第六章 光的偏振性及应用

1、第六章第六章 光的偏振性及应用光的偏振性及应用v除了波动性，光波还具有偏振性 v只有指明光矢量的方向，才可能完全描述光波 v许多物质对偏振态不同的光波响应差别很大，而不少光学系统就是以这种差别做为工作基础琼斯矢量 v琼斯矢量两元素列向量描述偏振光v设单色光场为 ,yxjj kztj kztjxyoxoyz tE xE y eE exE ey eEv该单色光场的琼斯矢量为22, xxyyjjToxxoxxyjjyoyoxoyoyoxE eEeEE EEE eaeEEaEEE常见偏振态的琼斯矢量偏振态琼斯矢量线偏振光光矢量沿x轴光矢量沿y轴光矢量与x轴成45角光矢量与x轴成角圆偏振光右旋左旋1,0

2、T0,1T1, 12Tcos ,sinT1,2Tj1,2Tj互相垂直的偏振态若两偏振光E1、E2满足关系 *21111*2,0 xTxyyEEEE*22EEE E则称E1、E2互相垂直。 例1 x、y方向的线偏振光(1,0)T和(0,1)T 例2 左、右旋椭圆偏振光(2,j)T和(1,-2j)T 利用琼斯矢量对偏振光做代数运算 例如，已知两个线偏振光的琼斯矢量分别为 1190123,0, 0, 3TTjjjeeEE它们的叠加 11190123, 331,TTjjjjeeejEE + E是一个左旋圆偏振光 琼斯矩阵 偏振光(Ex,Ey)T通过偏振器件后的偏振态为(Ex,Ey)T，两者之间的关系为

3、11122122xxxyyyEEEJJJEEEJJ式中，22矩阵J描述器件对偏振光的作用，称为偏振器件的传输矩阵或琼斯矩阵，矩阵J中的四个元素由偏振器件的特性决定 偏振度v能产生线偏振光的器件称为偏振片 v通（透）光轴 偏振片允许透过的光矢量方向v常用偏振度P来衡量光波的线偏振程度以及偏振片的性能，P定义为 /PIIII式中，I 和I和分别为与透光轴平行和垂直的光矢量光强。对完全线偏振光，P1；对完全自然光，P0；P取其它值的光波是部分偏振光 消光比 mMIIv用于偏振片两个相同的偏振片相对转动时出射光强的最小值Im和最大值IM之比定义为该偏振片的消光比v用于部分偏振光mMIIII产生偏振光的

4、方法v二向色性v金属丝光栅v折反射布儒斯特角全反射v晶体二向色性产生偏振光v二向色性某些物质具有吸收光波的偏振选择性，即对光的吸收随光矢量的方向而变 v二向色性一般与波长有关 v自然界中，典型的二向色性物质是电气石(tourmaline) 和碘硫酸金鸡钠(herapathite) v人造二向色性偏振片中，用无机碘制成的偏振片称H片，用有机燃料（如刚果红）制成的偏振片称L片v人造偏振片的面积可以做的很大，厚度很小，通光角度范围几乎是180，而且造价低廉 金属丝光栅产生偏振光v自然光入射平行导线栅时，与导线方向平行的光矢量分量与导线相作用，能量被吸收，而垂直方向的分量则顺利透过 v制作方法真空蒸发

5、金属材料光刻（b）折、反射产生偏振光入射角等于布儒斯特角时，反射光是只有s分量的完全线偏振光，但光强较小；透射光虽然光强很大，但是同时含有p分量和s分量的部分偏振光。解决办法：玻璃片堆 n345（a）n3n2n1h2h1布儒斯特角的利用v当玻璃片的上表面入射角是布儒斯特角时，下表面入射角也是布儒斯特角，这样，光在每次折、反射中，都把一部分s分量转变成反射光，只要玻璃片足够多，就能使透射光中的s分量小到可以忽略，反射光也得到增强v前图(b)是偏振分光镜偏振分光镜的主要参数v按折射定律和布儒斯特角条件 32122231212sin45sin , 2nntgn nnn nnnv相邻膜层反射的s分量要

6、相长干涉单层膜光程差D=m 从光疏到光密的和从光密到光疏的rs符号相反 1 112222cos2, 2cos2nhn h由此得到h1和h2由全反射产生圆偏振光 菲涅尔菱体 玻璃折射率n1.51，当入射角1=5437或4837时，s波和p波之间位相差45连续两次全反射，90。线偏振输入光变成圆偏振输出光 线偏光圆偏光1起偏器和检偏器v偏振片的质量通常由偏振片自身来检测 v产生偏振光的偏振片称为起偏器(P1)v检验偏振光的偏振片称为检偏器(P2)P1P2光电探测器自然光马吕斯（Malus）定律 v当P1相对P2转动时，光电探测器接受的光强I随P1和P2透光轴的夹角而变化。设为0时的透射光强为I0，

7、理想偏振片的I变化规律为 2cosoIIv实际偏振片在90时，P2透过的光强不为零。可用消光比来衡量偏振片的质量 例6.1自然光以57角入射到空气-玻璃界面，玻璃折射率为1.54。求（1）反射光偏振度Pr和消光比r（2）透射光偏振度Pt和消光比t 解例6.1_1v（1）空气-玻璃界面的布儒斯特角为 111.5457Btgntg故自然光入射角是布儒斯特角，反射光中没有p分量，反射光偏振度Pr=1，消光比r=0 v（2）透射角为 12sinsin57 1.543321122sinsincos2sin33 cos570.5933sin90st解例6.1_2vs和p分量透射光强分别为2112122si

