课件bbs自动控制原理

1、奈氏稳定判据n 奈奎斯特(Nyquist，简称奈氏)稳定判据n 根据开环频率特性对闭环系统的稳定性进行判断。n 作图分析，计算量小，信息量大。n 不但稳定，也能给出不稳定根的个数和稳定裕量。n 数学基础n 复变函数概念s)= s + 2例：F (s + 31数学基础jwF平面S平面Im32原点Re无穷远点Gs ，且使其不通若在S平面上，任取一封闭轨迹GF过F(s)的奇点，则在F平面上就有一封闭轨迹与之对应。2幅角原理说明n 为讨论方便，取F(s)为下述简单形式：(s - z1)(s - z2 )F(s) =(s - p1)(s - p2 )n 设复变量s沿闭合曲线G 顺时针运动一周， 研究F(

2、s)相角的变化情况：ÐF(s) = vò ÐF(s)dsG3jjws1Gz1p1sz2s2p2s0S 平面4n 因为：ÐF (s) = Ð(s - z1 ) + Ð(s - z2 ) - Ð(s - p1 ) - Ð(s - p2 )n 由于 z1和p1被G 所包围，故按复平面向量的相角定义，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负，有：Ð(s - z1) = Ð(s - p1) = -2p5，由于z2 未被z2z2Gn 而对于零点所包围，过相切，设s1, s2 为切的角度减小，G 在作两条直线 与 闭合

3、曲线Gs段-，z2s1s的2点，则G 在 s2s1的，角度增大，且有：Ð(s - z2 ) = vò Ð(s - z2 )ds =òòÐ(s - z2 )ds +Ð(s - z2 )ds = 0G G Gs1s2s2 s1存在相同的关系。因此F(s)相角的总变化为对 p2零，即：ÐF (s) = Ð(s - z1 ) + Ð(s - z2 ) - Ð(s - p1 ) - Ð(s - p2 )= -2p + 0 - (-2p ) - 0= 06数学基础柯西幅角原理对于复变函数

4、F (s) = k(s - z1 )(s - z2 )"(s - zm )(s - p1)(s - p2 )"(s - pn )在S平面上封闭曲线C域内共有P= n个极点和Z= m个零点，且 封闭曲线C不穿过F(s)的任一个极点和零点。当S顺时针沿 封闭曲线C变化一周时，函数F(s)在F平面上的轨迹将按逆时针包围原点 N = P Z 次。(零点个数考虑重根数，N > 0逆时针，N < 0顺时针，N0，表示不包围F(s)平面的原点。)7数学基础jwImF平面S平面Re´即幅角原理的表达式为：N=P-Z其中N为GF 曲线按逆时针绕原点的圈数，P为Gs 内包

5、含的F(s)的极点数，Z为Gs 内包含的F(s)的零点数。8数学基础jwF平面S平面Im单域问题n N-1Ren N= 1jwF平面S平面ImRe9奈氏稳定判据n 利用柯西复角原理稳定性的思路：n 使F(s)与系统传递函数相n 封闭曲线域为右半平面（或左半平面）n 使封闭曲线与频率特性相n D形围线和Nyquist图：+-10H(s)G(s)奈氏稳定判据G (s) = G(s)H (s) = N0 (s)开环传递函数闭环传递函数0D (s)0G(s)G(s)G (s) =C1+ G(s)H (s)1+ G (s)0闭环传递函数分母D0 (s) + N 0 (s) = DC (s)N 0 (s)

6、 =F (s) = 1 + G(s) = 1 +0D (s)D (s)D (s)000DC(s)D0(s)闭环特征多项式开环特征多项式11n 称F(s)为辅助函数，由上式可知，F(s)的极点就是开环传递函数的极点，而F(s)的零点是闭环传递函数的极点。12奈氏稳定判据n 在S平面沿虚轴顺时针包围右半平面的闭曲线称为D形围线。S平面F平面jwImj¥D形围线1Re- j¥Nyquist图13奈氏稳定判据n 设F(s)=1+G0 (s)，s平面上的D形围线在F平面上的有向闭曲线称为在F平面的奈奎斯特图。F(s)平面上的原点即G0(s)平面上的(1，j0)点S平面jwF平面 Im

7、'ImG 平面0j¥D形围线F(s)=1+G0(s)1Re(-1,j0)-j ¥Nyquist图14奈氏稳定判据n 根据柯西幅角原理，对于复变函数F(s)=1+G0(s)，当s平面上s顺时针沿D形围线连续变化一周 时，则在F平面上和G0(s)平面上的奈奎斯特图逆时针包围原点和(-1,j0) 点N次。N = P ZD0(s)=0的根， G0(s)的极点， 开环极点DC(s)=0的根，系统特征方程的极点，闭环极点注意： 顺时针转 N<0;逆时针转 N>0。15二、基于辅助函数F(s)奈氏判据为了分析反馈系统的稳定性，只须是否存在S平面右半部的闭环极点。为此，

