磁场以理想导体为边界，设为电磁场以理想导体为边界，设为S ；内部填满均匀线性各向同性介质；内部填满均匀线性各向同性介质, 022EEk,22k, 0 E; 0| SE,EHi00|,|SSDn iHn电场定解问题：电场定解问题：磁场及界面

48、场源：磁场及界面场源：(规定规定n 指向解域内部指向解域内部)0| SBn自动满足自动满足事先将无散条件对边值的约束条件写出：事先将无散条件对边值的约束条件写出：图410En(0)nEn(n)nA0 SnnE(4.4.7)仅适于平面边界；对球面边界，见习题仅适于平面边界；对球面边界，见习题2.12022-3-24第四章 电磁波的传播384.4 谐振腔和波导管二二 谐振腔谐振腔1. 1. 求解过程（分离变量法）求解过程（分离变量法）,01Lx ,02Ly 30Lz 图411zxyL2L3L1O解域：解域：解域边界解域边界S ：;, 01Lx ;, 02Ly 3, 0 Lz 针对电场针对电场E 的

49、某个分量的某个分量u 求分离变量解求分离变量解：022 uku)()()(zZyYxXu 0, 0, 0232222222122 ZkdzZdYkdyYdXkdxXd 22232221 kkkk(4.4.10)(4.4.11)sincos)(sincos)(sincos(323122211211zkczkcykbykbxkaxkau(4.4.12)0|132, 0, 0, 0 LxxLzxLyxxEEE由边界条件定参由边界条件定参数，以数，以Ex为例：为例：0112 cba332211,LlkLnkLmk 2022-3-24第四章 电磁波的传播394.4 谐振腔和波导管zkykxkAEx321

50、1sinsincos ;,332211LlkLnkLmk m, n, l 为正整数为正整数2232221LlLnLm(4.4.14)(4.4.13)对对Ey 的和的和Ez 作类似处理，最终求得：作类似处理，最终求得：,cossinsin,sincossin,sinsincos321332123211zkykxkAEzkykxkAEzkykxkAEzyx (4.4.15)由无散条件由无散条件E0，导出导出3个幅度因子满足如下约束条件个幅度因子满足如下约束条件：0332211 ALlALnALm(4.4.16)2022-3-24第四章 电磁波的传播404.4 谐振腔和波导管将电场解乘上因子将电场解

51、乘上因子tei，取其实部，取其实部, ,求得实际电场为求得实际电场为),cos(cossinsin|)Re(),cos(sincossin|)Re(),cos(sinsincos|)Re(33213i23212i13211itzkykxkAeEtzkykxkAeEtzkykxkAeEtztytx(4.4.17)2. 2. 物理分析物理分析l不传播，为驻波解不传播，为驻波解l波矢分量取离散值（又称本征值），由整数集合（波矢分量取离散值（又称本征值），由整数集合（m,n,l）表征）表征, ,对应对应解为本征解。在（解为本征解。在（m,n,l）中，至少有两个不为零，否则为零解。）中，至少有两个不为零

52、，否则为零解。l（m,n,l）本征解的角频率为）本征解的角频率为232221,)/()/()/(LlLnLmlnml由整数集合（由整数集合（m,n,l）表征的本征解）表征的本征解, ,存在两个独立波模存在两个独立波模l最低频率和最大波长（对最低频率和最大波长（对L1,L2 L3) )：,)/1 ()/1 (2122221110110LLf2221110110)/1 ()/1 (21LLf 0/332211LAlLAnLAm(4.4.16)2232221/LlLnLm(4.4.14)332211/,/,/LlkLnkLmk (4.4.13)2022-3-24第四章 电磁波的传播414.4 谐振腔

53、和波导管三三 波导管波导管1. 1. 求解过程（分离变量法）求解过程（分离变量法）,0ax ,0by z 解域：解域：解域边界解域边界S ：;, 0 ax by, 0分离变量解分离变量解：22232221 kkkk(4.4.21)(4.4.11)()sincos)(sincos(33i2i122211211zkzkececykbykbxkaxkau 图412zyxOba与谐振腔解的区别：与谐振腔解的区别：)(3321zikzikecec)sincos(3231zkczkc如何看待这一区别？如何看待这一区别？l 两种取法在数学上完全等效，可随意选取；两种取法在数学上完全等效，可随意选取；l 对谐

54、振腔情况取前者，对波导管情况取后者，可简化数学分析，属对谐振腔情况取前者，对波导管情况取后者，可简化数学分析，属 于一种数学技巧；于一种数学技巧；l 谐振腔为驻波解，波导管为行波解，并非来自本征解的取法不同，谐振腔为驻波解，波导管为行波解，并非来自本征解的取法不同， 而是来自而是来自z 向边界的边界条件；若限于右行波，可取向边界的边界条件；若限于右行波，可取 c2 = 0 。2022-3-24第四章 电磁波的传播424.4 谐振腔和波导管, 0|, 0|, 0, 0, 0, 0byyaxyaxxbyxyEExEE ,0|, 0, 0 byzaxzEE.由边界条件定参数：由边界条件定参数：,si

55、nsin,cossin,sincos333i213i212i211zkzzkyzkxeykxkAEeykxkAEeykxkAE bnkamk 21, (4.4.22)(4.4.23)选择沿正选择沿正 z 向的行波解：向的行波解：22322 kbnam22232221 kkkk(4.4.24)0i332211AkAkAk (4.4.25)0 E2022-3-24第四章 电磁波的传播434.4 谐振腔和波导管.coscos)(/(,sincos)i)(/1 (,cossin)i)(/1 (333i212112i213113i213223zkzzkyzkxeykxkAkAkiHeykxkAkAkHeykxkAkAkH (4.4.26),sinsin,cossin,sincos333i213i212i211zkzzky