8、nsincos2sin33 cos570.6494cossin90 cos24pt220000210.3520, 0.4217, coscosssppIt rIrIIt rIrIrnv透射光偏振度Pt和消光比t分别为 0000000.42170.35209%0.42170.35200.35200.42170.8369pstpstIIrIrIPIIrIrIrIrI晶体光学 v本节分析光波在各向异性介质中的传播特性v光学各向异性，指光波的传播性质随光矢量的方向而变化 v某些晶体具有典型的光学各向异性 v当一束单色光入射到空气和这类晶体的界面时，一般会产生两束折射光，两束折射光具有不同的光矢量方向和

9、不同的折射率，这种现象称为双折射。v双折射是光学各向异性的体现 晶体的光学各向异性 v晶体的光学各向异性来源于晶体微观结构的不对称性 v晶体微观结构的周期性不对称结构在不同方向的光矢量作用下，生成不同的附加电偶极矩，极化强度也就随光矢量的方向而变化v电磁场因此随光矢量的方向而变化各向同性和各向异性介质的v各向同性介质中， P 、 D与E同方向 0, eor PEDEEr=1+e 是标量 31, iijjjDEDEv各向异性介质中， P与E方向不同，相对介电系数是二阶张量，D和E方向一般也不同相对主介电系数和主折射率 vijji，介电张量有六个独立分量，经坐标变换，总可以把张量写成对角矩阵形式

10、00000000 xxxyyyrzzzDEDEDEEvx，y，z称为晶体的主轴方向，x，y，z称为晶体的相对主介电系数，相应的折射率称为主折射率 张量关系的图示张量关系说明，主轴坐标中的D和E方向一般不同，但沿三个主轴方向，D和E方向相同 DEExDxxyzEzDzDyEy晶体的种类v随着晶体微观结构对称性的增加，介电张量的独立分量数量会进一步下降 v在主轴坐标系中，正交、单斜和三斜晶系的xyz，这样的晶体是双轴晶体v三方、四方和六方晶系的xyz，这样的晶体是单轴晶体v各向同性介质和立方晶系的xyz 晶体中的平面波设平面波0exp,expTxyzjtEEEjt EEk rk r在具有下列张量的

11、晶体中传播222000000 xryznnn该平面波应满足 2221 (*)rct EE前面（*）式的导出v回忆绝缘介质中的麦克斯韦方程组00tt EBBEDBv第一式两边求旋度，将第二式代入，即得(*)式求晶体中平面波的k根据矢量恒等式并按照 2 EEE002202220expexpexpexpjjjtjjjtjkjttjjt Ek Ek Ek rEk Ekk rEEk rEEk r得到 2222222xxxxxyzyxxyyzzyyyzzzzEkn EkkkEk Ek Ek Ekn EcEkn E 关于k的联立方程将各个直角坐标分量单独列出 222222222222000yzxxxyyxz

12、zxyxxzyyyzzxzxyzyxyzzkknEk k Ek k Eck k EkknEk k Eck k Ek k EkknEc v要使E0有非零解，必需行列式为零 2222222222220yzxxyxzxyxzyyzxzyzxyzkknk kk kck kkknk kck kk kkkncv展开行列式，并作恰当合并，得 42222222222222222222222 0 xyyzxzzyxyxzxyzyzxzxykkkkkkccnnnkkkkkkn nn nn n对单轴晶的双折射解v对单轴晶，nx=ny=no，nz=ne，上式变成22222222222222220yyxxzzooooo

13、ekkkkkknnncnnncv上式有两个解，第一个解定义了一个半径为(no/c)的球，第二个解定义了一个椭球v单轴晶允许两个k，球对应的k代表寻常光，椭球对应的k代表非常光，这就是双折射 方解石晶体的双折射现象 一束光进入这种晶体后，一般有两束光出射 三种单轴晶体的折射率 方解石（负晶体）KDP（负晶体）石英（正晶体）(nm)none(nm)none(nm)none656.31.65441.484615001.4821.45819461.52181.5300589.31.65841.486410001.4981.463589.31.54421.5534486.11.66791.4908546

14、.11.5121.4703401.56751.5774推导晶体中各矢量关系 v非磁性各向异性介质中，麦克斯韦方程组形为 000tt DHEHHDv晶体中的单色平面波为 expooojt EEDDk rHHv将平面波方程代入麦克斯韦方程组中的两个旋度方程，得0 kEHBkHDv再加上EH=Sv由于D、E、k和S都垂直于H，所以D、E、k和S共面v一般情况下E和D方向不同，k和S的方向也不相同。若E和D夹角为，则k和S夹角也为 相速度vp和光线速度vsv当等位相面1上的o点沿k以相速度或波法线vp传播到等位相面2上的ok点时，o点沿S以光线速度vs传播到oS点，显然vpvs kSEDH12okoS

15、ovp和vs的关系v第二章中已知光线速度为vsS/w v电能密度we和磁能密度wm为11112222111222emww E DEkHkEHk SH BHkEk Sv总能量密度1cosemnnwwwSk sScck Svvp和vs的关系v光线折射率 cospsvvcosssnc vn晶体中k对应的折射率v单色平面波在晶体中传播时，已知光波法线k和晶体性质（主介电系数rx，ry，rz或主相速vpx，vpy，vpz），如何决定折射率n或相速度v？v方法用k、E表示D用D与k的正交性求出n或v用k和E的点积表示D前面已经得出0 kEHBkHD将第一式代入第二式，消去H 20201n kk DkkEE