8、在S平面上作一条完整的封闭曲线Gs，使它包围S平面右半部且按顺时针环绕。如下图所示，该曲线包括S平= -¥ 到w = +¥面的整个虚轴（由）及右半平面上以原点为圆心，半径为无穷大的半圆弧组成的封闭轨迹。这一封闭无穷大半圆称作奈氏轨迹。显然，由奈氏轨迹包围的极点数P和零点数Z，就是F(s)位于S平面右半部的极点数和零点数。16jwS w = +¥R ® ¥s= -¥D型围线17前面已经指出，辅助函数F(s)极点等于系统的的开环极点F，(s的)零点等于系统的闭环极点。因此，如果奈氏轨迹中包围F(s)零点数的Z=0，系统是稳定的，此时由 G

9、s到F(s)面上的封闭曲平线GF 逆时针绕F(N=P由得到应用幅角定理分析系统稳定性的判据如此下：s)平面坐标原点的周数应为18点的S沿奈氏轨迹 Gs若辅助函数 F(s)按顺GF时针连续环绕一周，它在F (s) 平面上的按逆时针方向环绕其原点稳定的。不是则P周，则系统是稳定的，否通常情况下，开环系统是稳定的，即S平面右半部的开环极点数P=0。此时系统稳定的充分条件是不包围F (s平)面坐标原点，即 N=0。19三、基于开环传递函G数(s )H(的)s奈氏判据用辅助函数来分析系统的稳定性仍然不大方便， 实际上， 开环传递函数与辅助函数之间的关系非常简单，即) s=( F- )G (s)H(s 1

10、上式意味着将F(s)平面的纵轴向右平移一个后的平面即为 GH平面（如图）。F (s平)-1，jo)点。因此， GF面的坐标原点是GH 平面的(面原点的周数等效于 GGH绕GH平面(绕F (s平)-1，jo点) 的周数。20GHF00(-1, j0)1图54121由上面的分析，得到基于开环传递函G数( 的奈氏判据如下：s )H()闭环系统稳定的充分必要条件是奈氏轨迹在GH平面上的封闭曲线 G GH 逆时针包围(-1，jo)点P周，其中P为开环传递函G数(s )H(在S平面右半部的极点数。当G(s )H(在)s S平面右半部没有极点时，即P=0，闭环系统稳定的充分必要条件是G GH 在-1， jo

11、GH平面上不包围(点) 。22四、基于开环频率特性 G( jw )H ( jw )的奈氏判据与 G ( jw ) H ( jw )（一）G(s)H (s)之间的关系G( jw )H ( jw ) 与 G (s)H (s)分两种情况来研究之间的关系。1、当G (s)H (s) 在S平面虚轴上（包括原点）无极点时，奈氏轨迹可分成三个部分如图542所示，（1）-¥ £ w £ 0 ，S沿负虚轴变化；23（2）0 £ w £ +¥，S沿正虚轴变化；，S沿以原点为圆心，半径为f- js = lim Re（3）R®¥无穷大的右

12、半圆弧上变化，其f< 0由 + ¥ ® -¥中，对应的顺时针环绕。当s在S平面正虚轴上变化时， 则有:24jwS G(s)H (s)w = +¥s= jw(3)= G( jw)H ( jw)= G( jw)H ( jw) e jÐG ( jw ) H ( jw )(2)F ® ¥s(1)Gs这正是系统的开环频率特性（图542中的曲线（2）.=-¥图5-42Nyquist轨迹25当s在S平面负虚轴上变化时，s = - jw，由于正负虚轴在S平面上以实轴为对称，它们在GH平面上的也应对称于实轴（图542中的曲线1

13、）。即= G ( - jw ) H ( - jw )G ( s ) H ( s )s =- jwG ( jw ) H ( jw )j Ð G ( jw ) H( jw )e -=26s = jo当Gs 过平面原点时，它在GH平面上的应为G(s)H (s)= G( jo )H ( jo ) = Ks= jo即S平面原点在GH平面上的大系数）。为常数K（K为系统开环放27-Rjfe当s在G的第三部分上的变化时，s l=im，它s在GH平面上的®R¥为：m -¼s1+ b+¼bs+b+mbs= mm -110(s )H()s- fRejsl=im+a

