从Malthus模型到混沌

1、从从Malthus模型到混沌模型到混沌数学实验混沌概念的提出与下列洛伦兹系统有关混沌概念的提出与下列洛伦兹系统有关(),(),xyxyrz xyzxybz810,28,3rb洛伦兹系统图形洛伦兹系统图形巴西的一只蝴蝶扇动翅膀会引起 洛伦兹数学的伟大使命在于从混沌中发现秩序。 倍尔在那个混沌的体制中，结构上的微小差异几乎都会造成行为方式上的巨大变化，可控制的行为似乎已被排除。 斯图尔特.考夫曼明年在得克萨斯的大风暴吗？ 了解函数的迭代，不动点和有关的作图 介绍混沌，用数值迭代、蛛网迭代和密度 混沌的倍周期分叉、遍历性和某些 计算机与科学研究(即使是数学)分布等方法来研究混沌普适结构实验目的实验目

2、的出现在各领域的类似随机、难以预测的现象由此引起的复杂而有趣的现象 “侏罗纪公园”中的恐龙重现 我们的讨论我们的讨论 什么是混沌什么是混沌? ? 宇宙的起源 龙卷风的产生、厄尔尼诺现象 金融危机爆发 从某些简单的离散的数学模型开始,进而讨论问题的提出问题的提出数学模型数学模型 Malthus 模型模型口数成正比,从而xn+1 xn r xn xn+1 = a xn其中 a=r+1. 设xn是某人类群体在第n个时间段(例如年)末时的总数，若在单位时间段内人口相对增长率为r（出生率与死亡率之差）,那么人口增长数与原人即是记 g (x) = a x，则函数迭代为 xn= a xn1= a2xn2 =

3、 an x0 于是Malthus有结论：人口增长呈几何级数 约35年增加一倍，与17001961年世界人口 与近年统计结果有误差，由a 1, xn趋向无穷， xn1 g( xn ) 容易得到统计结果一致模型在人口长期预测方面必定是失效的. Logistic 模型模型 生存资源是重要的因素，修改模型为：xn+1 xn= r xn b xn2 b xn2为竞争(约束)项，r、b 称生命系数,则 xn+1= a xn bxn2 ， （a=r+1）这是一个如下非线性映射的迭代 f1(x)= ax bx2通常a=1.029 , b 与依赖该人群经济、文化等因素据公布的1995年人口数据，推算b=0.00

4、1539410-8 数据观察（利用Matlab）年份统计人口计算人口年份统计人口计算人口199512.112112.1121200212.845312.9668199612.238912.2376200312.922713.0841199712.362612.3620200412.998813.2000199812.476112.4853200513.075613.3147199912.578612.6075200613.144813.4280200012.674312.7285200713.212913.5399200112.762712.8482200813.280213.6504 比较表

5、明计算数据与统计数据相对接近误差说明b 需要依据情况作调整 也可以利用 Logistic 模型对人口数作预测看出人口总数会有上界了解混沌了解混沌 Logistic 映射映射 ( (Robert.May 的研究）的研究）f (x)= a x(1- x)， x在0,1内变化xn+1= f (xn) 从0,1内点x0出发，由Logistic映射的迭代形成xn= f n(x0), n = 0,1,2,序列xn称为x0的轨道轨道种群数的模型简化：相应的迭代为了一个序列，即 数值迭代（数值迭代（a 逐渐增加，迭代会有何结果） 倍周期分叉现象 当0 a 1时，由于0 xn+1a xn 当1 a 3时，任何(

6、0,1)中初始值的轨道趋于 xn 0 , 表明物种逐渐灭亡x*=1-1/a其中x*是方程 f (x)=x 的解，为映射 f 的不动点（周期1点) 例：a =1.5时 xn 1/3 .两个不动点x1*, x2* ,一个稳定(吸引),另一个不稳定，轨道xn趋向稳定点这两个数满足 当3 a 1+61/2 时，xn绕着两个数 x3*，x4*振动, x2k-1 0.799455 , x2k 0.513045也称为周期2点,对应轨道称周期2轨道.(原来周期1)()(2xfx,xfx例 a =3.2点失稳) 当1+61/2 a 3.5440903506时, 从任意的点 x4k 0.44391661 x4k+

7、1 0.84768002 x4k+2 0.44596756 x4k+3 0.85242774x0 出发的轨道将逐渐沿着四个数值振动例 a = 3.45这四个数满足),(),(),(),(324xfxxfxxfxxfx称为周期4点，对应轨道称周期4轨道(原有周期点又失稳) 若a再增大，周期4点又会失稳，而产生新的稳定周期8点，这个周期不断加倍的过程将重复无限次，会依次出现周期16点，周期32点. ，(用Matlab, 给出a的值和初值可求出相应周期点)c1=3, c2=1+61/2, 构成一个单调增加的数列ck其极限值为c*=3.569945557391.这种过程称为倍周期分叉倍周期分叉.相应的

8、分叉值赖于数值方法: 将a与对应的周期点作图 分叉值如何求? 混沌的特点 当c* a 4时，Logistic映射进入混沌区域.反映 遍历性：点 x0的轨道不趋向任何稳定的周期性,即不同初始值，即使它们离得非常近，它们的出的是：轨道, 它的轨道在(0,1) (或其中某些区间)内的任何一个子区间 (a,b) 内都会出现无数次. 敏感性： 轨道表现出对初始条件的强烈敏感轨道也终将以某种方式分离. Feigenbaum 常数 ( 利用常数可以估计下一个分叉点的位置） (ck-ck-1)/(ck+1-ck) 在 k 趋于无穷时，趋于常数 q =4.6692016这常数的意义在于普适性，例如在周期3窗口，

9、还 存在周期小窗口 混沌区域内某些地方仍有倍周期分叉，例如 a3.835 附近有其他映射的倍周期分叉 任取(0,1)中的点x0,可以通过作图来取得迭代 图象方法图象方法 蛛网迭代蛛网迭代 在以 xn为横坐标、xn+1为纵坐标的第一象限作抛物线弧：xn+1a xn(1- xn)的数值序列xn,从而也通过图象直观地看出由x0出发的轨道的变化. 这作图的过程颇象蜘蛛织网,故称为蛛网迭代蛛网迭代. 11xnxn1x0 x1x1x21 a 3 从(0,1)中任何初值出发的轨道趋向不动点 (周期1点) 3a61/2+1 从任何初值出发的轨道趋向周期2点61/2+1a 3.54409035从任何初值出发的轨

10、道趋向周期4点 a=3.58轨道进入混沌状态 a= 4 轨道的混沌性表现充分 蛛网迭代的优点是轨道非常直观形象.缺 密度分布图密度分布图 密度 从一初始点 x0出发，由迭代所产生的 具体算法 将0,1区间分成m个长度为h=1/m点是当周期数较大时不易看清轨道变化细节序列xn(N项)在区间0,1上的概率分布密度.的小区间，序列xn落在各个小区间ih,(i+1)h的个数为ki,则该序列落在各小区间的概率（即密度)为 pi= ki / N i=0,1,2,m 密度图 横轴为区间 0,1, 纵轴为概率 p.当 a=3.2 (m=100 N=10000 x0= 0.1)(这是周期2情况)小区间上的细柱线的高度等于该区间上密度当 a=3.