16、运用矢量恒等式得 AB CB A CC A B20 nk kDEEk、E和D关系的图示E垂直于k、平行于D的分量 kSDEDE s sD k kE k kEEE20nDE另一种k、E和D关系将cosEE代入20nDE222000coscoscoscoscosDDDEnnnDD201 ss snEDD20snDE用Dk求出n菲涅尔方程将主介电系数0 (, , )iriix y z 22000iiiriDnDnkk DEE代入三个主轴分量为 02, , ,11iirikkDix y znE根据 000, xyzkkk xk yk zD0000 xxyyzzkD kD kD kD可写出 菲涅尔方程的

17、折射率形式由此得到菲涅尔方程2220002220111111yxzrxryrzkkknnn或者2220002222220111111yxzxyzkkknnnnnn菲涅尔方程的相速度形式v波法线速度vpc/nv定义三个主相速度为v菲涅尔方程变成 (, , )pirivcix y z2220002222220yxzppxppyppzkkkvvvvvvv菲涅尔方程说明，对于一定的晶体，在给定的k方向上，有不同的折射率n或不同的波法线速度vp 菲涅尔方程的多项式展开将菲涅尔方程折射率形式通分，并利用2220001xyzkkk得到42220002222222000000rxxryyrzzrxryrzrx

18、ryxyryrzyzrzrxzxnkkknkkkkkk 或者242222220002222222222000000 xxyyzzxyzxyxyyzyzzxzxnn kn kn kn n nnn nkkn nkkn nkkn和E的联立方程v菲涅尔方程是四阶多项式v解出四个根，丢弃两个负根，保留两个正根n和nv将下式中的点积展开02, , ,11iirikkDix y znE并利用0 , ,iriiDEix y z 222200000222200000222200000101010rxxxxyyxzzyxxryyyyzzzxxzyyrzzznkEn k k En k k En k k EnkEn

19、k k En k k En k k EnkE得到求取E和Dv将两个正根n和n代入上式，求出分别与n和n对应的电场强度（Ex: Ey : Ez）和（Ex : Ey : Ez）v再用下式求出相应的电感强度（Dx: Dy : Dz）和（Dx : Dy : Dz） 0 , ,iriiDEix y z n和n对应的电感强度220022220022221111 +11111111xrxrxyzrzrzryrykkknnkknnnnD DEE两个电感强度之间的关系22202002222222200002222 1111 11111111yxrxryyzxzrzrxryrzkn nkkknnnnkkkknnn

20、nD DEED和D互相垂直vn和n均应满足2220002220111111yxzrxryrzkkknnnv两个电感强度关系式中大括号中的内容为零，即D和D互相垂直 特定k允许的偏振态 v一般情况下，对于特定的波法线方向k，晶体中只允许两个线偏振光波传播v这两个偏振光的振动面互相垂直v两个偏振光具有不同的折射率n和n以及不同的波法线速度vp和vp 菲涅尔光线方程 与菲涅尔方程的推导类似，从20snED出发，可导出光线000 xyzSsS s xsys zS、光线折射率ns、主介电系数、光线速度vs与波法线速度vp之间的关系为 22200022222200022222200111111yxzsrx

21、srysrzyxzspxspyspzsssnnnsssvvvvvv特定S允许的偏振态v由菲涅尔光线方程可证明，给定光线方向S上，晶体中允许两个不同的光线折射率ns和ns或者光线速度vs和vsv它们所对应的电场强度矢量E和E互相垂直 单色平面波在晶体中的传播分析方法：1)将给定k和晶体主折射率代入下面的折射率多项式，求出两个正根n和n2)将n和n代入下面的联立方程，求E和E242222220002222222222000000 xxyyzzxyzxyxyyzyzzxzxnn kn kn kn n nnn nkkn nkkn nkk222200000222200000222200000101010

22、rxxxxyyxzzyxxryyyyzzzxxzyyrzzznkEn k k En k k En k k EnkEn k k En k k En k k EnkE各向同性晶体中的平面波将rxryrzn02代入折射率多项式，得 22200nn解出两个正根 0nnn将两个正根代入联立方程，得0000 xxyyzzk Ek Ek EkE无论k如何，各向同性晶体中的平面波折射率等于主折射率no，E和D矢量方向一致，波矢量和光线方向一致，E的偏振方向不受限制 单轴晶体中的n和nv单轴晶主介电系数为rxryno2rzne2 v设k在yz面内， k与z轴的夹角为，即 0000, sin , cosxyzkk

23、k把上面的条件代入折射率多项式，得22222222sincos0ooeoennnnnn n求出两个正根2222sincosooeoennn nnnn单轴晶体中的o光、e光和光轴 vn不依赖k的方向，与之相应的光称为寻常光，简称o光 vn与k的方向有关，相应的光称为非常光，简称e光 v光波沿某方向传播没有双折射时，该方向称为光轴，这里是z轴v单轴晶只有一个光轴单轴晶中o光应满足的联立方程 将以下条件代入E的联立方程22000, , 0, sin , cosorxryorzexyznnnnnkkk得o光应满足的方程组 22222222220cossincos0sincossin0ooxooyozo