14、+n -1n -1¼s¼as+sl=im+R®nansa0R®¥R- ejf1¥lim bm1(n -m)f(=×)ejRn-m¥aR®n28当n=m时，bm=kG(s )H()sR- ejfsl=imaR®¥n奈氏轨迹的第三部分（无穷大半圆弧）在GH平面为常数k，如图543（a）所示。上的29当n>m时，o(n-m)f=e×jG(s )H()sR- ejfs l=imR®¥Gs的第三部分在GH平面上的（图543（b）。是它的坐标原点奈氏轨迹GsG在

15、GH平面上的为称奈奎斯GH特曲线或奈氏曲线。30I mI mGH GH (1)(1)(3w=w)= +¥-¥(3)k =w=wRKwKw+¥-¥Ree= 00= 00G GHGGH(2)(2)n) =>a(mb(n)m图5-43 Gs 在GH平面上的31n 2、当G(s)H (s)在S平面的虚轴上（包括原点）有极点时，由于奈氏轨迹不能经过开环极点，G s必须避开虚轴上的所有开环极点。图5-44表示当有开环极点为零时的奈氏轨迹，其中（1）（2） 和（3）部分的定义与图542相同.32jww = +¥S ( 2 )R(3)®

16、65;w = 0+( 4 )s0w = 0 -r ® 0(1)Gs= -¥图5-44虚轴上有开环极点时的奈氏轨迹33第（4）部分的定义是：j q( - p£ ps =£ qlimre)22r ® 0表明s沿以原点为圆心，半径为无穷小的右半圆弧上逆时针变化（ w由o-® o+）。这样， Gs 既绕开了G ( s ) H ( s ) 原点上的极点，又包围了整个右半S平面，如果在虚轴上还有其它极点，亦可采用同样的方法，将Gs 绕过这些虚轴上的极点。34设系统的开环传递函数为-zs -2z )¼ ¼(- s mk= ( s

17、)1(z )G(s )H(s)s-(s)-1(2p¼)¼(v -pvpssn)-其中v称为无差度，即系统中含环节的个数或位=lim rejq于原点的开环极点数。当s时，r®0k ( s - z1 )( s - z 2 ) ¼ ¼ ( s - zm )=G ( s ) H ( s )re jqs v ( s -p )( s -p ) ¼ ¼ ( s - ps = limr ® 0)re jq12ns = limr ® 0Ke - jvqjvq= ¥ e -= limr vr ® 035上

18、式表明， Gs的第（4）部分无穷小半圆弧在GH平面上的为顺时针旋转的无穷大圆弧，旋转的弧度np弧度。图545（a）、（b）分别表示当 v=1和为v=2时系统的奈氏曲线，其中虚线部分是Gs 的无穷小半圆弧在GH平面上的。Imw = 0-ImGH GH R ® ¥R ® ¥w = 0-w = +¥w = 0ReRew = 0= -¥0 w = +¥0w=-¥-1w = 0+v = 1v = 2w = 0+( a )( b )v ¹ 0图5-45时的奈氏曲线j w)H( w 的j) 奈氏判据（二） 基G于(从上

19、面的分析可知，奈氏曲线GGH实际上是系统开环频率特性极坐标图的扩展。j w)H( wj)当已知系统的开环频率特性G (后，根据它的极坐标图和系统的性质（是否含有环节、开环传递函数中分母的最高阶次等） 便可方便地在 GH平面G上绘制出奈氏曲线。由此我们得到基GH于开环频率特性的奈氏判据如下：37奈奎斯特稳定判据闭环系统稳定的充分必要条件是，GH平面上的开环频率特性 G ( jw ) H ( jw ) ，当w由- ¥变化到+ ¥时，按逆时针方向包围(-1, jo) 点P周。当位于S平面右半部的开环极点数P=0时，即当系统的开环传递函数的全部极点均位于S平面左半部（包括原点和虚轴

20、）时，闭环系统稳定的充分必要条件是奈氏曲线 G GH 不包围GH平面的(-1, jo)点。38奈氏稳定判据n Nyquist稳定判据(在G0 (s)平面上) :1. 若系统开环稳定，则闭环系统稳定的条件是Nyquist图不包围(-1,j0)点。（N = P Z = 00 0)2. 闭环系统稳定的充要条件是 N = P( N = P Z = P所以 Z = 0 )推论：若Nyquist图顺时针包围(-1,j0)点，则系统一定不稳定。(N = P Z ,1)若N<0，P为负值，则必有Z39n 式中，Z为闭环传递函数在右半s平面极点的个数，P为开环传递函数在右半s平面极(-1, j0)点的个数