24、yeoznnEnnEnEnEnnEo光振动方向v方程组后两式的行列式不为零，必有Ey=Ez=0 v从方程组第一式知，Ex0，即o光沿x轴振动v定义光轴和k所构成的平面（现在是yz面）为主截面，则o光只能垂直于主截面振动 vo光的D矢量平行于E矢量 单轴晶中e光应满足的联立方程将以下条件代入E的联立方程22000, , 0, sin , cosrxryorzexyznnnnkkk得e光应满足的方程组 22222222220 cos sincos0 sincos sin0oxoyzyeznnEnnEnEnEnnEe光振动方向v由上述方程组第一式知，Ex=0v后两式的行列式为零，必有Ey0和Ez0，

25、即e光的光矢量E在主截面内 v因为 2220000, , xoxyoyzezDn EDn EDn E所以，e光的D也在yz面内，但D矢量不平行于E矢量 单轴晶内各矢量关系 v一个k允许两种光波（o光和e光）传播 vo光的E平行于D，E垂直于主截面，k平行于s，折射率n=no不变v e光的E一般不平行于D，E和D在主截面内， k一般不平行于s ，折射率n随k方向变化 zyxkSeDeEeDoEo离散角令Ey1，将n代入E的联立方程，得 2zoeEnntg 求e光矢量z和y分量的比例 2zyoeEEtgtgtgnn得到e光光线与波法线的夹角（称为离散角） 2222sin 22sincoseooen

26、ntgnn双轴晶体取适当主轴坐标，使双轴晶体介电系数满足rxryrz，给定波法线k，应用折射率多项式，可求出两个正折射率n和n及相应的光矢量方向 zyxkSDEH oESDHIII双轴晶中平面波的特点vk与平面I和平面II的交线重合 v除H外，与n对应的各光波矢量都在I内v除H外，与n对应的各光波矢量都在II内v和分别是第一和第二光波的离散角v双轴晶中有两个特殊方向c1和c2，称第一类光轴。 k沿c1或c2任一方向时，有相等折射率nn，但s与k方向不同晶体光学性质的图形法分析 v几何图形直观地给出晶体中光波的各矢量之间的关系，以及各传播方向上的光速或折射率 v图形法以解析方法为基础。实践中，常

27、需综合运用二者，用图形法得到形象化定性解，用解析法得到精确解 折射率椭球（光率体） 光波的电场能量密度为 222022yxzrxryrzDDDwE D忽略吸收，能量密度保持为常数A20w，即 222yxzrxryrzDDDA222222yxzxyzDDDAnnn令 , , xyzxDAyDAzDA能量密度方程变成2222221xyzxyznnn折射率椭球的性质_1v其方向表示某一光波的D矢量方向，|r|=n为D矢量沿矢径方向振动的光波的折射率v设r与折射率椭球表面的交点为A，A点的法线就是E矢量的方向 v从o点出发做平行于给定波法线k的矢径r，再过o点，以r为法线做一个平面，该平面与折射率椭球

28、的交迹为一个椭圆，该椭圆的长轴和短轴方向就是k允许的两个光波矢量D1和D2方向，而长、短轴的长度分别等于D1和D2的折射率n1和n2 nDrv从中心o到椭球表面做任意一条矢径r折射率椭球的性质_2yxzDrnoon1n2D1D2k(a)(b)用折射率椭球分析立方晶中的光波立方晶体的主轴折射率为nx=ny=nz=no，其折射率椭球方程为 2222oxyzn这是半径为no的球面。无论k沿什么方向，与k垂直的平面与这个球面相交，所得交迹线均为半径为no的圆，没有特定的长短轴，因此没有双折射，光波是各向同性的 单轴晶的折射率椭球单轴晶体的主轴折射率为nx=ny=no，nz=ne，其折射率椭球方程为 2

29、22221oexyznnynoo(a)正晶体zxnoneynoo(b)负晶体zxnone圆交迹线椭圆交迹线用折射率椭球分析光波在单轴晶中的传播_1v椭球与xy平面的截线是半径为no的圆，这表示 k沿z轴时，只有一种折射率nno的光波，其D矢量可取垂直于z轴的任意方向。z是光轴v椭球与所有包含z轴的平面的截线是一个椭圆，椭圆的两个半轴长度分别为no和ne，这表明，当光波法线垂直于光轴时，允许两个线偏振光传播，一个线偏光的D矢量平行于光轴，折射率为ne，另一个线偏光的D矢量垂直于光轴，折射率为no k在yz面内的nyzkn222222221cos , cos1oeoeyznnynzn sinnn

30、sinnn(y,z)用折射率椭球分析光波在单轴晶中的传播_2v若k在yz平面内，当k与z轴夹角时，过椭球中心o垂直于k的平面与椭球的交迹线是一个椭圆，该椭圆的半轴长度分别为n和n，其中，nno，而 2222sincosoeoen nnnn这说明， k允许两个线偏光传播，一个线偏光的D矢量平行于椭圆的一个半轴（x轴），折射率为nno，是寻常光；另一个线偏光的D矢量平行于另一个椭圆半轴，折射率为n，是非常光 双轴晶的折射率椭球选择坐标系，使得双轴晶体的主轴折射率为nxnynz，其折射率椭球方程为 2222221xyzxyznnn双轴晶体折射率椭球的xz截面方程为22221xzxznn用折射率椭球寻

31、找双轴晶的光轴方向v双轴晶体折射率椭球的xz截面是一个椭圆 v由于nxnynz，必有r与x轴的一个夹角0使得rny，此时，以r和y轴构成的过o点平面与折射率椭球的交迹线是一个圆，这意味着沿法线方向C1传播的光波只有一个折射率nyvC1及其对称方向C2即为光轴nxnzxzC2C1=0Dony 法线(E)A双轴晶光轴方向的确定在上，x=nycos0，z=nysin0，代入双轴晶体折射率椭球的xz截面方程，得220022cossin1yyxznnnn解出光轴与z轴的夹角 22022yxzxzynnntgnnn双轴晶中的两种光波v波法线k沿主轴x、y和z的光波， s与k方向一致v波法线k沿其它方向的光

32、波， s与k方向均不相同 v在双轴晶中的两个光波都是非常光 折射率面 , ,x y znkrv从坐标原点到曲面上任意一点的矢径为v若波法线k与折射率面在A点相交，可以证明，折射率面在A点的法线方向是相应的光线S方向v折射率面的每一个k对应两种光波、两种折射率，所以形成双层曲面折射率面方程把矢径长度 222rxyznr和矢径分量 000, , xyzxnkynkznk代入菲涅尔方程 ，得到2222222222222222222 xyzxyxxyzyzxzxyxyzn xn yn zn n nnnnxnnnynnnz立方晶的折射率面 将立方晶体的主轴折射率nx=ny=nz=no代入折射率面方程，得

33、 22262222422422222222220, 0, ooooooooonnnnnnnnn nnnnnnxyzn这是一个半径为no的球面 单轴晶的折射率面将单轴晶体的折射率nx=ny=no，nz=ne代入折射率面方程，得 2222222220ooeoexyznnxyn zn n它包括一个球面和一个椭球面 2222222221oeoxyznxyznn正负单轴晶的折射率面 (a)正晶体，(b)负晶体(a)(b)z(光轴)xyyyyxz(光轴)zzxxyn0n0nen0n0nenek(So)n()n ()n0n0nenenen0n0Sek(So)Sey用折射率面分析单轴晶中的k与S 设光波在xz

34、平面内传播，e光的折射率面为 22221eoxnzn对上式两边微分22oedz dxnnx z 因为dz/dx=tg，tg=x/z，有 2oetgnntgxzkeSe从坐标原点出发的任意矢径指向k方向，矢径与折射率面交点处的折射率面法线方向就是S的方向 双轴晶的折射率面v双轴晶体的主轴折射率nxnynz，其折射率面就是原定义式，是一个复杂双层曲面 v分别令x0，y0和z0，可得yz，xz和xy三个坐标截面上的方程 222222222222222222222101010 xzyyxzzyxyzyznnnzxzxnnnxyxynnn双轴晶折射率面图示通过坐标原点o把第二式的交点连成直线，得到光轴C

35、1和C2 yzzxxynynznxnxnznynxnzny双轴晶折射率面 oC1C2(b)(a)(c)波矢面 从坐标原点到曲面上任意一点的矢径为 , ,nx y zkkkcrk把折射率面的矢径乘以c就得到波矢面的矢径，所以波矢面除了常数因子c以外，其它性质与折射率面一样。只要把n换成k，把ni换成ki，前面得出的折射率面方程就转变成波矢面方程 平面波在晶体表面的折反射 v光波入射到晶体表面时，由于折射率的突变，要发生折射和反射，折、反射光波的传播方向由折射定律和反射定律决定 v定律的导出过程与各向同性介质界面类似，只需把晶体的各向异性考虑在内 真空-晶体界面的边值关系v单色平面波从真空向晶体传

36、播，设入射、反射和折射光分别是 000expexpexpiiiirrrrttttjtjtjt EEk rEEkrEEk rv根据电磁场边界条件，电场的切向分量应该连续，用下标p表示切向分量，有 000expexp expi piirprrtpttEjtEjtEjt k rkrk r真空-晶体界面的折反射定律_1v上式应在任意时刻、对界面上任意r成立，这就要求 00iirrttirtritittt -k rkrk rrkkrkkv反射和折射光的频率与入射光频率相同 v反射和折射光的波法线都在入射面内真空-晶体界面的折反射定律_2设入射角、反射角和折射角分别为i，r和t ，有ir1r2itt1t2

37、r晶体真空晶体真空sinsinsinsiniirriittnnnn真空-晶体界面折反射定律的内涵v前式中的角度均指波法线与界面法线夹角v反射和折射光的波法线在入射面内，但它们的光线一般不在入射面内 v光在晶体中依偏振方向产生寻常和非常两种光波，前式中的折射率也分别有两种 v非常光的折射率一般不是常数单轴晶中的光波-计算法 设ni，nr和nt分别为入射、反射和折射光所在介质的折射率，i，r和t分别为入射、反射和折射光波矢量与界面法线的夹角，n和n分别为晶体中o光和e光的折射率，是晶体中光轴与波法线的夹角，是波法线与光线之间的夹角 222222222sinsinsinsinsincossin 22

38、sincosiirriittooeoeeooeoennnnnnn nnnnnntgnntgtgnn单轴晶中的光波-图形法用波矢面作图求出o光和e光的波法线和光线方向 (a)真空到晶体；(b)晶体到真空kro波矢面作图法晶体真空kikto(sto)ktesteioeABL晶体真空kiokievoeALkrkt(a)(b)光轴光轴例6.2如图所示，方解石晶片光轴在图面内，与晶体表面成30角，波长589.310-6mm光波在晶片中的主轴折射率为no1.6584，ne1.4864，晶片厚度d1mm。求（1）晶片内o光线与e光线的夹角；（2）o光和e光射出晶片后的位相差 d光轴真空真空晶体voeko,