21、，N为奈氏曲线绕的周数，逆时针绕 (-1, j0)点时，N为正，(-1, j0)点时，N为负。在应用奈顺时针绕氏判据况：系统稳定性时，有以下3种情40当系统开环传递函数G ( s ) H ( s )(i)的全部极点都 位 于 S 平 面 左 半 部 时 （ P=0 ） ， 如 果系统的奈氏曲线G GH 不包围GH平面的(-1, jo ) 点（N=0），则闭环系统是稳定的（Z=P-N=0），否则是不稳定的；41当系统开环传递函数 G ( s ) H ( s ) 有p（ii)个位于S平面右半部的极点时，如果系统的奈氏曲线 GGH逆时针包围(-1, jo )点的周数等于 位 于 S 平 面 右 半

22、部 的 开 环 极 点 数（ N=P ），则闭环系统是稳定的（ Z=P-N=0），否则是不稳定的；42(iii)如果系统的奈氏曲线 GGH顺时针包围点(-1, jo )N<0），则闭环系统不稳定。（Z=P-N>0）。43n 从上面的分析可知，奈氏曲 线 GGH 是否包围GH 平面的 (-1, jo )点是判别系统是否稳定的重要依据（当然还须考虑是否存在S平面右半部的开环极点和 GGH 曲线包围(-1, jo )点的方向）。n 在有些情况下，G GH 曲线恰好通过GH平面的(-1, jo ) 点（注意不是包围），此时如果系统无位于S平面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。44闭

23、合曲线包围原点圈数的计算GF根据半闭合曲线GGH可获得包围原点的圈数R。设N为穿越（-1，j0）点左侧GGH负实轴的次数，N+表示正穿越的次数和（从上到下穿越），N- 表示负穿越的次数和（从下向上穿越），则：R = 2N = 2 ( N+- N- )45奈氏稳定判据实例k( wj(= ) Tn 例1已知开环传递函数G系统稳定性0j w + 1T w+j1)(12ImNyquist图画法(示意图)0 )w=GwjÐ)wGj(j)00(1)特殊点kÐ00Ð -01800Re= 0w0=w¥j0=Ðk0 0w = j¥G()00 (

24、65;j0)=1Ð800-G46奈氏稳定判据实例负频部分(与正频对称)w由 0 ® ¥Im(2)趋势G( jw )k ® 0单调递减单调递减ÐG( jw )® -180 000k-j¥-10-Nyquist判据(已知N,P求Z)P = 0 (由G0(s)表达式)N0 (由Nyquist图)因为N P Z ,所以 Z = 0， 故系统稳定= 0w =j¥失端轨迹（Nyquist图)47奈氏稳定判据实例100n 例2G ( jw ) =0( jw +1 )( 0.5 jw +1 )( 0.2 jw +1 )(1)w =

25、 0w = ¥G0 ( j0 ) = 100Ð00G( j¥ ) = 0Ð - 2700画Nyquist图：(2)w0 ® ¥单调变化100 (1- 0.8w2 ) - j (100 (1.7w - 0.1w3 )G0 ( jw) =(1- 0.8w2 ) + (1.7w - 0.1w3 )22与实轴有交点，为7.948奈氏稳定判据实例Nyquist判据：N-2，P = 0,-7.9N =ImPZ， 故 Z = 2。因此，k=100时，有两个极点在右半平面，系统不稳定。100 Rek ­k ¯不稳定可能稳定49(-

26、1,j0)例3已知反馈系统的开环传递函数为= K(ts+ 1)G(s )H()sTs+ 12s(、<tT =t、>Tt试用奈氏判据分析当T时系统的稳定性。解系统的开环频率特性是)= K (1 + jtw )G( jw) H (jw-w 2 (1 + jT w ) 其幅频特性和相频特性分别是1 +tw22K(wj) wH(j =)Gw1 + T 2 w22)wj(wH1080 a-rctgT w + arctg tw(GÐ)=j-50arctan T时w < arctantw,T <t当由0变至+时，H( w 由j )-180o在第III象当j w)变至0G，&

27、#208;(wj) wH(j由)G限内变化为-180o，其对应的奈氏曲线如图5-50（a）所示，图中虚线表示的顺时针旋转的无穷大圆弧是开环零重极点在 GH 平面上的开口的，它没有包围(。由于奈氏曲线左端无穷远处是-1,jo)点（N=0），系统无S平T < t面右半部的开环极点（P=0），由奈氏判据知，当时，该系统是稳定的。51wwa=T(Grcw()jHj ww()(ÐHjG0变至由¥-,1(T= t时，arctan Tw = arctantw（b） 当T，系统的相频ÐG( jw )H ( jw) = -1800特性与角频率无关，当¥G ( jw ) H ( jw )w 由 0 变至+¥ 时，幅频特性由变至 0是穿过态。如图5-50（b）所示，除无穷大圆弧外，奈氏曲线( - 1, jo )点且与负实轴重合的，系统是临界稳定状52T >