39、ke, sose3 0解例6.2_1(1) 波矢面作图求解过程如图所示 。晶体内e光线与e光波法线的夹角由下式计算 22222222sin 22sincos1.48641.6584 sin 12021.6584sin601.4864cos60 0.0896eooenntgnn 得到5.12，同时也是e光线与o光线的夹角 解例6.2_2(2)e光波在与光轴成60角方向的波法线折射率为 22222260sincos1.6584 1.4864 1.52461.6584sin601.4864cos60oeoen nnnn e光与o光的光程差和相位差分别为-6601.6584 1.524610.1338

40、()220.1338 589.3 10454onndmm DD例6.3一块正单轴晶片的光轴垂直于晶片表面，晶体的两个主轴折射率为no和ne。证明当平面波以i入射到晶体时，晶体内非常光线的折射角可由下式计算 22sinsinoieeintgnn解例6.3_1晶体内e光波矢量ke与光轴的夹角为， 与入射角的关系为 光轴真空veokikeise晶体 sinsinsinsiniieikkn利用关系式 2222sincosoeoen nnnn得到22sinsineioeintgnn解例6.3_2最终得到 2oetgtgnnse与光轴的夹角为，利用 22sinsinoieeintgnn例6.4用图形法分析

41、平面波正入射光轴平行于界面的晶体时，光波在晶体中的传播方向 光轴光轴(a)折射率椭球(b)折射率面nonekikikikokekoked例6.5用图形法分析平面波正入射光轴垂直于界面的晶体时，光波在晶体中的传播方向 光轴光轴(a)折射率椭球(b)折射率面nonekikikiko，kekoked例6.6用图形法分析平面波正入射光轴与界面斜交的晶体时，光波的传播方向 光轴(a)折射率椭球(b)折射率面nonekikikikokekoked光轴RDeEeseseReovoA例6.7波长589.3nm的单色光以1=30角入射石英晶体，晶体光轴与晶体表面夹=35角，求e光波法线方向 1光轴2e2okok

42、e解例6.7_1按折射定律，e光的折射率n()和波法线的折射角2e满足 12sinsinen式中 22e是e光波法线与光轴的夹角，这个方向上的e光折射率为 2222sincosoeoen nnnn解例6.7_2v因未知量2e包含在和三角函数中，上式很难得到解析解 v估值迭代法求解 给出一个n的估计值，算出2e和，将2e和代入第三式，算出新的n，再用新的n开始下一次循环每次循环，n 和2e就离解近一些，如此迭代下去，直到符合精度要求 解例6.7_3查表知，对波长589.3nm，石英折射率为no=1.5442，ne=1.5534。取n的估计值为(no+ne)/2=1.5488，九次迭代的结果如下

43、迭代123456789n1.54881.55271.55271.55271.55271.55271.55271.55271.55272e18.83418.78518.78518.78518.78518.78518.78518.78518.785可见3次迭代后，就得到稳定解 n=1.5527，2e =18.785 晶体的偏光干涉 v如果振动方向互相垂直的两束光在特定方向都有非零振动分量，且这两个分量满足相干条件，由此形成的干涉就是偏光干涉 v设I1、I2分别为第一和第二束光的光强，是两光束的位相差，偏光干涉光强仍为 121 22cosIIII I平行光正入射晶片的偏光干涉o光和e光的位相差为 S

44、P1P2晶片通光轴通光轴hDD02nn h偏振和通光轴关系 图中，P1和P2是起偏器和检偏器，它们的通光轴与x轴的夹角分别是1和2。D和D是晶片允许的两个互相垂直的偏振方向。OAE0代表透过P1入射到晶片上的偏振光振幅。E0沿D和D方向被分解为OB和OC 。经P2， OB成OE=E1，OC为OD=E2 xyP2P1DD21DBACDEO从P2透射的干涉光强因为10122012coscossinsinexpDDDDEEEEj222112200, , IEIEIE从P2透射的干涉光强为2222012121212coscossinsin 2coscossinsincosDDDDDDDDII典型情况1

45、 _ 12=/2v若D1，I0。这说明，起偏器透光轴方向与晶体允许偏振方向之一重合时，干涉光强为零，这时的晶片位置称为消光位置v若D1/4，有 2201122012cossin1 cos sin2sin2DDDIIIv此时干涉光强为20sin2II典型情况2 _ 1=2v此时干涉光强为22011 sin2sin2DIIv比较两种典型情况，得 0III偏光显微镜偏振显微图_1间苯二酚 氨茴酸 偏振显微图_2大麻纤维鼹鼠毛发偏振显微图_3花岗岩大理石偏振显微图_4石英平行光斜入射晶片的偏光干涉此时的两束透射光干涉光强仍可用上面导出的结果，不过位相差的表达式有所不同 ittktkthABCBi斜入射

46、时o光和e光的位相差一般两透射光波法线矢量k和k不再相同，它们在晶片中产生的位相差为 2, , ABB CABnn将cos , cos , sin sinttittiABhABhB CB Bh tgtg代入表达式，得sin sinsin sin112coscoscoscossin sinsin sin1111 2coscostititttttititthh的化简_1按折射定律 sinsinsinitt 改写成 221121 sin1 sincoscoscoscos2 2coscostttttttthhhnn把 coscosttnn视为 costd n其中n是n、n的平均值，t是t、t的平均值，

47、则 coscoscoscossin cossintttttttttnnd ndnnddnnddn 的化简_2根据折射定律 sinsinitnsincostttddnn 两边微分 代入式，得 代入上式，有coscoscoscosttttnndnnn2costh nn式中h/cost是k和k的平均波矢量k(k+k)/2在晶片中的几何路径。可见，只要将h/cost替换h，就可将平行光正入射时的位相差转变成斜入射时的位相差 汇聚偏光干涉R上任意一点的偏振光来自S上的同一点，且以平行光形式通过C。位相差由平行光斜入射晶片位相差公式计算 SP1P2L1L2RCz单轴晶片的汇聚偏光干涉单轴晶中的波法线与光轴

48、夹角为时 2222222111cossin, ooennnnn由于|nn|nL， 0，右旋； nRnL， 0，左旋磁光效应或法拉第效应在外加磁场作用下，主轴坐标中的介电张量为 11121222330000rjj v12的存在引起旋光磁光效应或法拉第效应v磁光与普通旋光效应的差异12正比于外加磁场B，即12=aB磁光效应的旋光方向磁场方向有关，但与光的传播方向无关 维尔德（Verdet）常数 实验表明，光矢量旋转角度与光在磁光物质中通过的距离d成正比 VBd式中，V是表征物质磁光性质的维尔德常数 一些物质的维尔德常数 物质V(/10-4Tcm)物质V(/10-4Tcm)冕玻璃 0.0150.02

49、5氯化钾0.036火石玻璃0.0300.050金刚石0.012稀土玻璃0.130.27水0.013弹光效应 v由机械外力引起的折射率变化称为弹光效应 v原来各向同性的介质，加外力后会呈现类似单轴晶体的光学性质 v原来各向异性的材料，加外力后其光学性质也要变化 v这些变化都可归结为折射率椭球的形状、大小及取向的变化 声光效应v超声波是弹性波，如果光学透明介质中存在超声波，介质内就会产生随时间和空间周期变化的弹性形变，介质中各点的折射率也会随之改变，这种效应称为声光效应 v声光效应是弹光效应的一种v光波通过这样的介质会发生衍射，称为声光衍射 声光效应的描述弹光系数为P、折射率为n的声光介质中，有超

50、声平面波SSmsin(ksxst)传播，它所引起的折射率变化为 21 nPS是声致折射率变化的幅值 31sinsin2mssssnn PSk xtAk xt 式中 312mAn PS 上式可改写为 两种声光衍射v可把存在超声波的声光介质看成一个位相光栅，光波入射到这个光栅上受到位相调制，引起透射光波位相和光强分布的变化即衍射 v设光波和声波波长分别为和s，声光相互作用区域宽度为L，定义品质因子22sQLnvQ1的声光衍射是布喇格（Bragg）衍射 拉曼奈斯衍射v当声波波长s较长、声光相互作用距离L较小时，发生拉曼奈斯衍射 v介质可视为平面位相光栅，光波通过这个光栅后的位相延迟为 sinssk

51、nn LknLkLAk xt式中第一项是没有超声波时的位相差，第二项是超声波引起的位相差 拉曼奈斯衍射的性质_1v若ki与ks垂直，衍射光的第m级极大满足sinsmLm=0m=1m=2m=-1m=-2s压电换能器声光池kiks改变声波波长，就能改变第m级极大的衍射方向 拉曼奈斯衍射的性质_2v声波幅度为32mAn PS 声波对介质的作用越强，位相光栅的调制度越大，衍射效应越显著，就会有越多的光能量转移到高衍射级次上去。控制声波强度Sm，就能控制衍射光强 v衍射光频率有所变化，第m级衍射光频率等于入射光频率加m倍声频，即m=+ms 布喇格衍射v当声波波长s较短、声光相互作用距离L较大，且ki与k

52、s夹一定角度时，发生布喇格衍射，这时的声光介质可视为体光栅，只出现m=0级和m=1级衍射 m=0m=1id能量守恒和动量守恒设入射光、衍射光和声波的频率分别为i、d和s，波矢量分别为 00222iiiiidddddsssssknk kknk kkk k kkk按能量守恒要求，有 dis按动量守恒要求，有 diskkk布喇格方程由于nind，有kikd2/k，动量守恒条件代表一个等腰三角形 kdkiksid从图易得 sinsin2 siniiddiskkkk也就是布喇格方程 sinsin22iBsskki=B称为布喇格角 布喇格衍射的性质v由能量守恒定律知，衍射光的频率是入射光频率与声波频率的代

53、数和 v由布喇格方程知，改变声波波长就能调整衍射光传播方向 v0级和1级衍射光强I0、I1、入射光强I0与声波功率P的关系为 020022210cossin, 2IIIILMPHH是光束在声光池中的横向宽度，M是声光材料的品质因子，0是入射光波长 偏振器件 v产生和检测偏振态的器件 偏振器 v改变偏振态的器件波片和补偿器等 v以双折射为工作原理的晶体偏振器件，比其它类型的偏振器消光比更高，抗损伤能力更强，吸收损耗更低 双折射型偏振器和分束器 v这类偏振器用双折射现象来产生偏振光 v晶体允许两个振动方向垂直的线偏光传播，这两个线偏光的传播速度不同 v设法把这两个线偏光在空间分离开，就能制成偏振器

54、 v常用的空间分离方法就是利用两个线偏光不同的传播速度或不同的折射率 格兰汤普森棱镜 BCD(b)AABCD(a)沃拉斯顿棱镜 v两偏振光夹角为，对负晶体近似有 光轴光轴12sinoenntg波片v各向异性晶体材料构成的平行平板，能控制两个正交偏振光的振幅比和位相差，称为波片或位相延迟器。波片的光轴与通光表面平行v控制两个正交偏振光的振幅比和位相差，就能改变光波的偏振态zxy起偏器波片波片的快、慢轴v快轴的意思是，光矢量沿此轴振动的光波传播较快，或折射率较小 v负晶体中， neno， e光比o光传播快，而e光矢量与光轴同向，所以，光轴就是快轴，与之垂直的就是慢轴v设波片厚度为d，o光和e光从波

55、片出射后的光程差和位相差分别为 2oeoenn dnn dD四分之一波片四分之一波片产生的光程差满足 1 4oenn dmD当入射线偏光的光矢量与波片的快轴（或慢轴）夹45角时，从1/4波片出射的是圆偏光。反之，圆偏光入射时，从1/4波片出射的是线偏光 半波片半波片产生的光程差满足1 2mD圆偏光通过半波片之后仍为圆偏光，但旋向改变。线偏光通过半波片之后仍为线偏光，但光矢量方向改变。设入射线偏光与快（慢）轴夹角，出射线偏光与快（慢）轴夹角就是()，即出射光向快（慢）轴方向旋转了2角度 全波片全波片产生的光程差满足mD全波片不改变入射光的偏振态 波片都是对特定波长而言的巴俾涅（Babinet）补

56、偿器 v与波片不同，补偿器产生的位相差可调v推动补偿器沿箭头所示方向运动时，d1和d2变化，使得位相差也变化 v两束正交线偏光的位相差为 光轴d1d2z入射光补偿器运动方向 12121222eooeeon dn dn dn dnndd光隔离器 光隔离器的任务就是保证光波的单向传播 P偏振片；FR 法拉第磁光旋光器正向光反向光P1FRP2偏振器件的琼斯矩阵表示 设入射光的琼斯矢量是Ei(A1, A2)T，出射光的琼斯矢量是Et(B1, B2)T，偏振器件的琼斯矩阵J使两者发生线性联系 11111222211222BJ AJ ABJ AJ A或者11122122, tiJJJJJJEE透光轴与x轴

57、成角的线偏振器出射光各分量与入射光各分量的关系为211212221212sin 2coscossincoscos2sin 2cossinsinsinsin2BAAAABAAAA透光轴xyA1A2其矩阵形式为211222sin 2cos2sin 2sin2BABA角度线偏振器的琼斯矩阵由出、入射光的矩阵形式知，角度线偏振器的琼斯矩阵是22sin 2cos2sin 2sin2J快轴在x方向的1/4波片输出、输入关系为11222exp2BABAjjA快轴在x方向的1/4波片的琼斯矩阵为100Jj一般波片v快轴与x轴成角、快慢轴之间位相差为的波片 v先求入射光各分量在波片快慢轴上的投影和，按波片功能写

58、出快慢轴分量之间的位相关系，再把快慢轴分量投影到x、y轴上，得到出射光的琼斯矢量 快轴xyA1A2慢轴一般波片矩阵推导_1入射光各分量在波片快、慢轴上的投影和为 112212cossinsincosAAAAAA经过波片后，快、慢轴各分量为1122cossinsincosAAAA1122100expAAjAA一般波片矩阵推导_2快、慢轴分量在x、y轴上的投影为112212cossinsincos10cossincossin 0expsincossincos1cos 2sin 222 expcos22si2BABAAjAjtgjtgjjtg1212n 21cos 22 AAjtgAJA一般波片矩阵

59、推导_3省略共同位相因子，得该波片的矩阵为1cos 2sin 222cos2sin 21cos 222jtgjtgJjtgjtg多个偏振器件的串联v设N个偏光器件串联，器件的琼斯矩阵分别为J1、J2、，JN，偏振光相继通过它们，则可把这N个偏光器件看作一个整体，用一个矩阵JJNJN-1J1描述它们的共同作用v入射光Ei和出射光Et之间的关系为 EtJEi JNJN-1J1 Ei 本征矢量 若某偏振器件的琼斯矩阵J满足 JEE矢量E=(A, B)T为J的本征矢量，其中是复常数，称为J的本征值 本征矢量描述一种特殊的偏振态，它通过该偏振器件时保持自身偏振态不变 11122122JJAAJJBB特征

60、方程 将本征矢量的输入输出关系改写为111221220JJAJJBE=(A, B)T若有非零解，必有 111221220JJJJ112212210JJJ J此为特征方程。解出本征值，代入()式 ，就能求出本征矢量E （）例6.8_1v求快轴在y方向的1/4波片的本征矢量 v解：将=/2、=/2代入一般波片的琼斯矩阵，忽略复常数公因子，得 10101011100101jJjjjjjj10j 它的本征矢量E=(A, B)T满足 100AAjBB()例6.8_2解出本征值1=1，2=-j。将1代入()式，得A=A，B=jB，解出本征矢量E1=(A, 0)T将2代入()式，解出本征矢量E2=(0, B